(完整版)高中数学通用模型解题方法技巧总结

高中数学通用模型解题方法

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”

中元素各表示什么？

A 表示函数y=lgx 的定义域，

B 表示的是值域，而

C 表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

显然，这里很容易解出A={-1,3}. 而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1 或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0, 不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：

要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a1来说，有2种选择 (在或者不在) 同样，对于元素a2, a3,??a n,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。

当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为

(3)德摩根定律：

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

4.你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法)

的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根

5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( )，“且” ( )和“非”( ).

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

满足条件，满足条件，

7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A → B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元 素的唯一性，哪

几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。 ） 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合

B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 n m 个。

如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，

则到的一一映射有 个。

函数的图象与直线交点的个数为 个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 （两点必须同时具备 ）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：

分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数

余切函数 反三角函数的定义域 函数 y ＝ arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是， 函数 y ＝

arccosx 的定义域是 [－ 1, 1] ，值域是 [0, π，] 函数 y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是 .，函数 y ＝ arcctgx 的定义域是 R ，值域是 （0, π ） .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量 的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

则是的充分非必要条件； 则是的必要非充分条件； 则是的充要条件； 则是的既非充分

又非必要条件；

10. 如何求复合函数的定义域？

义域是 _________________ 。

复合函数定义域的求法： 已知的定义域为，求的定义域， 可由解出 x 的范围，即为的定 义域。 例 若函数的定义域为，则的定义域为 。 分析： 由函数的定义域为可知： ；所以中有。 解： 依题意知：

解之，得

∴ 的定义域为

11、函数值域的求法

1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=的值域

2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y=-2x+5 ，x[-1 ，2] 的值域。

3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进

行 化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数 y=值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就 是三角函数的单调性。

例求函数 y=，，的值域。

6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数 y=（2≤x ≤10）的值域

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法

a. y k+b x 2

型：直接用不等式性质

b. y

例：

c.. y

2

x mx n

x y 1+x 2

x x 2 mx n , 先化简，再用均值不等式 d. y 2 型 通常用判别式 x mx n

2 x mx n

型

xn

法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉

2

x

x1

例： y

x 1 （ x+1）2 （x+1）+1 （x+1） 1 1 2 1

x 1 x 1

11

12 x

bx

是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例求函数y=x+的值域。

8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

22

例：已知点P（x.y ）在圆x2+y 2=1上，

例求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=∣ x-2 ∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣ AB∣=10 故所求函数的值域为：[10 ，+∞）例求函数y=+ 的值域解：原函数可变形为：y=+

上式可看成x 轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，由图可知当点P为线段与x 轴的交点时，y= ∣AB∣= =，

故所求函数的值域为[，+∞）。

例求函数y= - 的值域解：将函数变形为：y= -

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2 ，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣ AP∣ - ∣ BP∣ 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，

有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣<∣ AB∣= =

即：-

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣ AP∣- ∣ BP∣∣ = ∣AB∣= 。综上所述，可知函数的值域为：（-，-）。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x

轴的同侧。

9 、不等式法

利用基本不等式 a+b ≥2，a+b+c ≥3（a ，b ， c ∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积 为

定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例： 2x

（

x

x

倒数法 有时，直接看不出函数的值域时， 例 求函数 y= 的值域 多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的

值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时， 一

定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不 要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

13. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解 x ；②互换 x 、y ；③注明定义域）

在更多时候， 反函数的求法只是在选择题中出现， 这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了 大方便。请看这个例题：

A ．y=x 2－2x+2(x<1)

B ．y=x 2－2x+2(x ≥1)

C ．y=x 2－2x (x<1)

D ．y=x 2－ 2x (x ≥1)

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算 问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯 计算。下面请看一下我的思路：

原函数定义域为 x 〉 =1，那反函数值域也为 y>=1. 排除选项 C,D. 现在看值域。原函数 至于为

y>=1, 则反函数定义域为 x>=1, 答案为 B.

我题目已经做完了， 好像没有动笔(除非你拿来写 * 书)。思路能不能明白呢？

0)

=x

1x

33 x

2

x

应用公式 a+b+c 11

3

xx

33 abc 时，注意使 3者的乘积变成常x 2

=x (3-2x)(0

x x+3-2x 3

( )3 1

x (3-2x) 应用公式

3

abc （a b c ） 3时，应注意使 3者之和变成常数） 3

把它倒过来之后，你会发现另一番境况

(2004. 全国理)函数的反函数是( B )

14.反函数的性质有哪些？反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y )

2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x )

3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点( x,y)和点( y，x )关于直线y=x 对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x 对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

( 04. 上海春季高考)已知函数，则方程的解 __________________ .1

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x 吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？ (也可能是告诉你反函数的x 值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我

15 . 如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：

根据定义，设任意得 x1,x 2，找出 f(x 1),f(x 2) 之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与 1 的关系

(2)参照图象：

①若函数 f(x) 的图象关于点 (a ，b)对称，函数 f(x) 在关于点 (a ，0)的对称区间具

有相同的单调性； (特例：奇函数)

②若函数 f(x) 的图象关于直线 x＝ a对称，则函数 f(x) 在关于点 (a ，0)的对称区

间里具有相反的单调性。 (特例：偶函数)

(3) 利用单调函数的性质：

①函数 f(x) 与 f(x) ＋c(c 是常数 ) 是同向变化的

②函数 f(x) 与 cf(x)(c 是常数 )，当 c> 0时，它们是同向变化的；当 c<0 时，它们

是反向变化的。

③如果函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数 f1(x) ＋f2(x) 和它们同向变化； (函

数相加)

④如果正值函数 f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如

果负值函数 f1(2) 与 f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x) 和它们反向变化； (函数相乘)

⑤函数 f(x) 与在 f(x) 的同号区间里反向变化。

⑥若函数 u＝φ(x) ，x[α，β]与函数 y ＝ F(u) ，u∈[φ(α)，φ(β)] 或 u∈[ φ(β),

φ(α)] 同向变化，则在 [ α，β] 上复合函数 y ＝F[ φ (x)] 是递增的；若函数 u＝φ(x),x[ α，β]与函数 y ＝ F(u) ，u∈[φ(α)，φ(β)] 或 u∈[φ(β)，φ(α)] 反向变化，则在 [ α，β] 上复合函数 y＝F[φ(x)] 是递减的。 (同增异减) ⑦若函数 y＝f(x) 是严格单调的，则其反函数 x＝f －1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

16.如何利用导数判断函数的单调性？

值是( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

∴a 的最大值为3)

17.函数f(x) 具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？ ( f(x) 定义域关于原点对称)

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；

个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇 (偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶) 函数的必要条件若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

18.你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T 是一个周期。 )

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：，

同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2 得到。比如，

f(x)=f(2a-x), 或者说f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线x=a 对称。

如：

19.你掌握常用的图象变换了吗？联想点( x,y) ,(-x,y) 联想点( x,y) ,(x,-y) 联想点( x,y) ,(-x,-y) 联想点( x,y) ,(y,x) 联想点( x,y) ,(2a-x,y) 联想点( x,y) ,(2a-x,0)

(这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a) 怎么由y=f(x) 得到，可以直接令y-

b=0,x+a=0, 画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。) 注意如下“翻折”变换：

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点)

的双曲线。

应用：①“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！（注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

20.你在基本运算上常出现错误吗？

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x ，

2、令x=0 或1来求出f（0）或f（1）

3、求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x 1

几类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k ≠ 0） ---------- f（x±y）＝f（x）± f（y）

2.幂函数型的抽象函数

f（x）＝x a ----------- f（xy）＝f（x）f（y）；f（）＝

3.指数函数型的抽象函数

f（x）＝a x -------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝

4.对数函数型的抽象函数

f（x ）＝lo g a x （a>0 且a≠ 1）f（x ·y）＝f（x ）＋f（y）；f（）＝f（x）－f （y）

5.三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx -------------------- f（x＋y）＝

f（x）＝cotx ------------------ f（x＋y）＝

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0 时，f （x）>0 ，f（－1）＝－2求f（x）在区间［－2,1］上的值域.

分析：先证明函数f（x）在R 上是增函数（注意到f（x2）＝f［（x2－x1）＋x1］＝f （x2 －x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0 时，f（x）>2，f（3）＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3 的解.

分析：先证明函数f（x）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x<1 时，f（x）∈ ［0 ，1］.

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在［0，＋∞ ］上的单调性，并给出证明；

（3）若a≥0 且f（a＋1）≤，求a 的取值范围.

分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.

例4 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠ x2，使得f （x1）≠f （x2）；对任何x 和y，f（x＋y）＝f（x）f （y）成立.求：（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.

分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5 是否存在函数f（x），使下列三个条件：① f（x）>0,x∈ N；② f （a＋b）＝f（a）f （b），a、b∈N；③ f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6 设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f （y），

f（3）＝1，求：

（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤ 2，求x 的取值范

围

分析：（1）利用3＝1× 3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a ＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.

分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f （b）＝f（ab）＝f ［g（m）g（n）］?.

例8 已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

① x1、x2 是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；

② f（a）＝－1（a> 0，a 是定义域中的一个数）；

③当0

试问：

（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.

分析：（1）利用f ［－（x1－x2）］＝－f ［（x1－x2）］，判定f（x）是奇函数；

（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是

增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要

进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；

（2）求证：f（x）为偶函数；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤ 0.

分析：函数模型为：f（x）＝log a|x|（a>0）

（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；

（2）令y＝－1；

（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例 10 已知函数 f （x ）对一切实数 x 、y 满足 f （0）≠ 0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当

x < 0 时， f （ x ）> 1，求证：

（1） 当 x >0 时， 0

（2） f （ x ）在 x ∈R 上是减函数 . 分析：（ 1）先令 x ＝y ＝0得 f （0）＝ 1，再令 y ＝－x ；

（ 3） 受指数函数单调性的启发：

由 f （x ＋y ）＝ f （x ）f （y ）可得 f （x － y ）＝， 进而由

x 1 1.

练习题：

1.

已知： f （x ＋y ）＝

f （ x ）＋ f （y ）对任意实数 x 、 y 都成立，则（

）

（A ）f （0）＝ 0 （B ）f （0）＝ 1 （C ）f （0）＝0或 1 （D ）以上都不对

2. 若对任意实数 x 、y 总有 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），则下列各式中错误的是（ ） （A ）f （1）＝ 0 （ B ） f （）＝ f （x ） （C ）f （）＝ f （x ）－ f （y ） （D ）f （x n ）＝nf （x ）（n ∈N ）

3. 已知函数 f （x ）对一切实数 x 、y 满足： f （0）≠ 0，f （x ＋y ）＝ f （x ）f （y ），且当 x <0 时， f （ x ）> 1，则当 x >0 时， f （x ）

的取值范围是（

）

（ A ）（ 1，＋∞） （B ）（－∞， 1） （C ）（0，1）

（D ）（－ 1，＋∞）

4.

函数 f （ x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的

x 1、x 2都有

f （ x 1－x 2）＝，则 f （ x ）为（ ） 参考答案：

1．A

2．B 3．C 4．A 5．B

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ （和三

角形的面积公式很相似，

可以比较记忆 .要知道圆锥展开图面积的求法 ）

B ）偶函数非奇函

数

D ）非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数 f （ x ）对任意实x 、

y ） ]，则函数 f （ x ）是（ ）

（A ）奇函数非偶函数

B ） （

C ）既是奇函数又是偶函数

（ D

）

y 满足 f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝ 2[f （x ）＋f 偶函数非奇函数 非奇非偶函数 A ）奇函数非偶函数

C ）既是奇函数又是偶函

数