列车振动荷载作用下隧道衬砌结构动力响应特性分析
高速列车振动荷载下立体交叉隧道结构动力响应分析
ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｖ ｉ ｂｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｙ ｌ ｏ ａ ｄ
ＬＩ Ｕ Ｑｉ ａ ｎ ｇ 。 Ｓ ＨＩ Ｃｈ ｅ ｎ ｇ － ｈ ｕ ａ ， Ｐ ＥＮＧ Ｌｉ — ａｉ ｒ ｎ ， ＹＡＮＧ Ｗｅ ｉ — ｃ ｈ ａ ｏ ， ＫＡＮＧ Ｌｉ — ｐ ｅ ｎ ｇ
高 速 列 车 振 动荷 载下 立 体 交 叉 隧道 结 构 动 力 响应 分 析
刘 强 ， 施 成华 ， 彭立敏 ， 杨伟超 ， 康立鹏
土木工程学院 ， 湖南 长沙 （ １ ． 中南 大学 ４ １ ０ ０ ７ ５ ； ２ ． 高速铁路建造技术 国家工程实验室 ， 湖南 长沙 ４ １ ０ ０ ７ ５ ）
摘
要： 文章运用有限元方法建立 了高速铁路立体交叉 隧道数值计 算模型 ， 分析 了高速列 车振动荷载 下交叉
隧道结构的动力响应特性 ， 探讨 了围岩级别 、 行车速度 、 列车通 车方式 、 隧道交叉 角度 以及 岩柱高度等 参数对 下穿隧道衬砌结构动力响应变化规律的影响 研究结果表 明 ： 围岩级别 、 行 车速 度及列车通 车方式 对下穿 隧 道动应力响应影响较大 ； 下 穿隧道衬砌结 构的竖向位移 、 竖 向加 速度 、 第一 主应力及第 三主应 力随着围岩级别 提高 、 行 车速度增加 、 行车方式改变而增大 ， 随着岩柱高度增加 而减小 ； 随着交叉 角度增加 ， 衬砌 结构变形 、 加 速度及第三 主应力峰值有所减小 ， 但第一 主应力峰值增加 ， 这对于抗 压强度 大于抗拉强度 的混凝 土结 构是不
地铁隧道结构动力响应的分析与优化
地铁隧道结构动力响应的分析与优化I. 绪论随着城市化进程的加速和人口的不断增长，城市交通不断面临着新的挑战。
地铁作为城市快速交通系统的重要组成部分，越来越受到人们的青睐。
然而，地铁建设涉及到大量的工程技术问题，其中一个重要的问题就是隧道结构的动力响应。
本文针对地铁隧道结构的动力响应进行分析与优化，旨在提高地铁的安全性与运行效率。
II. 地铁隧道结构动力响应的分析1. 地铁隧道结构和动力响应地铁隧道结构是地铁建设的重要组成部分。
地铁隧道结构的动力响应是指地铁列车行驶过隧道时，由于列车的振动作用于隧道结构上，从而引起隧道结构的变形和振动。
这种动力响应会对地铁的运行安全产生影响。
2. 地铁隧道结构动力响应的影响因素地铁隧道结构的动力响应受到多种因素的影响。
其中主要因素包括：列车速度、列车轴重、隧道结构的固有频率、地质条件等。
3. 地铁隧道结构动力响应的计算方法地铁隧道结构的动力响应分析通常采用有限元方法。
该方法基于隧道结构和列车的数学模型，通过数值计算得出隧道结构在列车行驶过程中的变形和振动。
为了获得精确的计算结果，所选定的数学模型应尽量符合实际情况。
III. 地铁隧道结构动力响应的优化1. 地铁隧道结构的减振措施隧道结构的减振措施是指通过采用减振材料或减振装置等方法，降低列车行驶对隧道结构的振动影响。
比较常见的减振措施包括：振动隔离板、减阻隔振板、弹性垫等。
2. 地铁隧道结构的抗震设计地铁隧道结构的抗震设计是指针对地震等自然灾害，对隧道结构进行设计和改进，提高其防震能力。
抗震设计的主要措施包括：控制地震响应震级、减小地震响应周期、增强结构抗震能力等。
3. 地铁隧道结构的优化设计地铁隧道结构的优化设计是指根据动力响应的分析结果，对隧道结构进行改进和优化，提高其整体的安全性和运行效率。
优化设计的关键是尽量减小动力响应，降低结构产生的振动和变形。
IV. 结论地铁隧道结构的动力响应是地铁建设中需要注意的重要问题。
列车振动荷载作用下高速铁路近距地铁平行隧道的动力响应特性分析
第61卷第6期2017年6月铁道标准设计RAILWAY STANDARD DESIGNVol.61 No.6Jun. 2017文章编号：1004 2954(2017)06 0116 04列车振动荷载作用下高速铁路近距地铁平行隧道的动力响应特性分析陈行，晏启祥，黄希(西南交通大学交通燧道工程教育部重点实验室，成都610031)摘要：为研究高铁列车和地铁列车同向以不同速度行驶时的振动对高铁隧道衬砌结构的影响，采用模拟的列车振动荷栽，在铁轨上施加对轮轴的模拟振动荷栽并考虑列车速度来研究同向列车振动荷栽下高铁隧道衬砌的动力响应特性。
结果表明：在同向行驶的列车振动荷栽作用下，对于隧道特定监测点而言，存在一个列车行驶振动响应的影响区，列车行驶至该监测点时，其振动响应最大；高铁隧道中部横断面衬砌振动响应从上到下逐渐增大，拱脚、拱底竖向应力幅值分别为拱腰的1.63、2郾26倍，加速度最大幅值分别为拱腰的1.21、1郾29倍。
关键词：高速铁路；列车振动；隧道；动力响应；地铁中图分类号:U451 +. 3 文献标识码:A D O I：10.13238/j.issn. 1004-2954. 2017.06.024Research on Dynamic Response of High-speed TrainVibration in Parallel Tunnel close to MetroCHEN Hang，YAN Qi-xiang，HUANG Xi(K e y Laboratory of T ransportation T u n n e l E n g in e e rin g，M in is try of E d u c a tio n，Southwest Jiaotong U n iv e rs ity，Chengdu 610031，C h in a)Abstract:In order to study the influences of the vibration generated by trains running on high-speed railway line and metro line at different speed on the lining structure of high speed railway tunnel，simulated vibration of the trains is employed to study the dynamic response characteristics of the high speed railway tunnel lining with simulated vibration load of trains imposed on the wheel axle via the rail in the same direction and at different train speed.The results show that under train vibration load，for a specific monitoring point of the tunnel，there is an influencing zone of train running vibration response，and the vibration response is the highest when a train reaches the monitoring point.The vibration response at the middle cross section of the high-speed rail tunnel increases gradually from up to down and the maximum vertical stress amplitudes of arch footing and invert are 1.63 and 2.26 times that of the haunch respectively，and maximum accelerations are 1.21，1.29 times that of the haunch respectively.Key words：High-speed railway;Train vibration；Tunnel;Dynamic response;Metro随着我国地下空间综合开发利用进程的加快，高 速铁路隧道、城市地铁隧道等地下空间结构呈急速增 长趋势，隧道线路空间交叉、平面交叉及线路平行隧道收稿日期:2016 09 20;修回日期:2016 10 14基金项目：国家科技支撑计划课题（2013BAB10B04);国家自然科学基 金资助项目（51178400,51278425);中国铁路总公司科技计划重点课题 (2014G004-H)作者简介：陈行（1993—），男，四川达州人，硕士研究生，主要从事隧 道工程相关研究工作，E-m ail:cheiihangssd@163. com。
列车振动荷载下地铁空间交叉盾构隧道动力响应特性研究
列车振动荷载下地铁空间交叉盾构隧道动力响应特性研究本文通过室内模型试验和数值模拟等手段,研究了空间交叉盾构隧道在列车振动荷载作用下的动力响应及其传递特性,并分析了接头对结构动力响应的影响;建立考虑氯盐侵蚀作用的盾构隧道承载能力分析体系及评估体系,分析了不同氯盐侵蚀程度下空间交叉盾构隧道的动力响应、内力和承载能力变化,并对隧道结构进行安全评估。
主要获得了以下研究成果:1、在列车振动荷载作用下,上下隧道各监测点的频率谱和能量谱变化规律基本相同,且在相同频率达到幅值。
上隧道底部各监测点在0-100Hz频域内的动力响应传递率函数较为平缓,下隧道各点的传递率函数则呈震荡下降趋势。
传递率函数与所施加的振动荷载的大小和频率无关。
2、空间交叉盾构隧道的接头对结构动力响应有明显影响。
接头减小了上隧道的加速度,增强了下隧道的加速度。
纵向接头加强了动态应力在上隧道拱底和下隧道拱顶的集中,同时减小了动态应力在隧道其他区域的分布,但对动态应变的影响不显著。
环向接头较大程度减小了上隧道的动态应变,但对下隧道应变的影响不大,加强了应力在下隧道拱顶和拱腰的集中,但对上隧道应力影响不大。
3、氯盐作用下,随着锈蚀率的增大,上隧道加速度和应变幅值增大,拱顶和拱腰部位的应力减小;下隧道拱腰和拱底的加速度幅值受锈蚀影响不明显,拱顶则呈增大趋势,随着锈蚀率的增大,下隧道应力下降,应变增大。
结构的动力系数随着锈蚀率的增大总体呈增大趋势,上隧道拱底处的动力系数明显大于其他部位。
4、基于考虑氯盐作用的承载能力极限状态分析方法,氯盐侵蚀作用对管片及接头的承载能力均有显著的降低作用,列车振动荷载增强了上隧道管片部分位置的拉压安全,而锈蚀率越大则列车振动荷载对下隧道管片拉压安全的降低作用越明显,列车振动荷载对管片抗剪安全影响不明显。
高速铁路动荷载作用下隧底结构动力特性的试验研究的开题报告
高速铁路动荷载作用下隧底结构动力特性的试验研究的开题报告【摘要】高速铁路越来越成为人们出行的首选，隧道是高速铁路线路中不可或缺的部分，其结构设计以及动力特性的研究对于高速铁路运输系统的安全和可靠性具有重要的意义。
本文针对高速铁路动荷载作用下隧底结构动力特性进行试验研究的问题，提出了研究思路和方案，并对研究的意义、背景、目的、内容、方法和试验方案进行了详细的阐述。
【关键词】高速铁路；隧道；动力特性；试验研究【引言】随着高速铁路越来越普及，高速铁路的安全和可靠性越来越受到人们的关注。
高速铁路线路中的隧道作为一种重要的结构，其结构设计和动力特性的研究对于高速铁路运输系统的安全和可靠性具有重要的影响。
因此，对于高速铁路动荷载作用下隧底结构动力特性进行试验研究具有重要的理论和实践意义。
【研究背景】高速铁路的铺设不能绕过障碍物，特别是在山区和城市中心地带，这就需要隧道作为线路的一部分。
高速列车经过隧道时，会在地面产生振动和噪音，影响到隧道内和周围地区的居民和建筑物。
因此，对隧道结构的动力特性进行研究，对于降低高速列车在隧道内的振动和噪音，保证铁路交通运输的安全和可靠性至关重要。
【研究目的】本文的研究目的是针对高速铁路动荷载作用下隧底结构动力特性进行试验研究。
通过试验研究，获取高速列车在隧道内的振动和噪音数据，分析隧道结构的动力响应特性，为高速铁路隧道的设计和维护提供理论依据。
【研究内容】本研究将主要涉及以下几个方面的内容：1. 高速铁路隧道结构设计和动力特性的相关理论研究和文献综述。
2. 建立高速铁路动荷载模型，并对模型进行验证和修正。
3. 设计隧道结构动力特性试验方案，包括测点的位置、设备的选型和试验的参数设置等。
4. 进行试验，记录并分析高速列车在隧道内的振动和噪音数据，研究隧道结构的动力响应特性。
5. 根据试验结果，评价隧道结构的动力特性，并提出改进措施和建议。
【研究方法】本文的研究方法主要包括以下几个方面：1. 理论研究和文献综述：通过查阅相关文献，了解高速铁路隧道结构设计和动力特性的相关理论和研究现状。
高速列车振动荷载作用下电缆隧道结构动力响应分析
Ｑ ｕ Ａ ｉ ｇ ， Ｉ Ｔ ｏ ， Ｕ Ｌａ ｇ Ｕ Ｃ ｎ ，Ｇ Ｏ Ｌａ Ｘ Ｎ ａ Ｘ ｉ ｎ ｎ
（ ．Ｓｈ ｏ ｏ Ｃｖ ｎｉｅｒ ｇ Ｂ ｉｎ ａｔ ｇＵ ｉ ｒｔ， ｅ ｉｇ１０４ Ｃ ｉ ； １ ｃｏｌ ｆ ｉｌ ｇ ｅ ｎ ， ｅｉｇＪ ｏ ｎ ｎ ｅｓｙ Ｂ ｉｎ ００４， ｈｎ ｉＥ ｎ ｉ ｊ ｉ ｏ ｖ ｉ ｊ ａ
211290098_列车振动荷载作用下饱和砂层中盾构隧道及周边土体的动力响应分析
价值工程0引言砂土、粉土作为常见的地质土体，由于河流的冲刷、风化作用，广泛分布在河南郑州、开封等区域。
粉细砂土一般呈颗粒桩，不含粘聚力或粘聚力较低。
在动荷载的作用下，粉细砂土极易丧失其原有的承载力并转化为液化状态，即砂土液化。
城市地铁列车在运行过程中，列车荷载往复作用在地铁隧道上，并经过地铁隧道传递至周围土层中，从而对土体产生一种特殊的循环荷载。
这种循环荷载作用在粉细砂土时，极易使隧道周边土体软化，甚至使地铁隧道及地上建筑产生沉降，对周边建筑物造成安全隐患。
针对列车振动荷载引起的隧道结构及土体动力响应问题，国内外已有专家学者采用模拟试验、模型试验及理论分析等方式开展研究。
陆志明[1]采用有限差分软件研究了承压水砂土层的列车振动液化特性，认为拱顶和拱底处土层均为可能发生液化的薄弱位置，且孔压增至峰值后短期不会消散。
徐阳[2]利用ADINA 有限元计算平台建立典型隧道区间断面的有效应力分析模型，认为在长期列车振动荷载作用下，隧道底部土层孔隙水压力逐渐增大。
刘雪珠[3]采用室内试验的方法，研究了饱和南京片状结构细砂在列车振动荷载作用下静偏应力水平、循环应力比对其动力特性的影响。
学术界和工程界对循环列车荷载下土壤中的孔隙水压力变化和土壤变形的发展给予了广泛关注[4-8]。
为揭示饱和砂土区域内地铁列车在小半径曲线段循环荷载作用下土体的动力响应规律，本文以郑州市轨道交通一号线为例，结合数值模拟方法建立不同荷载参数下的数值模型，对列车运行过程中的多种荷载参数下土体的动力响应规律进行分析。
1工程概况1.1小半径曲线地铁隧道概况郑州市轨道交通地铁一号线农业东路—东风南路区间段于2013年12月28日建成通车。
区间线路出农业东路站后，沿金水东路东行，以半径340m 右拐至东风东路西侧。
隧道竖向埋深为9.2m ，最大埋深为15.0m ，主要位于粉土、粉质粘土和粉砂中。
场地内浅层地下水主要为承压水。
承压水主要赋存于15.4m~42.6m 范围内的粉砂及中砂地层。
列车振动荷载作用下高速铁路近距地铁平行隧道的动力响应特性分析
列车振动荷载作用下高速铁路近距地铁平行隧道的动力响应特性分析列车振动荷载作用下高速铁路近距地铁平行隧道的动力响应特性分析陈行,晏启祥,黄希(西南交通大学交通隧道工程教育部重点实验室,成都 610031)摘要：为研究高铁列车和地铁列车同向以不同速度行驶时的振动对高铁隧道衬砌结构的影响,采用模拟的列车振动荷载,在铁轨上施加对轮轴的模拟振动荷载并考虑列车速度来研究同向列车振动荷载下高铁隧道衬砌的动力响应特性。
结果表明：在同向行驶的列车振动荷载作用下,对于隧道特定监测点而言,存在一个列车行驶振动响应的影响区,列车行驶至该监测点时,其振动响应最大；高铁隧道中部横断面衬砌振动响应从上到下逐渐增大,拱脚、拱底竖向应力幅值分别为拱腰的1.63、2.26倍,加速度最大幅值分别为拱腰的1.21、1.29倍。
关键词：高速铁路；列车振动；隧道；动力响应；地铁随着我国地下空间综合开发利用进程的加快,高速铁路隧道、城市地铁隧道等地下空间结构呈急速增长趋势,隧道线路空间交叉、平面交叉及线路平行隧道越来越多,其中高速铁路与城市地铁线路平行隧道也将逐渐出现在立体现代化的交通体系中[1-2]。
目前,关于列车动力荷载作用下空间隧道(如交叉隧道、平行隧道等)的研究层出不穷,但对于列车动力荷载作用下高速铁路与城市地铁线路平行隧道的研究,国内还未见报道。
白冰等[3]对地铁列车振动荷载作用下近距离平行隧道结构的二维弹塑性动力响应进行了研究；于艳丽等[4]基于武汉市轨道交通2号线与4号线相关工程,分析了紧邻多孔交叠隧道在不同净距、不同埋深以及不同列车数量作用下的环境振动及其频谱特性；晏启祥等[5]研究了在特定列车行驶速度和围岩条件下,空间交叉隧道交叉位置上下隧道截面的应力和加速度分布情况以及上下交叉隧道纵向不同位置的加速度时程响应情况；于鹤然等[6]基于六沾线乌蒙山隧道与新梅花山隧道工程,研究了分修、半分修、合修立体交叉结构形式隧道在列车动荷载作用下位移、加速度、内力的响应规律。
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第25卷 第7期岩石力学与工程学报 V ol.25 No.72006年7月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering July ，2006收稿日期：2005–05–23；修回日期：2005–08–22 基金项目：广东省自然科学研究基金资助项目(5300512)作者简介：王祥秋(1968–)，男，博士，1989年毕业于本溪冶金高等专科学校，现任副教授，主要从事岩土与地下结构工程方面的教学与研究工作。
E-mail ：tongji_wxq@列车振动荷载作用下隧道衬砌结构动力响应特性分析王祥秋1，杨林德2，周治国3(1. 佛山科学技术学院 环境与土木建筑工程学院，广东 佛山 528000；2. 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；3. 广州市建筑科学研究院，广东 广州 510440)摘要：论述隧道衬砌结构动力有限元分析的理论与数值计算方法，并以京广线朱亭隧道列车振动荷载现场测试成果为基础，通过对3种不同断面形状的隧道衬砌结构的动力响应特征进行分析研究，可获得隧道衬砌结构竖向位移、竖向加速度及各种内力时程曲线。
研究成果对评价既有提速铁路隧道衬砌结构的动力稳定性和完善铁路隧道结构的设计理论具有一定的指导意义。
关键词：隧道工程；动力有限元分析；衬砌结构；列车振动荷载中图分类号：U 45 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2006)07–1337–06DYNAMIC RESPONSE ANALYSIS OF LINING STRUCTURE FOR TUNNELUNDER VIBRATION LOADS OF TRAINWANG Xiangqiu 1，YANG Linde 2，ZHOU Zhiguo 3(1. School of Environment and Civil Engineering ，Foshan University ，Foshan ，Guangdong 528000，China ；2. Department of Geotechnical Engineering ，Tongji University ，Shanghai 200092，China ；3. Guangzhou Institute of Building Science ，Guangzhou ，Guangdong 510440，China )Abstract ：A theory of dynamic FEM and a numerical method for the lining structure of tunnels are put forward. Based on in-situ measurement results of vibration loads for the train running on the Zhuting tunnel of Beijing —Guangzhou Line ，the dynamic response characteristics for three types of tunnels with different cross-sections are investigated. And then ，the distributing characteristics of the vertical displacements and internal forces are obtained for the lining structures of three types of tunnels. The research results have important denotation not only for the dynamic stability evaluation of tunnel structures for speeded railway but also for the tunnel design and construction of railway. Key words ：tunneling engineering ；dynamic analysis of finite elements ；lining structure of tunnel ；vibration loads of train1 引 言随着我国各主要铁路干线列车运行速度的不断提高，与铁路建设相关的技术问题已逐步展开研究。
隧道工程是铁路工程中不可避免的重要建设项目，列车运行速度的提高势必造成列车振动荷载进一步加大，从而对隧道结构的动力稳定性提出了更高的要求。
因此，如何评价列车提速后原有隧道结构的抗振稳定性，已成为工程师们普遍关注的问题之一。
• 1338 • 岩石力学与工程学报 2006年目前国内少数学者[1～3]对普通列车振动荷载作用下铁路隧道结构的动力稳定性作了初步的研究与探讨，取得了一定的研究成果，但对提速列车振动荷载作用下铁路隧道结构动力响应特征的研究尚少见报道。
本文通过对不同断面形状隧道衬砌结构在提速列车振动荷载作用下的动力响应特性进行研究，研究成果对评价既有提速铁路隧道衬砌结构的动力稳定性和完善铁路隧道结构的设计理论具有一定的指导意义。
2 动力分析原理2.1 隧道围岩弹塑性本构关系隧道围岩介质的力学性态非常复杂，为了便于对不同条件岩土工程进行有限元分析，国内外学者构建了各种各样的本构关系模拟不同岩土介质的力学性态。
弹塑性问题属于材料的非线性问题，应变不仅仅依赖于当前的应力状态，还与加载历史有关，因此其应力–应变关系[4]本质上属于增量关系。
(1) 应力–应变关系一般而言，岩体介质的总应变可表示为p eijijij εεε+= (1)式中：e ij ε，pij ε分别为弹性应变与塑性应变。
当岩体处于弹性变形阶段时，依赖于弹性应变率的应力变化率为ekj ik ij D εσ&&= (2)式中：ik D 为弹性矩阵。
任意应力点进入塑性状态的标量屈服条件为0)()(0p p=−=F F F ijij ijij εσεσ，， (3)式中：0F 为屈服应力，是硬化参数H ′的函数。
对于多维应力状态，塑性流动法则的显式表达式为ijijQF σϕγε∂∂=)(0p & (4)式中：0γ为流动参数；)(pijij Q Q εσ，=为塑性势；)(F ϕ为一个由下列条件控制的标量函数，即⎪⎭⎪⎬⎫=)0( 0)()0 ( 0)(＞＞F F F F ϕϕ (5)采用相关联的流动法则，即F Q ≡，式(4)可改写为 ijij FF σϕγε∂∂=)(0p& (6) 根据式(1)，(2)和(6)可得弹塑性本构关系：ijkj ik ij FF D σϕγσε∂∂+=−)(01&& (7) (2) 屈服准则 工程实践[5，6]表明，Drucker-Prager 屈服准则能较好地描述岩土体的力学性态，故本文采用该准则模拟围岩介质的屈服性态，其屈服函数为ϕϕσσϕϕsin 3cos 63sin 3sin 6m −−+−=c F (8) 其中，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫−====m2m 2231σδσσσσij ij ij ij ij iis s s J (9)式(8)，(9)中：m σ为球应力第一不变量；c ，ϕ 分别为岩体的黏聚力和内摩擦角；2J 为偏应力第二不变量；ij s 为偏应力张量；)(1j i ij ==δ，=ij δ)(0j i ≠。
2.2 数值计算方法研究结果[7，8]表明，列车振动荷载作用下隧道结构的动力响应以中、低频成分占主导地位，宜采用隐式积分法进行分析计算。
Newmark 隐式积分法具有无条件稳定性，故选择其作为动力分析计算方法。
隧道–围岩体系在t t ∆+时刻的动力平衡微分方程可表示为t t t t t t t t ∆+∆+∆+∆+=++F Ku u C uM &&& (10) 式中：M ，C ，K 分别为隧道–围岩体系的总质量矩阵、总阻尼矩阵和总刚度矩阵；t t ∆+u&&，t t ∆+u &，t t ∆+u 分别为体系内各节点处的加速度向量、速度向量和位移向量；t t ∆+F 为列车振动荷载向量。
隧道–围岩体系的总阻尼采用Rayleigh 阻尼[8]，即K M C βα+= (11)其中，⎪⎭⎪⎬⎫==0000/ωζβωζα (12)式中：0ω为系统的基频，可由隧道–围岩体系的模≤第25卷 第7期 王祥秋等. 列车振动荷载作用下隧道衬砌结构动力响应特性分析 • 1339 •态分析确定；0ζ为体系相应振型的阻尼比。
由Newmark 隐式积分算法的基本思想[9]可得⎪⎭⎪⎬⎫∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∆+=∆+−+=∆+∆+∆+∆+221])1[(t t t t t t t t tt t t t t t t u u u u u u u u u&&&&&&&&&&&γγδδ (13) 将式(13)代入式(10)可得=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∆+∆∆+t t t t u K C M γδγ21 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∆+∆+∆+t t t t t t t u u u M F &&&121112γγγ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∆+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∆t t t t tu u u C &&&22112γδγδγ (14) 求解式(14)可得，t t ∆+u 将其代入式(13)可得t t ∆+u&和t t ∆+u &&。
积分常数，5.0=δ ，25.0=γ 积分步长/max T t =∆ 100(max T 为体系的最大周期，由体系的模态分析确定)。
2.3 动力边界条件对地下结构进行动力有限元分析时通常采用黏性边界条件，但因黏性边界只有一阶精度，且仅考虑了对散射波能量的吸收，不能模拟半无限地基的弹性恢复性能，在低频作用下可能发生整体漂移，即存在低频稳定性问题。
同时，考虑到提速列车振动荷载对隧道衬砌结构的影响以中低频成分为主。
因此，采用A. J. Deeks 和M. F. Randolph [10]，刘晶波和昌彦东[11]提出的黏弹性人工边界作为动力有限元分析的边界条件，即在截断边界上同时施加黏性阻尼器和线性弹簧，其力学参数分别为⎪⎭⎪⎬⎫==)2/(b b sbr G K c C ρ (15)由式(15)可以确定人工边界所施加的物理元件参数，从而完全消除散射波在人工边界上的反射。