多元线性回归

多元线性回归

一、基本原理

二、例题

概念：存在多个自变数与依变数的线性回归分析。

写出矩阵形式

一、基本原理

i

m m i e x b x b x b b y +++++= 221101111012212121m m

n n nm

m n y x x b e y x x b e y x x b e ?

?

? + ? ? ?

?

1 11

进一步，形成

Y=Xb+e

用最小二乘法，可以求出估计公式

回归系数向量b 的抽样分布方差协方差矩阵

?′′=b X X X Y

1

()2

2

12

e

e y /m

?MS s σ???′′′==X X X X X X 1

1

1()()()

平方和

121212 y

y /m

y /m y y /m

SS n Q U n SS Q

′′=? ′′′=? ′′′=?=?

Y Y 1Y Y Y b X Y b X Y 1Y 2

2

()/()/

12?mm =

F 测验

回归系数的t 测验

y /m y m U /m F Q [n (m )]

????????=

?+12/12/1j

j j

j b b t s β?

=

[例10.1] 测定13块中籼南京11号高产田的每亩穗数(x 1，万）、每穗粒数(x 2）和每亩稻谷产量(y ，kg ），得结果于表10.1。试建立每亩穗数、每穗粒数对亩产量的二元线性回归方程。

二、例题

表10.1 南京11高产田每亩穗数(x

1)、每穗粒数(x

2

)和亩产量(y)的关系

写出矩阵

126773413135901340598...... = X 504480523 = Y 122

1112222121341048247410413035622592504824725925045261361n x x ..'x x x x ...x x x x ... =

∑∑∑∑∑∑∑∑X X

12666621091344228992y 'x y ..x y

==

∑∑∑X Y 92.46129442 1.427925820.745696701.427925820.025880470.009629790.745696700.009629790.00696252???

′=?

?

X X 1

(

)

?′′=b X X X Y

1

()92.46129442 1.427925820.7456967066661.427925820.025880470.00962979210913.40.745696700.009629790.00696252422899.2?? ? ? =? ? ? ? ?

176.2401712.416414.68222? =

得到回归方程

12

?176.2401712.41641 4.68222y x x =?++12

?176.2412.42 4.682y x x =?++

假设测验

11162668

Q Y 'Y b'X 'Y .=?=2668

1116307774715958.0409122.U SS Q ..n /)Y '(Y 'Y SS n /)Y '(Y X 'b U y y =?==?==?=’345194Y 'Y

=

测验

表10.2 表10.1资料多元回归的方差分析

变异来源DF SS MS F Pr>F 二元回归25958.042979.0226.69**<0.0001离回归101116.27111.63

总变异127074.31

偏回归平方和

010********

2122

1112132222122232313233 b b b b b b b b b b y x y b b b b b ???c c c ???s c c c s c c c ???σσσσσσσσσ? ′==

V b X X 1//12()()2(1)(1)

j j

P j j b

U c ++=

表10.3 表10.1资料偏回归的F测验

变异来源DF SS MS F P>F 的回归15956.905956.9053.36**<0.0001因x

1

因x

的回归13148.743148.7428.21**0.0003 2

离回归101116.27111.63

谢谢！