东北大学考研金属塑性成型力学课后答案

1-6 已知物体内某点的应力分量为x σ=y σ=20MPa ，xy τ=10MPa ，其余应力分量为零，试求主应力大小和方

向

。

解：z y x I σσσ++=1=40MPa

2

222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-300 MPa 2

2232xy

z zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 1σ=30MPa

2σ=10 MPa 3σ=0

1-7已知变形时一点应力状态如图1-34所示，单位为MPa ，是回答下列问题？ （1）注明主应力； （2）分解该张量； （3）给出主变形图；

（4）求出最大剪应力，给出其作用面。 解：（1）注明主应力如下图所示： （2）分解该张量； （3）给出主变形图 （4）最大剪应力12

7

52

3

113±=+-±

=-±=σστ MPa 其作用面为

1-8已知物体内两点的应力张量为a 点1σ=40 MPa ，2σ=20 MPa ，3σ=0；b 点：y x σσ==30 MPa ，xy τ=10 MPa ，其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。 解：a 点MPa I 603211=++=σσσ

)(1332212σσσσσσ++-=I =-800 MPa 3213σσσ=I =0

z y x I σσσ++=1=60 MPa

2

222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-800 MPa 2

2232xy

z zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 其特征方程一样，则它们的应力状态相同。

1-10 某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断面积F=100mm 2，载荷为P=6000N ；

（1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球分量； （2）画出应力状态分解图，写出应力张量； （3）画出变形状态图。 解：（1）6

6000

6010010MPa σ-=

=?

则160a MP σ=，02=σ；30σ=；

应力分量为

偏差应力分量为40000-20000-20?? ? ? ?

??

球应力分量为200002000020?? ?

? ???

（2）应力状态分解图为

（3）画出变形状态图1-15已知应力状态的6个分量

y yz zx z 7,4，=0，=4a ，=-8a ，=-15a x xy MPa MPa MP MP MP στσττσ=-=-。画出应力状态图，

写出应力张量。

解：

应力张量为7-4-8-40

4-8415??- ?

? ?-??

1-16已知某点应力状态为纯剪应力状态，且纯剪应力为-10MPa ，求：

（1）特征方程； （2）主应力；

（3）写出主状态下应力张量； （4）写出主状态下不变量；

（5）求最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，并在主应力状态中绘出其作用面。 解：（1）

z y x I σσσ++=1=0+0+0=0

2

222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==100 2

2232xy

z zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 特征方程为31000σσ-=

600020004000000＝0200＋0-20000-60002000-20?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

（2）其主应力为1=σ10MPa ；2=σ0 MPa ；3=σ-10 MPa

（3）主状态下应力张量为100000

000-10?? ?

? ???

（4）主状态下不变量1123I σσσ=

++=0

)(1332212σσσσσσ++-=I =-（-100）=100 3213σσσ=I =0

（5）最大剪应力为13

13-10-（-10）

===102

2

σστ±

±

±MPa ；

八面体正应力812311

=()(10010)033

σσσσ++=+-=

八面体剪应力

81110=

333

τ最大剪应力在主应力状态中绘出其作用面为：

1-17已知应力状态如图1-35所示：

（1）计算最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，绘出其作用面； （2）绘出主偏差应力状态图，并说明若变形，会发生何种形式的变形。 解：（1）最大剪应力13

13--6-（-10）

===22

2

σστ±±

±MPa

八面体正应力 八面体剪应力

（2）主偏差应力状态图如下所示：

变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。

(1) 最大剪应力13

13-0-（-10）

===52

2

σστ±

±

±

八面体正应力 八面体剪应力

变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。

(1) 最大剪应力13

13-8-3

=== 2.52

2

σστ±

±

± 八面体正应力 八面体剪应力

变形时是体积变形，一个方向拉伸，另外两个个方向缩短。

1-14，轧板时某道轧制前后的轧件厚度分别为H=10mm ，h=8mm ，轧辊圆周速度v=2000mm/s ，轧辊半径R=200.试求该轧制时的平均应变速率。 解：轧制时的平均应变速率为：

1-13轧制宽板时，厚向总的对数变形为InH/h=0.357，总的压下率为30%，共轧两道次，第一道次的对数变形为0.223；第二道次的压下率为0.2，试求第二道次的对数变形和第一道次的压下率。

解：第二道次的对数变形为 第一道次的压下率为

1-12已知压缩前后工件厚度分别为H=10mm 和h=8mm ，压下速度为900mm/s ，试求压缩时的平均应变速率。

解：压缩的平均应变速率

1-11试证明对数变形为可比变形，工程相对变形为不可比变形。 证明：设某物体由l 0延长一倍后尺寸变为2l 0.其工程变形为 如果该物体受压缩而缩短一半，尺寸变为0.5l 0，则工程变形为 物体拉长一倍与缩短一半时，物体的变形程度应该一样。而用工程变形表示拉压程度则数值相差悬殊。因此工程变形失去可以比较的性质。 用对数变形表示拉压两种不同性质的变形程度，不失去可以比较的性质。拉长一倍的对数变形为

缩短一半的对数变形为

所以对数变形满足变形的可比性。

2-4．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为σx =75，σy =15，σz =0，τxy =15（应力单位为MPa ），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则： 得该材料的屈服应力为：

2-5．试判断下列应力状态弹性还是塑性状态？

-40

00

-5000-5s s s σσσσ?? ?= ? ???； 0.2000

0.8000

0.8s

s

s σσσσ??

-

?=- ?

?

-??

； c)0.5000000 1.5s ij

s s σσσσ??- ?=- ? ?

-?

? 解：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-4σs -（-5σs ）=σs 。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则()()()s 2312232212

1

σσσσσσσσ

=-+-+-=。应力处于塑性状态。

b )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-0.2σs +0.8σs =0.6σs

，应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则

s

0.6σσ==

c )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-0.5σs -（-1.5σs ） =σs ，应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则 应力处于弹性状态

2-15 已知应力状态σ1=-50MPa ，σ2=-80 MPa ，σ3=-120 MPa ，σs

MPa ，判断产生何变形，绘出变形状态图，并写出密赛斯屈服准则简化形式。

解：：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-50-（-120）

MPa 。应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则

σ=

=MPa 。应力处于弹性状态。

偏差应力分量为100003100

03

11000-3??

? ?

?

? ?

? ???

变形状态图如下：

密赛斯屈服准则简化形式如下：

2-14绘出密赛斯屈服准则简化形式，指出参数的变化范围和k 与屈服应力的关系。 答：密赛斯屈服准则简化形式“ 参数d μ变化范围为d -1

1μ≤

≤，21β

≤≤

k 与屈服应力关系为k=

2-13 已知三向压应力状态下产生了轴对称的变形状态，且第一主应力为-50 MPa ，如果材料的屈服极限为200 MPa ，试求第二和第三主应力。 解： 轴对称的变形状态， 或

2-12已知两向压应力的平面应力状态下产生了平面变形，如果材料的屈服极限为200 MPa ，试求第二和第三主应力。 解：平面应力，则 平面变形，则

按屈雷斯卡塑性条件： 则 则

按密赛斯塑性条件：

2-11写出主应力表示的塑性条件表达式。 答：主应力表示的塑性条件表达式为： 屈雷斯卡屈服准则： 密赛斯屈服准则：

2-10写出平面应变状态下应变与位移关系的几何方程。 答：平面应变状态下应变与位移关系的几何方程： 2-9推导薄壁管扭转时等效应力和等效应变的表达式。

10

σ=13s -=200a

MP σσσ=s

=200a MP σ12==-50a

MP σσ

解：薄壁扭转时的应力为：0xy τ≠，其余为

主应力状态为： 屈服时： 等效应力为： 等效应变为：

2-8试写出屈雷斯卡塑性条件和密赛斯条件的内容，并说明各自的适用范围。

答：屈雷斯卡塑性条件内容：假定对同一金属在同样的变形条件下，无论是简单应力状态还是复杂应力状态，只要最大剪应力达到极限值就发生屈服，即13

max -=

2

C σστ=

适用范围：当主应力不知时，屈雷斯卡准则不便适用。

密赛斯条件的内容：在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2不变量达到一定值时，该点就进入塑性状态。 屈服函数为 适用范围:密赛斯认为他的准则是近似的，不必求出主应力，显得非常简便。

2-7已知下列三种应力状态的三个主应力为：（1) σ1=2σ，σ2=σ, σ3=0；（2）σ1=0，σ2=-σ, σ3=-σ；（3）σ1=σ，σ2=σ, σ3=0，分别求其塑性应变增量p

1d ε、p

2d ε、p

3d ε 与等效应变增量p

d ε的关系表达式。 解： （1）11m =d （-）=d （2-）=d p

d ελσσλσσλσ

（2）

（3）11m 21

=d （-）=d （-）=d 33

p

d ελ

σσλσσλσ 3-1镦粗圆柱体， 并假定接触面全黏着，试用工程法推导接触面单位压力分布方程。 答：接触面全黏着，f k τ=-及屈服公式r z d d σσ=代入微分平衡方程式

20r f d dr h στ+=，得2-0r d k

dr h

σ= 边界条件,za s r R σσ=

=-

则接触面表面压力曲线分布方程为2)z

s R r σσσ=--

-

则接触面单位压力分布方程为σπσπ=

=+

?

22

1

.2(1)9d

z s d

p rdr h

R 3-2平面变形无外端压缩矩形件，并假定接触面全滑动（即f pf τ=），试用近似力平衡方程式和近似塑性条件推导确定平均单位压力p 的公式。

()222

2

C

x y y z z x xy yz zx I σσσσσστττ'

''''''=-+++++=

答：将f pf τ=代入力平衡微分方程式

20x f d dx h

στ

+=得20y x f d dx h σσ+

= 再将屈服准则式x

y d d σσ=代入上式

y 20y

d f dx h

σσ+= 积分上式2f

x

h y

Ce

σ-=，由边界条件a 点0，0xa

xya στ==，由剪应力互等，0yxa τ=，则由

2

22x y （-）44xy k σστ+=，边界处ya K σ=-

常摩擦系数区接触表面压应力分布曲线方程为2()2

-f l

x h y Ke

σ-=

平均单位压力为20

2

l y p dx l σ=

?

整个接触面均为常摩擦系数区条件下

1x p e K x -=，fl x h

= 3-3在φ750×1000mm 的二辊轧机上冷轧宽为590mm 的铝板坯，轧后宽度为610mm ，该铝板退火时板坯厚为H=3.5mm ，压下量分配为3.5mm →2.5mm →1.7mm →1.1mm ，已知该铝的近似硬化曲线 6.88.2s σε=+，摩擦系数f=0.3，试用斯通公式计算第三道次轧制力P 。 解：解：按斯通公式

轧件在变形区的平均变形程度 则该合金的平均变形抗力 铝板坯平均变形宽带为 则第三道次轧制力

3-4在500轧机上冷轧钢带，H=1mm ，h=0.6mm ，B=500mm ，f=0.08，

200b MPa σ=,300f MPa σ=，600s MPa σ=，试计算轧制力。

解：按斯通公式

轧件在变形区的平均变形程度 则该合金的平均变形抗力 铜带平均变形宽带为 则轧制力

3-5试推导光滑拉拔时，拉拔应力的表达式。

答：光滑拉拔时，无摩擦力f ，先将分离体上所有作用力在x 轴向的投影值求出，然后按照静力平衡条件，找出各应力分量间的关系。 作用在分离体两个底面上作用力的合力为

作用在分离体锥面上的法向正压力在轴方向的投影为 作用在分离体锥面上的剪力在轴方向的投影为0； 根据静力平衡条件 整理后得

将塑性条件近似屈服准则代入上式

11

()(10.6)0.822

h H h mm =

+=?+==+=?+=11()(1.7 1.1) 1.422

h H h mm

积分上式，得

当 代入上式 则 当 代入上式得 因为

3-7-轧板时假定接触面全滑动，试建立卡尔曼方程，并指出解此方程的这个主要途径。 答：轧板时假定接触面全滑动 卡尔曼做了如下假设：

1）把轧制过程看成平面变形状态； 2） 沿轧件高向、宽向均匀分布； 3）接触表面摩擦系数f 为常数.

将作用在此单元体上的力向x 轴投影，并取得力平衡 展开上式，并略去高阶无穷小，得 式中+号为前滑区，-号为后滑区 此方程为卡尔曼方程原形。 解此方程的主要途径

将单元体的上、下界面假设为斜平面， 另外将屈服准则的近似式 代入到方程中来。

分别对前滑区和后滑区的边界条件代入到前滑区和后滑区的方程中，求出常数项C 来。 3-8 试任举一例子说明工程法的基本出发点和假定条件以及用此法求解变形力的主要步骤。

答：举例如下：

圆柱体周围作用有均布压应力，如图所示。用主应力求镦出力P 和单位流动压力。设τ=mk 。

工程法的基本出发点：简化为平面

圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力σr 、σφ和σz 视为主应力，且与对称轴z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：

令sin(d φ/2)≈d φ/2，并忽略二次微分项，则得 由于轴对称条件，σr =σφ。此时平衡方程简化为

dr h

2d σz

r τσ-

= 3-1 根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为 或

代入式（3-1），得 因此 或

r h

mk

21z e

C -

=σ 3-2

边界条件：当R r =时，σr =σ0。由近似屈服条件知，此时的K 2Z =σ+σ0，代入方程式（3-2），

可得

σσ==b ,x b D D σσσσσσ=-++=+222b x s b s b b s D

InD InD In D σσ===a ，,a x xa x x D D x σx x p K σ-=

或

代入式（3-2），得

()h

)r R (mk

20z e

K 2-+=σσ 3-3

所需变形力P 为：

压板上的平均单位压力用p 表示，则

4-1 如图所示，已知滑移线场和屈服剪应力k 的方向，试判断一下哪个是a 线，哪个是β

线。

解：a 线是使单元体具有顺时针旋转的趋向，则图中a 线和β线如下图所示。

4-2如图所示，已知a 线上的a 点静水压力200MPa ，经a 的切线与x 轴的夹角15度，由a 点变化到b 点时，其夹角的变化为15度，设k=50MPa,求：1）b 点的静水压力是多少？2）写出

b 点的应力张量。

解：通过汉基应力方程，a-b （沿α线），

b 点的应力张量

则b 点的应力张量为

4-3如图所示，已知滑移线场，试判断一下αβ的方向。 解：αβ的方向如图所示 4-4,如图所示，已知滑移线场的主应力的方向，试判断一下哪个是α族？哪个是β族 解：a 族和β族如图所示 4-5 试推导沿β线汉基应力方程式22k p C φ-=

答：滑移线的微分方程为 对β线

代入平面应变问题的微分平衡方程

取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a 和β轴。这样，滑移线场中任何一点的位置，可用坐标值a 和β表示。当沿着a 坐标轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β从一点移动到另一点时，坐标轴a 也不变。 4-6试叙述并证明汉基第一定理。 汉基第一定理：同族的两条滑移线与另一族滑移线相交，其相交处两切线间的夹角是常数。 证明：在同一族（例如a 族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另一族（例如β族）的任一条滑移线

（例如β1和β2线）的两个交点上，其切线夹角△Ф与静水压力的变化△p 均保持常数，如下图所示: A-B(沿a 线) B-C(沿β线) A-D(沿β线) D-C(沿a 线)

4-7试滑移线理论证明接触面光滑情况下压缩半无限体问题的单位压力公式。 证明：按Henchy 应力方程，沿 b 线DFGC 有

pc 是接触面C 处的静水压力，而我们要求的是sy ，由 单位压力 总压力 平均单位压力

4-8用光滑平锤头压缩顶部被削平的对称楔体，楔体夹角为 ，试求其平均单压力 ，并解出 为多少。 解：如上图所示 沿 β线

30902k o o p

δ=、时的

p

2δ22A A D D

p k p k φφ-=-217.1

25025130.5000

-173.8σ-?? ?=- ?

??

?

ij

其中 当

4-10 假定某一工件的压缩过程是平面塑性变形，其滑移线场如图所示，其中 α族为直线，β线是一族同心圆弧，C p =90MPa ，k=60MPa,试求C 点和D 点的应力状态。 解：通过汉基应力方程，C-B （沿α线）， 由于 α族滑移线为直线 所以c B Φ-Φ=0 ∴B C p p -=0 ∴90B C p p MPa =

=

B----D （沿β线)

φπ=

34B ，φπ=1112

D ∴D p －B p =－k 2B D (-)φφ

∴D p ＝B p －k 2B D (-)φφ=90－2×60×-30

(

)180

π D p ＝152.8MPa

c 点φπ=

34

C 则c 点的应力状态为 对于

D 点φπ=

1112

D 34

A φπδ

=-