2019-2020学年高中数学椭圆的几何性质(二)导学案新人教版选修1-1.doc

合集下载

2019-2020年高中数学 2.1.2 第2课时椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1

2019-2020年高中数学 2.1.2 第2课时椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系点与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1.直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y得一个一元二次方程．位置关系解的个数 Δ的取值相交两解 Δ＞0 相切一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 4＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ② 将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0 ③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝－5或m＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0， (*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 36＋y 9＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12. 这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P1P2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2 y1＋y22－4y1y2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上，∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2，故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ② 又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称．已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ，则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)，则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 2302＝2x 0y 01 500，当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页)运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(xx·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1. 2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y Mx M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k 2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2. 2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB|＝1＋k2AB·x1＋x22－4x1x2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜2B ．a ＜－2或a ＞2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0. ∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．3x －2y －4＝0C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D 4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m2＋n2＜4，即m2＋n24＜1.∴m29＋n24＜1，∴点(m，n)在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a＞c＞0)，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是()A．2(a－c) B．2(a＋c)C．4a D．以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当小球沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；当是其他情况时，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.【答案】D二、填空题6．(xx·济宁高二检测)已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与直线方程联立消去x得(a2＋3b2)y2＋83b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0及c＝2得a2＝7，∴2a＝27.【答案】277．(xx·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m ＝2－1.【答案】2－1或228．(xx·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)， ∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围．【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22 ＝2·4b 2－4a ＋b b －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b ＝1.① 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(xx·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2.证明：1k 1－3k 2＝2. 【解】因为椭圆过点(1，22)，e ＝22，所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1，因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2，所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2.(教师用书独具)(xx·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2. 所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝21＋k 24＋6k 21＋2k 2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(xx·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b 2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a 3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. .。

高二数学（人教A版）选修1-1导学案：2.1.2椭圆的几何性质

§《椭圆的几何性质》导学案学习目标1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义，以及e c b a ,,,的相互关系 3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法重点难点重点：椭圆的几何性质难点：椭圆的几何性质学习方法类比，数形结合情感态度与价值观通过坐标系把数与形有机联系起来，通过研究椭圆等圆锥曲线的方程得到圆锥曲线的几何性质，形成研究曲线的一般方法学习过程一、自学探究（预习教材12516x y +=1925x y +=221625400x y +=40P 22981x y +=()22550mx y m m +=>105e =m (8,0)-(0,6)3(3,0)8458531F 2F 1F l A B 2ABF ∆2＝1的离心率为错误!，则m ＝________4已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率五、课堂小结1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b2利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法时，注意方程思想的运用本节课我最大的收获是我存在的疑惑有：《椭圆的简单几何性质》节节过关达标检测班级：------------ 组名：------------ 学生姓名：------------ 1已知点3,2在椭圆错误!＋错误!＝1上，则A点－3，－2不在椭圆上B点3，－2不在椭圆上C点－3,2在椭圆上D无法判断点－3，－2、3，－2、－3,2是否在椭圆上2椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是0,13，另一个顶点是－10,0，则焦点坐标为A±13,0 B0，±10C0，±13 D0，±错误!2＋42＝1的离心率为＋错误!＝1 a>b>0的左焦点F1作轴的垂线交椭圆于点2＝1的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是＋错误!＝1和错误!＋错误!＝ >0，a >0，b >0具有A 相同的顶点B 相同的离心率C 相同的焦点D 相同的长轴和短轴7点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线425:=x l 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹椭圆第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比，等于常数)10(<<e e 的点的轨迹是椭圆。

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计

2.1.2椭圆的简单几何性质（第2课时）一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、逻辑推理、数学建模、等价转化的素养 2.学习目标（1）会判断直线与椭圆的位置关系.（2）能够解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题，初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用.（3）理解解析法解决问题的基本思想，掌握用方程研究曲线问题的基本方法. 3.学习重点直线与椭圆的位置关系, 初步理解方程思想和“设而不解”思想在解题过程中的应用. 4.学习难点解决直线与椭圆相交产生的相关弦长、定值、取值范围等问题. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务任务140P 例4，思考椭圆在生活中还有那些应用?思考直线与椭圆有那些位置关系?任务2回忆椭圆的有那些几何性质? 2.预习自测1. 两个正数,a b 的等差中项是52，，则椭圆22221(0)x ya b a b+=>> 的离心率e 等于( )A.B.C.答案：C解析：椭圆的几何性质2. 已知椭圆2211625x y += 的焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一点，若连接12,,F F P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A. 165B ．3 C. 163D. 253答案：A解析：()()120,3,0,3,34F F -<，∴12219090F F P F F P ∠=︒∠=︒或. 设 (),3P x ，代入椭圆方程得165x =±.即点P 到y 轴的距离是165.（二）课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式为ac b 42-=∆；求根公式为aacb b x 242-±-=．（2）一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，则a b x x -=+21，acx x =21．（3）平面内两点()()1122,,A x y B x y 之间的距离公式为()()221221y y x x AB -+-=2.问题探究问题探究一椭圆几何性质在生活中的应用例1.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A 距地面()m km ，远地点B 距离地面()n km ，地球半径为()k km ，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．B.C ． m n ⋅D ．2mn【知识点：椭圆的几何性质】详解：由题意可得,a c m k a c n k -=++=+()()()()a c a c m k n k ∴-+=++．即()()222a c b m k n k -==++，b ∴=，故选A.★▲问题探究二直线与椭圆的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程得22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩根据方程解得情况，便可确定直线与椭圆的位置关系．通常消去方程组的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，一般地：0∆>⇔直线与椭圆相交⇔直线与椭圆有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔直线与椭圆有且只有一个公共点 0∆<⇔直线与椭圆相离⇔直线与椭圆无公共点2.弦长问题设直线方程为y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b +=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则12PP =12x =-=同理可得)12120PP y k =-=≠例2 (1) 当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交、相切、相离?(2)若=1m ，求直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交的弦AB 的长.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，弦长公式；数学思想：分类的思想】详解：(1)由 2244y x mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 化简得2258440x mx m ++-=()()()222=84544165m m m ∆-⨯-=-()201650,m m ∆>-><当时，则即直线与椭圆相交 ()2=0165=0,=m m ∆-当时，则即直线与椭圆相切()201650,m m ∆<-<<当时，则即直线与椭圆相交(2) 当m =1，则0∆>，直线与椭圆相交，则22144y x x y =+⎧⎨+=⎩得2580x x += 设()()1122,,,A x y B x y ,则：12128,05x x x x +=-=，5AB ∴== 例3. 过点()0,1的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线x y 21=过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，对称问题，直线的方程】详解1：由22==a c e ，得22==a c e ，从而222,a b c b ==. 设椭圆C 的方程为22222b y x =+，()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上．则222222112222,22x y b x y b +=+=，两式相减得，()()0222212221=-+-y y x x，即()212121212y y x x x xy y++-=--.设线段AB 的中点为()00,y x ，则02y x k AB-=.又()00,y x 在直线x y 21=上，所以0021x y =，于是120-=-y x ，故1-=AB k ，所以直线l 的方程为1+-=x y .设右焦点()0,b 关于直线l 的对称点为()y x '',，则⎪⎩⎪⎨⎧++'-='=-''1221b x y b x y ，解得⎩⎨⎧-='='b y x 11.由点()b -1,1在椭圆上，得()222121b b =-+，则1692=b ，故892=a . 所以所求椭圆C 的方程为19169822=+y x ，直线l 的方程为1+-=x y . 详解2：由22==a c e ，得21222=-ab a ，从而222b a =，bc =.设椭圆C 的方程为22222b y x =+，直线l 的方程为()1-=x k y ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，得()02242122222=-+-+b k x k x k ，则2221214k k x x +=+，故()()()2212121212211kkk x x k x k x k y y +-=-+=-+-=+. 又直线x y 21=过线段AB 的中点⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ，则2222122121k k kk +⨯=+-，解得0=k 或1-=k . 若0=k ，则直线l 的方程为0=y ，焦点()0,c F 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不可能在椭圆C 上，所以0=k 舍去，从而1-=k ，故直线l 的方程为()1--=x y ，即1+-=x y ，以下同方法1. 点拔：由题设情境中点在直线x y 21=上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线x y 21=上而求得直线l 的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解．例4 设直线()1l y k x =+：与椭圆()03222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(1)证明：222313kk a +>； (2)若2AC CB =，求OAB 的面积的最大值．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，三角形的面积，基本不等式】【分析】 (1)联立方程、消元、利用0>∆易证． (2)结合条件分析出2121y y OC S OAB -=∆易求．详解：(1)证明：依题意，当0=k 时，由0>a 知，02>a ，显然成立．当0≠k 时，()1+=x k y 可化为11-=y kx . 将11-=y k x 代入2223a y x =+，消去x ，得01231222=-+-⎪⎭⎫⎝⎛+a y k y k .①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得()013142222>-⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆a k k ，化简整理得222313k k a +>.原命题得证(2)设()()1122,,,A x y B x y ，由题意知()0,1-C ．由①得221312kky y +=+，② 因为()()11221,,1,AC x y CB x y =---=+ 由2AC CB =，得212y y -=.③ 由②③联立，解得22312k ky +-=，△OAB的面积12223132213OAB k S OCy y y k Δ=-===+上式取等号的条件是132=k ，所以OAB S ∆的最大值为23例5. 已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,且椭圆E 上一点到两个焦点距离之和为124l l ,,是过点P (0,2)且互相垂直的两条直线1l ,交E 于A,B 两点2l ,交E 于C,D 两点,AB ,CD 的中点分别为M ,N . (1)求椭圆E 的方程; (2)求1l 的斜率k 的取值范围; (3)求OM ON ⋅的取值范围.【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，平面向量的数量积，直线的斜率】解：(1)设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>> 由 2221224c a a a b c ⎧=,⎪⎪=,⎨⎪=+,⎪⎩得2a b =,⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143y x +=. (2)由题意知,直线1l 的斜率存在且不为零. ∵1l :y =kx +2,∴2l :12y x k=-+.由 221432y x y kx ⎧+=,⎪⎨⎪=+,⎩ 消去y 并化简整理, 得22(34)1640k x kx +++=. 根据题意22(16)16(34)0k k ,∆=-+>,解得214k >.同理得2211()44k k ->,<, ∴21114(2)(2)422k k <<,∈-,-⋃,.(3)设112200()()()A x y B x y M x y ,,,,,,那么1221634k x x k+=-,+∴12028234x xk x k +==-,+0026234y kx k =+=,+∴2286()3434k M k k-,,++同理得2218()6()1134()34()k N k k --,,+-+- 即2286()4433k N k k,++. ∴OM ON ⋅2222228866284413434332512()k k k k k k k k=-⋅+⋅=-++++++. ∵2144k <<,∴2217124k k≤+<.∴22287471192512()k k-≤-<-,++ 即OM ON ⋅的取值范围是74[)719-,-.3.课堂总结【知识梳理】（1）直线:l y kx b =+，与圆锥曲线C ：(,)0F x y =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点.则12AB x =-=或12AB y =-=（2）椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为22b a（3）已知弦的中点，研究的斜率和方程AB 是椭圆的一条弦，00(,)M x y 是AB 的中点，则2020AB b x k a y =-，22AB OM b k k a ⋅=-点差法求弦的斜率步骤是：（1）将端点坐标代入方程：2222112222221,1;x y x y a b a b +=+=（2）两等式对应相减：2222121222220;x x y y a a b b-+-=（3）分解因式整理：22012122212120.AB b x y y b x x k x x a y y a y -(+)==-=--(+) 【重难点突破】1.涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．2.注意数形结合思想的运用要注意数形结合思想的运用.在做题时候，最好先画出草图，注意观察、分析图象的特征，将形与数结合起来. 3.中点弦问题若问题涉及弦的中点及直线斜率问题，可考虑“点差法”，即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差，同时常与根与系数的关系综合应用. 4.随堂检测1.直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案： A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.直线2y kx =-与椭圆22480x y +=相交于不同的两点P 、Q ，若PQ 的中点的横坐标为2，则弦长|PQ |等于 ____________.答案：解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，弦长】由于222+4y 80y kx x =-⎧⎨=⎩，消去y 整得()221416640k x kx +--=. ()()1122,,,P x y Q x y 设，122162214kx x k+==⨯+则，得12k =，从而12122644,3214x x x x k -+===-+，因此PQ =（三）课后作业基础型自主突破1. 直线y =与椭圆22221(0)x ya b a b +=>> 的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于（）A.B.C.D.12解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】答案：B2. 直线2y kx =+与椭圆22236x y +=有两个交点时，k 的取值范围是 ( )A. k k <>B. k <<C. k k ≤≥D. k ≤≤答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】 3. 过椭圆2224x y +=的左焦点F 作倾斜角3π为的弦AB ，则弦AB 的长为（） A. 67 B. 167C. 716D.12答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4．若过椭圆141622=+y x 内一点()1,2的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．答案：042=-+y x解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设直线方程为()21-=-x k y ，与双曲线方程联立得()()0121616816412222=--++-++k k x k k x k ，设交点()11,y x A ，()22,y x B ，则4418162221=+-=+kk k x x ，解得21-=k ，所以直线方程为042=-+y x .5. 设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率23=e .已知点⎪⎭⎫⎝⎛23,0P 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x ，()y x M ,为椭圆上的点，由23=a c 得b a 2=.()b y b b y y x PM ≤≤-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=342132322222，若21<b ，则当b y -=时，2PM 最大，即7232=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b ，则21237>-=b ，故舍去．若21≥b 时，则当21-=y 时，2PM 最大，即7342=+b ，解得12=b .∴所求方程为1422=+y x . 能力型师生共研6.已知直线l 与椭圆2222x y +=交于1P 、2P 两点,线段12PP 的中点为P ,设直线l 的斜率为11(0)k k ≠,直线OP 的斜率为2k ,则12k k 的值等于（）A.B.C.D.12-答案：D解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设111222()()P x y P x y ,,,,则1212()22x x y y P ++,,2k =2212212111222122121y y y y y y k k k x x x x x x +--,=,=+--. 由 221122222222x y x y ⎧+=,⎨+=,⎩ 相减得222221211()2y y x x -=--. 故1212k k =-.7. 已知椭圆22143yx+=,若在此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是( )A.(B.(C.(D.(答案：B解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设1122()()A x yB x y AB,,,,的中点为M(x,y),由题意知211212211224ABy yk x x x y y yx x-==-,+=,+=,-213x+21412y=①22223412x y+=②①②两式相减得223(x-222121)4()0x y y+-=,即12123()y y x x+=+,即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部,则229143m m+<,即m<<. 8.若直线4=+nymx和圆4:22=+yxO没有公共点，则过点()nm,的直线与椭圆14522=+yx的交点个数为_______.答案：2解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】由2422>+-+nm，得422<+nm.而120120445222222<-<-+=+mmnmnm，即点()nm,在椭圆内，所以过点()nm,的直线与椭圆相交，即有2个交点.探究型多维突破9.已知焦点为12(20)(20)F F-,,,的椭圆与直线l:x+y-9=0有公共点,则椭圆长轴长的最小值是( )A.170B.170C.70D.852答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系】方法一:依题意,设椭圆方程为22221(yx a ba b+=>>0),且c=2,则224b a=-.将椭圆方程与直线方程联立,得22221490yxa ax y⎧+=,⎪-⎨⎪+-=,⎩消去参数y,整理得：22224(24)18850a x a x a a--+-=. 因为直线l与椭圆有公共点,所以0∆≥,即22224(18)4(24)(85)0a a a a---≥,整理得422933400a a-+≥. 解得2852a≥,或24(a≤舍去),∴2170a≥,即椭圆长轴长的最小值为170.方法二:如图,可设P为椭圆与直线l的公共点,则|1PF|+|2PF|=2a所以问题转化为当P在l上运动时,求|1PF|+|2PF|的最小值.作2F关于l的对称点2F′00()x y,,则000(1)1229022y x x y ⎧-=-,⎪-⎪⎨+⎪+-=,⎪⎩ 解得 0097x y =,⎧⎨=,⎩ 即2F ′(9,7). 所以|1PF |+|2PF |=|1PF |+|2PF ′|≥|12F F′|==10. 已知椭圆22221(y x a b a b+=>>0)的一个焦点在直线l :x =1上,其离心率12e =.设P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,点1(0)4R ,.(1)求椭圆的方程;(2)试证:对于所有满足条件的P 、Q ,恒有|RP |=|RQ |. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，数学思想：等价转化】 (1)椭圆的一个焦点在直线l :x =1上,所以c =1. 又因为离心率12e =,即12c a =,所以a =2,从而23b =.所以椭圆的方程为22143y x +=. (2)证明:设01122(1)()()T y P x y Q x y ,,,,,, 则021213()()4RT y PQ x x y y =,,=-,-,210213()()4RT PQ x x y y y ⋅=-+-.又因为P 、Q 都在椭圆22143y x +=上, 所以22221122114343x y x y +=,+=,两式相减得1212121211()()()()043x x x x y y y y -++-+=, 因为点T 是PQ 的中点,所以1212022x x y y y +=,+=, 于是1201212()()023x x y y y -+-=,所以120123()()04x x y y y -+-=,即0RT PQ ⋅=,所以RT PQ ⊥,即R T 是线段PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP |=|RQ |.四、自助餐1.直线1y x =+被椭圆22142y x +=所截得的弦的中点坐标为（） A. 25,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 47,33⎛⎫⎪⎝⎭C. 21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】2.已知直线():310l ax y a a R +-+=∈，椭圆22:12536y x C +=，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为（） A. 1 B. 12或 C. 2D.0 答案：C解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】3.过椭圆22154y x +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆相交于,A B O 两点，为坐标原点，则OAB ∆的面积为（） A. 53B.34C. 2D.76 答案：A解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】4.已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线:40l x y -+=的距离最小，并求出这个最小值. 答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系】设与直线:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线方程为0x y m -+=由22088x y m x y -+=⎧⎨+=⎩消去x 得229280x my m -+-=则()2243680m m ∆=--= 得3m =±，当3m =-时，由图不符合题意，舍去.则所求切线方程为30x y -+=则两平行线之间的距离P l 到距离的最小值，即d 又由223081,3388x y P x y -+=⎧⎛⎫⇒-⎨ ⎪+=⎝⎭⎩5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((120,,F F 的距离之和等于4，设P 的轨迹为C . （1）写出C 的方程.（2）设直线1y kx =+与C 交于,A B 两点，则k 为何值时，?OA OB ⊥此时AB 的值时多少? 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，直线与椭圆的位置关系】（1）由椭圆的定义知C 的轨迹方程为221.4y x += （2）设()()1122,,,A x y B x y 由()22221423044y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩则()22122122412402434k k k x x k x x k ⎧∆=++>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩又OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=而()()()2121212121+1=1y y kx kx k x x k x x =++++2221212222233241104444k k k x x y y k k k k ---+∴+=+-+==++++12121412,,21717k x x x x ∴=±+=±=-此时，117AB ∴=+== 6．已知点P 是⊙O ：922=+y x 上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足23DQ DP =. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)若点()1,1G ，则在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+ (O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，向量及运算,轨迹问题】 (1)设()00,y x P ，()y x Q ,，依题意，则点D 的坐标为()0,0x ， ∴()0,DQ x x y =-， ()00,DP y =．又23DQ DP =，∴⎪⎩⎪⎨⎧==-00320y y x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 2300. ∵点P 在⊙O 上，∴9220=+y x ，∴14922=+y x ， ∴点Q 的轨迹方程为14922=+y x .(2)假设14922=+y x 上存在不重合的两点()11,y x M ，()22,y x N ，使()12OG OM ON =+，则()1,1G 是线段MN 的中点，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，即⎩⎨⎧=+=+222121y y x x .(3)又()11,y x M ，()22,y x N 在椭圆14922=+y x 上， ∴22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得()()()()04921212121=+-++-y y y y x x x x ，∴942121-=--=x x y y k AB ，∴直线MN 的方程为01394=-+y x ， ∴椭圆上存在不重合的两点M 、N ，使()12OG OM ON =+，此时直线MN 的方程为01394=-+y x .7.已知椭圆中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆交于P 和Q ，若OP OQ ⊥，且PQ =，求椭圆方程．【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】解法一：设椭圆方程为22221x y a b+=，依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组：2222 1 1x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222222()2(1)0a b x a x a b +++-= ③设方程③的两根为12,x x 那么直线1y x =+与椭圆交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、．由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=．由2PQ =得：21252(),2x x -= 即212125()44x x x x +-=． ∴121221212()21204()1650x x x x x x x x +++=⎧⎨+--=⎩．解得12121432x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩或12121412x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩．由③式结合韦达定理得：2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或2222222212(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩．解得22223a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或22232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴221223x y +=或223122x y +=．解法二：设椭圆方程为221mx ny +=依题意知，点P Q 、的坐标满足方程组2211mx ny y x ⎧+=⎨=+⎩，整理得：2()210m n x nx n +++-=．则121221n x x m n n x x m n -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩设直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1)(,1)P x x Q x x ++、由OP OQ ⊥得：1212(1)(1)0x x x x +++=即12122()10x x x x +++=∴2m n +=，∴121212x x n n x x +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩由2PQ =得：21252(),2x x -=即212125()44x x x x +-= ∴248(1)50n n ---=．解得32n =或12n =代入得： 3212n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1232n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴223122x y +=或223122x y +=． 8．(本小题满分15分)已知椭圆C ：22221(y x a b a b+=>>的离心率 22=e ，原点到过点()b A -,0和()0,a B 的直线的距离为36. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知定点()0,2M ，若过点M 的直线l (斜率不等于零)与椭圆C 交于不同的两点E 、F (E 在M 与F 之间)，记OMFOME S S ∆∆=λ，求λ的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：直线与椭圆的位置关系，二元二次方程组的解法，判别式与违达定理，】(1)由题知直线AB 的方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx . 依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==362222222ba ab b ac a c ，解得2=a ，1=b ，∴椭圆C 的方程为1222=+y x .(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为()2y k x =-，将l 的方程代入椭圆方程1222=+y x ，整理得 ()028*******=-+-+k x k x k . 由0>∆，得()()()028********>-+--k k k ，即0122<-k ，∴2102<<k . 设()11,y x E ，()22,y x F ，则21x x >，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+122812822212221k k x x k k x x ，(*) 由OMF OME S S ∆∆=λ，得ME MF λ=，由此可得：ME MF λ= 则2221--=x x λ，且10<<λ. 由(*)知，()()12422221+-=-+-k x x ， ()()()12242222212121+=++-=-⋅-k x x x x x x ，∴()()()()81242212221212+=-+-⋅-=+k x x x x λλ，即()21211422<-+=λλk ， ∵2102<<k ，∴()21211402<-+<λλ，又∵10<<λ，解得1223<<-λ.即λ的取值范围是()1,223-．法二.由题意知直线l 的斜率存在且不为零，故可设l 的方程为2my x =- 代2x my =+到椭圆方程中，运算量会大大减少．【知识点：直线与椭圆的位置关系】五、数学视野我们将上一节中椭圆的标准方程的推导过程作如下改变：2a =，经过化简，得到2a cx -= 将①式平方并整理得()2222222()a c x a y a a c -+=-②2a e x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表示点P 到定点2F 的距离，而式子2a x c ⎛⎫- ⎪⎝⎭表示点P 到定直线2a x c =（即与2F 相应准线的距离）.考虑到椭圆的对称性,2()a e x c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.于是动点P 的集合又可以描述为/,01PF P e e d ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，即平面内到一定点F 的距离和到定直线l (F 不在l 上)的距离d 的比是一定值()01e e <<(e 为椭圆离心率)的点P 的轨迹是椭圆．其中定点F 为椭圆的焦点，定直线l 为准线．这就是椭圆的第二定义，在教材第41页【例6】有所体现．②即()2222222()a c x a y a a c -+=-，移项整理得，()222222()a y a x a c =--，当 22a x ≠时，我们有222222y c a x a a -=-，也即21y y e x a x a ⋅=--+，从几何的角度来说，便是平面内与两个定点连线的斜率之积为定值的点P 的轨迹是椭圆．其中的定点为椭圆长轴的顶点，定值为21e -．这就是椭圆的第三定义，这个定义也恰是教材第35页【例3】的一般背景．。

高二数学选修1-1-《椭圆的简单几何性质》导学案

2.1.2 椭圆的简单几何性质学习目标：1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义；2.通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的；3.初步利用椭圆的几何性质解决问题.学习重点：椭圆的几何性质学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系思想方法：数形结合的方法、分类讨论的思想一、复习1 、椭圆的定义____________________________________________________2 、椭圆的标准方程焦点在x 轴上时：_________________，焦点在y 轴上时：__________3、椭圆中a,b,c 的关系是___________________二、新授课探究一观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状，你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1 、范围：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________. 椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知 ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22by ____ 1；即____≤≤y ___ 因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线__________和__________围成的矩形里.2 、对称性（1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称（2）在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称，因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做___________3 、顶点（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点，分别为：1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , )（2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________a 和b 分别叫做椭圆的________和___________及时反馈：（1）椭圆16422=+y x 的长轴长是：________短轴长是;_______焦距是：_______焦点坐标是：__________顶点坐标是：__________（2）在下列方程表示的曲线中，关于x, y 轴都对称的是（）A. y x =2B. 022=++y xy xC. x y x 5422=-D. 4922=+y x探究二圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4 、椭圆的离心率（1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率，用____表示，即____________=（2）由于a>c>0，所以离心率e 的取值范围是_____________（3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______.若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于_______.及时反馈：下列两个椭圆中，哪一个更接近于圆？369422=+y x 与 1202522=+y x 下面把焦点在x 轴和在y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：三、综合跃升例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）一焦点坐标为（-3，0），一顶点坐标为（0，5）;（2）长轴长等于20，离心率为53.例2 .若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，求k 的值.四、小结自测题：1椭圆192522=+y x 上点p(x,y)的横坐标的范围为_____________. 2若点p(2,4)在椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 上，下列在椭圆上的点有： (1) p ( -2, 4 )(2) p ( -4, 2 )(3) p ( -2, -4 )(4) p ( 2, -4 )3求中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6的椭圆方程.4写出椭圆16422=+y x 的长轴长，短轴长，离心率，顶点和焦点坐标.。

高中数学人教版选修1-1 2.1.2椭圆的简单几何性质教案(系列一)

2.1.2椭圆的简单几何性质（二）教学目标：椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）. 重点难点分析教学重点：椭圆的简单几何性质. 教学难点：椭圆的简单几何性质. 教学设计：【复习引入】1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为 26 ，离心率为322 ，焦点坐标为)26,0(± ，顶点坐标为)9,0(±，)0,3(±.【讲授新课】例1 如图，设M (x ，y )与定点F (4，0)的距离和它到直线l ：425=x 的距离的比是常数 54，求点M 的轨迹方程．练习11.求下列椭圆焦点坐标和准线方程：16421162512222=+=+y x y x ）（）（2. 椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5，求M 到右焦点的距离..1525.322的连线互相垂直，使这点与椭圆两焦点上求一点在椭圆P y x =+例2.1),(222200=+by a x y x P 是椭圆设 .)0(1为其左焦点上任意一点，F b a >>求|PF 1|的最小值和最大值. 练习21.点P 与定点F （2，0）的距离与它到定直线x=8的距离之比为1：2，求点P 的轨迹方程.2.点P 与定点F （2，0）的距离与它到定直线x=2的距离之比为1：2，求点P 的轨迹方程.例3 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上，片门位于另一个焦点F 2上，由椭圆一个焦点F 1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F 2．已知，21F F BC ⊥cm F F cm B F 5.4||8.2||211==，．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．例4如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心)F 2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面439km ，远地点B (离地面最远的点)距地面2384km ，并且F 2、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．例5 求适合下列条件的椭圆的离心率.(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为直角；(2) 两个焦点间的距离等于长轴的端点与短轴的端点间的距离. 练习31. 已知椭圆mx 2＋5y 2＝5m 的离心率.510m e ，求=，求其标准方程。

人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案

3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。

作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。

因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。

重点：椭圆的方程及其性质的应用难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。

高中数学选修1-1 2.1.2 椭圆的简单几何性质2 教案

课堂教学设计题型二：直线与椭圆的位置关系例2：已知椭圆x 2+2y 2=a 2(a>0)的左焦点F 1到直线y=x-2的距离为22，求椭圆的标准方程。

解：椭圆的标准方程化为 122222=+a y a x a a a c 22222=-= ）（左焦点为0,22F 1a F 1到直线y=x-2的距离为2211202222=+--=a d 解得 24=a椭圆的标准方程化为 1163222=+y x 题型三：焦点三角形问题16410022=+y x例3：已知F1、F2是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上任意一点（1）若，求的面积（2）求的最大值。

321π=∠PF F 21PF F ∆21PF PF ⋅2021=+PF PF 221222163cos2=-+πPF PF PF PF 2212122163cos22)(=--+πPF PF PF PF PF PF 336421=⋅PF PF 解得33913sin 212121=⋅=∆πPF PF S PF F 6,8,10)1(===c b a 解：221212216cos 22))(2(=--+θPF PF PF PF PF PF )cos 1(236421θ+=⋅PF PF 解得182)(,2max 21=⋅=PF PF 时当πθ【板书设计】2.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）题型一: 椭圆的轨迹问题例1题型二:直线与椭圆的位置关系例2题型三: 焦点三角形问题例3。

人教新课标版数学高二选修1-1导学案 2.1.2椭圆的简单几何性质(一)

2.1.2椭圆的简单几何性质(一)【教学目标】1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.1.2椭圆的简单几何性质(一)》课件“新课导入”部分，带着问题思考与互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)三、合作探究问题1观察椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．问题2在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．问题3如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．探究点1由椭圆方程研究其简单几何性质例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca ＝74，又知焦点在x轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．探究点2 椭圆的几何性质的简单应用例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．解依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1. 反思与感悟确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．探究点3 椭圆的离心率的求解例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．解依题意得F 1(－c,0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc 2)．因为点B 在椭圆上，所以(－c 2)2a 2＋(kc 2)2b 2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2. 由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1. 反思与感悟求e 的范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k |≤142，求e 的范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．四、当堂测试1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6答案 B解析把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10,2b ＝6，c a＝0.8. 2．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°答案 B解析由椭圆的定义得|PF 2|＝2，因为|F 1F 2|＝29－2＝27，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为________．答案 x 225＋y 216＝1 解析据题意a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．答案 [4－23，4＋23]解析因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案 (0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．(3)利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版

2.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）一、教学目标核心素养发展直观想象、逻辑推理、数据分析素养学习目标（1）掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. （2）明确椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系. （3）能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题. 学习重点利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质学习难点椭圆离心率的概念的理解及椭圆的几何性质的综合应用二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1预习教材3739P P - ，思考椭圆上的点,x y 的的取值范围？椭圆具有怎样的对称性？与数轴的交点是什么？任务2完成41P 的练习5，思考椭圆的扁平程度与那些量有关？ 2．预习自测1. 椭圆22259225x y +=的长轴长、短轴长、离心率依次是（） A ．5，3，0.8 B ．10，6，0.8 C ．5，3，0.6D ．10，6，0.6．答案：B解析：椭圆的几何性质2. 椭圆2266x y +=的长轴的端点坐标是（） A ．（－1，0）、（1，0）B ．（－6，0）、（6，0）C ．(6,0)-、(6,0)D ．(0,6)-、(0,6)．答案：D解析：椭圆的几何性质（二）课堂设计 1.知识回顾（1）椭圆的定义：平面内点M 到两定点12,F F 的距离和为常数，即122MF MF a +=,当122a F F >时，点M 的轨迹是椭圆（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆标准方程为__()222210x y a b a b +=>>__焦点在y 轴上的椭圆标准方程为__()222210y x a b a b+=>>__其中a ，b ，c 的关系为____ 222a b c =+_____.（3）(),P x y 关于原点对称的点()1,P x y --，(),P x y 关于x 轴对称的点()2,P x y -，(),P x y 关于y 轴对称的点()3,P x y - 2．问题探究问题探究一椭圆的几何性质●活动一设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围．（1）从形的角度看：椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框里．（2）从数的角度看：利用方程研究，易知222210y x b a =-≥，故221x a ≤，即a x a -≤≤；222210x y a b=-≥故221y b ≤，即b y b -≤≤． ●活动二（1）从形的角度看：观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>中以,x y --分别代替,x y ，方程不变，∴椭圆22221(0)x y a b a b +=>>既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，从而关于坐标原点对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． ●活动三如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与它的对称轴共有四个交点，即12,A A 和12,B B ，这四个点叫做椭圆的顶点，线段12,A A 叫做椭圆的长轴，它的长等于2a ；线段12,B B 叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个焦点在它的长轴_上． ●活动四椭圆的焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的长轴．用e 表示，即c e a =.(1)离心率的范围：01e <<(2)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁当e 越接近于0时，c 越接近于0，从而22b a c =-越接近于a,因此椭圆越接近于圆；当且仅当a b =时，0c =，这时两个焦点重合，图象变为圆222x y a +=． ★▲问题探究二椭圆中,,,a b c e 的几何意义，以及,,,a b c e 之间的相互关系例1.求椭圆222525x y +=的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标．【知识点：椭圆的几何性质】详解：把原方程化成标准方程：22125y x +=．这里5,1a b ==，所以25126c =-=．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是210a =和22b =，两个焦点分别是12(0,26),(0,26)F F -，椭圆的四个顶点是1212(0,5),(0,5),(1,0),(1,0)A A B B --．点拔：解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系求椭圆的几何性质．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点 ()3,0，离心率63e =； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】详解： (1)若焦点在x 轴上，则3a =， ∵63c e a ==，2226,963c b a c ∴=∴=-=-=， ∴椭圆的方程为22193x y += 若焦点在y 轴上，则3b =，∵22296113c b e a a a ==-=-=解得 227a =.∴椭圆的方程为221279y x +=综上可知椭圆方程为22193x y +=或221279y x +=. (2)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．如图所示，12A FA ∆为等腰直角三角形，OF 为斜边12A A 的中线(高)，且12,2OF c A A b ==2224,32c b a b c ∴==∴=+=，故所求椭圆的方程为2213216x y +=. 点拔：利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，需要解决定位问题和定量问题.定位问题是由顶点、焦点可确定焦点在哪个坐标轴上，不能确定的要分情况讨论.定量问题可由长轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标来确定.利用离心率确定a ，b ，c 时，常用22=1c b e a a=-.例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 是坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】详解：∵椭圆的长轴长是6、且2c os 3O FA ∠=，∴点A 不是长轴的端点（是短轴的端点）．∴2, 3.33c OF c AF a ===∴=2222,325c b ∴==-=．∴椭圆的方程是：22195x y +=或22159x y +=．点拔：△OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b 、c ，斜边的长为a ，∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率．问题探究三利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题 ●活动一求椭圆的离心率例4.12,F F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，11PF PQ PF PQ ⊥=且，求椭圆的离心率．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】解析由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为,,a b c 之间的关系．详解：如图所示，设m PF =1，则1,2PQ m FQm ==.由椭圆定义得a QF QF PF PF 22121=+=+. 所以a Q F PQ PF 411=++.即()a m 422=+.所以()a m 224-=.又()a m a PF 22222-=-=.在12Rt PF F ∆中， 2212221F F PF PF =+.即()()222224224222c aa =-+-.所以()222962321,62c e a=-=-=-.点拔：求椭圆的离心率e 的值，即求ca的值，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为,,a b c 之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、222c a b =-等关系都与离心率有直接联系，同时，,,a b c 之间是平方关系，所以，在求e 值时，也常先考查它的平方值． ●活动二椭圆中的最值问题例5.设P 为椭圆22221x y a b+=上任意一点，1F 为它的一个焦点，求1PF 的最大值和最小值．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】详解：设2F 为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：a PF PF 221=+，122PF PF c -≤Q ，1222c PF PF c ∴-≤-≤，122222a c PF a c ∴-≤≤+，即c a PF c a +≤≤-1，1PF ∴的最大值为c a +，最小值为c a -.点拔：椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．例6.若AB 为过椭圆22221x y a b+=中心的弦，Fc （，0)为椭圆的右焦点，则AFB ∆ 的面积最大值是多少？【知识点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系】详解：设A 、B 两点的坐标分别为0000(,),(,)x y x y --，则：AFB OFB OFA S S S ∆∆∆=+001122c y c y =⋅⋅+⋅⋅-00122c y c y =⋅⋅=⋅．因为点A 、B 在椭圆22221x y a b+=上，所以点A 00(,)x y 的纵坐标0y 的最大值是0y b =．所以AFB S ∆的最大值为bc ．点拔：此题关键的地方是写出过椭圆中心的弦与椭圆交点的坐标，然后表示出相应面积． 3.课堂总结【知识梳理】依据椭圆的几何性质填写下表：标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>> 图形性质焦点 12(,0),(,0)F c F c - 12(0,),(0,)F c F c -焦距 ()2212||2F F c c a b ==-()2212||2F F c c a b ==-范围 ,x a y b ≤≤,x b y a ≤≤对称性关于x 轴 ,y 轴 ,坐标原点对称顶点 (,0),(0,)a b ±±(0,),(,0)a b ±±轴长轴长2a ，短轴长2b【重难点突破】(1)根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．(2)通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，通过数形结合的方式探究掌握椭圆的几何性质．(3)根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的思想方法．（4）如图所示在2Rt BF O V 中，a c O BF =∠2cos ，记ace =则10<<e ，e 越大，O BF 2∠越小，椭圆越扁；e 越小，O BF 2∠越大，椭圆越圆． 4.随堂检测1．已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=，则24m +的取值范围是（）A ．423,423⎡⎤-+⎣⎦B ．43,43⎡⎤-+⎣⎦C ．422,422⎡⎤-+⎣⎦D ．42,42⎡⎤-+⎣⎦答案：A离心率()22101c b e e a a==-<<解析：【知识点：椭圆的几何性质】2．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（）A ．221169x y +=或221916x y += B ．221259x y +=或221259y x += C ．2212516x y +=或2212516y x +=D ．无法确定答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B.212- C ．22- D.12- 答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x 如图，∵)0,(1c F -，∴()P y c P ,-代入椭圆方程得12222=+b y a c P ，∴222a b y P =，∴2121F F a b PF ==，即c ab 22=，又∵222c a b -=，∴c ac a 222=-，∴0122=-+e e ，又10<<e ，∴12-=e . （三）课后作业基础型自在突破1．已知点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（） A. 22a -<< B. 22a a <->或 C ．22a -<< D ．11a -<< 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.若焦点在轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m =（） A. 3B.32C ．83D ．23答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】3．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A. 14B.12C ．2D ．4 答案： A解析：【知识点：椭圆的几何性质】4. 已知椭圆的长轴长8，离心率为32，则椭圆的标准方程为（）Ａ．221 43x y+=B．221163x y+=或221163y x+=C．221 164x y+=D．221164x y+=或221164y x+=答案：D解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】5．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______．答案：1 2解析：【知识点：椭圆的几何性质】6．椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，与离它较近的长轴端点的距离为105-，则此椭圆的方程为________________________.答案：222211 105510x y x y+=+=或解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】能力型师生共研7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A. 22B.3 2C.5 3D.63答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】8.已知22221(0)x y a b a b +=>>的两个定点为()(),0,0,A a B b ，且左焦点为,F FAB ∆是以B 为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. 312- B. 512- C. 1+54D.3+14答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】9. 以椭圆两焦点F 1、F 2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e 等于__________ 答案：22解析：【知识点：椭圆的几何性质】 10. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）与椭圆369422=+y x 有相同的焦距，且离心率为55．（2）长轴长是短轴长的2倍，且经过点()4,2-P ．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】（1）∵椭圆369422=+y x 的标准方程为：14922=+y x ， ∴5492=-=c ，∴该椭圆的焦距522=c ，5=c ．又∵55==a c e ，∴5=a ，252=a ．∴20525222=-=-=c ab ． ∴所求椭圆的方程为：1202522=+y x 或1202522=+x y ．（2）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或()012222>>=+b a bx a y ，由已知得b a 2=，且椭圆过点()4,2-， ∴1164422=+b b 或1441622=+bb ，解得172=b ，682=a 或82=b ，322=a ，∴所求的椭圆方程为1176822=+y x 或183222=+x y ．探究型多维突破11.已知A 、B 为椭圆C:2211y x m m+=+的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且APB ∠的最大值是23π,则实数m 的值等于( )A.312+B.312-C.12D.32-答案： C解析：【知识点：椭圆的几何性质】由椭圆性质知,当点P 位于短轴的端点时APB ,∠取得最大值, 则tan 1132m m m+π=⇒=.12. 设P 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，求椭圆的离心率的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质】解法一：如下图点P 是椭圆上的点，F 1，F 2是椭圆的焦点，由椭圆定义得a PF PF 221=+，① 在△F 1PF 2中，由余弦定理得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 即21222214PF PF c PF PF =-+. 由①得221222142a PF PF PF PF =++，所以22134b PF PF =⋅②. 由①和②根据基本不等式，得221212⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅PF PF PF PF . 即2234a b ≤，又222c a b -=，故()22234a c a ≤-，解得21≥=a c e . 又1<e ，所以该椭圆的离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法二：由解法一得出a PF PF 221=+①，22134b PF PF =⋅②. 由①②可知1PF ，2PF 是方程034222=+-b ax x 的两根．则有0344422≥⨯-=∆b a ，即()2222443c a b a -=≥，所以224a c ≥.所以21≥=a c e ，又1<e ，所以该椭圆离心率e 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.解法三：设点()y x P ,，则ex a PF +=1，ex a PF -=2. 在△F 1PF 2中由余弦定理，得21260cos 212212221=-+=︒PF PF F F PF PF . 化简得222234ea c x -=，又因为a x a <<-. 2222340a e a c <-≤，即1314022<-≤ee ，解得121<≤e ，所以离心率的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. 解法四：设椭圆交y 轴于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故︒≥∠60211F B F ，则︒≥∠3021F OB . 在Rt △OB 1F 2中2130sin sin 21=︒≥=∠a c F OB ，所以离心率e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21. [点评] 本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x 范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．四、自助餐1. 已知点（3，2）在椭圆22221x y a b+=上，则（）．A ．点（－3，－2）不在椭圆上B ．点（3，－2）不在椭圆上C ．点（－3，2）在椭圆上D ．无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程A.221 3616x y+=B.221 1636x y+=C.221 64x y+=D.221 64y x+=答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3．椭圆221259x y+=上点P到右焦点的距离（）．A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】点评：若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是椭圆的长轴离焦点近的端点，若椭圆上的点P到焦点的距离最大，则P点是椭圆的长轴离焦点远的端点4.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）．A．221 8172x y+=B．221 819x y+=C．221 8145x y+=D．221 8136x y+=解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质】5．椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】6.P 点在椭圆22143x y +=上运动，点Q 、R 分别在圆22(1)1x y ++=与22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR +的最大值是（） A ．4 B ．6C ．27D ．523+ 答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质，圆的性质】7. 已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，若121210,tan 2PF PF PF F ⋅=∠=u u u r u u u u r ，则此椭圆的离心率为________．解析：【知识点：椭圆的几何性质】答案：538.已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________．答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0 解析：【知识点：椭圆的几何性质】9．椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为512e -=，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个端点，则ABF ∠等于_____________．答案：90︒解析：【知识点：椭圆的几何性质】10．如图所示，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c ，可得焦点为()0,1c F -、()0,2c F ，点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛b c 32,，∵Rt △MF 1F 2中，221MF F F ⊥， ∴2122221MF MF F F =+，即2122944MF b c =+，根据椭圆的定义得a MF MF 221=+，可得()222213222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=b a MF a MF ，∴222944322b c b a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，整理得ab a c 384422-=，可得()ab c a 2322=-，所以ab b 232=，解得a b 32=， ∴a b a c 3522=-=，因此可得35==a c e ，即该椭圆的离心率等于35． 11. 动点M 到一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线c a x l 2:=的距离比是常数()10<<=e ace ，求动点M 的轨迹方程．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义】设()y x M ,，由题意得()ac ca x y c x =-+-222， ()()22222222c a a y a x c a-=+-，令222b c a =-，方程化为22221(0)x y a b a b +=>>∴所求动点的轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>> .12. P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 上异于长轴端点的任一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，求证：椭圆的离心率sin()sin sin e αβαβ+=+．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，标准方程，椭圆的几何性质】证明：在△12PF F 中，由正弦定理，得：1212sin sin sin[180()]PF PF F F βααβ==-+．由等比定理得1212sin sin sin()PF PF F F βααβ+=++，即：22sin sin sin()a cβααβ=++．∴sin()sin sin c e a αβαβ+==+．。

2019-2020年苏教版选修1-1高中数学2.2.2《椭圆的几何性质》word导学案1

P（3，0），求椭圆的方程。
【学后反思】
课题：2.2.2椭圆的几何性质（1）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂曲线中,关于x 轴、y轴都对称的是( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是______
标准方程
图像
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
焦距
a ,b,c关系
离心率
【课堂研讨】
例1．求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出这个椭圆的简图。
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(-3,0),Q(0,-2)；
（2）长轴长等于20,离心率等于 ;
（3）若椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的三倍，且椭圆经过点
3.阅读课本第31页至第33页，回答下列问题：
问题1：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。若细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，想象椭圆的“扁”的程度的变化规律。
问题2：填表
轴，直线交轴于点 ,若，则椭圆的离心率为_____．
13.椭圆两个焦点分别为，为椭圆上一点，
的最大值的范围为，则的范围是_____________．
5、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为
6．设椭圆的两个焦点分别为 ,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，
若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
7.已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为________．

高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质精品导学案(2)新人教A版选修1-1

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质（2）导学案新人教A版选修1-1【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．【自主学习】（认真自学课本P41例5）复习1：椭圆221 1612x y+=的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．【合作探究】例1：比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y+=与221 1612x y+=；⑵22936x y+=与221 610x y+=．结论：离心率cea=的大小是怎么样来刻画椭圆的扁平程度的？例2：（教材P41例6）点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．:【目标检测】1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(22,0)P-，(0,5)Q；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P；⑶焦距是8，离心率等于0.8．2．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．3．已知点P是椭圆22154x y+=上的一点，且以点P及焦点12,F F为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019-2020学年高中数学椭圆的几何性质（二）导学案新人教版选修1-1
【问题导学】请阅文科《选修1—1》P 4041-或理科《选修2—1》P 4648- ：
1、点P (x 0， y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20
b 2 1；
（2）点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2 1；（3）点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20
b
2 1。

2、直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系判断方法：联立⎪⎩⎪
⎨⎧=++=1
22
22b y a
x m kx y ，消去y 得到方程02=++C Bx Ax ，则有(1)△ 0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；
(2)△ 0 ⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；
(3)△ 0 ⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．
3、（理科）弦长公式：设直线m kx y +=，椭圆方程)0(122
22>>=+b a b
y a x .直线与椭圆的两个交点为
),(),,A 2211y x B y x （，则2122122212214)()1()()(||x x x x k y y x x AB -+⋅+=-+-=
【预习自测】
1.点A (a,1)在椭圆22
=142
x y +的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1
2．直线240x y +-=与椭圆22
=182
x y +的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离
D ．不确定
3．直线1y x =+被椭圆22=142
x y +所截得的线段的中点坐标是 ( ) A ．25
(,)33 B. 47(,)33 C ．21(,)33- D ．1317(,)22
-- 【典例探究】
例1、点M(,x y )与定点F(3，0)的距离和它到直线l ：x =253
的距离之比是35
，求动点M 的轨迹。

例2、椭圆2
22
x y +=1上是否存在一点M ，它到直线l ：x —y
的距离最大？最大距离是多少？
变式：已知椭圆
19
362
2=+y x 和点)2,4(P ，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点. （1）当直线l 的斜率为2
1
时，求线段AB 的长度；（2）当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程.
【课后作业】
1
的动点M(,x y )的轨迹是______，方程为____ _。

2、点M(,x y )与定点F(2，0)的距离和它到直线l ：x =8的距离之比是12
，则动点M 的轨迹方程是_________。

3、过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积
为________
4、动圆M 与⊙C 1：2
2
(3)x y ++=4外切，同时与⊙C 2：2
2
(3)x y -+=100 内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹。

5、(理科)若直线l ：y
x +1) 交椭圆2
22
x y +=1于A 、B 两点，求|AB |。