数学九年级上册 二次函数专题练习(解析版)

数学九年级上册 二次函数专题练习（解析版）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，将函数2

263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．

（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；

（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ????+ ? ?????

，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．

【答案】（1）0a =或3a =-；（2）

118；（3）21136x -<<-；（4）1

8

m <-或1

16

m >-

【解析】 【分析】

（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】

解：（1）当1m =-时，()2

2613y x x x =++≥

把(),1P a 代入，得

22611a a ++=

解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<

当0m ≤时，2

22

3926=2()22

y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ??

--

???

此时，229911=()22918

m m m -

--++ ∴0y 的最大值1

18

=

综上所述，0y 的最大值为

118

（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0

当抛物线顶点在x 轴上时，2

2

=4(6)42()=0b ac m m -=--??-△ 解得：m=0（舍去）或29

m =-

由题意可知抛物线的对称轴为直线x=3

2

m 且x ≥3m

∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是

21136

x -<<- （4）18m <-或1

16

m >- 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

2．在平面直角坐标系中，二次函数2

2y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，

(1,0)B ，与y 轴交于点C ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 是抛物线2

2y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD

交直线AC 于点D ．

①是否存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4

5

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标．

【答案】(1)213

222

y x x =

+- (2)①存在，点P

的坐标为(2-+-

，(2--+，(2,3)-- ②18

16,5

5Q ?

?-- ???，2(2,1)Q -

，355Q ?- ??

，455Q ?- ??

【解析】 【分析】

(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为1

22

y x =--．设点P 的横坐标为(t ,

213222t t +-)，利用21

442

???=-=?=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】

解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：

1642020a b a b --=??

+-=?，解得：12

32a b ?=????=??

． ∴此抛物线的解析式为213

222

y x x =+-， 故答案为213

222

y x x =

+-． (2)①存在点P ，使得PAC ?的面积是ABC ?面积的4

5

．理由如下： 作出如下所示示意图：

∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴11

52522

ABC S AB OC ?=?=??=， ∴4455

4

5PAC ABC S S ??=

=?=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，

则有402m n n -+=??=-?，解得：122

m n ?

=-???=-?，

∴直线AC 的解析式为1

22

y x =-

-． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213

222

t t +-， 即2

1

3,22

2P t t t ??+

- ???

． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ??

-- ??

?

． ∴22131

12222222

PD t t t t t ??=

+----=+ ???． ∵22111

424222

PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ???=-=

?=??+=+． ∴2

44t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，

解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．

∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：

情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，

情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，

DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22??-

- ???

x x ，则EO=-x ，DE=1

22x +，

在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO2+ED2=DO2， 故2

2

1

(2)42

++=x x ，解得80(),5舍==-

x x ，此时Q 点坐标为816,5

5??-- ???，

情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：

设D 点坐标1,22??

-

- ???

m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE2+EO2=QO2， 故22

1

()()42

+=m m

，解得12=

=m m ，此时Q

点坐标为??

或,55?- ??

， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ?

?-- ???，2(2,1)Q -

，355Q ?- ??

，

4Q ? ??

．

故答案为1816,55Q ?

?-- ???，2(2,1)Q -

，3Q ??

，4Q ? ??

．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．

3．已知函数2222

22(0)114(0)

2

2x ax a x y x ax a x ?-+-

=?---+≥??（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，

①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．

②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．

（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点

()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．

【答案】（1）1a =或3a =-；（2

）①1x =--

1x =+；②

7

2

4m ≤<或21m -<<-；（3

）3a <--

或1a ≤<-

或a >【解析】 【分析】

（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线

y m =观察其与图像交点，即可得到答案．

（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将

2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211

422

y x ax a =---+与0比大小；第二

种为当20a -≤<，2

2

22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211

422

y x ax a =-

--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2

2

22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211

422

y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】

（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-

--+中，得211

2422

a a =---+，解得1a =或3a =-．

（2）当1a =-时，函数为2221,

(0)17

(0)

2

2x x x y x x x ?+-

=?-++≥?

?，

①令2210x x +-=

，解得1x =--

1x =- 令217

022

x x -

++=

，解得1x =+

或1x =-

综上，1x =--

1x =+．

②对于函数()2

210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217

(0)22

y x x x =-

++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2??

???

． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足

7

2

4m ≤<或21m -<<-． （3）22

22y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211

422

y x ax a =-

--+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2

2

22y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础

上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111

49342222

0y x ax a a a =---+=?--+<-，

解得3a >

或3a <--，

综上可得：322a <--．

②当20a -≤<时，若使得2

2

22y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足

2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，

22222=20y x ax a a =-+--≤；得222a -≤<-，

在此基础上若使2211

422

y x ax a =-

--+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，222111

4=4222

2y x ax a a ---+->=；3x =时，

2221111

49342222

2y x ax a a a =---+=?--+>-；

求得21a -<<-； 综上：21a -≤<-．

③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，

22222=22y x ax a a =-+--≥且222111

4+40222

y x ax a a =---+=-<；

求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．

综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】

本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．

4．如图，过原点的抛物线y=﹣

12

x 2

+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；

（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；

（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2122

y x x =-

+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=

27

时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】

（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；

（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2

m

），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；

（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A ′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】

解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12

-

x 2

+bx+c ． 得040c b b c =?

?-++=?，

∴02c b =??=?

．

∴2211

2(2)222

y x x x =-

+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．

（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．

∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．

∵O′P=OP=m ． ∴C′D=

12O′P=1

2

m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（3

2m ，2

m ）．

当点O′在y=12

-x 2

+2x 上． 则?

12

m 2

+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2． 当点C′在y=12

-x 2

+2x 上， 则12-

×(32

m )2+2×3

2m ＝12m ，

解得：120

9

m =，20m =（舍去）． ∴m=

209

（3）存在n=27

，抛物线向左平移． 当m=

209时，点C′的坐标为（103

，10

9）．

如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．

以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″． 当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短． ∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103

，10

9），点B （2，2）． ∴点A′（

83，8

9

）． ∴点A″的坐标为（

83，289

）． 设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：8

283

9

k =， 解得：k=

76

． ∴直线OA″的解析式为y=

76

x ．

将y=2代入得：7

6

x=2， 解得：x=

127

， ∴点B′得坐标为（12

7

，2）． ∴n=212277

-

=． ∴存在n=2

7

，抛物线向左平移．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2

m

）以及点B′的坐标是解题的关键．

5．二次函数22(0)63

m m

y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．

（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m

y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；

（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；

②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．

【答案】（1）P （2，

1

3

）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】

【分析】

（1）把m =1代入二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；

（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63

m m

y x x m m =

-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；

（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；

②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】

解：（1）当m =1时，二次函数为212

163

y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，

1

3

）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63

m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263

m m

b a a m =

-+， 即：2263

m m

b m a a -=

- ∵0b m ->， ∴

2263

m m a a -＞0， ∵m ＞0，

∴2263

a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，

∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；

（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，

∵二次函数的解析式为2263

m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，

3

m

）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；

设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，

3

m

）代入，得： 23

m b m

k b =??

?=+??， 解得：3m k b m

?

=-?

??=?，

∴直线AP 的解析式为y=3

m

-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；

∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，

DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??

∠=∠??=?

，

∴△ADF ≌△ABO （AAS ），

∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），

∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，

∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3

2

2363

m m

m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．

∵0m >，∴2

184m m m -≤

，∴2

18(2)4m m

--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，

当5m ≥时，2

(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m

-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；

当x = m +3时，y ≥3，可得2

(3)2(3)

363

m m m m m ++-+≥，

∵0m >，∴2

1823m m m ++≥

，即2

18(1)2m m

++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，

当2m ≥时，2

(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m

++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；

综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】

本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．

6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为

()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ?的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．

【答案】（1）21233y x x =-

++；（2）当9

2n =时，PBA S ?最大值为818

；（3）存在，

Q 点坐标为((0,-或，理由见解析

【解析】 【分析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 2

1,233

n n n ?

?-++ ??

?

求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 2

1,233

t t t ??-++ ??

?

,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使

60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对

的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】

解：()1抛物线顶点为()3,6

∴可设抛物线解析式为()2

36y a x =-+

将()0,3B 代入()2

36y a x =-+得

396a =+ 1

3

a ∴=-

∴抛物线()2

1363y x =-

-+，即21233

y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，

PBA BPO PAO ABO S S S S ????=+-

设P 点坐标为2

1,233

n n n ??-++ ??

?

1133222

BPO x S BO P n n ?=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ???

=

=-++=-++ ???

11933222

ABO S OA BO ?=

=??= 2

2231

99191981322

2222228PBA

S n n n n n n ?????=+-++-=-+=--+ ? ????? ∴当9

2n =

时，PBA S ?最大值为818

()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ?

?-++ ???

过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,

则213,6233DG t CG t t ??

=-=--++ ???

30ACD ∠=

2DG DC ∴=

在Rt CGD ?中有

222243CG CD DG DG DG DG =+=-=

)21336233t t t ??

-=--++ ???

化简得(1

133303t t ??---= ???

13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+

3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ?中

229276AD AG GD =+=+=

6,120AD AC CAD ∴==∠=

Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上

此时1

602

CQD CAD ∠=

∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径

则AQ 2=OQ 2+OA 2, 62=m 2+32

即2936m +=

∴1233,33m m ==-

综上所述，Q 点坐标为()()

0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.

【点睛】

(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.

(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣12

x 2

+bx +c 与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点A ，直线y ＝﹣

1

2

x +2经过A ，C 两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，直线MN 与对称轴交于点G ，与抛物线交于M ，N 两点（点N 在对称轴右侧），且MN ∥x 轴，MN ＝7．

（1）求此抛物线的解析式．（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝1

2

时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．

【答案】（1）y＝﹣1

2

x2+

3

2

x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：

（3，2）或（17

3

，﹣

50

9

）；（4）

2

535

,0

45

3593535

,(

4

35935

5)

4

t t

S t

t

???

≤≤

? ?

?

???

=-<≤

+<≤

．

【解析】

【分析】

（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）抛物线的对称轴为：x＝3

2

，点N的横坐标为：

37

5

22

+=，即可求解；

（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；

（4）分0≤t 3535

＜t

3535＜t5

【详解】

解：（1）直线y＝﹣1

2

x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，

0），

则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣1

2

x2+bx+2，

将点C坐标代入上式并解得：b＝3

2

，

故抛物线的表达式为：y＝﹣1

2

x2

+

3

2

x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x＝

3

2

，

点N的横坐标为：

37

5

22

+=，

故点N的坐标为（5，-3）；

（3）∵tan∠ACO＝

21

42

AO

CO

==＝tan∠FAC＝

1

2

，

即∠ACO＝∠FAC，

①当点F在直线AC下方时，

设直线AF交x轴于点R，

∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，

设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝

3

2

，

即点R的坐标为：（

3

2

，0），

将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：

2

3

2

n

m n

=

?

?

?

+=

??

，解得：

4

3

2

m

n

?

=-

?

?

?=

?

，

故直线AR的表达式为：y＝﹣

4

3

x+2…②，

联立①②并解得：x＝

17

3

，故点F（

17

3

，﹣

50

9

）；

②当点F在直线AC的上方时，

∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，

则点F′（3，2）；