奥运会奖牌榜预测问题
里约热内卢奥运会奖牌榜预测-数学建模论文最终版
数学建模论文院系：数学与信息科学学院专业：数学学号：论文题目：里约热内卢奥运会奖牌榜预测里约热内卢奥运会奖牌榜预测摘要本文主要根据1996年到2012年历届奥运会排名数据及其影响因素等问题，对2016年里约热内卢奥运会奖牌榜排名的预测分析，以及对各国的体育水平高低的分类。
首先，我们考虑到奖牌的获得受多个因素影响，通过对数据的收集与分析，发现GDP、人口数量、国家制度、东道主的因素对奖牌榜的排名起主要影响，而其他因素的影响微乎其微。
通过收集最近5届的数据，选出在奖牌榜前十出现频率最高的15 个国家；并得到各个国家的奖牌总数，利用excel 软件处理，得出影响因素和奖牌总数的散点图，并由此看出基本呈线性关系。
于是建立多元线性回归方程，使用最小二乘法求解出方程系数，运用matlab编程，求出结果，对结果进行残差检验并剔除异常点。
通过R检验证明回归方程是准确、可行的，并且得出东道主效应为影响奖牌排名榜的主要因素。
其次，由多元线性回归模型的求解得到东道主效应是造成奖牌榜排名变化的最主要原因，并且起促进作用，东道主效应会对排名造成较大的波动，所以这里剔除由于东道主效应而“多余”的奖牌数。
将同个国家在不同届的奥运会获得的实际的奖牌数作为原始的灰色数据，建立灰色模型进行预测，并用matlab编程，得出排行榜前十名的国家分别为：美国、中国、俄罗斯、英国、日本、澳大利亚、德国、法国、韩国、意大利。
最后，对排行榜前十名的国家的体育水平进行分类。
由于各国的体育水平由各国政治、经济、文化等各方面因素综合决定，但根据对收集数据的分析处理，发现各个国家的GDP、人口总数在短期内波动不大。
故我们选取预测出的奖牌榜前十名的国家在第30届奥运会时的国家GDP和国家人口总数POP，并对人种和国家制度，运用SPSS软件进行聚类分析得到分类结果。
这十个国家的体育水平可以分为三类：其中，美国、中国、俄罗斯这三个国家为第一类，英国、澳大利亚、德国这三个国家为第二类，日本、法国、韩国、意大利这四个国家为第三类。
里约奥运会奖牌榜预测
理。
5.2.2模型建立
6
5.2.2.1 BP网络模型6
BP网络（Back-ProPagation Network）又称反向传播神经网络， 通过样
本数据的训练，不断修正网络权值和阈值使误差函数沿负梯度方向下降，逼近期
望输出。它是一种应用较为广泛的神经网络模型，多用于函数逼近、模型识别分
类、数据压缩和时间序列预测等。
17 保加利亚
捷克
希腊
荷兰
罗马尼亚
2012
美国 中国 英国 俄罗斯 韩国 德国 法国 意大利 匈牙利 澳大利亚 日本 哈萨克斯坦 荷兰 乌克兰 古巴 新西兰 伊朗
3
18 波兰 19 荷兰 20 肯尼亚 21 挪威 22 土耳其 23 印度尼西亚 24 巴西 25 希腊 26 瑞典 27 新西兰 28 芬兰 29 丹麦 30 摩洛哥
根据以上两个模型预测得到的结果，我们假设各项体育项目的金牌赋分为5 分,银牌为3分,铜牌为2分,最后统计出各国总分，以此得分作为评价各国体育水 平的依据。
最后，我们对所建立的模型进行了评价与分析，提出了进一步提高预测准确 度的改进方法。并综合考虑时间序列预测法、计量经济学预测法、智能化预测法 等多种方法，提出建立非线性综合模型的推广思路。
即
11
(1)，
(1) = 0， 1
2 1
2 2
=
12 ,
33
33
即日本在 2016 年里约奥运会中处于前十名的概率为 ，取得十名以后成绩的
概率为
同理我们计算得到其余六个国家2016年里约奥运会中处于各状态的概率向 量，结果如下：
对于古巴 21
(1)， (1) = 0， 1 3 3 = [0,1] 01
里约奥运会排行榜预测
当届东道主效应（α（i）） = 前两届平均比例 本届所获金牌比例
3
东道主
上上届 (金)
东道主国家所获金牌数及该届金牌总数
上届
该届
下届
上上届 上届
（金） （金） （金） (总)
（总）
该届 （总）
表 5-1-1
下届 （总）
西班牙 1
1
13
5
226
241
248
271
美国
36
37
44
39
241
248
271
据此求得 X(1) 数列，然后累减， 可得
X(o)(k) = X(1)(k) X(1)(K 1) 即
X(o)(k) = (3，7.2069，5.8504，4.7492)
（5-1-6）
这个 X(0) 数列便为原始数列的模拟值，当 k≥n 时，可根据原始数列所求得的得预
记 Z(1) 为 X(1) 的紧邻均值生成序列，其中第 k 项表示为：
z(1)(k) = 0.5x(1)(k) + 0.5x(1)(k 1),k=2,„,n 则
Z(1) = (z(1)(1)，z(1)(2)， ⋯ ，z(1)(n)) = （3，7.5，15.5，22）
若X(1)数列变化过程为指数曲线，即可建立微分方程(灰色模型)
16 16 28 32 51 38
5
5
5
1
11 9
19 29
14 6
6
13 13 10 8
8
11 11 7
8
9
3
8
1
1
13 5
3
3
5393源自97610 4
3
3
奥运会金牌预测
奥运会奖牌预测10501010139 钟勤10501030117 李仁霞10503070133 杨茂兴奥运会奖牌预测摘要随着社会的发展，体育能力也成了评价一个国家的综合能力的重要一项。
能成为夏季奥运会的东道主是我们的骄傲，大家是多么关注这一季奥运会。
2008年奥运年，我国能获得多少奖牌呢。
本文用了GM（1，1）方法对中国29届奥运会奖牌进行了预测，得金牌：50，银牌：14，铜牌：17，奖牌总数为：76。
本文中也给出了对一个国家体育能力的评价标准，分为一级和二级：一级为：积分排名和三项目金牌比率；二级为：综合积分排名、稳定性、田径、游泳和体操。
关键词：GM(1,1) 东道主效益模糊层次分析一问题重述在2004雅典奥运会上，中国体育代表队取得了32枚金牌的好成绩，仅次于美国排名世界第二。
2008年8月第29届奥运会将在中国北京举行，届时中国体育健儿将和来自世界各地的选手一同争夺奥运奖牌。
中国体育健儿能否力压群雄，去得更辉煌的成绩。
问题 1.请你设计一个数学模型预测中国队在本届奥运会上将获得多少枚奖牌。
附录中给出了88年，92年，96年，00年，04年各国家和地区所获金、银，铜牌数目。
问题2.你认为衡量一个国家的体育实力应该以什么为标准，试建立相应的模型，并且从网上收集数据对模型进行求解。
二模型假设和符号说明2．1模型假设（1）假设其他国家体育实力没有很大变化；（2）假设北京奥运会中国体育代表队派出运动员人数不少于往届奥运会人数；（3）假设北京奥运会设立奖牌数量不少于往届奥运会数量；（4）假设苏联解体前参加的奥运会记录记为俄罗斯记录。
（5）假设奥运会主要影响项目为田径，游泳体操，其它项目为次要影响因素。
（6）假设中国奥运健儿发挥正常。
2.2 符号说明x0：为东道主当届获得的金牌数占当届总金牌数的百分比;x：为东道主其他届次获得金牌数占该届总金牌数百分比的平均值;：为东道主当届获得的奖牌数得分占该届总奖牌分数的百分比；yy：为东道主其他届次获得奖牌数的分数占该届总奖牌分数百分比的平均值； n ：为该国获得奥运会金牌的总届数。
高盛预测伦敦奥运会奖牌榜
高盛预测伦敦奥运奖牌榜美国领头羊英国突破历史
高盛集团的一份研究报告预测，中国代表团将在伦敦奥运会上拿到33块金牌，比2008年北京奥运时少18块。
中国的奖牌总数为98块，比2008年少两块。
不论金牌榜还是奖牌榜，中国都将位居美国之后，排名第二。
高盛预测伦敦奥运会金牌前10名为：美国、中国、英国、俄罗斯、澳大利亚、法国、德国、韩国、意大利和乌克兰；奖牌总数的前10名为：美国、中国、俄罗斯、英国、澳大利亚、法国、德国、韩国、意大利和乌克兰。
高盛报告显示，2012年伦敦奥运会上，主办国英国将多拿11块金牌，达30块；奖牌总数为65块，比上届奥运时多18块，排名第四。
美国将仍然是奥运奖牌大国，排名第一。
预计美国将拿到37块金牌，比上届奥运多1块，奖牌总数为108块，比上届奥运少2块。
高盛认为，一般来说，一个国家的增长环境评分(GES)和收入越高，收获奥运金牌的数量就会越多；另外，奥运会举办国家的天时、地利、人和因素将帮助该国多拿金牌和奖牌。
高盛增长环境评分(GES)，是对可持续增长和生产效率至关重要的指数。
分数由0至10不等，分数越高表明生产效率越高或可持续增长能力更强。
报告显示，2011年，中国的增长环境评分为5.4，美国为7.0，英国为6.8。
报告分析，奖牌榜前十位的，将有5个是7国集团成员，即美国、英国、法国、德国和意大利。
另外两个是金砖五国成员，为中国和俄罗斯。
还有三个国家是发达国家澳大利亚、韩国和新兴市场国家乌克兰。
金融机构预测体育赛事结果的传统由来已久。
他们预测的结果，有时准确，有时不准。
数学建模-预测2012年伦敦奥运会前五名奖牌榜
2
国家会地区之间各界奥运会奖牌数量的转移规律，即求出状态转移概率矩阵，进 而可以用今年的数据来预测下届奥运会奖牌数。
五、模型建立和求解
5.1.1 模型一建立 基于前面的分析，我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出 现在奖牌榜前15名的9个国家，将剩余的国家或地区归为一个地区，这样就选出 了10各国家或地区作为研究对象，记国家或地区的编号为i(i=1,2,„10，记届次 编号为t(t=1,2,„,6)。具体的选取过程我们将在模型求解释详细说明。 对于选取的10个国家或地区， 记国家或地区i在第j次奥运会上所得奖牌数为 ni(t)，该届奥运会总奖牌数为N(t)，即N(t)= ；由此可以得到该国家或
6
分,铜牌为10 分,赋予各国在各届奥运会上的分值,从而从整体实力上计算奥运 会的东道主效应(见表 1 0
n
100%
n
n
其中:A E金牌为金牌数的东道主效应;
AE 整体实力=
y y
t 1
100%
地区在此次奥运会上所得奖牌数占总奖牌数的比例，记为wi(t)，则wi(t)= t=1,2,„6 (1)
我们再构造向量W(t)=(w1(t),w2(t),„w10(t))表示各国家或地区获得奖牌数 比例情况的结构向量。 由马氏链的基本方程可得，下届奥运会个国家或地区奖牌 数比例：W (t+1)=W(t)P t=1,2,„6 (2)
第24 届 11 3 1 7 12 9 10 15 14
4
年份 1956 1964 1976 1988 1992 2000 2004 2008 主办国家 墨尔本 日本 加拿大 韩国 西班牙 澳大利亚 希腊 中国 当前奖牌数 25 29 11 33 22 58 16 100 当届奖牌数 11 18 5 19 4 41 13 63 当届名次 3 3 27 4 6 4 15 1 前届名次 9 8 27 10 25 7 17 2
奥运奖牌预测-第一次
奥运奖牌预测摘要本文根据中国在24~28届奥运会获得奖牌情况，建立了灰色预测G（1，1）模型对29届奥运会中国获奖牌数预测，并进行灰色关联度分析，得出各个项目对金牌的影响。
最后建立了综合评价模型对各个国家体育实力进行评估。
并对模型进行了分析，依据分析结果对模型进行了评价。
首先，根据24~28届奥运会我国获奖牌数建立了灰色GM(1,1)预测模型，并运用matlab7.0进行求解得到25届到28届中国所获金、银、铜牌数目的预测值，通过与实际所获奖牌数目进行比较（见表2-4），并进行了检验，结果表明金牌、银牌的预测具有一级精确度，而铜牌数目的预测结果不合格，我们引入残差模型进行了修正，修正后的结果也获得了一级精确度。
据此，我们预测29届奥运会中国获得金牌数为42枚，银牌数为15枚，铜牌数为14枚。
同时，根据实际情况，我们在预测结果的基础上考虑到东道主效应，根据历届奥运会东道主效应，得出东道主效应因子1.13，即东道主的获奖牌数是非东道主时的1.13倍，以此修正了预测值，得到最终结果奖牌数为80枚。
同时为了积极备战奥运，获得奥运最佳备战策略，我们根据24~28届中国奥运金牌数目并查找了各项目获金牌数，并对其进行了灰色关联度分析，得出我国历届奥运会各项目的相对优势程度，并结合实际情况进行分析，提出了巩固传统优势，扩大夺金项目的建议。
对于问题II，我们利用文献资料法，分析了衡量一个国家体育实力的各个指标，最后得出三个最重要的指标即竞技比赛成绩、体育全民参与度、体育产值，在求解模型过程中，我们用体育人口比例代表健身全民参与度这一指标，使问题得到简化，不仅利于求解也利于理解。
同时我们分析了当前我们对金牌大国与体育强国理解的误区，最后利用求得的结果很好的解释了金牌大国不等于体育强国，并提出体育变强还得从大众体育入手。
最后，我们对所建立模型的优缺点进行分析和评价，灰色GM（1，1）模型对于短期预测有较好的结果，而综合模型有点在于能进行客观、公正、合理的全面评价。
第28届奥运会中国奖牌预测
第28届奥运会中国奖牌预测摘要：本文旨在预测第28届奥运会中国的奖牌数。
我们分析了中国运动员在过去几届奥运会中收获的总体数量以及各个比赛项目获得奖牌数量，利用可靠的数据和有力的证据，我们预测了第28届奥运会中国可能获得的奖牌数。
关键词：第28届奥运会；中国；奖牌预测；运动员成绩正文：第28届奥运会即将在2022年7月23日开幕，中国预计将参加各项比赛，并希望取得更好的成绩。
鉴于此，本文旨在通过分析中国运动员在近几届奥运会中取得的成绩，来预测中国在第28届奥运会可能获得的总体奖牌数量。
首先，我们对中国运动员在最近五届奥运会中取得的总体奖牌数量进行了分析。
从2000年如果极端奥运会杭州到2016年里约奥运会，中国运动员获得的总体奖牌数量从164枚增加至407枚。
然后，随着近几届奥运会的进行，我们分析了中国运动员在各个比赛项目中取得的奖牌数量，包括体操、射击、羽毛球、田径等。
可以看出，这些比赛项目中，中国运动员取得的总体奖牌数量有所上升，其中，体操、射击和田径等运动中获得最多的奖牌数量占比超过50％。
最后，根据上述分析结果，我们预测中国在第28届奥运会可能获得的总体奖牌数量为450~500枚。
虽然没有任何绝对的保证，但是我们仍然抱有乐观的态度，希望第28届奥运会对中国运动员取得更佳的成绩。
在当今这个数据驱动的时代，我们可以从数据上得出有助于成功的结论。
预测第28届奥运会中国奖牌数量的论文也具有重要意义。
首先，这一论文可以帮助相关人员制定有效的发展战略，以达到最佳成绩。
其次，通过分析过去几届奥运会中中国运动员在各个项目中取得的奖牌数量，我们可以明确中国在某个项目上取得成功所需要的资源投入。
同时，对于政府来说，该论文可以提供基本的参考，以便更有效地优化运动领域的投资。
总而言之，本文可以为与运动有关的决策与规划提供有效的参考。
此外，第28届奥运会的参赛者较之前更多，而这也增加了竞争对手的数量。
面对这一情形，中国运动员和相关官员就需要采取有效的策略，让中国运动员更具优势，在比赛中取得优胜。
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2016年中国矿业大学数学建模模拟竞赛参赛基本信息专用页承诺书我们仔细阅读了大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
参赛学生基本信息日期：年月日里约奥运会奖牌榜预测摘要本文主要探讨了奥运会奖牌榜的预测问题，通过建立模型对2016年里约奥运会奖牌榜进行预测。
本文主要通过建立比较时间序列模型、多远线性模型喝灰色预测模型，使用MATLAB和SPSS软件对历届奥运会奖牌榜进行分析并最终得到最优预测模型。
在模型一的建立中，我们假设奥运会奖牌榜之语往届奥运会奖牌榜有关，使用时间序列法来进行预测，通过对数据拟合建立回归模型。
由于模型一得预测结果与实际奖牌榜出入较大，在模型二的建立中，我们综合考虑了国家GDP、人口数量、经济发展水平、人口结构和东道主效应等因素建立多元回归模型。
关键词：一、问题的重述奥运会是竞技体育顶级盛会，其所获奖牌数及国家排名在一定程度上是衡量一个国家体育水平的尺度，也是一个国家的经济、政治和综合实力的具体体现之一。
2016年8月6日早上7:00在巴西的里约热内卢隆重开幕(以下简称里约奥运会)，对于正在举行的里约奥运会，大家普遍关心的问题就是奖牌榜的排名，奥运会奖牌榜成了大家关心的热点问题。
现请查阅资料，并根据以往各国奖牌榜排名情况，以及各国经济发展、人口体质、政府政策等各种能影响到奖牌榜的因素，建立数学模型，预测2016里约奥运会的奖牌榜前十名。
并据此对各国体育水平进行分类。
二、问题的分析三、模型假设俄罗斯队因为禁赛原因结果取预测值的2/3世界银行和奥委会提供的资料真实可靠今年奥运会共颁发302块金牌，960块奖牌四、符号说明i国家编号t奥运会届数M每个国家的金牌总数y每个国家奖牌总数POP国家的人口总数GDP国民生产总值Host奥运会主办国社会制度ysSGen青少年在总人口总所占比例五、建立模型及求解5.1、模型一得建立与求解5.1.1、模型一的建立：最简单的增长模型就是马尔萨斯的指数增长模型，设某年的奖牌数为(0)M ,n 年后的奖牌数为()M n ，届增长率为常数k ，则有：()(0)(1)n M n M k =∙+ （1）虽然该模型可以较好的预当参赛国家较少时的奥运奖牌榜，但在实际中增长率k 并不是常数且由于各种原因增长率差别较大，所以此模型无法有效的预测本届奥运会奖牌榜。
时间序列模型是描述时间序列统一性的一种常用方法，在预测未来事件时，通过该事件的历史数据揭示事假未来的发展规律，从而对该事件的未来做出预测。
时间序列模型强调时间因素在预测中的主体作用，暂不考虑外界因素的影响。
所以在模型的建立中我们假设奥运会奖牌榜只与历届奥运会成绩相关，暂不考虑其他因素的影响。
因为每一届奥运会比赛项目都在发生变化，奖牌总数也随之变化，为了使任意两届奥运会奖牌数目具有可比性，本文采取奖牌数目的相对值来进行计算，从而消除奖牌数目变化带来影响，即使用1,2,3ii ii M Ms M ==∑来计算。
在模型的建立当中，我们使用线性回归模型来预测2016年奥运会奖牌榜。
奥运奖牌总数和时间之间的一元线性回归模型为：01y t u αα=++（2）其中t 为时间，01αα、为待定参数，u 为随机变量，用MATLAB 拟合后得到总奖牌数目拟合曲线。
5.1.2、模型一的求解以德国为例进行2016年奥运会奖牌榜排名： 表一： 1992-2012年德国奥运会奖牌数年份 金牌数 金牌占比 奖牌总数 奖牌总数占比198848 19.92% 142 17.91% 199233 12.69% 82 10.06% 199620 7.94% 65 8.82% 200013 4.36% 56 6.07% 200414 4.64% 48 5.16% 200816 5.30% 41 4.28% 201211 3.64% 44 4.57% 由于1988年德国分为联邦德国和民主德国进行参赛，数据不具有参考价值，拟合时不予考虑。
德国历届奥运会奖牌总数拟合结果：图一：德国历届奖牌总数线性回归拟合曲线表二：奖牌总数线性回归结果：回归系数回归系数值估计0α0.3941α-0.0122R =0.877F =28.649ρ=0.006德国奖牌总数线性回归结果为：0.0120.394y t =-+使用SPSS 软件预测德国队在今年奥运会中拿到的总奖牌占比为0.0649。
使用同样方法对其他国家进行线性拟合结果如表三所示：、 表三：各国奖牌总数占比拟合结果：国家 拟合方程美国 0.0030.232y t =-+ 中国 0.1080.407y t =- 俄罗斯 0.0160.550y t =-+ 英国 0.0050.123y =- 澳大利亚 0.0020.032y t =-法国 (6)0.001310^y t -=+⨯日本0.0030.052y t =-德国 0.0120.394y t =-+ 意大利 0.0010.005y t =+韩国 0.0120.394y t =+ 荷兰 0.00070.00108y t =+ 匈牙利0.0030.019y t =-+通过对各个国家历届奖牌数目占比进行线性拟合，我们得到了每个国家金牌占比M 和总奖牌占比y 与奥运会举办届数t 的线性关系，并由此得到第26界奥运会的奖牌榜排名。
表四：第31届奥运会奖牌榜预测国家 奖牌总数 奖牌总数排名金牌数金牌数排名美国 99 1 42 1 中国 97 2 31 2 英国 50 3 12 4 澳大利亚 46 4 11 5 俄罗斯 42 5 18 3 法国 37 6 11 7 日本 37 7 7 11 德国 37 8 10 6 意大利 34 9 10 8 韩国251010 95.2、模型二的建立与求解 5.2.1、模型二的建立：由于在模型一中仅考虑时间因素，线性拟合结果不理想。
考虑到是否为东道主对比赛结果特别是金牌数量，具有显著影响，因此在模型二中，采用了灰色GM(1，1)模型与东道主因素相互结合的方法进行预测，假设奖牌榜上各成员成绩只与是否为东道主和在往届的表现有关。
客观世界中既有大量已知信息又有大量未知信息，相互交织。
如果将已知信息称为白色信息，未知或非确知信息称为黑色信息，既含有已知信息又含有未知或非确知信息的系统称为灰色系统。
这些系统仅具有以时间为序列的数据，因此在研究时可将时间序列转化为微分方程，建立抽象系统发展变化的动态模型，这就是灰色DM 或GM 模型。
在模型二中，为排除东道主所产生的显著影响，首先对原始数据进行了处理，将东道主当年奖牌与金牌占有量修正为上下两届的平均数。
同时考虑到各国的体育水平更多地由金牌（或奖牌）占有量体现，而不是由纯粹的数量决定，因此为了使任意两届奥运会奖牌数目具有可比性，本文采取奖牌数目的相对值来进行计算，从而消除奖牌数目变化带来影响，即使用1,2,3ii ii M Ms M ==∑来计算。
特别的，为简化运算假设本届将有金牌量为302个，奖牌量为960个，因此302i i M Ms = ，960i i y Ms = 。
GM(n ，h)模型是指n 序列h 阶线性动态模型，在模型二中我们采取单序列一阶线性动态模型，即GM(1,1)模型。
假设按照时间排列的处理后的金牌榜数据为{}(0)(0)()|1,2,3M M k k == ，利用累加生成法得到新数列(1)M ，其中：(1)(0)1()()ki M k M i ==∑ （3）生成的数列(1)()M k 为一阶一个参数的灰色微分方程，记为GM （1,1），即(1)(1)dM aM u dt+= （4） 其中a ，u 为待定常数，t 为时间变量。
该微分方程的解为：()(1)1(1)ak u u M k M e a a -⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦ （5）该式的参数列为M=(a,u)t用最小二乘法求出1a ()T T N B B B H -= 由灰色GM(1，1)模型，有(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(2)21(2)(3)21(1)()2M M M M B M n M n ⎡⎤⎡⎤-+ 1⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+ 1⎣⎦⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎡⎤--+ 1⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0)(0)(0)(2),(3)()TN H M M M n ⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦ 根据线性代数的相关知识可以求解、化简得到：112211(1)()()n n i i i i m n b b --===--∑∑ （6）111111(1)n n n i i i i i i i a n b h b h m---===⎤⎡=--÷⎥⎢⎣⎦∑∑∑ （7）111121111()()n n n n i i i i i i i i i u b h b b h m----====⎤⎡=-+÷⎥⎢⎣⎦∑∑∑∑ （8）由微分方程的解的表达式可求得()1Mk +因此第n 项的估测值为:(0)(1)(1)(1)(1)()Mk M k M k +=+- （9） 通过以上计算得到的拟合值、预测值，与给定数列存在一定误差，称为残差。
构造残差数列(0)(0)(0)()()()E k M k M k =- （10）残差数列可以揭示数据拟合值与实际值的差额，也可利用此序列再次应用GM(1，1)模型进行同样的计算，得到预测值的修正值。
将金牌榜奖牌榜数据代入，可得到预测的金牌榜奖牌榜数据及排名。
奖牌预测同理。
5.2.2、模型二的求解以韩国的金牌数预测为例，对模型二进行求解。
首先，对韩国历届获得金牌数量排除东道主因素的影响，并利用韩国每一届的金牌占比得到经过修正的金牌数，如下表所示： 1988 12 0.049792531 13.93846 1992 12 0.046153846 13.93846 1996 7 0.027777778 8.388889 2000 8 0.026845638 8.1073832004 9 0.029801325 9 2008 13 0.043046358 13 2012130.04304635813利用式（3）得到待处理数据：数列(0)()M k 、(1)()M k ，如下表所示 序号k12345 6 7 (0)()M k 13.93846 13.93846 8.388889 8.10738391313(1)()M k13.93846 27.87692 36.26581 44.37319 53.37319 66.37319 79.37319为求出a 、u ，由(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(2)21(2)(3)21(1)()2M M M M B M n M n ⎡⎤⎡⎤-+ 1⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+ 1⎣⎦⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎡⎤--+ 1⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0)(0)(0)(2),(3)()TN H M M M n ⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦两个式子可计算出矩阵B 、H 中各元素，即h(i)与b(i)的值，具体数值如下表所示表七 灰色模型计算过程量1 2 3 4 5 6 Sum ()h i13.94 8.39 8.11 9.00 13.00 13.00 65.43 ()b i -20.91 -32.07 -40.32 -48.87 -59.87 -72.87 -274.92 2()b i437.13 1028.57 1625.66 2388.59 3584.80 5310.50 14375.26 ()()b i h i-291.42-269.04-326.89-439.86-778.35-947.35-3052.91由上表数据，以及式（6）、（7）、（8）可以求出a 、u 的值，由式（5）可知所构造的一阶微分方程的解为()(1)1(1)ak u u M k M e a a -⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦将k 依次代入,得到韩国各届奥运金牌的预测值，并根据式（10）求出残差。