几何证明——角平分线模型中级

B

B

B

D

A

B

C

几何证明——角平分线模型(中级)

【知识要点】

１、角平分线：

（1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）； （2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一

条射线是一个角的角平分线）。

2、角平分线常见用法（或辅助线作法）：

①垂两边：如图1，已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =。

②截两边：如图2，已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ?≌CBP ?。 ③角平分线+平行线→等腰三角形：

如图3，已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =； 如图4，已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =。

(1) (2) (3) (4)

④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：

如图5，已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =。

（5）

3、角平分线比例定理

如图6，AD 为ABC ?的角平分线，则

AB BD AC CD =或AB AC

BD CD

=

。

（6）

【经典例题】

例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο

90=∠C ，求证：CD AC AB +=；

C

例2、如图，在ABC Rt ?中，ο

90=∠ACB ，AB CD ⊥于D ，AF 平分CAB ∠交CD 于E ，交CB 于F ，

且AB EG //交CB 于G 。试求：CF 与GB 的大小关系如何？

E C

A

B

D

F

G

例3、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο

108=∠C ，求证：BD AC AB +=；

例4、如图：已知I 是ABC ?的内心，//DI AB 交BC 于点D ，//EI AC 交BC 于E 。求证：DIE ?的周长等于BC 。

A

B

C

I

D

E

例5、如图：已知在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ，DE ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：FC BE EF -=。

F

E

D

A

B

C

M

例6、如图，已知ABC ?中CD AC AB BAC ,,90==∠ο

垂直于ABC ∠的平分线BD 于D ，BD 交AC 于E ，

求证：CD BE 2=。

E

D A

B

C

【提升训练】

1、如图，已知ABC ?的周长是OC OB ,,21分别平分ABC ∠和ACB ∠，BC OD ⊥于D ，且3=OD ，求

ABC ?的面积．

D

O

B C

A

2．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO

：S△BCO：S△CAO=．

3．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，

PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于．

4．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积．

5．已知如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A的平分线交CD于F，BC于E，过点E作EH⊥AB 于H．求证：EC=CF=EH．

6．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．

7．如图，等边△ABC 中，AO 是∠BAC 的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ，连接BE ．

（1）求证：△ACD ≌△BCE ；

（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP 、CQ 使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ 的长．

8．如图，已知在△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是多少？

9．已知：如图在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，求：D 到AB 边的距离．

10．如图，△ABC 中，点D 在BC 上，记△ABD 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2，若S 1：S 2=AB ：AC ，则AD 是△ABC 的角平分线．请说明理由．

11、如图，已知在ABC ?中，分别以BC AC ,为边向外作正BCE ?、正ACD ?，BD 与AE 交于M ，求证：（1）BD AE =。（2）MC 平分DME ∠。

12、已知：如图，AP 、CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P ，求证：BP 为

MBN ∠的平分线。

B

N

13、如图，DB DA DAC BAD AC AB =∠=∠=,,2，求证：AC DC ⊥。

B

14、如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分CAB ∠和CD DBA ,?过点E ，求证：BD AC AB +=。

D

A

15、如图，ABC ?中，AD 是A ∠的平分线，F E ,分别为AC AB ,上一点，且ο

180=∠+∠BAF EDF ，求证：DF DE =。

B

16、已知：AC 平分BAD ∠，AB CE ⊥，ο

180=∠+∠D B ，求证：BE AD AE +=。

D

17、已知，在ABC ?中，BP 、CP 为角平分线，过P 点作BC EF //交AB 于E ，交AC 于F 。 求证：CF BE EF +=。

B

18、已知如图，AD 平分BAC ∠，BD AB AC +=，求证：C B ∠=∠2。

B

19、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作AB CE ⊥于E ，并且)(2

1

AD AB AE +=，求证：?=∠+∠180ADC ABC 。

A

20、已知ABC ?中，AB AC =，GE 过A 且GE //BC ，B ∠的平分线与AC 和GE 分别交于D 、E ，C ∠ 的平分线与AB 和GE 分别交于F 、G 。求证DE FG =。

21、如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点F ，BE 平分ABC ∠，AD AE 2

1

=

，猜想线段AB 、

BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。

A

22、如图，已知ABC ?中，CE 平分ACB ∠，且CE AE ⊥，?=∠+∠180CAE AED ，求证：BC DE //。

B

23．如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB=∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为 ．