学而思初一数学暑假班第7讲.一元一次方程的解法及应用.学生版

．． 一个数（除数不能是 0．），结果仍是等式．．．．． ． 若 a = b 且 c ≠ 0 ，则 = ．

4x - 3 、1 + 5 + 7 = 13 、 y - 7 = 2 、2x = 3x + 1 、6 y - 4 、x + y = 5 、π≈ 3.14 ，2a + b > 0 ，

7

一元一次方程的解法

及应用

模块一

等式的概念及性质

定 义

等式的概念：用等号来表示相等关系的式 子，叫做等式．

等式的类型

示例剖析

1 +

2 =

3 ， x + 1 = 5 ，

s = ab ， a + b + c = mxy + n

恒等式：无论用什么数值代替等式中的字

x = x ，3 = 3

母，等式总能成立．

条件等式：只能用某些数值代替等式中的字 方程 x + 5 = 6 需要 x = 1 才成立． 母，等式才能成立．

矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字 如 3 = 2 ，1 + 2 = 5 ， x + 1 = x - 1 ． 母，等式都不能成立．

等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同 若 a = b ，则 a ± c = b ± c ． 一个数（或式子），所得结果仍是等式．

等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同 若 a = b ，则 ac = bc ，

a b c c

在等式变形中，以下两个性质也经常用到：

①等式具有对称性，即：如果 a = b ，那么 b = a ；

②等式具有传递性，即：如果 a = b ， b = c ，那么 a = c .

夯实基础

【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．

1

2

x 2 = x 2 ， 7 x + 1 = 7 x - 1.

52

第 7 讲·尖端预备班·学生版

③ 6x = 8 y + 3 ，则 x = ________； ④ x = y + 2 ，则 x =

． A ． 3a - 5 = 2b B ． 3a + 1 = 2b + 6 C ． 3ac = 2bc + 5 D ． a = b +

A ．由 - x = ，得 x = 2

B ．由 3x - 2 = 2x + 2 ，得 x = 4

．．

．． ．．

．．．． ．． ．0 ．．

“

能力提升

【例2】 ⑴ 根据等式的性质填空：

① a = 4 - b ，则 a + b = ______；

② 3x + 5 = 9 ，则 3x = 9 - ；

1 2

⑵ 已知等式 3a = 2b + 5 ，则下列等式中不一定成立的是（ ）

2 5

3 3

（北京二中期中）

⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）

1 2

3 3

C ．由 2x - 3 = 3x ，得 x = 3

D ．由 3x - 5 = 7 ，得 3x = 7 - 5

（海淀区期末）

模块二

方程的相关概念

定 义

方程：含有未知数的等式．即：

①方程中必须含有未知数；

②方程是等式，但等式不一定是方程．

方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的 值，叫做方程的解．

解方程：求方程的解的过程． 方程中的已知数：一般是具体的数值．

方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常 用 x 、 y 、 z 等字母表示．

一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知

数的最高次数是 1，系数不等于 ．的整式方程叫做一 元一次方程，这里的“元”是指未知数， 次”是指含未 知数的项的最高次数．

最简形式：方程 ax = b （ a ≠ 0 ， a ， b 为已知 数）的形式叫一元一次方程的最简形式．

标准形式：方程 ax + b = 0 （ a ≠ 0 ， a ， b 是已

示例剖析

例如1 + 2 = 3 是等式不是方程．

例如 x = 3 是方程 x + 3 = 6 的解

例如 x + 5 = 0 中, 5 和 0 是已知数，

例如关于 x 、 y 的方程 ax - 2by = c 中， a 、 -2b 、 c 是已知数， x 、 y 是未知数．

2x + 3 = 5 ， y - 1 = 0 ， x = 3

例如 3x = 5 ， 2x = 7 等．

例如 2x + 1 = 0 ，x + 4 = 0

知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．

易错点 1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 易错点 2：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一

第 7 讲·尖端预备班·学生版

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【例3】 ⑴ 下列式子：① 3x + 2 = 5x - 1 ；② - ? + = 1 ；③ 2x + 3 ≤ 5 ；④ y 2 - 1 = 2 y ， ⑵ ① x + 4 = 4 + x ；② = 2 ；③ x - 4 = 4 - x ；④ 2 x = 3 ；⑤ x 2 + x = x( x + 2) + 3 ．

A ．

B ．

C ．

D ． -

次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程 x 2 + 2x + 1 = x 2 - 6 是一元一次方程．

夯实基础

? 1 ?2 3 ? 2 ? 4

其中方程的个数为（ ）个．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

1

x

其中是一元一次方程的有 . ⑶ 下列方程中解是 x = 2 的一共有（ ）个．

①4x - 8 = 0 ②4x + 8 = 0 ③ 8x - 4 = 0 ④2x - 4 = 0

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

（北大附中期中）

能力提升

【例4】 ⑴ 若 kx 3-2k + 2k = 3 是关于 x 的一元一次方程，则 k =

. ⑵ 若 (m - 2) x m 2-3 = 5 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是

.

⑶ 若 (a - 1)x a + a = 5 是关于 x 的一元一次方程，则 a 的值是

. ⑷ 已知 (2m - 3)x 2 - (2 - 3m ) x = 1 是关于 x 的一元一次方程，则 m =

.

（北京师范大学附属实验中学期中）

⑸ 方程 (m - 1)x |m | = m + 2n 是关于 x 的一元一次方程，若 n 是它的解，则 n - m =（ ）．

1 5 3 5 4 4 4 4

（人大附中期中）

模块三

一元一次方程的解法及应用

解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的

系数化为1 ．

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第 7 讲·尖端预备班·学生版

5 - 2 = x - 2

去分母正确的是（ 2 - 12x 的解是 x = 2 ，则 b = 【例6】 ⑴ 解方程 x - 1? - 1 = 1

2 = 2 - 2 - 1 = 这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到 下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．

易错点 1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号． 易错点 2：去分母：漏乘不含分母的项. 易错点 3：移项忘记变符号．

夯实基础

【例5】 ⑴ 方程 (3x + 2) - 2(2 x - 1) = 0 去括号正确的是（

）

A ． 3x + 2 - 2x + 1 = 0

B ． 3x + 2 - 4x + 1 = 0

C ． 3x + 2 - 4x - 2 = 0

D ． 3x + 2 - 4x + 2 = 0

⑵ 方程 x - 3 x + 1

）

A ． 2( x - 3) - 2 = x - 5(x + 1)

B ． 2x - 3 - 20 = 10x - 5x + 1

C ． 2( x - 3) - 20 = 10x - 5(x + 1)

D ． ( x - 3) - 20 = 10x - (x + 1)

⑶ 当 x 的值为 时，代数式 4x - 5 和 3x - 16 的值互为相反数．

⑷ 若方程 5b - x = 1

1 ? 1 ?

2 ? 2 ?

1

．

（人大附中期中）

⑵ 解方程 y - y - 1

y + 2

3

（北京五中期中）

⑶ 解方程 3x + 2 2x - 1 2x + 1

4 -

5

（北京师范大学附属实验中学期中）

第 7 讲·尖端预备班·学生版

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⑷ 解方程 7 x - 1 1 - 0.2x ? y - - 3 ? - 3? = 1

⑵ { [ ( + 4) + 6] + 8} = 1

⑴ (2 x - 3) + (3 - 2x) + x =

5x + 1

= -

0.024 0.018 0.012

能力提升

【例7】 解下列方程：

⑴ 1 ? 1 ? 1 3 ? ? 2 ? 2 ? 4 2 ? ?

1 1 1 x + 2

9 7 5 3

探索创新

【例8】 解下列方程：

1 1

2

3 11 19 13 13

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第 7 讲·尖端预备班·学生版

⑵ 1 3 - x - 7 ? = 2 - 7 - x ?

1? 2 + 2 ? 3 + L + 1? 3 + 3 + x - 18 5 + x - 16 7 + x - 14

9 +

1 ? 3 ?

2 ? 5 ?

1 1 ? 3 ? 3 ? 5 ?

【例9】 解下列方程：

⑴ x x x

2009 ? 2010 = 2009

⑵

x x x x 3 ? 5 + ... + 2003 ? 2005 + 2005 ? 2007 = 2006

【例10】解下列方程：

⑴ x - 20

x - 12 11 = 5

第 7 讲·尖端预备班·学生版

57

⑵x-2010x-13-x

++=0 9720092007

58第7讲·尖端预备班·学生版

⑶如果x-y=2，那么-y=2-_____；

5?3-x?-3 2-

5?

x?=36

4-x-4

6=

5-x

18-

1

1.2

-1=

实战演练

知识模块一等式的概念及性质课后演练

【演练1】用适当的数或式子填空，使结果仍是等式，

⑴如果2=3+x，那么_______=x；⑵如果x-y=6，那么x=6+______；

3

4

⑷如果3x=24，那么x=．

知识模块二方程的相关概念课后演练

【演练2】⑴下列选项是一元一次方程的是（）

A．x=0B．m=3n C．x+1D．x=2

⑵关于x的方程(n-1)x2+nx-x+8=0是一元一次方程，

则n的值是．

⑶若关于x的方程(2-|m|)x2+(m-2)x-(5-2m)=0是一元一次方程，求m的解．

知识模块三一元一次方程的解法课后演练

【演练3】解方程：

⑴2(4x-3)-5=6(3x-2)-2(x+1)⑵1?3??

2??4?

【演练4】⑴解方程：3+2x

⑵解方程：

0.1x-0.40.2x+1

0.3

第7讲·尖端预备班·学生版59

【演练5】 ⑴ 解方程： [ ( x - 1) - 6] + 2 = 0

⑵ 解方程： - [- (-1 - x) - ] - =-

⑴ 3(x + 1) - ( x - 1) = 2(x - 1) - ( x + 1)

⑵ ( y + 1) + ( y + 2) + ( y + 3) + L + ( y + 2009) = 2009

1 1 1

3 4 3

1 1 1 1 1

3 2 6 12 24

【演练6】 解方程：

1 1

3 2

1 1 1 1

2 3 4 2010

60

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