《圆的一般方程》教学设计与反思
《圆的一般方程》教学设计
《圆的一般方程》教学设计●教学目标1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件；3．进一步熟悉并掌握待定系数法.●教学重点圆的一般方程应用●教学难点待定系数法教学过程一、设置情境：1、求下列各圆的标准方程⑴圆心在直线y ＝－x 上，且过两点(2,0),(0,－4)；⑵圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点(2，－1)； ⑶圆心在直线5x －3y ＝8上，且与坐标轴相切。
⑴(x －3)2＋(y ＋3)2＝10；⑵(x －1)2＋(y ＋2)2＝2；⑶(x －4)2＋(y －4)2＝162、已知圆x 2＋y 2＝25，求：⑴过点A(4，－3)的切线方程； 4x －3y －25＝0⑵过点B(－5，2)的切线方程。
21x －20y ＋145＝0或x ＝－52、圆的标准方程及其应用回顾：(x ―a)2＋(y ―b)2＝r 2 其中圆心坐标为（a,b ），半径为r变形圆的标准方程x 2＋y 2―2ax ―2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ①反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。
将①的左边配方，整理得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② ⑴当D 2+E 2－4F ＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为F E D 42122-+的圆； ⑵当D 2+E 2－4F ＝0时，方程①只有实数解x ＝―D/2,y ＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)；⑶当D 2+E 2－4F ＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。
二、解决问题1、圆的一般方程：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0(D 2+E 2－4F ＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为F E D 42122-+。
高中数学_圆的一般方程教学设计学情分析教材分析课后反思
青春寄语：将青春握在手中，将希望铭记心头，带着希望与梦想，去追求，去奋斗！《圆的一般方程》学情分析对于直线和圆的标准方程，学生已经非常熟悉，在经历直线、圆的标准方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，本节课，学生将进一步挖掘圆的一般方程并与圆的标准方程对比，找出不同点，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。
另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。
因此，在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐。
高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）圆的一般方程的代数特征，圆的标准方程与一般方程间的转化;（2）对圆的一般方程的认识、掌握和运用;（3）用相关点法求轨迹方程.过程与方法目标：（1）通过对圆的一般方程的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。
（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。
情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神。
《圆的一般方程》效果分析学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息的传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。
《圆的一般方程》教学设计与反思教学提纲
《圆的一般方程》教学设计与反思《圆的一般方程》教学设计与反思一、教学基本信息课题：本课选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）下册》，第八章直线和圆的方程第七节圆的方程的第二课时§8.7.2圆的一般方程。
二、指导思想与理论依据随着《普通高中数学课程标准》（实验）的实施，新课程标准中提出了许多先进的教育理念，这些理念对职业高中的数学课程改革和课堂教学具有极强的指导作用。
然而由于职业教育对象的复杂性，在具体的数学课堂教学中应考虑职业学校学生的心理特点和不同水平、不同学生的兴趣需要，体现“以人为本”教学理念，把“过程与方法”作为与“知识与技能”、“情感态度与价值观”同等重要的目标维度，倡导学生“主动参与、乐于探索、勤于思考”，培养学生“获取新知识”、“分析和解决问题”的能力。
三、教材分析：《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。
在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。
四、学情分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。
因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
五、教学目标：（一）知识与技能：1 •理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；2•明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3 •逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程.（二）过程与方法：1. 从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2. 随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；3 •通过一题多解，培养学生发散思维；4•在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神.（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣.六、教学重点：1. 圆的一般方程的形式；2. 在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.七、教学难点：用配方法求圆心坐标和半径.八、教学流程：知识回顾一探索研究-合作交流一知识应用一课堂小结一布置作业一课后反思九、教学过程：（2）（x-2）+y=9;（3）x2+（y-1）2=3; ____ （4）x 2+y2=5;问题二：下列二元二次方程是否表示圆？（1）2x2+y2-2x+3y-6=0; ____2 2（2）x +2xy+y -3x+5y-1=0;（3）x2+y2-2x+4y+5=0; _____ （4）3x2+3y2-6x+12y=0; _____ 问题三：（1）圆的方程一定是二元二次方程吗？（2）二元二次方程一定表示圆吗？问题四：已知圆的一般方程，如何求圆心坐标和半径？多媒体呈现问题，根据学生的回答情况分析讲评学生分组讨论，每组委派一名代表回答采用问题串呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神.四.知识应用：1.例题讲解：例4.求下列各圆的圆心坐标和半径：（1）x 2+y2-6y=0;（2）2x 2+2y2+8x-10y=0. 解：（1）解法一设圆心的坐标为（a, b）,半径为r,由圆的一般方程得：D=0, E=-6, F=0而a D 0, b 旦 3,2 2r2=a2+b2-F=32所以，圆心坐标为（0, 3）,半径为3(2)解法二(配方法)2 2 2 22x +2y +8x-10y= x +y +4x- 5y=0 (x2+4x)+(y2-5y)=0(x2+4x+2)+[y 2-5y+ 弓)2]- 22-(5)2=0 (x+2)2+(y-5)2=412 2 4 从而得出圆心坐标为(-2, 第（1）小题用常数D E、F与a、b、r之间的关系：r2=a2+b2-F 来解；第（2）小题用配方法来解.出示练习题，讲通过一题多解，培养学生发散思维.学生讨论，分别选用另一种方法来解答，选两名学生板演.学生解答，订巩固所学知识，在练习中添加圆周长和面积的计算，紧密联系实十、课后反思:1. 针对教材内容和学生学情，采用发现式教学法，由具体的圆的标准方程展开整理,让学生从感性上认识圆的一般方程的形式，再进行一般情况下的探索研究，随着研究的不断推进，引导学生逐步发现圆的一般方程的特点，教学气氛活跃，学生积极参与，培养了学生观察、归纳的能力，也激发了学习兴趣。
(完整word版)《圆的一般方程》教学设计与反思
《圆的一般方程》教学设计与反思一、教材分析：《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。
在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。
二、学情分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。
因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
三、教学目标：（一）知识与技能：1．理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3．逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程．（二）过程与方法：1.从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2.随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；3．通过一题多解，培养学生发散思维；4．在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神．（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣．四、教学重点：1.圆的一般方程的形式；2.在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.五、教学难点：用配方法求圆心坐标和半径.六、 教学过程：教学环节教师活动预设学生活动 设计意图 一、复习回顾： 1．圆的标准方程 2．写出圆心为（2，-1），半径为3的圆的标准方程 二．探索研究： 1.问题引入： 方程(x-2)2+(y+1)2=9为几元几次方程？ （展开整理） 2．将圆的标准方程展开整理： (x-a)2+(y-b)2=r 2⇒x 2+y 2-2ax-2by+(a 2+b 2-r 2)=0 令D=-2a ，E=-2b ，F= a 2+b 2-r 2，则 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 注意： ①圆的方程是二元二次方程； ②x 2、y 2的系数相等；③不含xy 项。
圆的一般方程教学反思
圆的一般方程教学反思圆的一般方程教学反思1成功之处：“圆的一般方程”一节课是高二数学中圆锥曲线的一个重要内容。
通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学生加深对圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化，还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
根据本节课的内容及学生的`实际水平，我采取提出问题引导发现式教学方法,提出问题让学生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。
教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”，通过自己动脑和动手解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦.采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，使教学目标更完美地体现。
不足之处：本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。
总之，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”作用作文章，不浪费任何一个促使学生“自省”的机会，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。
培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。
具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。
<圆的一般方程教学反思2数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活的精彩描述。
数学是生活的组成部分，数学问题来源于生活，而应用于生活。
生活中常用的各种知识像按比例分配水电费、计算储蓄利息、日常购物问题均发生在身边，我们买东西、做衣服、外出旅游，都离不开数学。
既然如此，那么，数学教师能否布置让学生写日记或周记之类的“数学生活”手记呢?让学生把用数学知识解决生活中实际问题的事例、感受或自己的独特想法记录下来，让他们体验到生活须臾离不开数学，从而增强他们对数学的应用意识，使其对数学产生亲切感和浓厚的兴趣，并且养成事事、时时、处处吸收运用数学知识的习惯，调动他们主动学习数学、创新性运用数学的积极性。
圆的一般方程教学设计
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
引
入
1.圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？
2.回答下列问题
表示圆？
将方程配方，得
(x＋)2＋0时，方程①表示以(－，－)为圆心，且半径为的圆；
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点(－，－)；
（3）当D2＋E2－4F<0时，方程①
不表示任何图形．
圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
（1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是；
（2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是，半径是．
3.直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？
师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？
学生回答教师提出的问题．
学生口答，教师点评．
师：将方程②同圆的标准方程比较，如果方程②表示圆，必须满足怎样的条件？
此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？
学生回答，教师点评．
师：由以上探究可知，只有当D2＋E2－4F>0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
才表示一个圆．
师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程．
8.3.2圆的一般方程
【教学目标】
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．
【教案】 圆的一般方程(教学设计) (人教A版2019选择性 必修第一册
2.4.2 圆的一般方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第四节《圆的方程》。
以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容 2.4圆的方程 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系所在位置教材第82页教材第91页新教材内容分析圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题。
圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用。
运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
核心素养培养通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养。
通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养。
教学主线圆的方程的应用在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。
在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。
1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养.重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题（一）新知导入《古朗月行》唐·李白小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的一般方程【思考1】圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)展开可得到一个什么式子？【提示】x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.【思考2】把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是就一定表示圆？【提示】得到的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E2，它表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．◆圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为12 D 2＋E 2－4F .【做一做1】 (教材P88练习2改编)若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <1C ．k ≥1D ．k ≤1解析：由题意得(－4)2＋22－4×5k >0，k <1. 答案：B【做一做2】 (教材P88练习1改编)已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( )A ．(2，－1)，3B ．(－2,1)，3C ．(－2，－1)，3D ．(2，－1)，9解析：圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 答案：A（三）典型例题 1.圆的一般方程的识别例1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．(1)3x 2＋y 2＋2x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋xy ＋1＝0； (3)x 2＋y 2＋x ＋2y ＋1＝0；(4)x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.【分析】利用圆的一般方程的特点解题．【解析】(1)由于x 2，y 2的系数不相等，∴该二元二次方程表示的不是圆．(2)由于该二次方程中含有xy 项，∴该二元二次方程表示的不是圆． (3)由于D 2＋E 2－4F ＝1＋4－4＞0，∴该二元二次方程表示的是圆． 又x 2＋y 2＋x ＋2y ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2－14＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋12＋(y ＋1)2＝14， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫－12，－1为圆心，以12为半径的圆． (4)法一：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝5|m－2|.法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.【类题通法】 二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D 2+E 2-4F ,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D 2)2+(y+E2)2=D 2+E 2-4F4,根据圆的标准方程来判断. 【巩固练习1】已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径的取值范围．【解析】(1)方程化为[x －(m ＋3)]2＋[y ＋(1－4m 2)]2＝－7m 2＋6m ＋1，∴－7m 2＋6m ＋1＞0，－17＜m ＜1，∴方程表示圆时m 的取值范围为－17＜m ＜1.(2)r ＝－7m 2＋6m ＋1＝－7(m －37)2＋1＋97≤477，∴圆的半径r 的取值范围为0＜r ≤477.2.圆的方程的求法例2.已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求△ABC 外接圆的方程．【分析】欲求圆的方程可先将圆的方程设出来，将条件代入求得． 【解析】设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎨⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，得⎩⎨⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.【变式探究】 若本例改为：已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．【解析】设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎨⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.∴所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.【类题通法】用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F .【巩固练习2】已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．【解析】圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20，② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎨⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D2<0，即D >0，所以⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.3.求轨迹方程例3.已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【分析】只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件．【解析】(1)法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1.k BC ＝y x －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)． 法二：同法一得x ≠3且x ≠－1. 由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点),所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)． (2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0) ，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠－1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动， 将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1，因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝12|MB|，∴(x－2)2＋y2＝14[(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.(2)设点N的坐标为(x，y)，∵A(2,0)，N为线段AM的中点，∴点M的坐标为(2x－2,2y)．又点M在圆x2＋y2＝16上，∴(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4.∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．（四）操作演练素养提升1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．m<12B．m<0C．m>12D．m≤122.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1 B．1C．3 D．－33.当点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝14.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4πC．8π D．9π答案：1.A 2.B 3.C 4.B【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
《圆的一般方程》优质课比赛教案
《圆的一般方程》教案 一．教学目标1.使学生掌握圆的一般方程和圆的一般方程的特点2.能熟练掌握圆的一般方程与圆的标准方程的互化3.灵活应用待定系数法求圆的方程 二．教学重点1.圆的一般方程的特征及其应用2.由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法，由已知条件求出圆的方程． 三.教学难点圆的一般方程的特征及应用 四.教学过程 1、新课引入：上一节学习了圆的标准方程: (x －a)2＋(y －b)2=r 2， 圆心(a ，b)，半径r ．提问：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么？ （生答）(x －1)2＋(y+2)2=4将它展开得014222=++-+y x y x ，这是一个二元二次方程。
任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗？ 把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0． 可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式022=++++F Ey Dx y x ① 这说明圆的方程就是一个二元二次方程。
反过来，形如022=++++F Ey Dx y x 的方程一定表示圆吗？这就是今天所要探讨的内容:圆的一般方程.(书写课题) 2、讲授新课：我们先来判断两个具体的方程是否表示圆？（师生互动）642)2(0142)1(2222=+--+=++-+y x y x y x y x结论：不一定表示圆（通过此例分析引导学生使用配方法）追问:022=++++F Ey Dx y x 满足什么条件时表示圆? （让学生相互讨论后,由学生总结）将 022=++++F Ey Dx y x 配方得44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++(1)当0422>-+F E D 时，此方程表示以（-2D，-2E ）为圆心,FE D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，此方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当0422<-+F E D 时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆,只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把方程022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )称为圆的一般方程与一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 比较 我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．（举例：091244422=++-+y x y x ） ②没有xy 这样的二次项 请学生思考并回答:二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是040022>-+=≠=AF E D B C A 且且问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?3、例题讲练例1：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
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《圆的一般方程》教学设计与反思
一、教材分析：
《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。
在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。
二、学情分析：
对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。
因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。
三、教学目标：
（一）知识与技能：
1．理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；
2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；
3．逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程．
（二）过程与方法：
1.从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；
2.随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；
3．通过一题多解，培养学生发散思维；
4．在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神．（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣．
四、教学重点：
1.圆的一般方程的形式；
2.在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.
五、教学难点：
用配方法求圆心坐标和半径.
六、教学过程：
七、课后反思：
1.针对教材内容和学生学情，采用发现式教学法，由具体的圆的标准方程展开整理，让学生从感性上认识圆的一般方程的形式，再进行一般情况下的探索研究，随着研究的不断推进，引导学生逐步发现圆的一般方程的特点，教学气氛活跃，学生积极参与，培养了学生观察、归纳的能力，也激发了学习兴趣。
2.设计合作交流环节，采用问题串呈现的方式，鼓励学生讨论，自主学习，学生学习积极性高，使学生充分理解圆的一般方程，进一步体会圆的标准方程和一般方程间的转化思路，为下面例题的解答扫平了道路，使得例题迎刃而解，教学达到了预期的效果。
3.在练习的设计中，有意添加圆周长和面积的计算，紧密联系实际，体现数学的实用性，旨在激发学习兴趣。
但由于在时间安排上，后面稍微有点紧，练习（4）的处理有点仓促，本想再多联系实际，但由于时间关系只能作罢，为此深感遗憾。
4.课堂小结中强调圆的一般方程形式和圆的两种方程之间的转化思路，进行知识再现。
作业布置中体现分层教学理念，对于要进一步升学的学生附加B组相关题，强化知识点，为后续的学习做铺垫。
通过这次课的教学，我深深地体会到要上好一节课不是一件容易的事，备课的思路和理
念直接引领着老师的教学活动，要能做到，首先要能想到，因此勤思考、多探究是一名老师必备的素养，今后在我的教师生涯中，我会尽最大的努力去学习，提升自己的文化素养和专业素质。