三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则

AB C AOB AOC BOC S 31

S S S ????=

==故=++;

1()3

PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r

?G 为ABC ?的重心.

2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?;

若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：

：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++

3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2

OC OB OA ==)

若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：

：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是

(

=?=?=-?

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是

ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是

ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则

c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=???

故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;

||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r

是ABC ?的内心;

向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r

u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；

(一)将平面向量与三角形内心结合考查

例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满

足

OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（）

（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心

解析：因为

是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r

与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和，又

AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ?中，AP 平分BAC ∠，则知选B.

(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥?=??=-???=?00)(,

同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是△ABC 的（D ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析:由0=?-??=?PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=?=-?CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理所以P 为ABC ?的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0?点G 是△ABC 的重心.

证明作图如右，图中GE GC GB =+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ?BGCE 为平行四边形?D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.

将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，

得EG GA +=0?GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心?)(3

1PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=?)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0?CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3

1PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））

例6 若O 为ABC ?内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r

，则O 是ABC ? 的（）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r

，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则

OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12

OE OD =u u u r u u u r

，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性

质，所以是重心，选D 。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O 为ABC ?内一点，OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r

，则O 是ABC ? 的（）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ?的三顶点距离相等。故O 是ABC ? 的外心，选B 。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查

例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2

-，同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2

1-，

∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.

反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，

OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |?点O 是正△P 1P 2P 3的中心.

例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：

112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、由题设可设1324,)(,)2

x Q y H x y （、,

122(,)33x x y G +212243(,)(,)222

x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ， 212(,)BC x x y =-u u u r

2212422142

()0()

AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴?=-+=-∴=-

u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r

2122232212

32()()0222

()22QF AC x x y

QF AC x y y x x x y y y ⊥∴?=-+-=-∴=+

u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r

1212212

24323()(,),22

x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y

211221222123212212212212

2()(,),)

3233223()23()1 (

,)(,)6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH

+--∴=--=------=--=--u u u r u u u

u r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r

，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2 例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证

OC OB OA OH ++=.

证明若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .

∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，

∴四边形AHCD 为平行四边形，

∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11．设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 3

1= 证明按重心定理 G 是△ABC 的重心?)(3

1OC OB OA OG ++= 按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 3

1=. 一、“重心”的向量风采

【命题1】 G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r

，则G 是ABC △的重心．如图

⑴.

【命题2】已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r

，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.

图⑴

图⑵

【解析】由题意()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r

表示BC 边上的中线所在

直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采

【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若?=?=?，则P 是ABC △的垂心．

【解析】由PA PB PB PC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ，得()0PB PA PC ?-=u u u r u u u r u u u r ，即0PB CA ?=u u u r u u u r ，所以PB CA u u u r u u u r

⊥．同理可证PC AB u u u r u u u r ⊥，PA BC u u u r u u u r

⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.

【命题4】已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足

cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ?? ?=++ ???u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ?? ?=+ ?

??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ?? ?+?= ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，即0cos cos AB BC AC BC

BC CB AB B AC C

??+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u u r u u u u r u u u r u u u r

,所以AP u u u r 表示垂直于BC uuu r 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷. 三、“内心”的向量风采

【命题5】已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r

，则I 是ABC △的内心．

图⑶

图⑸

图⑹

【解析】 ∵IB IA AB =+u u r u u r u u u r

，IC IA AC =+u u r u u r u u u r ，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=u u r u u u r u u u r ，

∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC

?? ?+=?+?=??+

u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴bc AB AC AI a b c AB AC

?++?

u u u r u u u r u u r u u u r u u u r ．∵AB AB

u u u r u u u r 与AC

AC u u u r

u u u r 分别为AB u u u r 和AC u u u r 方向上的单位向量， ∴AI u u r

与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．

同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.

【命题6】已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足

AB AC OP OA AB AC λ?? ?=++ ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0)λ∈+∞，

，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ?? ?=+ ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴当(0)λ∈+∞，

时，AP u u u r 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采

【命题7】已知O 是ABC △所在平面上一点，若22

2OA OB OC ==u u u u r u u u u r u u u u r ，则O 是ABC △的外心．

【解析】若222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，∴OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r

，则O 是ABC △的

外心，如图⑺。

【命题7】已知O 是平面上的一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2

cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。图⑺

图⑻

【解析】由于2

OB OC +u u u r u u u r 过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ?? ?+ ???u u u r u u u r u u u r u u u r

表示垂直于BC uuu r

的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过

ABC △的外心，如图⑻。

补充练习

1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足

OP =31 (21OA +OB 2

+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（ B ）

A.AB 边中线的中点

B.AB 边中线的三等分点（非重心）

C.重心

D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则OM OB OA 2=+，由OP

31 (21OA +OB 2

+2OC )可得3OM 23+=，∴3

2=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且

点P 不过重心，故选B.

2．在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2

O A u u u u u r

＋2BC u u u u u u r ＝2OB u u u u u u r ＋2CA u u u u u r ＝2OC u u u u u u r ＋2

AB u u u u u u r

，则Ｏ为ABC ?的（ D ）

Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心

2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r

，则P 为ABC ?的

（ C ）

Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心

3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ C ）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心

4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足： 0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，则P 点为三角形的（ D ）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心

5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=u u u r u u u r u u u r

，则P 点

为三角形的（ B ）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心

6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ?-=22

，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：（ B ）

Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心

7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →

=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||

AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u

r u u u r )·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ?u u u r u u u r

u u u

r u u u r =1

，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 8.ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 9.点O 是ABC ?所在平面内的一点，满足?=?=?，则点O 是ABC ?的（B ）（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点

（C ）三条中线的交点

（D ）三条高的交点

10. 如图1，已知点G 是ABC ?的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u u v u u u v

，

AN y AC =u u u v u u u v ，则11

3x y

+=。

证点G 是ABC ?的重心，知

GA GB GC ++=u u u v u u u v u u u v O ，得()()AG AB AG AC AG -+-+-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v O ，有1()3

AG AB AC =+u u u v u u u v u u u v

。又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN

上），

于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=u u u v u u u u v u u u v

且，有AG x AB y AC λμ=+u u u v u u u v u u u v =1()3

AB AC +u u u v u u u v ，

得1

3x y λμλμ+=??

?==??，于是得113x y +=。

1、课前练习

1.1已知O 是△ABC 内的一点，若2

==，则O 是△ABC 的〔〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心

1.2在△ABC 中，有命题①=-；②=++；③若()()

0=-?+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形；④若0>?，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔〕

A 、①②

B 、①④

C 、②③

D 、②③④

例1、已知△ABC

中，有0=??

=,试判断△ABC 的形状。练习1、已知△ABC 中，=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题

例2、已知O 是△ABC

=+=，则O 是△ABC 的〔〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题

例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P

满足()+∞∈??++=,0,λλ，

则动点P 一定过△ABC 的〔〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足

()+∞∈??

??++=,0,21λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点

P 满

足

()+∞∈??+=,0,λλ，则动点P 一定过△ABC 的〔〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

练习3、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点

满

足

()+∞∈?

? ?+++=,0,2λλOP ，则动点P 一定过△ABC 的〔〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且

y x ?=?=,，求证：31

1=+y

7、作业

1、已知O 是△ABC 内的一点，若0=++OC OB OA ，则O 是△ABC 的〔〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且0=++OC OB OA ，则OB OA ?等于〔〕

A 、21

B 、0

C 、1

D 、2

3、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 、所对的过分别是a 、b 、c 若

0=?+?+?OC c OB b OA a ，则O 是△ABC 的〔〕

A 、重心

B 、垂心

C 、外心

D 、内心

4、已知P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的一点，满足3=+，则P 是△ABC 的〔〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心

5、平面上的三个向量、、满足=++1===，求证：

△ABC 为正三角形。

6、在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求)(+?