条件数学期望及其应用
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文案大全条件数学期望及其应用
The ways of finding the inverse matrix and it's application
Abstract:The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords:Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.
0前言
在曲线积分中,被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各
点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长,在积分函数是向量函数时,一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和.带有权重是曲线积
分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都
是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具.
1条件数学期望
1.1条件数学期望的定义
定义1设X是一个离散型随机变量,取值为},,{21?xx,分布列
为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP,这时
,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi
为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有
???Aiii px|
则称
??.
Aiii pxAXE|]|[
为随机变量X在条件A下的条件数学期望(简称条件期望).
定义2设X是一个连续型随机变量,事件A有0)(?AP,且X在条件A 之
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??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf.若
X在条件A下的条件数学期望.
定义3设),(YX是离散型二维随机变量,其取值全体为
},2,1,),,{(??jiyx ii,
联合分布列为
?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij,
在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若
???jiii px|,
则
???
jiiii pxyYXE|]|[
为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望.
定义4 设),(YX是连续型二维随机变量,随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX,若
??????dxyxpx YX)|(|,
则称
dxyxxpyYXE YX)|(]|[|??????
为随机变量X在}{yY?条件下的条件数学期望.
1.2条件数学期望的性质
定理1条件期望具有下面的性质:
(1))|()|()|(GbEGaEGbaE???????,
其中Rba?,,且假定)|(GbaE???存在;
(2))()]|([??EGEE?;
(3)如果?为G可测,则???)|(GE;
(4)如果?与?代数G独立,则??EGE?)|(;
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文案大全(5)如果1G是?代数G的子?代数,则)|(]|))|([(11GEGGEE???;(6))(不等式Jensen如果f是R上的下凸函数,则
)|)(())|((GfEGEf???;
定理2条件期望的极限定理:
(1)单调收敛定理:若sa n..???,则在})|({???GE?上,则
)|(lim)|(GEGE nn?????.
(2)Fatou引理:若saY n.,??,则在})|({???GE?上,则
)|(suplim)|sup(limGEGE nn???.
(3)控制收敛定理:若YsaY n,.,??可积,且Psa n或.,???,则
0)|(lim????GE nn??.
1.3条件数学期望的求法
在现代概率论体系中,条件期望的概念只是一种理论上的工具,在其定义中没有包含算法,所以求条件期望概率往往很难,需要技巧.本文对两种
不同情形下的条件期望的求法做出讨论.
方法一:利用问题本身所具有的某种对称性求解.
例1设n???,,,21?时独立同分布随机变量.???E,记???nkk S1?,求
nkSE k,,2,1,|(???.
解易证jiSESE ji??),|()|(??.则
niSSnESSE i,,2,1,)|()|(?????
即
nksanSSE k,,2,1,.,)|( ???
方法二:利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的?域可测或独立的随机变量之和,利用条件期望的性质求和.
例 2设有正态样本n XX,,1?),0(2?N,统计量???nik XT1,求)|(2TXE k.实用文档
???nkk XS12,则)|(1)|(2TSEnTXE k?.作正交变换:
文案大全解令??????????????????????????????nn XXXCYYYY??2121,其中C为正交阵,第一行为)1,,1(nn?,则有nT ICCYXCovEY???),(,0,即??nkk YT22与独立,k Y nkN,,2),,0(2???,从而??????????nkknkknkk YnTYXS2221212,2T 关于)(T?可测,所以
?? 2222222)11(]|)[(1)|(1)|(?nnTTYnTEnTSEnTXE nkkk?????
由以上例题可以看出,条件期望的求法是一个复杂的问题,我们必须从问题本身出发化简,将其转化为可测或独立于?代数的随机变量,然后运用条件期望的性质求解.
1.4全期望公式
设事件n BBB,,,21?是一完备事件组,即n BBB,,,21?互不相交,
nkBP k???1,0)(,且????knk B1,由全概率公式有
,2,1),()()|()(1|1???????????iBPpBPBxXPxXPp knkBikknkiii k
这时若??XE,则有
)()|[)()())((1|11|knkkkBiiinkknkBiiiiii BPBXEBPpxBPpxpxEX kk????????????? ?
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文案大全如同全概率公式一样,上式可称为全期望公式.
若n BBB,,,21 是一个完备事件组,则也有全期望公式
)(]|[1???nkkk BPBXEEX
(注意,X的密度有公式))()|()(1knkk BPBxfxf???.
2条件数学期望的应用
2.1条件数学期望在实际问题中的应用
条件数学期望在概率论与数理统计中有重要的作用,在实际问题中也有大量应用.例如人们常说体育要从娃娃抓起.某少体校要在小学中选拔一批小学生进行重点培养,为我国篮球,排球运动准备后备力量.对一个运动员来说,他(她)的身高显然是一个非常重要的因素.于是问题产生了,在一大群各项素质(包括目前的身高)都差不多的七八岁的小朋友中,用什么办法来选拔一批将来(十年以后)身材会比较高的幼苗进行重点培养呢?科学工作者发现了小孩的足长与他(她)长大后的身高之间有密切的关系.我国的体育科研人员对16个省市的几万名青少年儿童进行了观测,建立了下述预测公式:
成年身高=?k(少儿当年足长)(单位:cm)
其中系数k对不同性别,不同年龄组的儿童有不同的数值,其具体数值如下表:
性
年7 9.218 8.735 8 8.930 8.418 9 8.572 8.075 10
8.242
7.759
你大概很想知道上述预测公式是如何建立的?理论依据是什么?其实这正是现在所讨论的条件数学期望,对n(n取定)岁的少年儿童来说,成年后的身高为X,当年足长为Y则),(YX是一个二维随机变量.一般认为他们的联合分布是正态分布.如果我们已知Y的值,可以近似地以Y的条件下X的条件数学期望
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文案大全来估计X的值,即用]|[YXE作X的预测值.这时]|[YXE是Y的线性函数,这就是成年身高的预测公式.
例3一全自动流水线正常生产时,产品中的一等品率为1p,二等品率为2p,等外品(即次品)率为3p,1321???ppp.为保证产品质量,厂方规定当生产出一件等外品时,该流水线即停工检修一次.已知首次检修之前共生产了n件产品,求n件产品中一等品件数的数学期望.
解设X表示前n件产品中一等品的件数,令
}{件产品首次出现等外品第nA?.
据题意是要求]|[AXE.因为在条件A下,前1?n件产品中没有等外品,这时1?n件产品中的一等品率是211ppp?,而二等品率是212ppp?,因此
10,1)|(1212211|???????????????????????????????????nkppppppknAkXPp knkAk
这是参数为),1(211pppn??的二项分布.即
???.
21110|)1(]|[pppnkpAXE nkAk????
实际上我们认为在条件A下,前1?n次试验是1?n重贝努里试验,试验成功(取到一等品)的概率是211/ppp?.从直观意义看这是明显的,这也正是直接讨论条件分布的简捷之处.
2.2全期望公式的应用
例4在贝努里试验中,每次试验成功的概率为p,试验进行到出现首次成功时停止.求平均需试验多少次?
解设X为首次成功需做试验的次数,问题是求EX.定义
????.,0,1第一次试验失第一次试验成功,Y
由全期望公式
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文案大全)0(]0|[)1(]1|[??????YPYXEYPYXEEX,
已知pYPpYP?????1)0(,)1(,在1?Y,即首次试验成功的条件下,自然有1?X,因此1]1|[??YXE.在0?Y即首次首次实验失败的条件下,从第二次
实验开始可以看作重新开始,因此,EXYXE???1]0|[.第一项的1是已经试验了一次,以后的情况与从头开始一样.所以
)1)(1(EXppEX????,
pEX1?.
原来求数学期望需要知道分布,但在上例的做法中可以不必知道分布,充分利用了随机变量的特性,并借助全期望公式,简化了计算,这是真正有概率特点的做法.
例5设电力公司每月可以供应某电厂的电力服从]30,10[(单位:万度)上的均匀分布,而该工厂每月实际生产所需要的电力服从]20,10[上的均匀分布.如果工厂能从电力公司得到足够的电力,则每一万度电可以创造30万元利润,若工厂从电力公司得不到足够的电力,则不足部分由工厂通过其他途径自行解决,每一万度电只有10万元利润.问该厂每月的平均利润为多大?
解设电力公司每月供应电厂的电力为X(万度),工厂每月实际需要的电力为Y(万度),工厂每月的利润为T(万元).由题设条件知
????????XYXYXXYYT当当),(1030,30
于是当3020??x时,有
dyxydyyxXTE xx??????1020101)2010(10130]|[
22224050)20(2)20(21)100(23xxxxxx?????????
由式
]}|[{XTEEET?
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4332251006730025450201)4050(201302020102????????????dxdxxx
所以该工厂平均每月的利润为433万元.
2.3预测与回归
对于二维随机变量),(YX,如果已知其中一个随机变量Y的值,要根据这一信息对另一个随机变量X的取值作出预测,这样的问题在人们的实践中可以说是比比皆是,常称它们为“预测问题”.前面我们提议用]|[YXE作为X的预测值,这样做的依据是什么呢?
一般地,我们可以选取Y的一个函数)(Yg作为X的预测值.这时预测的误差是)(YgX?,由于绝对值运算在数学上处理不方便,我们用2)]([YgX?代替它.自然应该使误差尽可能地小,但2)]([YgX?是一个随机变量,因此很自然的要求它的平均值2)]([YgXE?尽可能地小.这样的准则就称为均方误差最小准则.
假设),(YX为连续型二维随机变量,密度函数为),(yxf,则dydxyxfygxyfdxdyyxfYgxYgXE YXY))|()]([)((),()]([)]([|222? ????????????????????
对每个y,当]|[)(yYXEyg??时,能使dxyxfygx YX)|()]([|2?????达到最小.因此取]|[)(YXEYg?时,2)]([YgXE?达到最小,这就证明了,按照均方误差最小准则,]|[YXE是X的最佳预测.这就是选取条件数学期望作X 的预测值的理论依据.对离散型情形也可用相同的方法论证上述结论.函数]|[)(YXEYg?称为X关于Y的回归函数.一般情况下,求)(yg是比较困难的.因此,把预测问题简化,选取Y的线性函数baY?作为X的预
测值.同样采用均方误差最小准则,选取常数ba,使得
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文案大全22][)]([baYXEbaYXE?????
取最小值.我们早已知道,若a固定,
aEYEXaYXEb????)(
时,2][baYXE??取最小值][aY XD?.我们只需求a,使DXYXaDYaaYXD????),cov(2)(2
达到最小值,即a应取为
DYYXa),cov(?,
我们称
EXEYYDYYX??)(),cov(
为X关于Y的回归直线.
参考文献:
[1] 中山大学数学系.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.2002.
[2] 周概容.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.1984.
[3] 茆试松.程依明.濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2004. [4] 孙荣恒.应用概率论[M].科学出版社.2001.
[5] 何声武.概率论与数理统计[M].经济科学出版社.1992.