拉普拉斯变换
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t) 与复变函数F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
拉普拉斯变换的定义
一个定义在[0,+∞) 区间的函数f(t) ，它的拉普拉斯变换式F(s) 定义为
式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。
由F(s) 到f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为
式中c 为正的有限常数。
留意：
1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开头，即：
它计及t=0-至0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。
2）象函数F(s) 一般用大写字母表示, 如I(s)，U(s) ，原函数f(t)
用小写字母表示，如i(t),u(t)。
3）象函数F(s) 存在的条件：。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。
如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。
z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。
作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。
拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。
FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。
拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。
但随着CAD的兴起，这一作用已不怎么受重视了，但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier 变换则随着FFT算法（快速傅立叶变换）的发展已经成为最重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
拉普拉斯变换公式大全
拉普拉斯变换公式大全1.原始函数的拉普拉斯变换F(s)=L{f(t)}2.常数的拉普拉斯变换对于任意实常数A，其拉普拉斯变换为：L{A}=A/s3.单位冲激函数的拉普拉斯变换单位冲激函数δ(t)的拉普拉斯变换为：L{δ(t)}=14.时延定理时延定理指出，当原始函数向右延时T秒时，其拉普拉斯变换会乘以e^(-sT)。
具体公式如下：L{f(t-T)}=e^(-sT)F(s)5.缩放定理缩放定理指出，当原始函数的变量变为原来的α倍时，其拉普拉斯变换会变为原来的1/α倍。
具体公式如下：L{f(αt)}=1/αF(s/α)6.积分定理积分定理指出，对于原始函数的积分，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s除以s平方。
具体公式如下：L{∫f(t)dt} = 1/sF(s)7.乘积定理乘积定理指出，对于原始函数的乘积，其拉普拉斯变换可以通过将变换域上的变量s替换为s减去相应函数的变换。
具体公式如下：L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)8.指数函数的拉普拉斯变换指数函数e^(at)的拉普拉斯变换为：L{e^(at)} = 1/(s-a)9.幂函数的拉普拉斯变换幂函数t^n的拉普拉斯变换为：L{t^n}=n!/(s^(n+1))10.正弦函数的拉普拉斯变换正弦函数sin(ωt)的拉普拉斯变换可通过欧拉公式和拉普拉斯变换公式进行变换。
具体公式如下：L{sin(ωt)} = ω/(s^2 + ω^2)以上是拉普拉斯变换的一些重要公式。
通过应用这些公式，我们可以将原始函数在时域上的操作转换为变换域上的操作，从而解决各种线性常微分方程、控制系统和信号处理问题。
拉普拉斯变换
d f (t ) s n F (s) s n1 f (0 ) f ( n1) (0 ) L[ ] n dt
n
返 回
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若初始条件为零
3.积分定理 若
f (t ) F ( s)
则
若初始条件为零，则
1 为积分算子 s
4.延迟性质 若： L[ f (t )] F (s)
返 回
pn t
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待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 2、 、 n 、 3
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s pn 2
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
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N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s Fra bibliotek bn 3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s)] s 1 d [ s 4 ] s 1 4 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
0
t
6.衰减定理 若 f (t ) F ( s) 则
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F1 ( s) F2 ( s)
7.初值定理
若
拉普拉斯变换
二.拉普拉斯变换的性质
1、常数的拉普拉斯变换
L[ A] =
A S
2、常数与原函数积的拉普拉斯变换
L[ Af (t )] = AL[ f (t )] = AF ( s )
3、函数和的拉普拉斯变换
L[ f1 (t ) + f 2 (t )] = L[ f1 (t )] + L[ f 2 (t )] = F1 ( s ) + F2 ( s )
X=
k0 (1 − e − kt ) k
− 例1： ：
dX = k0 − kX dt
第一步： 第一步：做变换
k0 SX −0 = −kX S
第二步：解代数方程 第二步：
k0 X= S (S + k )
第三步： 第三步：查表求解
k0 X = ⋅ (1 − e − kt ) k
： 例2： −
dX = kX dt
初始剂量
X0
第一步： 第一步：做变换
S X − X 0 = −k X
第二步：解代数方程 第二步：
X0 X= S +k
第三步： 第三步：查表求解
X = X 0 ⋅ e − kt
4、原函数导数的拉普拉斯变换
L[ df (t ) ] = sL[ f (t )] − f (0) dt
三、拉普拉斯变换与常微分方程的解
常数线性微分方程的解分三步： 常数线性微分方程的解分三步：
dX = k0 − kX dt
dX L[ ] = L[k0 ] − L[kX ] dt
SL[ X ] − X
一.，则拉普拉斯变 ∞ 换式定义为 − st
F (s) = ∫ f (t )e dt
0
式中s=σ+jω为复变量，称为复频率。 F(s)称 为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数；拉普拉斯 变换简称为拉式变换。通常用符号表示为
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
完整版拉普拉斯变换表3篇
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种用来描述动态系统的数学工具。
它可以将时间域的函数转换为复频域的函数，使得复杂的微积分运算变得简单。
下面是拉普拉斯变换常用的函数表。
1. 常数函数拉普拉斯变换表达式：L{1} = 1/s解释：常数函数的拉普拉斯变换等于1除以s。
这个表达式可以直接从拉普拉斯变换的定义得出。
2. 单位阶跃函数拉普拉斯变换表达式：L{u(t)} = 1/s解释：单位阶跃函数是在t=0处取值为0，t>0处取值为1的函数。
它的拉普拉斯变换等于1除以s。
因为当s>0时，1/s表示连续求导的意义，也就是说，一个单位阶跃函数的拉普拉斯变换就是一个连续求导的过程。
3. 指数函数拉普拉斯变换表达式：L{e^at} = 1/(s-a)解释：指数函数的拉普拉斯变换等于1除以s减去指数函数的指数。
这个表达式可以通过对指数函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
4. 正弦函数拉普拉斯变换表达式：L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)解释：正弦函数的拉普拉斯变换等于a除以s平方加上正弦函数的频率a的平方。
这个表达式可以通过对正弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
5. 余弦函数拉普拉斯变换表达式：L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)解释：余弦函数的拉普拉斯变换等于s除以s平方加上余弦函数的频率a的平方。
这个表达式可以通过对余弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
6. 阻尼正弦函数拉普拉斯变换表达式：L{e^(-bt)sin(at)} = a/(s^2 + (a+b)^2)解释：阻尼正弦函数的拉普拉斯变换等于a除以s平方加上阻尼正弦函数的频率a加上阻尼b的平方。
这个表达式可以通过对阻尼正弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
7. 阻尼余弦函数拉普拉斯变换表达式：L{e^(-bt)cos(at)} =(s+b)/(s^2 + (a+b)^2)解释：阻尼余弦函数的拉普拉斯变换等于s加上阻尼余弦函数的频率a加上阻尼b的平方，除以s平方加上阻尼余弦函数的频率a加上阻尼b的平方。
拉普拉斯变换
1 d 例1：L[cos t ] L[ (sin t )] dt
[s 2 sint 2 s
1
0
s ] 2 s 2
1 d 例2：L[ ( t )] L[ ( t )] S ( t ) 0 1 S dt
三. 时域的积分性质
设：L[ f (t )] F ( s)
st L[ ( t )] 0 ( t ) e dt 0 (t )dt
0
=1
4.
f (t ) t
n
n
L[t ] t ne st dt 0
0
t n st de s
t n st e s
t 0 st lim t e
n
R u+ C -
uC (0 ) 0
1 sRCU ( s ) U ( s ) s 1 U ( s) s(1 sRC )
du RC u ( t ) dt
用初值定理和终值定理验证
1 1 u(0 ) lims lim 0 s s(1 sRC ) s (1 sRC ) 1 u( ) lim 1 s 0 (1 sRC )
e-t sint
2
s
2
( s )2 2
e-t cost
s ( s )2 2
cos t
s s2 2
§ 3 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数 (1)利用公式 f(t)=L-1[F(s)]
1 j st f (t ) F ( s ) e ds t 0 2j j
t 0 s
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )
拉普拉斯变换
f (t ) = te
at 0
at
L[te ] = ∫ te e dt =
1 = 2 (s − a)
Modern Control Laplace
+∞
at − st
8．周期函数
1 L[ f (t )] = − sT 1− e
f1 ( t )
∫
T
0
f (t )e dt
− st
b
0
1b
2b
t
Modern
j ωt
f (t ) = F
Modern Control
−1
[F (ω )]
Laplace
一、拉普拉斯变换的定义
Laplace变换 Laplace变换
F ( s) = ∫
+∞
F ( s ) = L[ f (t )]
0
f (t )e dt
− st
Laplace反变换 Laplace反变换
1 σ + j∞ st f (t ) = F ( s ) e ds ∫ 2πj σ − j∞
ω
σ
控制衰减速度
Laplace
二、常用的拉普拉斯变换 1.阶跃函数 1.阶跃函数
f (t ) = u (t ) = 1(t )
L[u( t )] = ∫
∞ 0
(σ > −α )
1 ⋅ e d t = 1 e − st −s
− st
∞ 0
1 = s
Modern
Control
Laplace
二、常用的拉普拉斯变换 2.单位冲激信号 2.单位冲激信号
Control
Laplace
三、拉氏变换的性质 1.线性性质 1.线性性质
第15章 拉普拉斯变换
本章重
. 点 常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
返回目录
15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
n
f (t ) kiesit i 1
ki也可用分解定理求
等式两边同乘（s-si）
(s si )
F(s)
F1
(
s()s
si
)
k1(
s
si )
k
i
(
s
si )
k
(
n
s
si
)
F2 (s) s s1
s si
s sn
ki
lim
s si
F1(s)( s F2 (s)
si )
0 0
应用洛比达法则求极限
2
2 s1
1 s2
f (t ) 2 (t ) 2et e2t (t 0)
2. F2 (s)有共轭复根
假设只有两个根 s1,2 j
F (s) k1 k2
s j s j
可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2。 k1 , k2也是一对共轭复数。
设 k1 k ej k2 k e j
j
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
收敛轴 收敛区
0 0
收敛坐标
电工中常见信号为指数阶函数，即
f (t ) MeCt
t [0, )
式 中M是 正 实 数 ，C为 有 限 实 数 。
拉普拉斯变换
2、单位阶跃函数
0 r (t ) 1
t 0 t0
拉普拉斯变换为
R( s) Lr (t ) r (t )e dt
st 0
0
1 1 e dt S
st
3、单位斜坡函数
0 r (t ) t
拉普拉斯变换为
t 0 t0
R( s) Lr (t ) r (t )e dt
0
n! t e dt n 1 s
n st
其余函数的拉氏变换查附录B
三、拉普拉斯变换的基本定律 1、 线性定律
设 F1 (s) L f1 (t ) F2 (s) L f 2 (t ) ，a、b为 常(t ) aF1 (s) bF2 (s)
st 0
0
1 t e dt 2 s
st
4、正弦函数
0 r (t ) sin t
拉普拉斯变换为
0
，式中为常数 t0
st st
t 0
R(s) Lr (t ) r (t )e dt sin t e dt
0
由欧拉公式：
1 jt jt sin t (e e ) 2j
待定系数Ki F (s)( s pi )s pi
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
…… ④
…… ⑤
2、 有重极点的情况 设F(s)只有r 个重极点而无其它单极点 Kr K r 1 K1 F ( s) …… ⑥ r r 1 ( s p0 ) ( s p0 ) s p0
此时r=n，Ki为待定系数，由下式确定：
拉普拉斯变换
了拉普拉斯变换 。
2、拉普拉氏变换 式中 S= δ+jω
G
(t
)
(t
)e
t
e
jt
dt
f (t)e( j)t dt 0
f (t)est dt 0
——称为复频率——算子；
f(t)= ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。
§14-1拉普拉斯变换的定义
§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法
§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义 一、 拉普拉斯变换的由来
（一） 傅立叶级数
1、付氏三角级数
如右图fT(t)是一个周期函数， 非正弦，若加在激励端分析其 响应是很困难的，可以用第十 三章将非正弦信号分解为傅立 叶三角级数。将其分解为f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和f2(t) 均为正弦信号 可以分别求其响应，而后叠加 得到 fT(t) 的响应。
s2
s
2
三、微分性质： 若某函数的象函数为： L[f(t)] = F(s)，则：
L[ df (t)] dt
s F(s)
f (0 )
例4、求 (t) d (t) 的象函数。
dt
解： L[ (t)] 1
s
例5、已知 ：L[sint]
L[
s2 2
(t
)
]
s
1 s
(0
)
，求 L[cosωt]
第十四章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分 方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于 这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里 微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分 析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此， 拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。
拉普拉斯变换
0
f1( )
e p d ]
f1( p) f2 ( p)
例1：求 L[sint] ， L[cost]
解： L[est ] 1 ps
L[sin t]
sin t 1 (ei t ei t )
2i
cos t 1 (ei t ei t )
2
1[ 1
2i p i
1]
p i
p2 2
(Re p 0)
有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是连续的，(2)
存在常数M>0和σ≥0,使对任何t，有
f (t) Met
σ的下界称为收敛横标，用σ0表示， 则：f (t) Me0t
f (t)e t dt Me0 te t dt M e( 0 ) tdt
0
0
0
M
0
(
0)
即要求： Re p 0
L[cos t]
11
1
p
[
2 p i
]
p i
p2 2
(Re p 0)
例2：求函数f(t)=tsint、 f(t)=tn的拉氏变换
解：
L[sin t]
p2
2
(Re p 0)
由像函数的导数定理
L[t
sin
t
]
d dp
[
p
2
2
]
2p ( p2 2)2
同理可得
L[t cos t]
p2 2 ( p2 2)2
0
fd
(
)ep d
L[ fd (t)]
所以:
L[
fb
(t)]
1
1 e
pT
T 0
fb( )ep d
拉普拉斯变换
1的拉氏变换为
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[ f (t a)(t a)] eapF( p)
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(2)在使用该性质时,不能忽视假设条件a 0和当t 0时,f (t)=0
否则会引起混乱.该性质表明,f (t a)的拉氏变换等于f (t)的拉氏变
换乘以因子eap .
例7 求£[(t a)],(a 0).
(t
)
注:(1)此处定义的函数 (t)是广泛意义下的函数,它不能用逐点
的对应来定义(讲清该函数涉及大纲外的内容[实变函数与泛函分
析]);
(2)上述极限也不是通常定义的极限,在通常意义下,
lim
0
(t
)是
不存在, 只有广泛意义下, 这个极限才有效.
显然,对任何 0,有
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第一个积分为零,对于第二个积分,令t a u,则
£[ f (t a)] f (u)e p(au)dt eap f (u)e pudu eap F ( p)
0
0
说明: (1)在这个性质中, f (t a)表示函数f (t)在时间上滞后a个
单位,所以这个性质也常称为延滞性性质.也常表示为
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
它可以将时间域中的函数转换为复频域中的函数，为我们分析和处理信号提供了很大的便利。
本文将介绍拉普拉斯变换的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、定义拉普拉斯变换可以将一个实函数 f(t) 转换为复函数 F(s)，其中 t 表示时间，s 表示复频率。
拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt其中，e 是自然常数，s 是复变量。
拉普拉斯变换的积分区间是从 0 到正无穷，表示了信号在整个时间轴上的变化。
二、性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，可以简化我们对信号的分析。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意的常数 a 和 b，有 L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s)。
拉普拉斯变换可以线性叠加。
2. 积分性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的积分的拉普拉斯变换是1/s·F(s)。
该性质对于求解微分方程非常有用。
3. 导数性质：如果一个函数的拉普拉斯变换是 F(s)，那么这个函数的导数的拉普拉斯变换是 s·F(s) - f(0+)。
这个性质也对求解微分方程十分重要。
除了上述性质，拉普拉斯变换还具有平移性质、卷积性质和初值定理等，这些性质使得我们可以快速、方便地进行信号分析和处理。
三、应用举例拉普拉斯变换在实际应用中有着广泛的应用。
下面举例几个常见的应用场景：1. 信号处理：对于一个时域的信号，通过拉普拉斯变换可以将其转换为频域信号，从而方便我们对信号的频域特性进行分析。
例如，在音频处理中，拉普拉斯变换能够帮助我们对音频信号的频谱进行分析，实现去噪、音频增强等功能。
2. 控制系统：拉普拉斯变换可以帮助我们分析和设计控制系统的稳定性和性能。
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当t 时， f ( t )e st f ( t ) e t Me ( c ) t 0,
ℒ f (t )
推论：
sF ( s ) f (0) (Re(s ) c ).
f ( 0) f ( 0 0)
s F ( s) s
n
ℒ f
积分n次
且 ：gn ( t )
ℒ
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F ( s) (Re(s ) c ) n s
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1515
第七章拉普拉斯积分变换
证明：
由微分性质
1 1 1
0
0
g1 ( t )dt 0
ℒ g (t ) sℒg (t ) g (0) s ℒ g ( t )
记作： f (t ) ℒ1 F ( s)
f (t )
ℒ
F ( s)
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4 4
第七章拉普拉斯积分变换
例1. 求下列函数的拉普拉斯变换.
1 ( t 0), 1) u( t ) ; 0 ( t 0).
即f (t )在[a, b]上连续或有有限个第一 类间断点，且至多有有 限个极值点
ii ) 当t 0时 ，f ( t )的 增 长 是 指 数 级 的 ， 增 其长 指 数 为 c, e
ct
f ( t ) 即存在 M 0和c 0, 使 得 当 t 0时 ， 有
M.
则有下列三个结论成立 ：
22 May 2016
由此也可算出 sinat和 cos at的 拉 普 拉 斯 变 换
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6 6
函数的拉普拉斯变换
ℒ (t )
(t )
定义：
- ( n)
0
第七章拉普拉斯积分变换
t ℒ
n! , (Re(s ) 0). n1 s ( Re (s ) 0);
(Re (s ) 0);
（2）ℒ t sint
（3） ℒ te
1 2s ( 2 ) 2 s 1 ( s 1)2
t
1 1 ( ) s1 ( s 1)2
(Re (s ) 1).
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2 2
第七章拉普拉斯积分变换
1. Laplace变换的概念
则F (w) ℱ f (t )u(t )e
且 当t 0时 ，f ( t )e
t
设函数 f (t )u(t )e t ( 0)满足Fourier 变换存在定理条件
t
CH 7 拉普拉斯变换
1、拉普拉斯变换的概念
2、拉普拉斯变换的性质 3、卷积
4、拉普拉斯逆变换
5、拉普拉斯变换的应用
1
第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.1 拉普拉斯变换的概念
1.定义
place变换存在定理
和象函数的微分性质
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t
2) f (t ) e (为任意复数 )；
4) f (t ) sinat(a为实数 ) . 3) f (t ) at(a为 任意 复数 ) ；
ℒ 1 ℒ e s - , (Re (s) Re ( )); a ℒat s , (Re (s ) 0).
( n)
(t )
n 1
f (0) sf
( n 2 )
(0) f
( n 1 )
(0) (Re(s) c ).
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第七章拉普拉斯积分变换
例2. 利用微分性质计算下列各式.
1 即f ( t ) 2
F ( w )e ( iw ) t dw.
1 i st f (t ) F ( s )e ds, (沿 垂 直 于 实 轴 的 直 线 积 的分 , t 0). i 2i
22 May 2016
3 3
0
f (t )e st dt,
第七章拉普拉斯积分变换
( 2)：对任意实数 t和常数 Re(s ) c, 反演积分
1 i st f (t ) F ( s ) e ds( t 0)收敛， i 2i
且处处收敛到函数 f ( t ) f ( t )u( t )在各点t处的左右极限 平均值，当t 0时，其积分值为 0.
22 May 2016
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第七章拉普拉斯积分变换
证明：
ℒ f (t ) 0
f ( t )e dt f ( t )e
st
st
0
st s f ( t ) e dt , 0
a ℒsinat s 2 a 2 , (Re (s ) 0).
u (t ) e
t
ℒ
ℒ ℒ
1 , (Re(s ) 0). s
at
ℒ
a , (Re(s ) 0). 2 s
sin at
1 , (Re(s ) Re( )). s a , (Re(s ) 0). 2 2 s a
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第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.2 逆变换的计算和位移性质
1.线性性质 2.微分性质 3.积分性质 4.位移性质
5.延迟性质
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9 9
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第七章拉普拉斯积分变换
例2. 计算下列各式.
(1)
解：
ℒ t
2
（2）ℒ t sint
n
t （3） te ℒ
(1)
ℒ t
2
1 2 ( 2 ) 3 s s
(1) ℒ e t
( 2) ℒsinkt
3.积分性质
(n 1,2,), 且gn (t ) dt dt f (t )dt, 则 ℒgn (t )存在
t t t 0 0 0
i ) 象原函数的积分性质 设： f (t ) u(t ) f (t ) ℒ F ( s ) (Re(s ) c )
(t )e st dt e s0 1.
ℒ
1
n
(t t 0 ) f (t )dt (1)
st 0 0
-
(t t0 ) f ( n) (t )dt.
ℒ (t )
(t )
( n)
(t )e dt (t )( s )e st dt s.
例1. 利用性质计算下列各式.
(1)
ℒ sin 2t sin 4t
( 2)
ℒ
1
1 分变换
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第七章拉普拉斯积分变换
2.微分性质
i ) 象函数的微分性质 f (t ) u(t ) f (t ) ℒ F ( s ) (Re(s ) c ) 设： n ( n) n ℒ 则： ( 1 ) F ( s ) (Re(s ) c ) t f (t )
其反常积分F ( s )
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Re(s ) c内存在， (1)：F ( s ) ℒ f ( t ) 在右半平面
0
f (t )e st dt在该平面内绝对收敛 ;
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第七章拉普拉斯积分变换
定义1：
F ( s)
0
f ( t )e st dt为f ( t )的拉普拉斯 ( Laplace)变换 ;
记作： F ( s)
ℒ f (t )
1 i st f (t ) F ( s ) e ds为F ( s )的拉普拉斯 ( Laplace)逆变换 ( t 0). i 2i
ℒ
s
n
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第七章拉普拉斯积分变换
place变换存在定理和象函数的微分性质
定理1： 若函数 f (t )满足如下两个条件：
i ) f (t )在t 0有限区间上满足狄利克 雷 ( Dirichlet ) 条件 ,
f ( t )u( t )e
t
e
iwt
dt
1 2
0
f (t )e ( iw ) t dt
F ( w )e iwt dw,