椭圆经典解题思路

椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．

解：方程变形为

126

2

2

=+

m

y

x

．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．

又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012

22

2>>=+

b a b

y a

x ．

由椭圆过点()03，P ，知

1092

2

=+

b

a

．又b a 3=，代入得12=b ，92

=a ，故椭圆的方程为

19

2

2

=+y x

．

当焦点在y 轴上时，设其方程为

()012

22

2>>=+

b a b

x a

y ．

由椭圆过点()03，P ，知

1092

2

=+

b

a

．又b a 3=，联立解得812=a ，92

=b ，故椭圆的方程为

19

81

2

2

=+

x

y

．

例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．

（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，

知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为

()0136

100

2

2

≠=+

y y

x

．

（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则

()0136

100

2

2

≠'='

+

'

y y x ． ①

由题意有???

?

??

?

='='3

3y y x x ，

代入①，得A 的轨迹方程为

()01324

900

2

2

≠=+

y y

x

，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3

54和

3

52，过P 点作焦点所在轴

的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3

541=

PF ，3

522=

PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=

a ．

从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，2

1sin 1

221==

∠PF PF F PF ，

可求出6

21π

=

∠F PF ，3

526

cos

21=

?=π

PF c ，从而3

10222=

-=c a b ．

∴所求椭圆方程为

110

352

2

=+

y x

或

15

10

32

2

=+

y

x ．

例5 已知椭圆方程

()012

22

2>>=+

b a b

y a

x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是

椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2

1=

?求面积．

解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2

2

1F F 2

2

2

1

PF PF +=12PF -·2

24cos c PF =α．①

由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2

得 α

c o s 122

21+=

?b

PF PF ．

故αsin 2

1212

1

PF PF S PF F ?=

? αα

sin cos 12212

+=

b

2

tan

2

α

b =．

例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，

且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7342

2=

-=b 的椭圆的方程：

17

16

2

2

=+

y

x

．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹

方程的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆

122

2

=+y x

，

（1）求过点??

? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

1-

=?OQ OP k k ，

求线段PQ 中点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则 ??????

?=+=+=+=+④

，

③，②，①，

y y y x x x y x y x 22222221

212

22

22121

①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()

022

1212121=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得022

121=--+x x y y y

x ．⑤

（1）将2

1=x ，2

1=y 代入⑤，得2

12

121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥

将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得04

1662

=--y y ，04

16436>??-=?符合题意，0342=-+y x 为所求．

（2）将

22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．

（椭圆内部分） （3）将2

12

121--=

--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222

2=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得 ：

(

)

22

2

2212

2

21=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得

212

222124x x x x x -=+， ⑧， 212

2

22

124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

(

)

2244

24212

2

12

=-+-y y y x x x ， ⑩

再将212121

x x y y -=代入⑩式得： 221242212

212

=??

? ??--+-x x y x x x ， 即 12

12

2

=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆142

2=+y x 及直线m x y +=．

（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

102，求直线的方程．

解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()142

2=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*********

≥+-=-??-=?m m m ，解得2

52

5≤

≤-

m ．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5

221m x x -

=+，5

12

21-=

m x x ．

根据弦长公式得 ：510251452112

2

2

=-?

-???

?

?-?+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9 以椭圆

13

12

2

2

=+

y

x

的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，

点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，

使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决． 解：如图所示，椭圆

13

12

2

2

=+

y

x

的焦点为()031，-F ，()032，F ．

点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组??

?=+-=-+0

9032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．

所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ， ∴()

3635

32

2

2

2

2

=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为

136

45

2

2

=+

y

x

．

例10 已知方程

135

2

2

-=-+

-k

y

k x

表示椭圆，求k 的取值范围．

例11 解：由??

?

??-≠-<-<-,35,03,

05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由??

?<-<-,

03,05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

例12 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为

1cos 1sin 12

2

=+

α

α

y

x

．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>

-

α

α

．

因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3,

2

(ππ

α∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-

α，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在y 轴上，知α

cos 12

-

=a ，α

sin 12

=

b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得

?????=?+-?=-?+?,

11)32(,

1)2()3(2222n m n m 即???=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ． 例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．

分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2

0x x =

，0y y =．

因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．

将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ． 说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，

从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握． 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为

3

π

的直线交椭圆于A ，

B 两点，求弦AB 的长．

分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212

212212

x x x x k x x k

AB -++=-+=求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． 212

1x x k

AB -+=

]4))[(1(212

212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为

19

36

2

2

=+

y

x

，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．

由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132

=?++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以13

37221-

=+x x ，

13

83621?=

x x ，3=k ， 从而13

48]4))[(1(1212

212212

=

-++=-+=x x x x k x x k

AB ．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为

19

36

2

2

=+

y

x

，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．

在21F AF ?中，3

cos

22112

212

12

2π

F F AF F F AF AF -+=，即2

1362336)12(2

2???-?+=-m m m ；

所以3

46-

=

m ．同理在21F BF ?中，用余弦定理得3

46

+=

n ，所以13

48=

+=n m AB ．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132

=?++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．

例15 椭圆

19

25

2

2

=+

y

x

上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为

A ．4

B ．2

C ．8

D ．

2

3

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

例16 已知椭圆13

42

2=+y

x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点

关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．

∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为

n x y +-=4

1

．由方程组???????

=++-=,134

,4122y x n x y 消去y 得

048168132

2=-+-n nx x ①。∴13

821n x x =

+．于是13

42

2

10n x x x =

+=

，13

124

100n n x y =

+-

=，

即点M 的坐标为)13

12,

13

4(

n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n n +?

=13

44．解得m n 4

13-=． ②

将式②代入式①得048169261322=-++m mx x ③

∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(22>-?-=?m m ．解得13

13213

132<<-m ．

(法2)同解法1得出m n 4

13-

=，∴m m x -=-=)4

13(1340，

m m m m x y 34

13)(4

14

134100-=-

-?-

=-

-

=，即M 点坐标为)3,(m m --．

∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴

13

)3(4

)(2

2

<-+

-m m ．解得13

13213

132<

<-

m ．

(法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．

∵A ，B 在椭圆上，∴

13

4

2

12

1

=+

y x ，

13

4

2

22

2=+

y x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x ．∴

)(43210

02

121x x y x x x y y ≠-

=--．

又∵直线l AB ⊥，∴1-=?l AB k k ，∴14430

0-=?-

y x ，即003x y = ①。

又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0>?，建立参数方程．

(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足

12

02

0<+

b

y a

x ，将0x ，0y 利用参数表示，建立参数不等式．

例17 在面积为1的PMN ?中，2

1tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P

点的椭圆方程．

∴所求椭圆方程为

13

15

42

2

=+

y

x

例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆

19

36

2

2

=+

y

x

所截得的线段的中点，求直线l 的方程．

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )，得到关于x (或y )

的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得

036)24(4)24(8)14(2

2

2

=--+--+k x k k x k ①

设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴1

4)24(82

21+-=+k k k x x

∵)2,4(P 为AB 中点，∴1

4)24(42

42

2

1+-=

+=

k k k x x ，2

1-

=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ．

方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ，B 在椭圆上，∴3642

12

1=+y x ，3642

22

2=+y x 两式相减得0)(4)(2

22

12

22

1=-+-y y x x ， 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴

2

1)

(4)(21212

121-

=++-=

--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．

∵A 、B 在椭圆上，∴3642

2

=+y x ①。 36)4(4)8(2

2

=-+-y x ②

从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为082=-+y x ． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？