离散数学期末复习题
离散数学期末复习题
一、选择题
1、永真式的否定是(2) (2) 永假式
2、设P :2×2=5,Q :雪是黑的,R :2×4=8,S :太阳从东方升起,则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→
3、设P :我听课,Q :我看小说,则命题R “我不能一边听课,一边看小说”的符号化为⑵ ⑵Q P ?→(3)
提示:()R P Q P Q ??∧?→? 4、下列表达式错误的有⑷ ⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑷Q Q P ??→?)(
6、下列联接词运算不可交换的是(3) (3)→
6、设D :全总个体域,F (x ):x 是花,M(x) :x 是人,H(x,y):x 喜欢y ,则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→
7、设L(x):x 是演员,J(x):x 是老师,A(x , y):x 钦佩y ,命题“所有演员都钦佩某些
老
师”的逻辑符号化为⑵
⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→?
8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶ ⑶既是自由变元又是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴
⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? 10、下列推导错在⑶
①)(y x y x >?? P
②)(y z y >? US ① ③)(z C z > ES ② ④)(x x x >? UG ③
⑶④
11、下列推理步骤错在⑶
①(,)x yF x y ??
P ②),(y z yF ? US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ? UG ③ ⑤),(y x xF y ?? EG ④
⑶③→④
12、设个体域为{a,b},则(),x yR x y ??去掉量词后,可表示为⑷
⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨
提示:原式()()()()()()()()
,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ??∧??∨∧∨ 二、填充题
1、一个命题含有n 个原子命题,则对其所有可能赋值有2n
种。
2、n 个命题变元可产生2n 个互不等价的极小项,其中,任意两个不同极小项的合取式为矛盾式(永假式),而全体极小项的析取式为重言式(永真式),n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n
。
3、n 个命题变元可产生2n 个互不等价的极大项,其中,任意两个不同极大项的析取式为重言式(永真式),而全体极小项的合取式为矛盾式(永假式),n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n 。
5、公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为()(())P Q P Q S ?∧∨∧?∨?。
6、设P :它占据空间,Q :它有质量,R :它不断运动,S :它叫做物质。命题“占据空间的,有质量的而且不断运动的叫做物质”的逻辑符号可化为R Q P S ∧∧? 。
7、P :你努力,Q :你失败。“除非你努力,否则你将失败”的翻译为Q P →?; “虽然你努力了,但还是失败了”的翻译为Q P ∧。
8、令)(x A :x 会叫,)(x B :x 是狗,)(x C :x 会咬人,则命题“会叫的狗未必会咬人” 的符号化为))()()((x C x B x A x ?∧∧?。
9、设P(x):x 是大象,Q(x):x 是老鼠,R(x,y):x 比y 重,则命题“大象比老鼠重”的符号化为)),()()((y x R y Q x P y x →∧??。
10、令A (x ):x 是自然数,B (x,y ):x 小于y ,则命题“存在最小的自然数” 的符号化为),()(()((x y B y A y x A x ?→???。
三、计算题
1、用真值表方法判断下列公式的类型,并求(3)的主析取范式与主合取范式
(1)(P →Q )?(?P ∨Q ); (2)?(P →Q )∧Q ; (3)(P →Q )∧?R ;
解 (1)、(2)和(3)的真值表如表1、表2和表3所示:
(3)的主析取范式为:(0,2,6)∑;其主合取范式为(1,3,4,5,7)π。
2、给定解释I :D={2,3},L (x,y )为L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0 ,求谓词合式公式),(y x xL y ??的真值。
解:(,)((2,)(3,))((2,2)(3,2))((2,3)(3,3))y xL x y y L y L y L L L L ????∧?∧∨∧
(10)(01)000?∧∨∧=∨=。
3、个体域为{1,2},求x ?y (x+y=4)的真值。 解:x ?y (x+y=4)?x ((x+1=4)∨(x+2=4))
?((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+2=4)) ?(0∨0)∧(0∨1)?0∧1?0。
四、证明题
1、证明下列逻辑恒等式:
(1)P?Q? (P→Q)∧(Q→P) 证明、用真值表法证明
由定义可知,这两个公式是等价的。 (2)P →(Q →P)??P →(P →?Q)
证明、P →(Q →P)??P ∨(?Q ∨P) ?P ∨(?P ∨?Q)
?P ∨(?P ∨?Q) ?P ∨(P →?Q) ??P →(P →?Q)
(3) ))(()()(Q R P Q R Q P →∨?→∧→
证明 : 左))(())()((Q R P Q R Q P ∨?∧??∨?∧∨??
?→∨?∨∨??)())((Q R P Q R P 右
(4)求证:x(A(x)→B(x))? xA(x)→xB(x)
证明 :x(A(x)→B(x))?x(?A(x)∨B(x))?x ?A(x)∨xB(x)??xA(x)∨xB(x)?xA(x)→xB(x)
(5)求证:x(P(x)→Q(x))∧xP(x)?x(P(x)∧Q(x)) 证明:左?x((P(x)→Q(x)∧P(x))?x((?P(x)∨Q(x))∧P(x))?x(P(x)∧Q(x)) ?右
(6)求证:x y (P (x )→Q (y )) xP (x )→yQ (y ) 证明:x y (P (x )→Q (y ))x y (?P (x )∨Q (y ))
x (?P (x )∨yQ (y ))x ?P (x )∨yQ (y )?xP (x )∨yQ (y )xP (x )→yQ (y )
(7)求证:()()()()()(
)
x F x G x xG x xF x ??∧???→? 证明:左()()()()()()()()()x F x G x x F x G x xF x x G x ???∨????∨????∨?? ()()()xF x xG x ???∨??()()()xG x xF x ???→??右
2、用推理规则证明下列各结论是各前提的有效结论: (1)P →Q ,?Q ∨R ,?R ,?S ∨P=>?S 证明:(1) ?R P
(2) ?Q ∨R P
(3) ?Q T (1),(2)(析取三段论) (4) P →Q P (5) ?P T (3),(4)(拒取式)
P Q P ?Q (P →Q )∧(Q →P ) F F F T T F T T T T F F F F T T
(6) ?S ∨P P (7) ?S T (5),(6)(析取三段论)
(2)A →(B →C),C →(?D ∨E),?F →(D ∧?E),A=>B →F 证明: (1) A P (2) A →(B →C) P (3) B →C T (1),(2)(假言推理)
(4) B P (附加前提) (5) C T (3),(4)(假言推理) (6) C →(?D ∨E) 前提 (7) ?D ∨E T (5),(6)(假言推理) (8) ?F →(D ∧?E) 前提 (9) F T (7),(8)(拒取式) (10) B →F CP
(3)(P →Q)∧(R →S),(Q →W)∧(S →X),?(W ∧X),P →R => ?P 证明:(1) P P (假设前提)
(2) P →R P
(3) R T (1),(2)(假言推理) (4) (P →Q)∧(R →S) P
(5) P →Q T (4)(化简律) (6) R →S T (4)(化简律) (7) Q T (1),(5)(假言推理) (8) S T (3),(6)(假言推理) (9) (Q →W)∧(S →X) P
(10) Q →W T (9)(化简律) (11) S →X T (9)(化简律) (12) W T (7),(10)(假言推理) (13) X T (8),(11)(假言推理) (14) W ∧X T (12),(13)(合取引入) (15) ?(W ∧X) P
(16) ?(W ∧X)∧(W ∧X) T (14),(15)(合取引入) 由(16)得出矛盾式,故?P 为原前提的有效结论
(4)x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))
证明(1)?xP(x) P
(2)P(a) T(1),ES (3)x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P
(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US
(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4) (假言推理) (6)Q(y) T(5) (化简律) (7)R(a) T(5) (化简律)
(8)P(a)∧R(a) T(2)(7) (合取引入) (9)?x(P(x)∧R(x)) T(8),EG
(10)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) T(6)(9) (合取引入) (5))()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ?→??→? 证明:①?xP(x) P ( 附加前提)
②P(e)
T ①ES ③))()()((x Q x P x →? P ④)()(e Q e P →
T ③US
⑤Q(e) T ②④(假言推理) ⑥)()(x Q x ?
T ⑤EG ⑦)()()()(x Q x x P x ?→?
CP
(6)()(()()()),(),()xP x x P x Q x R x xP x xQ x ?→?∨→??(()())x y P x R y ??∧
证明:⑴()(()()())xP x x P x Q x R x ?→?∨→
P ⑵()xP x ?
P
⑶(()()())x P x Q x R x ?∨→ T ⑴⑵(假言推理) ⑷)(e P T ⑵ES ⑸()xQ x ? P ⑹)(d Q
T ⑸ES ⑺()()()P d Q d R d ∨→ T ⑶US ⑻)()(d P d Q ∨ T ⑹(附加律) ⑼)(d R T ⑺⑻(假言推理) ⑽)()(d R e P ∧ T ⑷⑼(合取引入) ⑾))()()((y R e P y ∧? T ⑽EG ⑿))()()()((y R x P y x ∧??
T ⑾EG
(7)()()())()()()(x xQ x P x x Q x P x ?∨??∨?
证明:(1)())()()()(x Q x x p x ?∨?? P (假设前提) (2)())()(x Q x x P x ??∧?? T (1) (3)())(x P x ?? T (2)(化简律) (4))(e P ? T (3)ES (5)()()()()x P x Q x ?∨ P (6)()())()(x Q x P x →?? T (5) (7))()(e Q e P →? T (6)US
(8)()e Q T (4). (7) (假言推理)
(9) ()()x Q x ?? T (2) (化简律) (10)()e Q ? T(9)US
(11)()()e Q e Q ∧? T (8) (10) (合取引入)
华南农业大学 离散数学 期末考试2013试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷(A 卷) 2013-2014学年第 一 学期 考试科目: 离散结构 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 ①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题,共6页。 ②所有解答必须写在答卷上,写在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 25 小题,每小题 2 分,共 50 分) 1、下面语句是简单命题的为_____。 A 、3不是偶数 B 、李平既聪明又用功 C 、李平学过英语或日语 D 、李平和张三是同学 2、设 p:他主修计算机科学, q:他是新生,r:他可以在宿舍使用电脑,下列命题“除非他不是新生,否则只有他主修计算机科学才可以在宿舍使用电脑。”可以符号化为______。 A 、r q p →?∧? B 、r q p ?→∧? C 、r q p →?∧ D 、r q p ∧→ 3、下列谓词公式不是命题公式P →Q 的代换实例的是______。 A 、)()(y G x F → B 、),(),(y x yG y x xF ?→? C 、))()((x G x F x →? D 、)()(x G x xF →? 4、设个体域为整数集,下列公式中其值为 1的是_____。 A 、)0(=+??y x y x B 、)0(=+??y x x y C 、)0(=+??y x y x D 、)0(=+???y x y x
2 5、下列哪个表达式错误_____。 A 、 B x xA B x A x ∧??∧?)())(( B 、B x xA B x A x ∨??∨?)())(( C 、B x xA B x A x →??→?)())(( D 、)())((x xA B x A B x ?→?→? 6、下述结论错误的是____。 A 、存在这样的关系,它可以既满足对称性,又满足反对称性 B 、存在这样的关系,它可以既不满足对称性,又不满足反对称性 C 、存在这样的关系,它可以既满足自反性,又满足反自反性 D 、存在这样的关系,它可以既不满足自反性,又不满足反自反性 7、集合A 上的关系R 为一个等价关系,当且仅当R 具有_____。 A 、自反性、对称性和传递性 B 、自反性、反对称性和传递性 C 、反自反性、对称性和传递性 D 、反自反性、反对称性和传递性 8、下列说法不正确的是:______。 A 、R 是自反的,则2R 一定是自反的 B 、R 是反自反的,则2R 一定是反自反的 C 、R 是对称的,则2R 一定是对称的 D 、R 是传递的,则2R 一定是传递 9、设R 和S 定义在P 上,P 是所有人的集合,=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的父亲},=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲},则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖父}的表达式是:______。 A 、11--R R B 、11--S R C 、11--S S D 、11--R S 10、右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为_____。 A 、c b , B 、b a , C 、b D 、c b a ,, 11、以下整数序列,能成为一个简单图的顶点度数序列的是_____。 A 、1,2,2,3,4,5
《 离散数学》期中考试试卷(2006—2007学年第2学期)
《离散数学J》考试试卷(期中) 课程代码143140320命题单位学院:计算机学院信息教研室 学院:_______________班级:_____________姓名:_______________学号:____________ 1.将下列命题将其符号化。(4分) ①.李平不是不聪明,而是不用功。 假设p:李平聪明,q:李平用功 ②.如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图,那么我不了解柏拉图。 假设p:我懂得希腊文,q:我了解柏拉图 2.在一阶逻辑中将下列命题符号化。(9分) ①.整数都是有理数,并不是每个有理数一定是整数,有些有理数不是整数。 假设I(x):x是整数,Q(x):x是有理数。 ②.某些汽车比所有的火车慢。 假设F(x):x是火车。G(x):y是汽车。H(x,y):x比y快 ③.谁要是游戏人生,他就一事无成;谁不能主宰自己,他就是一个奴隶。 假设:M(x)表示“x是人”,K(x)表示“x游戏人生”,L(x)表示“x 一事无成”,H(x,y)表示“x主宰y”,N(x)表示“x是奴隶”。 3.试证明: (┐P∧(┐Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R))=R(10分) 4.求公式G=(P→Q)∧R的主析取范式和主合取范式。(12分) 5.先将些列论断符号化,再证明论断的正确性。(15分) 所有的大一学生都要学习英语;并非所有的大一学生都要学习离散数学;故有些学习英语的不学习离散数学。 假设谓词如下:P(x):x是大一学生;Q(x):x要学习英语; R(x):x要学习离散数学。 6.某班学生50人,会排球的有40人,会篮球的35人,会足球的10人,以上三种运动都会的5人,都不会的没有,问只会两种运动的有几人?
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题(每空2分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:a* b = a和b两者的最大值,则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元, 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷(A 卷) 一、 选择题(共5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3,则4+5=9; B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3,则4+5≠9; D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时,下列公式( C )不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质( B )。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是( D )。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题(共 5 小题,每题 3 分,共15 分) 1、设|A|=4,|P(B)|=32,|P(A ?B)|=128,则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?,其中)(x P :x=1, )(x Q :x=2,当论域为{0,1,2}时,其真值为???1???。 4、设A ={1,2,3,4},则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ={a ,b ,c },B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题(对的填T ,错的填F ,共 10 小题,每题 1 分,共计10 分) 1、“这个语句是真的”是真命题。 ( F ) 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 ( F ) 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 ( T ) 4、)(T S R T R S R ??????。 ( F ) 5、恒等关系具有自反性,对称性,反对称性,传递性。 ( T ) 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 ( T ) 7、若g f ?是满射,则g 是满射。 ( F ) 8、若A B ?,则)()(A P B P ?。 ( T ) 9、若R 具有自反性,则1-R 也具有自反性。 ( T ) 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 (F ) 四、计算题(共 3 小题,每题 10 分,共30 分) 1、调查260个大学生,获得如下数据:64人选修数学课程,94人选修计算机课程,58人选修商贸课程,28人同时选修数学课程和商贸课程,26人同时选修数学课程和计算机课程,22人同时选修计算机课程和商贸课程,14人同时选修三门课程。问 (1)三门课程都不选的学生有多少? (2)只选修计算机课程的学生有多少?
08计算机《离散数学》期中试卷答案
系 专业 年级 班级 学号 姓名 ……………………装……………………订……………………线…………………… 泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷 题 序 一 二 三 四 五 总分 成 绩 签 名 一、单项选择题:(20%,每空2分) 1.设A={a,{a}},下列命题错误的是( B )。 A .{a}P(A) B .{a}P(A) C .{{a}}P(A) D .{{a}}P(A) 2、假定全集E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5},B ={2,3,4,7,8,9},则A ∪B 的位串是( D )。 A .01 B .0011100000 C .00 D .00 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。 A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A) B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A) C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A) D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A) 4.设p :你主修计算机科学,q :你是新生, r :你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生,你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A .r →p ∨q B .r →p ∧q C .r →p ∨q D .r →p ∨q 5.下列是两个命题变元p ,q 的极小项是( A ) A .┐p ∧q B .┐p ∨q C .p ∧┐p ∧q D .┐p ∨p ∨q 6、下列等值式不正确的是( C ) A .┐(x)A(x)┐A B .(x)(B →A(x))B →(x)A(x) C .(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x) D .(x)(y)(A(x)→B(y))( x)A(x)→(y)B(y) 7、若s={1,2,3,4},S 上关系R 的关系图为: 则R 具有( B )性质。 A 、自反性 B 、自反性、对称性 C 、反自反性、反对称性 D 、自反性、对称性、传递性 8.设A={a,b,c,d},A 上的等价关系R={,,
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={
【浙江工商大学】《离散数学》期末考试题(B)
《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ),)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分,共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系,1-R 是R 的逆关系,则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数,则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合,≤是其上的小于等于关系,则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ,又存在右逆元r a ,则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0,1,2,3,4,5,6,7}中,2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( )
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学(上)》考试试卷(A 卷) (时间120分钟) 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题(每小题2分,共20分) 1. 设A={a,b,c},A 上二元关系R={〈a,a 〉,〈b,b 〉,〈a,c 〉},则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系,要使I x ∪{〈a,b 〉,〈b,c 〉,〈c,a 〉,〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系,R 应取( ) A. {〈c,a 〉,〈a,c 〉} B.{〈c,b 〉,〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉,〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉,〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下:论域D 为实数集,a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 2010-2011学年第一学期离散数学期中考试试卷答案 一、(本题满分12分)在命题逻辑中将下列命题符号化。 (1)小王边走路边听音乐。(2)除非a能被2整除,a才能被4整除。 (3)派小张、小李中的一人去开会。(4)小张和小李是同学。 (5)今天是星期一仅当明天是星期二。(6)若2+2≠4,则3+3≠6;反之亦然。 解:(1)令p:小王走路;q:小王听音乐。符号化为p∧q (2)令p:a能被2整除;q:a能被4。符号化为q→p (3)令p:派小张去开会;q:派小李去开会。符号化为(p∧┐q)∨(┐p∧q) (4)令p:小张和小李是同学。符号化为p (5)令p:今天是星期一;q:明天是星期二。符号化为p→q (6)令p:2+2=4;q:3+3=6。符号化为┐p?┐q 二、(本题满分12分)在一阶逻辑中将下列命题符号化。 (1)有的有理数能被2整除。(2)没有不犯错误的人。 (3)人都不一样高。(4)说火车比汽车跑的快是不对的。 (5)4>2与3≥1互为充要条件。(6)除非李键是东北人,否则他一定怕冷。解:(1)令F(x):x为有理数;G(x):x能被2整除。符号化为?x(F(x)∧G(x)) (2)令F(x):x是人,G(x):x犯错误,则命题符号化为:?x(F(x)→G(x)) (3)令F(x):x是人;H(x,y):x与y一样高。符号化为?x?y(F(x)∧F(y)→┐H(x,y))(4)令F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y快,┐?x?y(F(x)∧G(y)→H(x,y))(5)令F(x,y):x>y,G(x,y):x≥y,a:4,b:2,c:3,d:1。符号化为F(a,b)?G(c,d) (6)令F(x):x是东北人,G(x):x怕冷,a:李键,符号化为┐G(a)→F(a) 三、(本题满分8分)给出公式(q →r) ∧ ( p→p)的真值表并求出成真赋值和成假赋值。解:真值表如下 成真赋值:000、001、011、100、101、111;成假赋值:010、110 四、(本题满分10分)设p:2能整除5,q:太阳从西方升起,r:一年分四季。求下列复合命题的真值: (1)((p ∨q) → r)∧(r→ (p ∧q)) (2)((┐q ?p) → (r ∨p)) ∨ ((┐p ∧┐q) ∧r) 解:由题意,p、q、r的真值分别为0、0、1。(1)的真值为0;(2)的真值为1。 五、(本题满分12分)使用等值演算法判断公式下列公式的类型。 离散数学试题(B卷答案1) 一、证明题(10分) 1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明:x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) x A(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。 证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1)C∨D,(C∨D)E, E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S证明:(1) (C∨D) E ?P (2) E(A∧B) ??P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2),I (4) (A∧B)(R∨S)??P (5) (C∨D)(R∨S) ? T(3)(4),I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P (2)P(a) T(1),ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3),US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I (6)Q(y) T(5),I (7)R(a) T(5),I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8),EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I 四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解:A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。 先求|A∩B|。 ∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。 于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(10分)。 证明:∵x A-(B∪C) x A∧x(B∪C) xA∧(xB∧x C) (x A∧x B)∧(x A∧xC) x(A-B)∧x(A-C) x(A-B)∩(A-C) ∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={河海大学文天学院09级离散数学期中考试试卷答案
离散数学期末考试试题及答案