2021北京西城区高三期末数学(文)试题答案

2014北京西城区高三期末数学（文）试题答案

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2014.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9 10． 1

8 34

11． 12．1

3

-

13． 2- (0,1] 14．○1○3

注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为π

()sin()(0)3

g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||

ωπ

=π，解得2ω=． ……………… 3分

由 ()2

f α=

22α=，

即 cos 22

α=， ……………… 4分

所以 π

22π4

k α=±

，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π

{,,,}8888

α∈--. ……………… 6分

（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3

y f x g x x x =+=+-

ππ

2sin 2cos cos 2sin 33

x x x =+- (8)

分

1sin 222x x =

+ π

sin(2)3

x =+， (10)

分

由 2πππ

2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分

解得 5ππππ1212

k k x -+≤≤．

(12)

分

所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ

[ππ]()1212

k k k -+∈Z ,.…………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，得 1

1(889292)[9091(90)]33

a ++=+++， ……………… 3分

解得 1a =. ……………… 4分

（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 5分

依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (6)

分

由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (7)

分

所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84

()105

P A ==． ……………… 8分

（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B ，………… 9分

当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339?=种，

它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， (10)

分

所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，

(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). (11)

分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7

()9

P B =

. (13)

分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，

所以AC BD ⊥. ……………… 1分

又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =，

且AC ?平面ABCD ，

所以AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分

（Ⅱ）证明：在CEF ?中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，

所以//GH EF ，

又因为GH ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，

所以//GH 平面AEF . ……………… 6分

设AC BD O =，连接OH ，

F B

C

G

E

A

H D

O

在ACF ?中，因为OA OC =，CH HF =， 所以//OH AF ，

又因为OH ?平面AEF ，AF ?平面AEF ，

所以//OH 平面AEF . ……………… 8分

又因为OH

GH H =，,OH GH ?平面BDGH ，

所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，

又因为AO =，四边形BDEF 的面积3BDEF

S

=?=， (11)

分

所以四棱锥A BDEF -的体积1

1

43BDEF

V AO S =??=. (12)

分

同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.

所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. (14)

分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为()()e x

f x x a =+，x ∈R ，

所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分

令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分

当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：

)

(5)

分

故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．

所以当10a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增，

故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a ==； (8)

分

当401a <--<，即51a -<<-时，

()f x 在(0,1)a --上单调递减， ()f x 在(1,4)a --上单调递增，

故()f x 在[0,4]上的最小值为1

min ()(1)e a f x f a --=--=-； (10)

分

当41a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减，

故()f x 在[0,4]上的最小值为4

min ()(4)(4)e f x f a ==+. (12)

分

所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min

4, 1,()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---??

=--<<-??+-?

≥≤ ……13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：抛物线2

y x =的焦点为1

(0,)4

. ……………… 1分

由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分

令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分

因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114

k ->， 解得 34

k <

. 因为 0k >， 所以 3

04

k <<. ……………… 5分

（Ⅱ）解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ……………… 6分

理由如下：

假设四边形ABDC 为梯形. ……………… 7分

由题意，设2

11(,)B x x ，2

22(,)C x x ，33(,)D x y ，

联立方程2

1(1),

,

y k x y x -=-??=? 消去y ，得2

10x kx k -+-=，

由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 8分

同理，得21

1x k

=--. ……………… 9分

对函数2

y x =求导，得2y x '=，

所以抛物线2

y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-， ……………… 10分

抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为22

22x k

=-

-. ………………11分

由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD . 若//AB CD ，则2

2k k

=-

-，即2220k k ++=， 因为方程2

220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. ………………12分

若//AC BD ，则1

22k k

-

=-，即22210k k -+=， 因为方程2

2210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分

所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾.

因此四边形ABDC 不可能为梯形. ……………14分

20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为等比数列{}n a 的1

14a ，1

2

q

， 所以 1

14a ，27a ，3

3.5a . (1)

分 所以 1

14b ，27b ，3

3b . (2)

分

则 3123

24T b b b . (3)

分

（Ⅱ）证明：（充分性）因为 n

a N ，

所以 []n n n b a a 对一切正整数n 都成立.

因为 12n n S a a a ，12n n T b b b ，

所以 n n S T . ……………… 5分

（必要性）因为对于任意的n N ，n

n S T ，

当1n =时，由1

111,a S b T ，得1

1a b ； ……………… 6分

当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.

所以对一切正整数n 都有n n a b =. ……………… 7分 因为 []n

n b a Z ，0n

a ，

所以对一切正整数n 都有n

a N . (8)

分

（Ⅲ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，

所以 1

13b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. (9)

分

因为 []n

n b a ，

所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ………………10分 由 2

1

a q a =

，得 1q <. ………………11分 因为 2012

20142[2,3)a a q =∈，

所以 2012

2223

q

a >≥

， 所以 2012

213

q

<<，即 120122()13q <<. ………………13分