02>?AC B ),(00y x f （3）若，则是否为极值，需进一步讨论才能确定。
02=?AC B ),(00y x f 若记，我们可以用二次型的正定性将这个结论叙述为： ????????′′′′′′′′=),(),(),(),(),(0000000000y x f y x f y x f y x f y x H yy xy
xy xx ???????
?=C B B A （1）如果为正定矩阵（且或）
，则为极小值；如果为负定矩阵（且),00y x H （02A 0>C ),(00y x f ),00y x H （02
),(00y x f （2）如果为不定矩阵，则不是极值。
),00y x H （),(00y x f （3）如果不能判定为不定矩阵或半正定矩阵或半负定矩阵（），则是否为极值，需进一步讨论才能确定。
),00y x H （02=?AC B ),(00y x f 将这个结论推广到判定元函数的极值，有如下一般结论：
n 对于元函数在点的某个邻域内连续，且有一阶、二
阶连续偏导数。当是的驻点时，则有
n ),,,(21n x x x f "),,,(002010n x x x X "=),,,(002010n x x x X "=)(X f
),,2,1(0)(0n i X f i "==由在的二阶导数组成的矩阵 ),,,(21n x x x f "),,,(00201
0n x x x X "= ??????
????????=)()()()()()()()()()(0020102022021010120110X f X f X f X f X f X f X f X f X f X H nn n n n n """""""称为在处的阶赫斯(Hess )矩阵。根据正定矩阵与正定二次型的有关结论，则有以下
)(X f 0X
关于极值的判别法：
（1）若为正定矩阵，则，那么为的极小值； )(0X H )(X f ≥)(0X f )(0X f )(X f （2）若为负定矩阵，则)(0X H )(X f ≤)(0X f ，那么为的极大值； )(0X f )(X f （3）若为不定矩阵，则对于某些)(0X H X 有)(X f ≤)(0X f ，而对于另一些X 有，那么不是的极值。
)(X f ≥)(0X f )(0X f )(X f （4）若无法判定的有定性，则是否为的极值还需进一步判定。 )(0X H )(0X f )(X f 例 给定三个有一定需求关系的市场，它们由一个垄断者供货，三个对应的需求函数分别是
， ， 3211214q q q p ???=321224224q q q p ???=321364236q q q p ???=又假定其成本函数是
)(23321q q q C +++=则当三个市场的供应量分别为多少时，可使垄断商的总利润最大？
解：三个市场的总利润是
C q p q p q p ?++=332221π
23211321)24224()214(q q q q q q q q ???+???=
)(23)64236(3213321q q q q q q q ++?????+ 3664332342212233222312121
321???????++=q q q q q q q q q q q q 于是，令01=??q π，02=??q π，03
=??q π，有
?????=++=++=++3412632268312334321
321321q q q q q q q q q 解之，可得驻点 ??
????=4295,1411,75),,(*3*2*1q q q ；由 4122?=??q π 8222?=??q π 123
22?=??q π； 3122212?=???=???q q q q ππ 3132312?=???=???q q q q ππ 62
32322?=???=???q q q q ππ 可得利润函数π在点??
????4295,1411,75处的赫斯矩阵 ????
???????????????=??????126361033344295,1411,75H 由于它是负定矩阵。所以当751=
q ，14112=q ，42
953=q 时，可使垄断商的总利润达到最大，最大利润为 36.471476962≈=
π
函数极值的几种求法
函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是：
多元函数的极值与最值例题极其解析
多元函数的极值与最值 1.求函数z=x3+y3?3xy的极值。 步骤： 1)先求驻点(另偏导数等于0，联立) 2)再求ABC A=f xx(x0, y0) B=f xy(x0, y0) C=f yy(x0, y0) 3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值， 且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o); (2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值; (3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论. =3x2?3y=0 解：?z ?x ?z =3y2?3x=0 ?y 联立得驻点为(0,0),(1,1) A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导) B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导) C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导) 在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处
无极值。 在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为 A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (1, 1) =x3+y3?3xy=?1 2.求函数f(x, y)=x2+(y?1)2的极值。 解：f x’=2x=0 F y’=2y-2=0 联立得驻点为(0,1) A=f xx(x0, y0) =2 B=f xy(x0, y0) =0 C=f yy(x0, y0) =2 在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (0, 1) = 0 3.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？ 解：另长宽高分别为x, y, z 故xyz=a, z=a xy S=xy+2(x a xy +y a xy )=xy+2(a y +a x ) S x’=y+2(?a x2 )=0 S y ’= x+2(?a y )=0
第(16)次作业答案——二次型.
班级学号姓名第五章相似矩阵及二次型,作业第（16）次 第五节二次型及其标准形 第七节正定二次型 1 写出二次型的矩阵A,并求二次型的秩 f(x2 1,x2,x3)=x21-5x3+2x1x2+6x1x3 ?解:二次型的矩阵A= 113? 100? ? ?30-5? ??113??10A= 100? 0?? ?~ 013? ?30-5???00-5? ? 故二次型的矩阵的秩为R(A)=3 2若二次型f(x=2x222 1,x2,x3)1+2x2-6x1x2+x3， （1）写出二次型的矩阵A；（2）写出一个正交矩阵P，化矩阵A为对角阵； (3) 求一个正交变换x=Qy，化二次型为标准形. ?2-30? 解：（1）A= -320? ? ?001?? （2）由A-λE=0可得λ1=1，λ2=-1，λ3=5解(A-λE)x=0，可得λ1=1，p1=(0,0,1)T ， λT2=-1，p2=(1,1,0)，λ3=5，p3=(-1,1,0)T 取 ? ?0 Λ= 1? -1?, P= , ? 0??5??
? 10 0??? ?? P-1AP=Λ (3) ? 0 取Q=P= 0??，则Q为正交阵， 10 0? ???? 满足 Q-1AQ=Λ=QTAQ。令x=Qy，则 f(T1x,2x,xxAx)=y T yΛy=2 y2 2-5y。+3 3 已知二次型 f=5x2+5x2x2 12-21x2+cx3+6x1x3-6x2x3 的秩为2. (1)求参数c及此二次型矩阵的特征值; (1)指出方程f=1表示何种二次曲面. ?5-13??-15-解：（1）A= -15-3??~ 3? 02 -1? ?3-3c??，??00c-3?
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
导数与函数的极值 最值问题 解析版
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值. 例1已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2 ,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或? ??=-=33b a ．?
当???=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．?当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= 在)4,0(上无极值， 而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =
求极值与最值的方法
求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(x f n 时，)(x f 在0x 取极小值。 （2）当为奇数时，)(x f 在0x 不取极值。 求极值方法： （1）求一阶导数，找出导数值为0的点（驻点），导数值不存在的点，及端点； （2）判断上述各点是否极值点 例 1 求函数32()69f x x x x =-+的极值。 解法一 ： 因为32()69f x x x x =-+的定义域为错误！未找到引用源。, 且'2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--, 令'()0f x =，得驻点11x =, 23x =； 在错误！未找到引用源。内，错误！未找到引用源。，在错误！未找到引用源。内，'()0f x <,(1)4f =为函数()f x 的极大值。 解法二： 因为错误！未找到引用源。的定义域为错误！未找到引用源。， 且错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。。 令错误！未找到引用源。,得驻点错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。。又因为错误！未找到引用源。,所以，错误！未找到引用源。为)(x f 极大值。 错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。为)(x f 极小值．
求函数极值的几种方法
求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =
如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p
二次型的正定性及其应用
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用 学生姓名：孙云云 学生学号：0805010236 系别：数学与计算科学系 专业：数学与应用数学 届别：2012 届 指导教师：李远华
目录 摘要 (1) 前言 (2) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (2) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (2) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (3) 3 二次型的应用 (8) 3.1 多元函数极值 (8) 3.2 线性最小二乘法 (13) 3.3 证明不等式 (15) 3.4 二次曲线 (18) 结论 (18) 致谢 (19) 参考文献 (19)
二次型的正定性及其应用 学生：孙云云 指导老师：李远华 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University Abstract:Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application
多元函数极值的判定
. .. . 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)
多元函数极值的判定 摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词：极值；条件极值；偏导数；判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the
function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言 在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二 元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义 定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥）， 则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义，则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集，12(,, ,)n P x x x D ∈，00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为
多元函数求极值(拉格朗日乘数法)
第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从
几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2243y x z +=的顶点。 例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点 ),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x
二元函数极值存在的判别方法
大庆师范学院 本科生毕业论文 二元函数极值存在的判别方法 院（系）数学科学学院 专业数学与应用数学 研究方向数学教育 学生姓名韩明 学号200801052602 指导教师姓名夏晶 指导教师职称副教授 2012年6月1日
摘要 在生活、生产、经济管理和各种资金核算中，常常要解决在一定的条件下怎么使投入最小、产量最大、效益最高等等问题.因此解决这些问题具有现实意义.这些经济和生活的问题常常都可以转化为数学中的函数问题来探讨，将问题数字化，简单、精确，进而转化为求函数中最大（小）问题，即函数的极值问题.因此，对函数极值问题的探讨具有十分重要的意义.本文主要探讨了二元函数极值存在的充分条件、必要条件的判定方法，以及如何求解，并对结果进行了简要的证明. 关键词：二元函数；极值；驻点；条件极值
Abstract In industrial and agricultural production,management of the economy and the economic accounting,we often solve the problems such as how to make input smallest,output most efficient in given conditions.In the life we often encounter how to achieve maximum profit,use the minimum materials and get maximum efficiency,to deal with the similar problems that have its realistic significance.Above problems can be transformed with function and its function of maximum and minimum value.The concept of extreme value originate from function of maximum and minimum value of mathematics,therefore approaching the extreme value have significance meanning. Keywords:function;extreme value;stagnation;conditional extremum
用导数求函数的极值..
用导数来求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+= x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2-'x f ， ∴函数在()2,-∞-和()+∞,2上是增函数； 当22<<-x 时，0)(<'x f ， ∴函数在（－2，2）上是减函数． ∴当2-=x 时，函数有极大值16)2(=-f ， 当2=x 时，函数有极小值.16)2(-=f 2．函数定义域为R ．x x x e x x e x xe x f ----=-=')2(2)(2 令0)(='x f ，得0=x 或2=x ． 当0x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是减函数； 当20<'x f ， ∴函数)(x f 在（0，2）上是增函数． ∴当0=x 时，函数取得极小值0)0(=f ， 当2=x 时，函数取得极大值2 4)2(-=e f ． 3．函数的定义域为R ． .) 1() 1)(1(2)1(22)1(2)(2 2222++-=+?-+='x x x x x x x x f
令0)(='x f ，得1±=x ． 当1-x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在()1,-∞-和()+∞,1上是减函数； 当11<<-x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在（－1，1）上是增函数． ∴当1-=x 时，函数取得极小值3)1(-=-f ， 当1=x 时，函数取得极大值.1)1(-=f 说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意0)(0='x f 只是函数 )(x f 在0x 处有极值的必要条件，如果再加之0x 附近导数的符号相反，才能断定函数在0x 处 取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误． 复杂函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．)5()(32-=x x x f ；2．.6)(2 --=x x x f 分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数)(x f 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数)(x f 在定义内可能取到极值的全部“可疑点”． 解：1．.3) 2(533)5(2)5(32)(33323x x x x x x x x x f -=+-= +-= ' 令0)(='x f ，解得2=x ，但0=x 也可能是极值点． 当0x 时，0)(>'x f ， ∴函数)(x f 在()0,∞-和()+∞,2上是增函数； 当20<函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
判定一类函数极值点的简单方法
第38卷 第4期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 38 No.4 2018年 4月 Journal of Science of Teachers′College and University Apr. 2018 文章编号：1007-9831（2018）04-0010-03 判定一类函数极值点的简单方法 黄伟 （太原城市职业技术学院 信息工程系，山西 太原 030027） 摘要：对于一阶导数可分解为()1 i i q m p i i k x a =-?类型的函数，给出了判断函数极值点的简单方法．给 出判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单方法，并给出相关例题加以说明． 关键词：函数；极值点；极大值点；极小值点 中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.04.004 The simple method for determining the extreme point of a type of function HUANG Wei （Department of Information Technology，Taiyuan City Vocational College，Taiyuan 030027，China） Abstract：For a type of function which first derivative can be decomposed into ()1 i i q m p i i k x a =-?，ａsimple method of determining the extreme point of a type of function is given．A simple method to determine the relative maximum point and relative minimum point of the type of function is given，and gives some related examples to illustrate. Key words：function；extreme point；relative maximum point；relative minimum 一般地，要求函数的极值点，首先要求出函数的一阶导数，得出可能的极值点，再利用极值点的充分 条件，逐一对这些可能的极值点进行判断，当这些可能的极值点较多时，判断起来较为繁琐．此外，在判定极大值点或极小值点时，无论利用极值第一充分条件还是第二充分条件，判定起来都不够方便．本文对一阶导数可分解为()1i i q m p i i k x a =-?类型的函数的极值点判断提供了一种简单便捷的方法，同时在确定极值点 的条件下，给出了判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单的规律性方法，并举例加以说明． 定理1 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为()1 ()i i q m p i i f x k x a =￠=-?的形式，即 () () ()() 121 2 12()i m i m q q q q p p p p i m f x k x a x a x a x a ￠=----L L （1） 其中：12, , , m a a a L 为互不相等的实数；k 为常数；1 1, , m m q q p p L 均为最简分数，那么 （1）i p 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点； （2）i p 为奇数，i q 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点； （3）i p 为奇数，i q 为奇数时，i x a =一定是()f x 的极值点． 证明 不妨假设12m a a a <<二次型的正定性在函数极值判定中的
二次型的正定性在函数极值判定中的应用 函数的极值在微分学的理论与应用中是极为重要的。关于一元函数与二元函数极值的判定比较容易，但是，对于两个以上自变量的多元函数的极值的判定就比较困难了，并且在《微积分》与《高等数学》的教科书上也没有一般的结论。虽然用正定二次型的理论判定多元函数极值存在的充分条件是很方便的，由于教学中线性代数的内容安排在微积分之后，因此求多元函数极值的问题始终不能通过课堂教学得到解决。这里从二元函数的极值入手，利用正定二次型的结论，给出一般多元函数极值判定的一个充分条件。 二元函数极值判别的一个的充分条件为： ),(y x f z =设函数在点的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数，且 ),(y x f z =),00y x （0),(),(0000=′=′y x f y x f y x 记，，),(00y x f A xx ′′=),(00y x f B xy ′′=),(00y x f C yy ′′= （1）若且0（或），则为极小值；若且（或），则为极大值。 02A 0>C ),(00y x f 02?AC B ),(00y x f （3）若，则是否为极值，需进一步讨论才能确定。 02=?AC B ),(00y x f 若记，我们可以用二次型的正定性将这个结论叙述为： ????????′′′′′′′′=),(),(),(),(),(0000000000y x f y x f y x f y x f y x H yy xy xy xx ??????? ?=C B B A （1）如果为正定矩阵（且或） ，则为极小值；如果为负定矩阵（且),00y x H （02A 0>C ),(00y x f ),00y x H （02
