九年级数学代数几何综合题解析提高班教师版

1

中考第一轮复习 代数与几何综合初步

本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合.

数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题.

方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力.

一、数形结合思想

【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂

分家万事非”，如图，在边长为1

的正方形纸板上，依次贴上面积为

2

1

， 41，81

，…，n 2

1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81

4121…+n 2

1=___________.

（2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中）

（3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数

问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式

()

2

222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子：

如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2

a b + 就可以表示正方形的面积．同样，

a

b

b

a b

2

D E

A

B C F

m

图2

a 2、a

b 、b 2也可以表示相应部分的面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性．

①请你根据上述材料推导乘法公式()2

a b c ++ 的展开结果．

②若a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2、d 1、d 2均为正数，且a 1+a 2=b 1+b 2=c 1+c 2=d 1+d 2=k ， 求证：a 2b 1+b 2c 1+c 2d 1+d 2a 1≤k 2，并写出等号成立的条件．

【解析】（1）1

12n

-；此题也可以用圆来解决，如图： （2）

（3）①由下左图可得：()2

a b c ++=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ．

②由题意，可以构造边长为k 的正方形，

由下右图可得：a 2b 1，b 2c 1，c 2d 1，d 2a 1表示4个矩形的面积，它们之和小于正方形的面积，

∴a 2b 1+b 2c 1+c 2d 1+d 2a 1≤k 2，当a 1=a 2=b 1=b 2=c 1=c 2=d 1=d 2时等号成立．

【例2】 阅读：如图

1，在ABC ?和DEF ?中，

90ABC DEF ∠=∠=?，,AB DE a ==

BC EF b == ()b a <，B 、C 、D 、 E 四点都在直线m 上，点B 与点D 重合.

连接AE 、FC ，我们可以借助于ACE S ?和FCE S ?的大

小关系证明不等式：2

2

2a b ab +> （0b a >>）. 证明过程如下:

∵,,.BC b BE a EC b a ===-

∴11

(),22ACE S EC AB b a a ?=?=-

11

().22

FCE S EC FE b a b ?=?=-

∵0b a >>,

∴FCE S ACE S ??>.

m

F

E

（D C B A

图1

3

即

a a

b b a b )(21

)(21->-. ∴22b ab ab a ->-.

∴22

2a b ab +>.

解决下列问题：

（1）现将△DEF 沿直线m 向右平移，()BD k b a =-,

且01k ≤≤.如图2,当BD EC =时, k = .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）.

（2）用四个与ABC ?全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你

画出一个．．示意图，并简要说明理由. 【解析】（1）1

2

k =

； 证明：连接AD 、BF .可得1

()2

BD b a =-. ∴

()()1111

2224ABD S BD AB b a a a b a ?=?=??-?=-，

()()1111

2224

FBD S BD FE b a b b b a ?=?=??-?=-.

∵ 0>>a b ， ∴ FBD ABD S S ??<， 即 ()14a b a -()1

4

b b a <-. ∴

ab b a ab -<-2

2.

∴ ab b a 22

2

>+. （2）答案不唯一， 举例：如图，理由： 延长BA 、FE 交于点I . ∵ 0>>a b ，

∴ IBCE ABCD S S >矩形矩形，

即 )()(a b a a b b ->-. ∴ 2

2a ab ab b ->-. ∴ ab b a 22

2>+. 举例：如图，理由：

四个直角三角形的面积和11

422

S a b ab =?

?=， 大正方形的面积22

2S a b =+.

∵ 0>>a b ，

∴ 21S S >. ∴ ab b a 22

2>+.

【点评】例1、例2主要体现用“形”的方法解决“数”的问题，此类题型往往以阅读理解的形式出现，也是近年模考、中考的热点.

【例3】 （1）如图，在O 中，直径CD 与弦AB 垂直，垂足为E ，若

CE=AB ，且DE =2，求O 的半径.

4

（2）如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB

左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x(2

5

2

时，求弦PA 、PB 的长度； ② 当x 为何值时PD·CD 的值最大？最大值是多少？

【解析】（1）如图，连结AO ，设半径为x ，则OE=x -2，CE= AB =2x -2，

由垂径定理可知，AE =x -1，在Rt AOE △中，()()2

2

221x x x =-+- ， 解得11x =（不符题意，舍去），25x =，所以半径为5. （2）①∵O 与直线l 相切于点A ，AB 为O 的直径，∴AB l ⊥.

又∵PC l ⊥，∴AB PC ∥.∴CPA PAB ∠=∠. ∵AB 是O 的直径，∴90APB ∠=?. ∴PCA APB ∠=∠.∴PCA △∽APB △.

∴

PC PA

AP AB

=

,即2PA PC AB =. ∵5

2

PC =

，4AB =

，∴PA =∴在Rt APB △

中，由勾股定理得：PB =. ②过O 作OE PD ⊥，垂足为E .

∵PD 是O 的弦，OE PD ⊥，∴PE ED =.

在矩形OECA 中，2CE OA ==，∴2PE ED x ==-. ∴2(2)4CD PC PD x x x =-=--=-

∴222(2)(4)212162(3)2PD CD x x x x x =--=-+-=--+.

∵24x <<，∴当3x =时，PD CD 有最大值，最大值是2.

【点评】例3主要体现用“数”的方法解决“形”的问题，例3（1）是用方程解决了线段长度问题； （2）是用函数最值解决了几何的最值问题，这也是几何最值问题的一种解决方法.

二、方程、函数与几何的综合

【例4】 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． （1）用含p 的代数式表示q ；

（2）求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；

（3）设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线2

21y x px q =+++

顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．

（2012西城一模）

【解析】（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，

l

C

5

A

B

∴ 22 210p q +++= 整理，得 25q p =--

（2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ?=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，

∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>． ∴ 0?>．

∴ 抛物线2

y x px q =++与x 轴有两个交点．

（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线2

21y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2

p

x =-

，且开口大小相同，抛物线2

21y x px q =+++可由抛物线

21y x px q =++沿y 轴方向向上平移一个单位得到，

（如图所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1． ∴ 四边形FEMN 是平行四边形． 由题意得 22

FEMN p

S EF =?-=四边形．解得4p =±

【例5】 已知：将函数33

y x =

的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． （1）求这个新的函数的解析式；

（2）若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线3x =-交于C 、B

两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由； （3）若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数2

1

222+

+-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围． （2010宣武一模）

【解析】⑴323

y x =+．

⑵ 答：四边形AOCB 为菱形．

由题意可得AB//CO ，BC//AO ，AO=2．

∴四边形AOCB 为平行四边形易得A(0，2)，B (3,1)-．

由勾股定理可得AB=2， ∴AB= AO ∴平行四边形AOCB 为菱形．

⑶ 二次函数22122y x bx b =-++化为顶点式为：21()2

y x b =-+．

∴ 抛物线顶点在直线12

y =上移动．

假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，则B 点和A 点分别是二次函数与四边形接触的边界点， 将B (3,1)-，代入二次函数，解得2

3b =--，23b =-+（不合题意,舍去）． 将A （0，2），代入二次函数，解得6b =

，6b =-（不合题意,舍去）． 所以实数b 的取值范围：263b --<<．

A

B

y 2

y 1

F E

N M

6

【思维拓展训练】

提高班

训练1. 问题解决：

已知：如图，D 为AB 上一动点，分别过点A 、B 作AB CA ⊥于点A ，AB EB ⊥于点B ，联结

CD 、DE .

（1）请问：点D 满足什么条件时，DE CD +的值最小？

（2）若8=AB ，4=AC ，2=BE ，设x AD =.用含x 的代数式表示DE CD +的长（直接写出结果）. 拓展应用：

参考上述问题解决的方法，请构造图形，

+

.

（2013石景山一模）

【解析】（1）当点D 、C 、E 三点在一条直线上时，DE CD +的值最小 （

2）

CD DE +=

（3）如图，令4=AB ，1=AC ，2=BE ，设x AD =，则x BD -=

4,

CD DE +=+

=

∵D 、C 、E 三点在一条直线上时，DE CD +的值最小

∴CE

的最小值.

过点E 作AB 的平行线交CA 的延长线于点F

∵AB CA ⊥于A ，AB EB ⊥于B . ∴AF ∥BE

∴四边形AFEB 是矩形 ∴2AF BE ==,4EF AB ==

在Rt △CFE 中，90F ∠=?, 3CF =

A

B C

D

E

F

E

D

C B

A

的最小值为5．

训练2.类比学习：

有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，

求证：x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1．

小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为

1

S、

2

S、

3

S，

则()

1

1

2

S x y

=1-sin60，

()

2

1

2

S y z

=1-sin60，

()

3

1

2

S z x

=1-sin60．

由

1

S+

2

S+

3

S＜

ABC

S

?

，

得

1

2

x y

（1-）sin60+

1

2

y z

（1-）sin60+

1

2

z x

（1-）sin60

所以x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1．

类比实践：

已知正数a、b、c、d，x、y、z、t满足a x

+=b y

+=c z

+=d t+=k．求证：ay＋bz＋ct＋dx＜2

2k．（2012昌平二模）

【解析】证明：如图，作边长为k的正方形ABCD．

并分别在各边上截取：

AE=a，DH=b,CG=c,BF=d,

∵a x b y c z d t k，

∴BE=x，AH=y,DG=z，CF=t.

∵90

A B C D,

∴

1

1

2

S ay，

2

1

2

S dx ，

3

1

2

S ct ，

4

1

2

S bz．

∵

1234ABCD

S S S S S

正方形

,

∴2

1111

2222

ay dx ct bz k.

∴2

2

ay bz ct dx k．

达芬奇作画

B

y

t

d

c

b

a

S4

H

x S

3

S2

S1

F

D

A

B C

E

z

7