极限存在判定与求法

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高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。

设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。

极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。

要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。

二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除时候使用。

2.XXX（L'Hospital）法则。

它的使用有严格的使用前提。

首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。

洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通分之后，就能变成（1）中的形式了。

即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。

求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞．解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立．例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列．证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=．例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦．解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰；同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+；由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=．例9．求：11lim 1n n e n →∞-．解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-．例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭．解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞；另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=；由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=．注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈．解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+．注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞．解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >．解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--；而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞．证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+，则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+，考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）．证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---；对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理，可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-；因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛，所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限．例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞．解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠．解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理，得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列．注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列．定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立．定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列；由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列，故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤，从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑．例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）．解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~，由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ．注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点．定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=．例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞．解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈，易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<；所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-，从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解．解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+；逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）；矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭；于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-．因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-．例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限．解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭；则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-，由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ，再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==．注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

求函数的极限值的方法总结

求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。

一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。

导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。

一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。

所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。

二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。

当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。

通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。

三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。

当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。

因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。

通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。

五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。

通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。

通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。

六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。

通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。

极限的计算、证明

极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、直接用定义()等δεε--,N 证明极限例、试证明01lim=∞→nn 证：要使ε<-01n，只须ε1>n ，故0>∀ε，11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀，有ε<-01n 2、适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限例、证明：0!lim =∞→n a nn ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ∃∴正整数k ，使得k a ≤()ε<⋅≤+⋅==-n a k a n k a a k a n a n a kknn!1!!0! ，ε!1k a n k +> 1!,01+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∃>∀∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0!n a n3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限例、求()()nn n n 264212531lim ⋅⋅-⋅⋅∞→ 解：()()()()n n n n n 212264212753264212531⋅-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅ ()()()()nn n n n n 41125312642211253264⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅>∴ ()()n n n 412642125312>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅两边开n 2次方： ()()12121412642125311222→⋅=>⋅⋅-⋅⋅>n n n nnn n n由两边夹：()()1264212531lim =⋅⋅-⋅⋅∞→nn n n4、利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问题例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：ppn l S →()∞→n证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n再记n n l S α+=()n nl ll βα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n ppn l S β+=1。

求极限的方法总结

求极限的方法总结求极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点的变化趋势，包括函数趋于无穷大、无穷小、某一常数以及其他特殊情况等。

在解题过程中，需要灵活运用各种极限的计算方法，掌握不同类型极限的求解技巧。

下面将对常见极限的求解方法进行总结。

一、几种常见的极限类型1. 无穷大与无穷小极限当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限值称为无穷大或无穷小极限。

在计算过程中，可以利用以下方法求解：（1）使用等价无穷小替换法，将复杂的函数替换为更简单的无穷小，从而求出极限；（2）利用夹逼准则，通过找到两个函数夹住待求函数，确定其极限范围；（3）使用洛必达法则，计算函数的导数与求导后函数的极限，进而求得原函数的极限。

2. 常数极限当自变量趋于某一常数时，函数的极限称为常数极限。

常见的求解方法包括：（1）直接计算法，将自变量带入表达式中，求解对应的极限值；（2）利用函数的连续性，根据定义进行计算；（3）使用复合函数的性质，将函数分解为多个部分，然后计算各部分的极限。

3. 极限的两侧性质当自变量趋于某一点的左右两侧时，函数的极限可能存在不同的值。

这时可根据函数的性质和定义来判断其左右极限是否相等，常用的方法有：（1）利用函数的连续性，判断函数在特定点处是否连续，以及左右极限是否相等；（2）使用夹逼准则，确定左右极限的取值范围。

4. 极限存在性的判定在有些情况下，函数的极限可能不存在。

判断函数是否存在极限的方法有多种：（1）使用保号性质，判断是否存在有界变量和无穷小数列；（2）利用函数的性质，如奇偶性、周期性等，判断函数在某一点的趋势。

二、极限的计算方法1.常用求极限的基本运算法则（1）常数运算法则：如果f(x)和g(x)的极限都存在，那么常数c * f(x)和f(x) ± g(x)的极限也存在，并且满足以下关系：lim(c * f(x)) = c * lim(f(x)),lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))。

浅谈极限的求法技巧

浅谈极限的求法技巧极限是贯穿高等数学的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

首先，考察所给函数是否存在极限。

其次，若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行阐述。

一、利用两个准则(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a→∞= .利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例n x =求n x 的极限解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项.......n x ≥=.......n x ≤+=n x ≤≤又因为1x x ==lim 1n x x →∞=（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例：证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,ny y y y a a a a===++++证明：从这个数列构造来看ny显然是单调增加的。

用归纳法可证。

又因为23,ny y y===所以得21n ny a y-=+. 因为前面证明ny是单调增加的。

两端除以n y得1nnayy<+因为1ny y≥则nay≤从而11nay+≤1ny≤即n y是有界的。

根据定理{}ny有极限，而且极限唯一。

令limnny l→∞=则21lim lim()n nn ny y a-→∞→∞=+则2l la=+. 因为0,ny>解方程得12l=所以1lim2nny l→∞+==二、利用四则运算极限的四则运算性质：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。

两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。

浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法

浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法微积分的思想在公元前7世纪就已经产生，但并不是十分明显。

在公元前3世纪，伟大的阿基米德就利用穷竭法求出了抛物线、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积、体积公式。

在中国，三国时期的刘徽发明了世界闻名的割圆术。

南朝时的祖氏父子更是将圆周率计算到了小数点后七位。

此外祖暅之提出的祖暅原理也比西方早了一个多世纪。

而这些成就大多也包含了微积分的思想在其中。

直到15世纪初，人们的科学技术开始要求更加强劲的数学工具。

具体来说有不同领域的四个问题促使了微积分最终的发明。

这四个问题是：运动中速度、加速度、距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要;曲线求切线问题，例如要确定透镜曲面上任意一点的法线等;从求炮弹的最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值或极小值问题;当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

其中，第一、第二、第三促进微分的发展，第四问题促进积分的发展。

微分与积分起初是互相独立发展的，开普勒、伽利略、费马、笛卡尔、卡瓦列里、巴罗等人做出了不可忽略的贡献，直到牛顿和莱布尼兹对微分和积分进行了统一。

牛顿从1664年开始研究微积分。

1665年5月，牛顿发明了“流数术（微分法）”，1666年5月，发明“反流数术（积分法）”，并于1666年10月将其整理成文，命名为《流数简论》（未发表）。

这是历史上第一本系统描述微积分的学术书籍。

在1673年，莱布尼兹提出特征三角形（ds，dx，dy），并认识到特征三角形在微分中的重要意义，又因为牛顿使用的运算符号过于复杂，所以当代的数学分析采用的是莱布尼兹的符号体系。

数学是十分严谨的学科，追求精确的证明。

但是整个微积分体系都是建立在无穷的层面的，是十分模糊的概念。

于是还有一批数学家便投身与微积分的严格化的论述。

这项工作最终是由柯西完成的，1821年，柯西发表《工科大学分析教程》;1823年，柯西发表《无穷小计算教程概论》;1929年，柯西发表《微积分学讲义》，这三本著作建立了一个沿用至今的微积分模型，并严格定义了如极限、实数、无穷小等概念。

极限运算法则与存在准则

2
2
1)
x 0
x( 1 x
x 1 x 1
2
1 求解: 方法 1 令 u
x 1 x 1
2
x , 则 lim u 1 ,
x1

u 1 u 1
u 1
∴ 原式 lim ( u 1) 2
u 1
方法 2
lim
2
( x 1)(
f (x) A , g (x) B
(其中 , 为无穷小)
于是
f (x) g (x) ( A ) (B ) ( A B ) ( )
由定理可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 . 说明: 定理可推广到有限个函数相加、减的情形 .
n
cos

n
说明: 计算中注意利用
2. 证: 当 x 0 时, 设 n x n 1 , 则
(1
1 n ) n 1
(1 1 ) (1 1 ) x
n
x
n 1
n 1 1 ) n 1
1 n 1
n
lim (1
1 n ) n 1 n 1
lim
x 1)
x1
x 1
lim (
x1
x 1)
三、夹逼准则
如果数列{ xn }、{ yn }及{ zn }满足下列条件 (1) yn xn zn (n1 2 3 ) (2) lim y n a lim z n a
n
n
那么数列{ xn }的极限存在且 lim x n a n
设因此为无穷小,

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e 。记为e，其近似值为证明过程 e=2.718281828459……
e 。证明过程
x x
lim
1
1
x
e
x x
令t
1，则得
lim
1
1
tt
e
x
t0
8
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利用第一个重要极限解题
例1. 1). 求极限lim tan x 。 x0 x
解 lim tan x lim sin x lim sin x lim 1 1
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2、lim 1
1 x
e
x x
下面分三步证明这个结果。
引理极限 lim 1 1 n 存在。证明过程
n n
记 lim 1 1 n e，经计算知它是一个无理数。
n n
引理定理
极极
限限
lim 1 1 x x lim 1 1 x
x
为纪念欧拉(Eular)先生而
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§2.3 极限存在性的判定与求法
一、极限存在性的判断准则前面我们学习了计算极限的几种基本方法。但是对于一些
稍微复杂的极限，如三角函数、反三角函数、对数函数、指数函数等混合式的极限，很难用前面的方法计算。下面介绍两个极限的存在性的判断定理，这两个定理不仅是微积分的理论基础，在极限的计算中也有重要作用。
x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
2) 求极限lim arcsinx 。 x0 x
解令t=arcsinx，即x=sint，则x→0时t→0 ，从而
lim arcsinx lim t 1
x0 x
t0 sin t
3) 求极限lim x sin x 。
x0 x tan x
f(x)夹在这两个函数之间，则f(x)也无限趋近于A。
注此定理对其他形式的极限同样适用，如对数列有：
若N 0，使n N，有
vn un wn
且
lim
n
vn
lim
n
wn
A，
则lim n
un
A
2
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应用夹逼定理求极限，关键是找到g(x)、h(x)，一般地， g(x)、h(x)是根据f(x)进行不等式放缩得到的。具体进行放缩时，不但要满足不等式g(x) ≤f(x) ≤h(x) ，而且g(x)与h(x) 的极限要相等，这就要求合理的放缩，不能放缩太过。
解
lim
x sin xLeabharlann 1 sin xlim
x
1 lim sin x
x0 x
0
x0 x tan x x0 1 tan x 1 lim tan x
x
x0 x
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备忘 lim tan x 1 lim arcsin x 1 lim arctan x 1
x0 x
x0 x
x0 x
在学过两个存在性定理后，再学习两个重要极限，这两个极限以后会经常用到。
1
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1、夹逼定理
定理
若
0，
使x
U
0
(
x0
)有
g(x) f (x) h(x)
且 lim g(x) lim h(x) A，则lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
从图象上看,如果两个函数g(x)、h(x)都无限趋近于A，而
例3 求极限lim
6 。计算过程
x 1 2sin x
6
练习
sin2 2x
1.
lim
x0
x
2
cos
x
2. lim tan2 2x x0 1 cos x
3. lim tan x sin x x0 sin3 2x
4.
lim
x0
tan
x x3
sin
x
13
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利用第二个重要极限解题
2
2
2
即 1 sin x 1 x
2
2
1 tan x 2
其中0 x
2
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1 sin x 1 x
2
2
1 tan x 2
即sin x x tan x 其中0
x
2
由sin x x得 sin x 1 x
由x tan x sin x 得 sin x cosx
论un
的敛散性，若收敛，求lim n
un
。
解题过程
4
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二、两个重要极限
下面我们利用极限的两个存在性定理来证明两个重要结
果，这两个结果以后经常用到。
1、lim sin x 1 x0 x
证明如图，在单位圆中，由
D B 1
x
O
A
C
S△OAB< S扇形OAB <S△OAD得
1 OA BC 1 OB x 1 OA AD
1
例求极限lim 1n 2n 3n n。计算过程 n
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2、单调有界性定理
定理单调有界数列必有极限。这个定理只给出了数列极限的存在性，至于极限的计算一般用极限的四则运算法则进行(进行极限的四则运算条件是极限必须存在)。
例数列un 满足n N，un1 2 un，且u1 2，讨
c os x
x
cosx sin x 1 其中0 x
x
2
对 x 0，有0 x ，则cos(x) sin(x) 1
2
2
x
即cosx sin x 1 x
6
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cosx sin x 1 其中0 x
x
2
由于lim cosx 1，由夹逼定理得 x0 lim sin x 1 x0 x
例1 求极限lim ln(1 x) 。
x0
x
解
lim
ln(1
n n
n
n n 1
n
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例2
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim
x0
2 x2
1 2
sin2 x
lim
x0
2 (x)2
x
2
1 2
sin
lim(
x0
x
2
)2
1. 2
2
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得结论（变量的等价代换）：
x 0时， sin x ~ x,
tan x ~ x,
x2 1 cos x ~
2
若在变化过程中，α ，β 0，α ~ α ,β ~ β ，lim α ,则 β
lim α lim α β α
β
α β β
lim α lim β lim α α β β
lim α β
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sin(x )
注：1. 利用这些结果计算极限时，要注意自变量的变化趋势，
例如我们证明过
lim sin x 0 。 x x
2. 利用这个重要极限求极限时，只要o(x) →0，不论x的变化
趋势如何，都有 lim sin o(x) 1
o(x)
例如
由于 lim
1
0
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