函数连续性

第四章 函数的连续性

§1 连续性概念

Ⅰ. 教学目的与要求

理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.

Ⅱ. 教学重点与难点:

重点: 函数连续性的概念.

难点: 函数连续性的概念.

Ⅲ. 讲授内容

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数．

从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我

们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数

的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性．

一 函数在一点的连续性

定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0

lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为

2lim →x ()x f =2

lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0

,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x

x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点

0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为:

()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=?

注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增

量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0

=?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述，

即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有

()()ε<-0x f x f (2)

则称函数f 在点0x 连续．

由上述定义，我们可得出函数f 在点0x 有极限与f 与0x 连续这两个概念之间的联

系．首先，f 在点0x 有极限是f 在0x 连续的必要条件；进一步说，“f 在点0x 连续”不仅

要求，f 在点0x 有极限，而且其极限值应等于f 在0x 的函数值()0x f ．其次，在讨论极限

时，我们假定f 在点0x 的某空心邻域()0x U 内有定义(f 在点0x 可以没有定义)，而“f 在

点0x 连续”则要求f 在某()0x U 内(包括点0x )有定义，此时由于(2)式当0x x =时总是成立

的，所以在极限定义中的“δ<-<00x x ”换成了在连续定义中的“δ<-0x x ”．最后，

(1)式又可表示为: ()??? ??=→→00lim lim x x x x x f x f .可见“f 在点0x 连续”意味着极限运算0

lim x x →与对应法则f 的可交换性．

例1 证明函数()()x xD x f =)在点0=x 连续，其中()x D 为狄利克雷函数．

证 由()00=f 及()1||≤x D ，对任给的0>ε，为使

()()()ε<≤=-x x xD f x f 0

只要取εδ=，即可按δε-定义推得f 在0=x 连续．相应于f 在点0x 的左、右极限

的概念，我们给出左、右连续的定义如下：

定义 2 设函数f 在某()()()00x U x U -+内有定义．若

()()()()??

? ??==-+→→000lim lim x f x f x f x f x x x x ,则称f 在点0x 右(左)连续． 根据上述定义1与定义2，不难推出如下定理．

定理4．1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右连续又是左连续．

例2 讨论函数 ()???<-≥+=0

,22,2x x x x x f 在点0=x 的连续性. 解 因为()()22lim lim 0

0=+=++→→x x f x x ， ()()22lim lim 0

0-=-=+-→→x x f x x ，而()20=f ，所以f 在点0=x 右连续，但不左连续，从而它在0=x 不连续(见图 41-).

二 间断点及其分类

定义3 设函数f 在某()00x U 内有定义．若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不

连续，则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点．

按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论，若0x 为函数f 的间断点，

则必出现下列情形之一：

（i ）f 在点0x 无定义或极限()x f x x 0

lim →不存在； （ii ）f 在点0x 有定义且极限()x f x x 0lim →存在，但()x f x x 0

lim →()0x f ≠ 据此，我们对函数的间断点作如下分类：

1．可去间断点 若 ()x f x x 0

lim →A =而f 在点0x 无定义，或有定义但()A ≠0x f ，则称0x 为f 的可去间断点．

例如，对于函数()x x f sgn =因()00=f ，而 )x f x 0

lim →()01f ≠=故0=x 为()x x f sgn =的可去间断点．又如函数()x

x x g sin =

，由于()1lim 0=→x g x ，而g 在0=x 无定义，所以0=x 是函数g 的可去间断点． 设0x 为函数f 的可去间断点，且()x f x x 0lim →A =我们按如下方法定义一个 函数^

f ：当0x x ≠时，()()x f x f =^；当0x x =时，()A =0^x f ；易见，对于函数^

f ，0x 是它的连续点．例如，对上述的()x x x

g sin =，定义: ∧g )(x ?????=≠=0

,10,s i n x x x x 则∧

g 在0=x 连续． 2．跳跃间断点 若函数f 在点0x 的左、右极限都存在，但 ()()x f x f x x x x -+→→≠0

0lim lim 则称点0x 为函数f 的跳跃间断点．

例如，对函数()[]x x f = (图1—8)，当n x = (n 为整数)时有 []1lim -=-→n x n x ，[]n x n

x =+→lim ， 所以在整数点上函数f 的左、右极限不相等，从而整数点都是函数()[]x x f =的跳跃间断

点．又如符号函数x sgn 工在点0=x 处的左、右极限分别为1-和1故0=x 是x sgn 的跳跃

间断点(图1—3)．

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点．第一类间断点的特点是函数在该点处的

左、右极限都存在．

3．函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为

第二类间断点．

例如，函数x y 1=

，当0→x 时，不存在有限的极限，故0=x 是x

y 1=的第二类间断点．函数x 1sin 在点0=x 处左、右极限都不存在，故0=x 是x 1sin 的第二类间断点．又如，对于狄利克雷函数()x D ，其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点．

三 区间上的连续函数

若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．

例如，函数x y x y c y sin ,,===和x y cos =都是R 上的连续函数．又如函数21x y -=在)1,1(-每一点处都连续，在1=x 为左连续，在1-=x 为右连续，因而它在[]1,1-上连续．

若函数f 在区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[]b a ,上分段连续．例如，函数[]x y =和[]x x y -=]在区间[]3,3-上是分段连续的．

在§3中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数．同时，也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数，如前面已提到的狄利克雷函数．

例3 证明：黎曼函数

()()?????===）内无理数，及（，当，

为既约真分数为正整数，，当10100,1x q p q p q p x q x R 在），（10内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续．

证 设)1,0(∈ξ为无理数．任给0>ε (不妨设21<ε)，满足ε≥q

1的正整数q 显然只有有限个(但至少有一个，如2=q )，从而使()ε≥x R 的有理数)1,0(∈x 只有有限个(至少有一个，如2

1)，设为n x x ,1取()ξξξξδ---=1,,,min 1n x x ，则对任何()()()1,0;?∈δξU x ，当x 为有理数时有()ε

210=ε，对于任何正数δ（无论多么小），在

???? ??δ;q p U 内总可以取到无理数())1,0(∈x ，使得()01ε>=???

? ??-q q p R x R 所以 ()x R 在任何有理点处都不连续．

Ⅳ 小结与提问:本节要求理解函数连续性的概念， 会利用概念判别间断点的类型. Ⅴ 课外作业: 78P 3、4、5 、6、8、9.