新版数学物理方程学习指导书第4章分离变量法

第4章分离变量法

物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.

从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.

4.1 有界弦的自由振动

为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题.

根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题

22222

000,0,0; (4.1)

0;(4.2)

(),().

(4.3)

x x l t t u

u a x l t t x u u u u x x t ?ψ====????=<<>????

==??

??==???

这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).

现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式(,)()()u x t X x T t =的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中(),()X x T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数. 由

(,)()()u x t X x T t =

得

2222''()(),()''(),u u

X x T t X x T t x t

??==??

代入方程(4.1)得

2()()()()X x T t a X x T t ''''=

或

2()()

()()

X x T t X x a T t ''''=

这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等.令此常数为λ，则有

2()()

()()

X x T t X x a T t λ''''==.

这样我们得到两个常微分方程：

2()()0,T t a T t λ''-= （4.4）

()()0.X x X x λ''-= （4.5）

再利用边界条件(4.2)，由于(,)()()u x t X x T t =)，故有

(0)()0,()()0.X T t X l T t ==

但()0T t ≠,因为如果()0T t ≡，则(,)0u x t ≡，这种解显然不是我们所要求的，所以

(0)0,()0.X X l == （4.6）

因此，要求方程（4.1）满足条件(4.2)的分离变量形式的解，就先要从方程

''()()0,

(0)()0X x X x X X l λ-=??

==?

中解出()X x .

现在我们就来求非零解()X x ，但要求出()X x 并不是一个简单的问题，因为方程(4.5)中含有一个待定常数λ，所以我们的任务既要确定λ取何值时方程(4.5)才有满足条件(4.6)的非零解，又要求出这个非零数()X x .这种常微分方程问题称为固有值问题，λ称为特征值（固有值，本征值），函数()X x 称为特征函数（固有函数，本征函数）.下面根据第1章所介绍的方法，我们对λ分三种情况来讨论.

1°λ＞0，此时方程(4.5)的通解为

().X x Be =+

由条件(4.6)得

0A B +=，

0.Be +=

解出,A B 得

0A B ==，

即()0X x ≡，不符合非零解的要求，因此λ不能大于零.

2°设λ=0，此时方程(4.5)的通解为

()X x Ax B =+，

由条件(4.6)还是得0A B ==，所以λ也不能等于零.

3°设λ＜0，并令ββλ,2-=为非零实数.此时方程(4.5)的通解为

()cos sin ,X x A x B x ββ=+

由条件(4.6)得

0,A = Bsin 0.l β=

由于B 不能为零（否则()0X x ≡），所以sin 0,l β=即

),,3,2,1(. ==

n l

n π

（n 为负整数可以不必考虑，因为例如21,sin n B x l π-=-实际上还是2sin B x l

'的形式）从而

2,n l

πλ=- （4.7）

这样，我们就求出了一系列固有值及相应的固有函数：

(1,2,3,),n n n l

πλ=-=

()sin

(1,2,3,),n n n X x B x n l

π== （4.8）

限定了λ的值后，现在再来求函数()T t ，以(4.7)式中的λ值代入方程(4.4)中得

2222

()()0,n a n T t T t l

''+= 显然，其通解为

()cos

sin (1,2,3,).n n n n at n at T t C D n l l

ππ=+= （4.9）

于是由(4.8)，（4.9）得到满足方程(4.1)及边界条件(4.2)的一组变量被分离的特解

(,)cos sin sin

(1,2,3,),n n n n at n at n x u x t C D n l l l πππ?

?=+= ???

(4.10)

其中,n n n n n n C B C D B D ''==是任意常数，至此，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足方程(4.1)又满足边界条件(4.2)的无穷多个特解.为了求原定解问题的解，还需要满足

条件(4.3).由(4.10)式所确定的一组函数虽然已经满足方程(4.1)及条件(4.2)，但不一定满足初始条件(4.3).为了求出原问题的解，首先我们将（4.10）中所有函数(,)n u x t 叠加起来

(,)(,)n n u x t u x t ∞

==∑

1c o s s i n s i n ,n n

n n a n a n C t D x l l l

πππ

∞

=??=

+ ??

?∑ （4.11）

如果(4.11)右端的无穷级数是收敛的，而且关于,x t 都能逐项微分两次，则它的和(,)u x t 也满足方程(4.1)和条件（4.2)（参考习题三第6题）.现在我们要适当选择,n n C D ，使函数(,)u x t 也满足初始条件（4.3），为此必须有

(,)(,0)sin

(),n t n n u x t u x C x x l

?∞

=====∑ 10sin (),n n t u n a n D x x t l l

ππ

ψ∞

==?==?∑ 因为(),()x x ?ψ是定义在[0,]l 上的函数，所在只要选取n C 为()x ?的傅氏正弦级数展开式的系数，

n n a

D l

π为()x ψ的傅氏正弦级数展开式的系数，也就是 002()sin ,2()sin .l n l n

n C x xdx l l

n D x xdx n a l π?πψπ?=????=??

?? （4.12）初始条件(4.3)就能满足，以(4.12)所确定的,n n C D 代入(4.11)式，即得原定解解问题的解.

当然，如上所述，要使(4.11)式所确定的函数u(x,t)确定是问题(4.1)，(4.2)，(2.3)的解，除了其中的系数,n n C D 必须由(4.12)确定以外，还要求只要对函数()x ?及()x ψ加一些条件就能满足，可以证明（参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》第二章§1），如果()x ?三

次连续可微，)(x ψ二次连续可微，且(0)()(0)()(0)()0l l l ????ψψ''''======，则问题(4.1)，(4.2)，（4.3)的解存在.并且这个解可以用(4.11)给出，其中,n n C D 由（4.12）式确定*).

从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数与运用叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点希望读者一定要注意.

例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为1000

)

10()(x x x -=?，

求弦作微小横向振动时的位移.

解设位移函数为(,)u x t ，它是下列定解解问题

22222

01000,010,0;0,0;

(10),01000x x l t u

u a x t t x u u x x u u t ====????=<<>????

==??

-??==???

的解，这时10l =，并给定2

10000a =（这个数字与弦的材料、张力有关）.

显然，这个问题的傅氏级数形式解可由(4.11)给出，其系数按（4.12）式为

1003333

0,1(10)sin 5000102

(1cos )50,

,5n n D n C x x xdx n n n n n πππ

π==

-=-??=????当为偶数当为奇数因此，所求的解为

(21)(,)sin cos10(21).5(21)

n n u x t x n t n π

ππ∞

=+=

++∑

为了加深理解，下面我们扼要地分析一下级数形式解(4.11)的物理意义，先分析一下级数中每一项

(,)cos sin sin n n n a n a n u x t C t D t x l l l πππ?

?=+ ???

这里所讲的结论经适当修改即可用于下面几节将要讨论的定解问题，所以，本书中凡是用分离变量法求

解的定解问题都假定它的定解条件具备一定的条件，保证定解问题的解可以表示成级数的形式，或者说可以运用叠加原理.

的物理意义，分析的方法是：先固定时间t ，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律.

把括号内的式子改变一下形式，可得

(,)cos()sin

,n n n n u x t A t x l

ωθ=-

其中,.n n n n n

D n a

A arctg l C πωθ=

= 当时间t 取定值0t 时，得

(,)sin

,n n u x t A x l

'= 其中0cos()n n n n A A t ωθ'=-是一个定值，这表示在任一时刻，波0(,)n u x t 的形状都是一些正弦曲线，只是它的振幅随着时间的改变而改变.

当弦上点的横坐标x 取定值0x 时，得

0(,)cos(),n n n n u x t B t ωθ=-

其中0

sin

n n n B A x l π

=是一个定值.这说明弦上以0x 为横坐标的点作简谐振动，其振幅为n B ，角频率为n ω，初位相为n θ.若x 取另外一个定值时，情况也一样，只是振幅n B 不同

罢了，所以(,)n u x t 表示这样一个振动波：在考察的弦上各点以同样的角频率n ω作简谐振动，各点处的初位相也相同，而各点的振幅则随点的位置改变而改变；此振动波在任一时刻的图形是一正弦曲线.

这种振动波还有一个特点，即在[0,]l 范围内还有1n +个点（包括两个端点）永远保持

不动，这是因为在(0,1,2,,)m ml

x m n n

=那些点上，sin

sin 0m

n x m l π

π==的缘故，这些点在物理上称为节点.这就说明(,)n u x t 的振动是在[0,]l 上的分段振动，其中有1n +个节点，人们把这种包含节点的振动波叫做驻波.另外驻波还在n 个点处振幅达到最大值（读者可自己讨论），这种使振幅达到最大值的点叫做波腹.图4-1画出了在某一时刻1,2,3n =的驻波形状.

综合上述，可知(,),(1,2,3,)n u x t n =是一系列驻波，它们的频率、位相与振幅

图4-1

都随n 不同而不同，因此我们可以说，一维波动方程用分离变量法解出的结果(,)u x t )是由一系列驻波叠加而成的，而每一个驻波的波形由固有函数确定，它的频率由固有值确定.这完全符合实际情况，因为人们在考察弦的振动时，就发现许多驻波，它们的叠加又可以构成各种各样的波形，因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解.这就是分离变量法的物理背景.所以分离变量法也称为驻波法.

4.2 有限长杆上的热传导

设有一均匀细杆，长为l ，两端点的坐标为0x =与x l =，杆的侧面是绝热的，且在端点0x =处温度是零度，而在另一端x l =处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去（参考第3章1.2中第三类边界条件），已知初始温度分布为().x ?求杆上的温度变化规律，也就是要考虑下列定解问题：

22,0,0; 2.13(,)(0,)0,(,)0;(2.14)(,0)().(2.15)

u u a x l t t x u l t u t hu l t x u x x ????=<<>????

=+=?

=???

（）

我们仍用分离变量法来解这个问题，首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解.设

(,)()()u x t X x T t =,

2()()

.()()

T t X x a T t X x '''=

上式左端不含有x ，右端不含有t ，所以只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为2β-，

（读者可以从方程()(),X x X x λ''=结合边界条件按λ取值的三种不同情况像4.1那样讨论后得出），则有

()()

,()()

T t X x a T t X x β'''==- 从而得到两个线性常数微分方程

222

()()0,()()0.

T t a T t X x X x ββ'+=''+= （4.16）

解后一个方程得

()cos sin ,X x A x B x ββ=+

由边界条件(4.14)可知

(0)0,'()()0.X X l hX l =+=

从(0)0X =得 0A =，从()()0.X l hX l '+=得

cos sin 0.l h l βββ+= （4.17）

为了求出β，方程(4.17)可改写成

tg a γγ=，（4.18）

其中1

,.l a hl

γβ==-

方程(4.18)的根可以看作是曲线1y tg γ=与直线2y a γ=交点的横坐标（图4-1），显然它们的交点有无穷多个，于是方程(4.18)有无穷多个根，由这些根可以确定出固有值β.设方程(4.18)的无穷多个正根（不取负根是因为负根与正根只差一个符号（图4-2），再根据4.1中所述的同样理由）为

123,,,,,

n γγγγ

于是得到无穷多个固有值

图4-2

12,,

n l

γγγβββ=

及相应的固有函数

()sin .n n n X x B x β= （4.19）

再由(4.16)中第一个方程解得

22().n a t

n n T t A e

β-= （4.20）

由(4.19)，（4.20)两式，我们得到方程（4.13）满足边界条件(4.14)的一组特解

(,)()()sin (1,2,3,

),n a t n n n n n u x t X x T t C e x n ββ-=== （4.21）

其中 .n n n C A B =

由于方程(4.13)与边界条件(4.14)都是齐次的，所以

(,)(,)sin n a t n n n n n u x t u x t C e x ββ∞∞

-====∑∑ （4.22）

仍满足方程与边界条件，最后考虑(,)u x t 是否能满足初始条件(4.15)，从(4.22)式得

(,0)sin .n n n u x C x β∞

==∑

现在希望它等于已知函数()x ?，那么首先要问[0,]l 上定义的函数()x ?是否能展开为

sin n

n n C

x β∞

=∑级数形式，其次要问系数n C 如何确定，关于前者，只要()x ?在[0,]l 上满足

狄氏条件就可以了，现在主要谈求系数的问题.回忆傅氏系数公式的得来是根据函数系的正交性，所以现在也要考察函数系{}

sin n x β在[0,]l 上的正交性，可以证明（参阅§5.3关于固有函数正交性的证明方法）

sin sin 0,

n x xdx m n β

β=≠?

令 20

sin ,l

n n L xdx β=?

于是把

()sin n n n x C x ?β∞

==∑ （4.23）

的两端乘上sin k x β，然后在[0,l ]上积分得

()sin l

k k x xdx L C φβ

即 0

()sin .L

k k k

C x xdx L φβ=

（4.24）

把(4.24)代入(4.22)式即得原定解问题的解.

通过上面两节的讨论，我们对分离变量法已经有了一个初步的了解，它的主要步骤大体为：

一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的.

二、确定固有值与固有函数.由于固有函数是要经过叠加的，所以用来确定固有函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足，当边界条件是齐次时，求固有函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解.

三、定出固有值、固有函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与固有函数乘起来成为(,)n u x t ，这时(,)n u x t 中还包含着任意常数.

四、最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的(,)n u x t 叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定，在这最后的一步工作中，需要把已知函数展开为固有函数项的级数，所以，必须考虑固有函数的正交性.

由本节的例子还可以看出，用分离变量法求解第三类边界条件（第二类边界条件也一样）的定解问题时，只要边界条件都是齐次的，其过程与解第一类边界条件的定解问题是相同的，但在确定固有值时，一般说来是比较复杂的.

4.3 圆城内的二维拉普拉斯方程的定解问题

一个半径为0ρ的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布.

在第3章讲过，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方程

20.u ?=

因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为0ρρ=，所以在极坐标系下边界条件可表

为

(),u f ρρθ==

既然边界条件使用了极坐标系，所以我们将方程也采用极坐标的形式，于是有

22022

0110,;

(4.25)(,)().

(4.26)

u u

u u f ρρρρρρρθρθθ???????=+=

???=?

此外，因为自变量,ρθ的取值范围分别是[0,0ρ]与[0,2]π，圆盘中心点的温度决不可能是无穷的，并且（,ρθ）与（,2ρθπ+）实际上表示同一点，温度应该相同，即应该有

lim u ρ→<+∞ （4.27）

(,)(,2).u u ρθρθπ=+ （4.28）

现在来求满足方程(4.25 )及条件(4.26)，（4.27），（4.28）的解.先令

(,)()(),u R ρθρθ=Φ

代入方程(4.25)得

0R R R ρ

ρ'''''Φ+

Φ+

Φ= 即

2,R R R

ρρ'''

''+Φ=-

令比值为常数λ即得两个常微分方程

0,λ''Φ+Φ=

20.R R R ρρλ'''+-=

再由条件(4.27)及(4.28)可得

(0),R <∞

(2)().θπθΦ+=Φ （4.29）

这样一来，我们得到了两个常微分方程的定解问题

(2)().λθπθ''Φ+Φ=??

Φ+=Φ?

（4.30）与

20,

(0).R R R R ρρλ'''?+-=?

<∞?

（4.31）先解哪能一个呢？要看哪一个可以定出固有值，由于条件(4.29)满足可加性（即所有满

足(4.29)的函数叠加起来仍旧满足(4.29)，所以只能先解问题(4.30).

采用与4.1中同样的方法可以得到当0λ<时，问题(4.30)无解；

当0λ=时，它的解为00()a θ'Φ=（常数）；

当0λ>时，它的解为0(),n n a b θ''Φ=+且

λ必须是整数n ，取

1,2,3,n =（只取正整数的理由与4.1相同），则

0()cos sin .n n a n b n θθθ''Φ=+

至此，我们已经定出了固有值与固有函数，接下去是解问题(4.31)，其中的方程是欧拉(Euler)方程，它的通解为

000ln ,

R c d ρ=+当λ=0；

,n n n n n R c d ρρ-=+ 当2(1,2,3,).n n λ==

为了保证(0)R <∞，只有0n d = (0,1,2,),

n =即 0(0,1,2,)n

n R c n ρ==，

因此利用叠加原理，方程(4.25)满足条件(4.27),（4.28）的解可以表示为级数

(,)(cos sin )2n

n n n n a u a n b ρθρθθ∞==++∑ (2.32)

此式中的

a 就是00;,n n a c a

b '分别是.n n n n a

c b c ''，最后为了确定系数,n n a b ，我们利用边界条件(4.26)得

001

()(cos sin )2n

n n n n a f a n b θρθθ∞==++∑，

（4.33）因此，000,,n n

n n a a b ρρ就是()f θ展开为傅氏级数时的系数，即有

2002002001(),

1()cos ,1

()sin .

n n n n a f d a f n d b f n d π

ππθθπθθθρπθθθρπ??=???=???=???

??? （4.34）将这些系数代入(4.32)式即得所求的解.

为了以后应用起来方便，我们还可以将解(4.32)写成另一种形式.为此，将(4.34)式所确定的系数代入(4.32)式经过简化后可得

101

1(,)()cos ().2n n u f t n t dt π

ρρθθπ

ρ∞=??

????=

+- ???????

∑?

（4.35）

利用下面已知的恒等式

1111cos ()2212cos()n n k k n t k t k θθ∞=-+-=--+∑*）

(1),

k <

*）

这个恒等式的证明如下：

[]

∑∑∞=∞=---++=-+11)()(2

121)(cos 21n n t in t in n n e e k t n k θθθ [][]

∑∑∞=∞=---++=11

)()(212121n n n

t i n t i ke ke θθ

)()

()((1211)2121t i t i t i t i ke ke ke ke -------+

-+=θθθθ（|K|＜1） ??

????-+-----+

-----+-+=)sin()cos(1)sin()cos()sin()cos(1)sin()cos(121t ik t k t ik t k t ik t k t ik t k θθθθθθθθ

可将解(,)u ρθ（4.35）表达为

()22

20022

001

(,)(),.22cos()

u f t dt t π

ρρρθρρπ

ρρρρθ-=

<+--?

（4.36）公式(4.36)称为圆域上的泊松公式，它的作用在于把解写成了积分形式，这样便于作理论上的研究.

4.4 有界弦的强迫振动

前面所讨论的偏微分方程都限于齐次的，现在要讨论非齐次方程的解法，为方便起见，以弦的强迫振动为例，所用的方法对其他类型的方程也适用.

我们研究的问题是一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象.即要考虑下列定解问题

22222

000(,),0,0;(2.37)0;(2.38)(),().(2.39)

x x l t t u

u a f x t x l t t x u u u u x x t ?ψ====????=+<<>????

==??

??==???

在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，所以由物理

意义可知，此时振动可以分解为仅由强近力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.

由此得到启发，我们可设解为

(,)(,)(,),U x t V x t W x t =+ （4.40）

其中(,)V x t 表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足

22222

000(,),0,0;0;(2.41)0.x x l t t V

V a f x t x l t t x V V u V t ====????=+<<>????

==??

??==???

而(,)W x t 表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足

.)cos(21121)cos(212)cos(21212222k

t k k k t k k t k +---=??????+----+=θθθ

22222

000,0,0;0;(2.42)

(),().x x l t t W

W a x l t t x W W W W x x t φψ====????=<<>????

==??

??==???

读者不难验证，若V 是(4.41)的解，W 是(4.42)的解，则U V W =+一定就是原定解问题的

解.

问题(4.42)可直接用分离变量法求解，因此现在的问题只要讨论如何解问题（4.41）就行了.

关于问题（4.41），我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程中所常用的参数变易法，并保持如下的设想，即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定，这就是说，我们假设（4.41）的解具有如下的形式

(,)()sin

,n n n V x t v t x l

∞

==∑ （4.43）其中()n v t 是待定的函数，为了确定()n v t ，将自由项(,)f x t 展成的傅氏正弦级数，即

(,)()sin

,n n n f x t f t x l

∞

==∑ （4.44）其中 02()(,)sin .l n n f t f x t xdx l l

? 将(4.43)及(4.44)代入(4.41)的第一个式了，得到

222''2

1()()()sin 0,n n n n a n n v t v t f t x l l ππ∞

=??+-=????

∑ (4.45) 由此可见得

222

''2

()()().n

n n a n v t v t f t l

π+= 再将(４.41)中的初始条件代入(４.43)得

(0)0,(0)0.n n v v ==

这样一来，确定函数()n v t 只需解下列定解问题：

222

()()()(0)0,(0)0

n n n n

n a n v t v t f t l v v π?''+=??

?'==? 1,2,n =. （４.46）用拉氏变换法解出（４.46），得到

()()()sin

n n l

n a t v t f d n a l

πτττπ-=

?*)

，

在方程（4.46）的两端取关于t 的拉氏变换，得

所以，

01()(,)()sin sin .t n n l

n a t n v x t f d x n a

l l πτπττπ∞

=-??=????∑? 将这个解与问题（４.42）的解加起来，就得到原定解问题（４.37），(４.38)，(４.39)的解.

这里所给的求解问题(４.41)的方法，其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族固有函数展开.随着方程与边界条件的不同，固有函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的固有函数展开.所以这种方法也叫固有函数法.

４.5 非齐次边界条件的处理

前面所讨论的定解问题的解法，不论方程是齐次的还是非齐次的，边界条件都是齐次的.如果遇到非齐次边界条件的情况，应该如何处理？总的原则是设法将边界条件化成齐次的.具体地说，就是取一个适当的未知函数之间的代换，使对新的未知函数，边界条件是齐次的.现在以下列定解问题为例，说明选取代换的方法.设有定解问题

22222

12000(,),0,0;(4.47)(),

();(4.48)(),().(4.x x l t t u

u a f x t x l t t x u u t u u t u u x x t ?ψ====????=+<<>????

==??

??==???

49) 我们设法作一代换将边界条件化为齐次的，为此令

(,)(,)(,).u x t V x t W x t =+ （４.50）选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件为齐次的，即

0x x l

==== （４.5１）

120

(),()x x l

u t W

u t ==== （４.52）

也就是说，只要所选取的W 满足(４.52)就能达到我们的目的.而满足(４.52)的函数是容易找

到的，例如取W 为x 的一次式，即设

(,)()(),W x t A t x B t =+ 用条件(4.52)确定(),()A t B t 得

2111()()(),()()A t u t u t B t u t l

=-=????.

),()()(2

222

p F p U l

n a p U p n n n =+π 其中U n (p),F n (p)分别为v n (t)与f n (t)的拉氏变换，解出

),(1

)(2

2222

p F l n a p p U n

n π+

= 由于

2222

l n a p π+

的逆拉氏变换为

at n a

n l ππsin

，利用拉氏变换的卷积性质，即得v n (t).

显然，函数211()()

(,)()u t u t W x t u t x l

-=+

就满足(4.52)式，因而只要作代换

211,u u u V u x l -?

?=++????

（4.53）

就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.

经过这个代换后，得到V 的定解问题为

222122

01100(,),0,0;0,0;(2.54)(),(),x x l t t V

V a f x t x l t t x V V V V x x t ?ψ====????=+<<>????

==??

??==???

其中

211121112111

()()(,)(,)();

(0)(0)()()(0);(0)(0)()()(0).

u t u t f x t f x t u t x l u u x x u x l u u x x u x l ??ψψ???''''-''?=-+???????

-???=-+?????????''

-?'=-+????????

（4.55）

问题（4.54）可用上一节的方法解出，将(4.54)的解代入(4.53)即是原问题的解.

上面由(4.52)式定(,)W x t 时，取(,)W x t 为x 的一次式是为了使（4.55）中几个式子简单一些，并且(,)W x t 也容易定，但若12,,f u u 都与t 无关，则可适当的选择()W x （也与

t 无关），使(,)V x t 的方程与边界条件同时都化成齐次的，这样做就可以省掉下面对(,)

V x t 要进行解非齐次方程的繁重工作.这种()W x 究竟怎么找，将在后面的例题中说明.

若边界条件不全是第一类的，本节的方法仍然适用，不同的只是函数(,)W x t 的形式，读者可就下列几种边界条件的情况写出相应的(,)W x t 来：

120120

120

1(),();

2(),

();3

(),

().

x x l

x l x x x l

u u u t u t x

u t u u t x u u u t u t x

======?==??==???==?

? 以上各节我们说明了如何用分离变量法来解定解问题，为便于读者掌握此方法，现将解定解问题的主要步骤简略小结如下：

一、根据边界的形状选取适当的坐标系，选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便，圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便.

二、若边界条件是非齐次的，又没有其他条件可以用来定固有函数，则不论方程是否为齐次，必须先作代换使化为具有齐次边界条件的问题，然后再求解.

三、非齐次方程、齐次边界条件的定解问题（不论初始条件如何）可以分为两个定解问题，其一是具有原来初始条件的齐次方程，其二是具有齐次定解条件的非齐次方程.第一个问题用分离变量法求解，第二个问题按固有函数法求解.

在结束本章之前，我们再举两个综合性的例子，目的是帮助读者掌握分离变量法的全过程.

例2 求下列定解问题

22222

000,0,0;(2.56)0,

;(2.57)0(2.8x x l t t u

u a A x l t t x u u B u u t ====????=+<<>????

==??

??==???

的解，其中,A B 均为常数.

解这个定解问题的特点是：方程及边界条件都是非齐次的.根据上述原则，首先应将边界

条件化成齐次的，由于方程(2.56)的自由项及边界条件都与t 无关，所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的，具体做法如下：令 (,)(,)(),u x t V x t W x =+ 代入方程（4.56）得

2''().V V a W x A t x ????=++??????

为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选()W x 满足

?????===+==B

W W A x W a l x X ,0,0)(''02

（4.59） (4.59)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得

2().22A Al B W x x x a a

l ??

++ ??? 求出函数()W x 之后，再由（4.58）可知函数(,)V x t 为下列定解问题的解.

22222000,0,0;(4.60)00;(4.61)(),0.(4.62)

x x l t t V

V a x l t t

x V V V V W x t ====????=<<>????

==??

??=-=???

采用分离变量法，令(,)()()V x t X x T t =,代入(4.60)得

2,XT a X T ''''=

或

22.X T X a T

β''''

==- 由此得到

2220,(4.63)

(4.64)

X X T a T ββ''+=''+=

由(4.63)及(4.61)可以确定固有值与固有函数为

2.n l πβ=

()sin .n n X x x l

再由(4.64)得

()cos

sin ,n n n n a n a

T t C t D t l l

ππ=+ 利用（4.62）中第二个条件可得0n D =.

于是定解问题（4.60）,(4.61),(4.62)的解可表示为

(,)cos

sin .n n n a n V x t C t x l l

ππ

∞

==∑ 代入(4.62)中第一个条件得

()sin

,n n n W x C x l

∞

=-=∑ 即

2221

sin .22n

n A Al B n x x C x a a l l π∞

=??-+= ???∑ 由傅氏级数的系数公式可得

22202sin .22l n A Al B n C x x xdx l a a l l π

????=

-+ ???????? 22220

02sin

sin l

n A B n x xdx x xdx a l

l a l l ππ??=

-+ ???

23322222cos Al Al B n a n n a n ππππ??=-++ ???

（4.65）

因此，原定解解问题的解为

2221

(,)cos sin ,22n n A Al B n a n u x t x x C t x a a l l l ππ

∞

=??=-+++ ???∑

其中n C 由(4.65)确定. 例3

在环形域a b ≤

≤内求解下列定解问题

22222212();

0,0.

a b u u x y x y ???+=-?????

?==??

解由于求解区域是环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间

的关系

cos ,

sin ,

x y ρθρθ=??

=? 可将上述定解问题用极坐标,ρθ表示出来

222

11()122cos 2,;(4.66)

0,0.

(4.67)

a b u u

a b u u ρρρρθρρρρρθρ==????+=<

??==???

这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题，采用4.4所述的固有函数法，并注意在4.3中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的固有函数，可令问题（4.66）,(4.67)的解为

(,)()cos ()sin ,n n n u A n B n ρθρθρθ∞

==+????∑

代入(4.66)并整理得到

22''''''2

011()()()cos ()()()sin 12cos ,n n n n n n n n n A A A n B B B n ρρρθρρρθρθρρρρ∞

=????????+-++-=??????????????

∑比较两端关于cos ,sin n n θθ的系数可得

22222

()()()12,A A A ρρρρρ

ρ+

= (4.68)

''2

()()()0

(2),n

n n A A A n ρρρρ

ρ+

=≠ (4.69)

'''2

()()()0.n

n n B B B ρρρρ

= (4.70)

再由条件(4.67)得

()()0,n n A a B a == (4.71)

()()0.n n A b B b ''== (4.72)

由(4.69)，(4.70),(4.71),(4.72)可知

()0(2),

()0.

n n A n B ρρ≡≠≡

下面的任务就是要确定2().A ρ

方程(4.68)是一个非齐次的欧拉方程，它的通解为

224212(),A C C ρρρρ-=++

由条件(4.71),(4.72)确定12,C C 得

144

2,a b C a b +=+

4422244

(2)

.a b a b C a b

-=-+ 因此

664422224

24444

2(2)(),a b a b a b A a b a b ρρρρ-+-=--+++

原定解问题的解为

()6

6244222444441(,)2(2)()cos 2.u a b a b a b a b a b

ρθρρρθ-??=-

++--+??+

习题四

1、设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数(,)u x t .

2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程

(,0)0,u x =

(,0)

(),

(0,)(,)0.

u x x l x t

u t u l t ?=-?== 3、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程

01,02

11,1;2

t x x u x x =?

<≤??=?

?-<

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告姓名：学院：学号：专业：题目:分离变量法在求静态场的解的应用成绩：二〇一四年四月 Xxx 工程学院电子工程类

一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。二．内容 1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数。由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系当α2=0时，则当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则或当α2 >0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

3-5 -可分离变量型方程及其解法

2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式 )x y f (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表）练习17. （1）合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2 e e ch x x x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'2 2 =-==. 2. 求导法则和积分法则碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的， (x)' f dx dy =(x)dx ' f dy =?，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分法则. 设g(x) v f(x), u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+；相应（1）???+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=?, dv u du v v)d(u +=?；于是相应地有（2） ???+=?dv u du v v)d(u ; (x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx d =，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有

高数可分离变量的微分方程教案

§7. 2 可分离变量的微分方程观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.

可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.

第二章分离变量法(§2.1)

第二章分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

第二章分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈，（1.1）的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=，（1.2）其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =，或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3）上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈，则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此

第二章分离变量法(§2.2,§2.3)

§2.2 有限杆上的热传导定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值

1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β，可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=，从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?

高中数学解题方法之分离变量法(含标准答案)

分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

第四章-分离变量法1上课讲义

第四章分离变量法一、分离变量法的精神和解题要领 1．分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开，如，令 )()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u = 从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解 2．分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。（2）求解特征值问题（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。（4）叠加（如∑= n u u ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。 3．特征值问题在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。常涉及到的几种特征值问题：（1）? ??===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ 特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x l n C x X n n π （2）? ??='='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)( l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x l n C x X n n π （3）?? ?='==-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)21(πμl n + -=，特征值函数Λ,2,1,0 21 sin )(=+ =n x l n C x X n n π （4）?? ?=='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy = ()x f ()y ? (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：? )(x dy ?=? dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量：），，（11112 2 <<-- =-y x x dx y dy (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ，得

c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点 ),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y ' - =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，分离变量，解得 y x =+2 2 2 其中c 为任意正数，如图1.

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

七、分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版

第五讲补充常微分方程求解相关知识。

第二章分离变量法偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题（第六讲） §2.1 有界弦的自由振动什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

用分离变量法解常微分方程

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy = ()x f ()y ? (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：? )(x dy ?=? dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解.

解：(1)变形且分离变量：），，（11112 2 <<-- =-y x x dx y dy (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ，得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1 法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，

数学物理方程第二篇分离变量法

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告姓名：学院：学号：专业：题目:分离变量法在求静态场的解的应用成绩：二〇一四年四月 Xxx 工程学院电子工程类

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数。由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系当α2=0时，则当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则或当α2 >0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

第二章分离变量法

第二章分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成

(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5）再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称

可分离变量的微分方程

第二讲可分离变量的微分方程及齐次方程授课人：郭万里

1 可分离变量的微分方程 2 齐次方程目录

01可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程则称这样的方程为可分离变量的微分方程. d d ()()g y y f x x =d d 2 2y xy x =如果一个一阶微分方程例如，一阶微分方程因为在为可分离变量的微分方程. d d 22y x x y =可以写成如下形式 (,,)0F x y y '=2 y ≠时，我们可以分离变量得另外，易知0y =为该方程的一个特解。

可分离变量方程的解法 ()d ()d g y y f x x =第二步：两边积分, 得 ()d f x x = ?① 则有第一步：对一个可分离变量的微分方程，分离变量得 ()d g y x ?()()G y F x C =+() G y () F x 假设:g (y )、f (x ) 连续 ①的隐式通解若从上式中可解出y 或者x ，则得到相应的显示通解。

例1.求微分方程的通解. 解: 分离变量得 2 d tan d 1y x x y =-两边积分得 1 1ln 2ln |cos |1y x C y +=-+-即 1 C C e =±( C 为任意常数) 说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解 (另外分离变量时丢失了解y = -1，y =1) 2d (1)tan d y y x x =-2d tan d 1y x x y = -??1 2 11cos C y e y x +=±-22 cos cos C x y C x -=+C ≠0 C 可以取0 说明:通解不等同所有解

新版数学物理方程学习指导书第4章 分离变量法

分离变量法

3-5 -可分离变量型方程及其解法

高数可分离变量的微分方程教案

第二章 分离变量法(§2.1)

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)

高中数学解题方法之分离变量法(含标准答案)

第四章-分离变量法1上课讲义

用分离变量法解常微分方程

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版

最新21变量分离方程及可化为变量分离方程的方程求解汇总

用分离变量法解常微分方程

数学物理方程第二篇分离变量法

分离变量法

第二章 分离变量法

可分离变量的微分方程

新版数学物理方程学习指导书第4章分离变量法

第二章分离变量法(§2.1)

第二章分离变量法(§2.2,§2.3)

第二章分离变量法