高中数学干货资料-圆锥曲线中的最值和范围问题
圆锥曲线中的最值和范围问题
高考在考什么
【考题回放】
1．已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,)+∞
D.(2,+∞)
2． P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ ）
A. 6
B.7
C.8
D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( )
A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3 4．已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右
支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）
(A)
4
3
(B)
5
3
(C)2 (D)
73
5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .
6．设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2
1
,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的
轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.
高考要考什么
【考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。
突破重难点
【范例1】已知动点P 与双曲线13
22
2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9
1
-．
（１）求动点P 的轨迹方程；
（２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．
【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53
AB BF +
取得最小值时，试求B 点的坐标。
【范例3】已知P 点在圆x 2+(y -2)2=1
上移动，Q 点在椭圆2
219
x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。
【范例4】已知△OFQ 的面积为6OF FQ m ?= （1646m ≤≤∠OFQ 正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），
26
||,(
1)OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时， 求此双曲线的方程。
自我提升
图 3 A B N O x
y
1．设AB 是过椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(-c ，0)，则△F 1AB 的
面积最大为（ ）
A ．bc
B ．ab
C ．ac
D ．b 2
2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22
259
1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（ ） A ．10 B ．105- C ．105+ D ．1025+
3．已知双曲线22
1169
x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1, 到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为 （ ）
A ．5
B ．4
C 115
（D ）
115
5．设F 是椭圆16
72
2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i =1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为____
6．抛物线y 2=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________
7．如图，已知A 、B 是椭圆
22
1169
x y +=的两个顶点， C 、D 是椭圆上两点，且分别在AB 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值是_______
8．如图3，抛物线y 2=4x 的一段与椭圆22143
x y +=的一段围成封闭图形，点N （1，0）在x 轴上，又A 、B 两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x 轴， 求△NAB 的周长l 的取值范围。
9．求实数m 的取值范围，使抛物线y 2=x 上存在两点关于直线y=m (x-3)对称 10．已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线的斜率分别为k P A 和k PB ，且满足k P A ?k PB =t (t ≠0且t ≠－1).
（１）求动点P 的轨迹C 的方程；
（２）当t ＜0时，曲线C 的两焦点为F 1，F 2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F 1QF 2=120O ，求t 的取值范围．
圆锥曲线中的最值和范围问题
高考在考什么
【考题回放】
1．已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,)+∞
D.(2,+∞)
2． P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ）
A. 6
B.7
C.8
D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A )
A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3 4．已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右
支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ）
(A)
4
3
(B)
5
3
(C)2 (D)
73
5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .
6．设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2
1
,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的
轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.
【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.
记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组
??
?
??=++=141
2
2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以???
????
+=++-=+.48,422212
21k y y k k x x
于是).44
,4()2,2()(212
22121
k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为(x,y ), 则
???
???
?
+=+-=.44,422
k y k k x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ ① ②
当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③， 所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0
解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以
,14212
1
=+y x ④ .14
2
22
2=+y x ⑤
④—⑤得0)(4
12
2212221=-+-y y x x ，
所以.0))((4
1
))((21212121=+-++-y y y y x x x x
当21x x ≠时，有.0)(41
2121
2121=--?+++x x y y y y x x ⑥ 并且???
?
?
?
?
??--=-+=+=.
1,2,2212121
21x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为
（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21
(1612
2
=-+y x （2）由点P 的轨迹方程知.4
141,1612
≤≤-≤x x 即所以
12
7
)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP
故当41=
x ，||取得最小值，最小值为1;4
当1
6
x =-时，||取得最大值，最大值为.621
高考要考什么
【考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。
突破重难点
【范例1】已知动点P 与双曲线13
22
2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9
1
-．
（１）求动点P 的轨迹方程；
（２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围． 讲解 (１)由题意c 2=5．设|PF 1|+|PF 2|=2a （5>
a ），由余弦定理, 得
1|
|||10
2||||2||||||cos 21221221222121-?-=?-+=∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F ．
又||1PF ·
22
212)2
||||(||a PF PF PF =+≤，
当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|?|PF 2| 取最大值，
此时cos ∠F 1PF 2取最小值110
22
2--a
a ，令91110222-=--a a ， 解得a 2=9，5=c ，∴
b 2=4，故所求P 的轨迹方程为
14
92
2=+y x . （２）设N (s,t )，M (x,y )，则由DM λ=，可得(x ，y-3) =λ(s ，t-3)，
故x=λs ，y=3+λ(t-3). ∵M 、N 在动点P 的轨迹上，
∴
14
92
2=+t s 且14)33(9)(22=-++λλλt s ， 消去s 可得222214)33(λλλλ-=--+t t ，解得λ
λ65
13-=t ，
又|t |≤2，∴2|6513|
≤-λλ，解得55
1
≤≤λ， 故实数λ的取值范围是]5,5
1
[．
【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．
【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53
AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。
解析：因为椭圆的3
5
e =
，所以513AB BF AB BF e +=+，而1BF e 为动点B 到左准线
的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B ，使得它到A 点和左准线的距离之和最小，过点B
作l 的垂线，垂点为N ，过A 作此准线的垂线，垂点为M ，由椭圆定义
||3
5
||||||||BF e BF BN e BN BF ==?= 于是 5
||||||3
AB BF AB BN AN AM +
=+≥≥为定值 其中，当且仅当B 点AM 与椭圆的定点时等点成立，此时B 为53
(2) 所以，当5
3
AB BF +
取得最小值时，B 点坐标为53(2) 【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，
是一种简便而有效的好方法。
【范例3】已知P 点在圆x 2+(y -2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219
x
y +=上移动,试求|PQ|的最大值。
解：故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ |的最大值，
只要求|O 1Q |的最大值.设Q (x ，y )，则|O 1Q |2= x 2+(y -4)2
①
因Q 在椭圆上,则x 2=9(1-y 2) ②
将②代入①得|O 1Q |2= 9(1-y 2)+(y -4)2 2
18272y ?
?=-++ ??
?
因为Q 在椭圆上移动，所以-1≤y ≤1，故当1
2
y =时，1max
33OQ =此时max 331PQ =
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
。 【范例4】已知△OFQ 的面积为26OF FQ m ?= （1646m ≤≤∠OFQ 正切值的取值范围；
（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），
26
||,1)4
OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设∠OFQ =θ
||||cos()1
||||sin 26
2
OF FQ m
OF FQ πθθ??-=?
???=??46tan θ?=
6m ≤≤（2）设所求的双曲线方程为
22
111122
1(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b -= >> =-则
∴11
||||2
OFQ S OF y ?=?
=1y c =±
又∵OF FQ m ?
=，∴2111(,0)(,)()(
14
OF FQ c x c y x c c c ?=?-=-?=-
)
211,|
|4x
c OQ x ∴= ∴
=+=
当且仅当c=4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是或 2
222
226614
1216
a a
b b a b ??-==??∴ ???=???+=?
，所求方程为22 1.412x y -= 【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
自我提升
1．设AB 是过椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(-c ，0)，则△F 1AB
的面积最大为（ A ）
A ．bc
B ．ab
C ．ac
D ．b 2
2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22
259
1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（ C ） A ．10 B ．105- C ．105+ D ．1025+
3．已知双曲线
22
1169
x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（ B ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P
到此抛物线的准线的距离为d 1, 到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为 （ C ）
A ．5
B ．4
C ．
5
（D ）
115
5．设F 是椭圆16
72
2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i =1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为____
]10
1
,0()0,101[?-
.
图
A B
N O x
y 6．抛物线y 2=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________2
1
(，1）
7．如图，已知A 、B 是椭圆
22
1169
x y +=的两个顶点， C 、D 是椭圆上两点，且分别在AB 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值是_______1228．如图3，抛物线y 2=4x 的一段与椭圆22143
x y +=的一段围成封闭图形，点 N （1，0）在x 轴上，又A 、B 的周长l 的取值范围。
解：易知N 为抛物线y 2=4x 的焦点，又为椭圆的右焦点， 抛物线的准线l 1：x =-1，椭圆的右准线l 2：x =4， 过A 作AC ⊥l 1于C ，过B 作BD ⊥l 2于D ，
则C 、A 、B 、D 在同一条与x 轴平行的直线上。
由222414
3y x
x y ?=?
?+
=??，得抛物线与椭圆的交点M 的横坐标23x =
而|BN|=e|BD|=1
2
|BD|,|AN|=|AC|
∴△NAB 的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|
=|BC|+
12|BD|=|BC|+|BD|-1
2|BD| =|CD|-12|BD|=5-1
2
|BD|
242||43BD -<<-，即15
1||23
BD <<
1043l ∴<<，即l 的取值范围为（10
3
，4） 9．求实数m 的取值范围，使抛物线y 2=x 上存在两点关于直线y=m (x-3)对称
解法1：设抛物线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y=m (x-3)对称，A ，B 中点M (x ,y )，则当m=0时，有直线y=0，显然存在点关于它对称。
当m ≠0时，211
122
121222
1112y x y y x x y y y m y x ?=-??===-?-+=?? 所以2m y =-，所以M 的坐标为5,22m ??
- ???
，∵M 在抛物线内，
则有2
522m ??
>- ???
，得1010m - 解法2：设两点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)，它们的中点为M (x ，y )，两个对称点连线的方程为x=-my+b ，与方程y 2=x 联立，得y 2+my-b =0 ()*所以 y 1+y 2= -m ，即2 m y =- ， 又因为中点M 在直线y=m (x-3)上，所以得M 的坐标为5,22m ??- ??? 又因为中点M 在直线x=-my+b 上，2 52 m b =-， 对于()*，有?=m 2+4b =10-m 2>0，所以m << 10．已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线的斜率分别为k P A 和k PB ，且满足k P A ?k PB =t (t ≠0且t ≠－1). （１）求动点P 的轨迹C 的方程； （２）当t ＜0时，曲线C 的两焦点为F 1，F 2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F 1QF 2=120O ，求t 的取值范围． 解：(１) 设点P 坐标为(x ,y ),依题意得 2 2-? +x y x y =t ?y 2=t (x 2－4) ? 42x +t y 42-=1，轨迹C 的方程为42x +t y 42 -=1（x ≠±2）. (２) 当－1＜t ＜0时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2, 则r 1+ r 2=2a =4. 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|=2c =4t +1, ∠F 1PF 2=120O ，由余弦定理得 4c 2=r 2 1+r 2 2－2r 1r 2cos 120?= r 2 1+r 2 2+ r 1r 2= (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(2 21r r +)2=3a 2 , ∴16（1+t ）≥12, ∴t ≥－4 1. 所以当－ 4 1 ≤t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120O 当t ＜－1时，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2, 则r 1+ r 2=2a = -4t, 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|=2c =4t --1.∠F 1PF 2=120O ，由余弦定理得 4c 2=r 2 1+r 2 2－2r 1r 2cos 120?= r 2 1+r 2 2+ r 1r 2= (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(2 21r r +)2=3a 2 , ∴16（-1-t ）≥-12t, ∴t≤－4. 所以当t ≤－4时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120O 综上知当t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠AQB =120O 的t 的取值范围是(]?? ? ???- ?-∞-0,414,.