初三上学期数学期末考试试卷及答案(优选.)

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初三数学第一学期期末考试试卷

第Ⅰ卷（共32分）

一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）

在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母填在下面的表格中． 1．如果

53

2

x =，那么x 的值是 A ．

152 B ．

215 C ．103

D ．

3

10

2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，1

sin 3

A =

，则B cos 等于

A ．

13 B ．2

3

C ． 10

D ．

22

3

3．把只有颜色不同的1个白球和2个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出

１个球后放回搅匀，再次随机地摸出１个球，两次都摸到红球的概率为

A ．

12 B ．13 C ．19 D ．49

4．已知点(1,)A m 与点B (3,)n 都在反比例函数x

y 3

=(0)x >的图象上，则m 与n 的关系是

A ．m n >

B ．m n <

C ．m n =

D ．不能确定

5．如图，⊙C 过原点，与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点．已知∠OBA =30°，点D 的坐标为

（0，2），则⊙C 半径是

A ．

43 B ．23

C ．43

D ．2 6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：

①因为a ＞0，所以函数y 有最大值； ②该函数的图象关于直线1x =-对称； ③当2x =-时，函数y 的值等于0； ④当31x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

3

2

1

E

D

C

B

A

y

x

-3

1

-2

7．如

图，∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形共有

A ．4对

B ．3对

C ．2对

D ．1对

8．如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，

边长为2的正方形OCEF 沿着x 轴的正方向移动，设平 移的距离为 (04)a a ≤≤，正方形OCEF 与△AOB 重叠 部分的面积为S ．则表示S 与a 的函数关系的图象大致是

A ．

B ．

C ．

D ．

第Ⅱ卷（共88分）

二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．已知3tan 3α=，则锐角α的度数是 ?．

10．如图，直线EF 交⊙O 于A B 、两点，AC 是⊙O 直径，DE 是⊙O 的切线，且

DE EF ⊥，垂足为E ．若130CAE ∠=?，则DAE ∠= °．

第8题

第5题 第6题 第7题

x

C 1A

O

B y

E

F

a

O S

244

2

a

O S 24

2a

O S

4

2

a

O S

24

4

2

11．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =

的图象，2C 是函数21

2

y x =-的图象，3C 是函数y =3x 的图象，则阴影部分的面积是 ．

12．如图，已知Rt △ABC 中，AC =3，BC = 4，过直角顶点C 作1CA ⊥AB ，垂足为

1A ，再过1A 作11A C ⊥BC ，垂足为1C ，过1C 作12C A ⊥AB ，垂足为2A ，再过2A 作

22A C ⊥BC ，垂足为2C ，…，这样一直做下去，得到了一组线段1CA ，11A C ，

12C A ，…，则1CA = ，1n n n n

C A

A C +（其中n 为正整数）= ．

三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算： o

o

o

o

2

45tan 30cos 30tan 60sin +?- 解：

14．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB DC AD ===，70ABC ∠=，点E F ，

分别在线段AD DC ，上，且110BEF ∠=，若3AE =，求DF 长． 解：

第10题

O

E

D

C B

A

C 1

A 2

A 1

C 2B

A

C

第12题

第14题

F

E

D C

B

A

第

11y

x

C 2

C 1

O

C 3

第17题

y

x

3

O

1

15．已知：如图，△ABC 中，∠B =90°，5

cos 7

A =,BD =46,

∠BDC =45°，求AC ． 解：

16．如图，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于E ，交 于D （1）若BC =8，ED =2，求⊙O 的半径． （2）画出直径AB ，联结AC ，观察所得图形，

请你写出两个新的正确结论： ； ．

解：（1）

17．已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题： （1）关于x 的一元二次方程20x bx c -++= 的解为 ； （2）求此抛物线的解析式和顶点坐标．

解：

第15题

C

A B

D

B

C

O

E 第16题

18．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀

后放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：抽出的两张牌的数字若都是偶数，你获胜；若一奇一偶，我获胜． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；

（2）若按小慧说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 解：

四、解答题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）

19．如图，甲船在港口P 的南偏西60方向，距港口86海里的A 处，沿AP 方向以每小时

15海里的速度匀速驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿南偏东45方向匀速驶离港口

P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果

精确到个位，参考数据：2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈）

解：

东

A

P

第18

20．已知：点P （a ，2）关于x 轴的对称点在反比例函数8

(0)y x x

=-

>的图象上， y 关于x 的函数(1)3y a x =-+的图象交x 轴于点A ﹑交y 轴于点B ．求点P 坐标和

△PAB 的面积． 解：

21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，

连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线；

O

D

E F

B

A

C

第19题

第20题

（2）若OA

=AD=8，求AC的长．

解：

五、解答题（本题满分6分）

22．如图1是一个供滑板爱好者滑行使用的U型池，图2是该U型池的横截面（实线部分）示意图，其中四边形AMND是矩形，弧AmD是半圆．

（1）若半圆AmD的半径是4米，U型池边缘AB= CD =20米，点E在CD上，CE= 4米，一滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（结果可保留根号）；

（2）若U型池的横截面

．．．

的周长为32米，设AD为2x，U型池的强度为y，已知U型池的强度是横截面的面积的2倍，当x取何值时，U型池的强度最大．

解：

图1 图2

第22题

六、解答题（本题满分6分）

23．已知：关于x 的一元二次方程0)12(2

2

=-+--m m x m x

(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）设此方程的两个实数根分别为a 、b （其中a ＞b )，若y 是关于m 的函数，且

32y b a =-,请求出这个函数的解析式；

（3）请在直角坐标系内画出（2）中所得函数的图象；将此图象在m 轴上方的部分沿m 轴翻折，在y 轴左侧的部分沿y 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，动点Q 在双曲线4

y m

=-

被新图象截得的部分（含两端点）上运动，求点Q 的横坐标

的取值范围. 解：

第23题

七、解答题（本题满分7分）

24．（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F

、分别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断

OMN △的形状，并加以证明；（提示：利用三角形中位线定理）

（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ；

（3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是

AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，

判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由．

图 1 图2 图3

B

F

B A

C

D E

F

M N

O

解：

八、解答题（本题满分8分）

25．如图所示，抛物线2

)(m x y --=的顶点为A ，其中0>m ．

（1）已知直线l ：y =，将直线l 沿x 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含m 的代数式）后过点A ；

（2）设直线l 平移后与y 轴的交点为B ，若动点Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P ，使以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述

条件的P 点坐标；若不存在，说明理由． 解：

第25

题

y

x

O

A

草 稿 纸

石景山区2009-2010学年度第一学期期末考试试卷

初三数学参考答案

阅卷须知：

1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．

2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）

9．60； 10．65； 11．53π； 12．

124,55

． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解：o

o

o

o

2

45tan 30cos 30tan 60sin +?-

第16题图1

=123

33232

+?-???

? ?? ………………………4分 =

4

5

…………………………………………………5分 14．解：在梯形OBCD 中，AD ∥BC ， AB DC =，70ABC ∠=，

∴180********D A ABC ∠=∠=?-∠=?-?=?………………………… 1分 ∴18011070DFE DEF ∠+∠=?-?=? ∵110BEF ∠=

∴18011070AEB DEF ∠+∠=?-?=? ∴DFE ∠AEB =∠………………………………… 2分 ∴△DFE ∽△AEB ………………………………… 3分 ∴

DF ED

AE AB

=

…………………………………… 4分 即：

336DF = 解得：3

2

DF = ……………… 5分 15．解：在△ABC 中，∠B =90°，5

cos 7

A =

57

AB AC =,5,7AB x AC x ==……………… 1分 由勾股定理得： 26BC x = ……………………2分 ∵∠BDC =45° ∴BD BD BC =?=

45tan ……3分 ∵46BD = ∴2646,2x x == …………4分 ∴ 714AC x == …………………………5分

16．解：（1）联结OB

∵OD ⊥BC ，BC =8 ∴BE ＝CE =

1

2

BC =4……1分 设⊙O 的半径为R ，则OE =OD -DE=R -2 在Rt △OEB 中，由勾股定理得

第15题

C

A B

D

第14题

F

E

D C

B

A

第17题

y

x

3

O

1

OE 2＋BE 2=OB 2，即(R-2)2＋42=R 2 ……………… 2分 解得R ＝5 ………………………………3分

∴⊙O 的半径为5

（2）AC ⊥CB ，AC ∥OD ，OE =

2

1

AC 等．…………5分 注：写对一个结论给１分．

17．解：（1）121,3x x =-= …………………………………1分 （2）解法一：由图象知：抛物线c bx x y

++-=2的对称轴为1=x ，

且与x 轴交于点()0,3

∴()

?????

=++-=-?-

331122c b b ………………………………3分 解得：??

?==3

2

c b ……………………………4分

∴抛物线的解析式为：322++-=x x y

顶点（1，4） ……………5分 解法二：设抛物线解析式为()k x y

+--=2

1 ……………2分

∵抛物线与x 轴交于点()0,3

∴()0132=+--

k …………………3分

解得：4=k

…………………4分

∴抛物线解析式为()412

+--=x y

即：抛物线解析式为322++-=x x y

顶点（1，4） ………………5分

解法三：由（1）121,3x x =-=可得抛物线解析式为()()13+--=x x y ……3分

整理得：抛物线解析式为

322++-=x x y

顶点（1，4） ………………5分

第16题图2

18．解： (1) 树状图为：

……………….２分

共有12种可能结果． ………………………………………………………….3分 （2）游戏公平．

∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果： ∴ P （偶数）=

126=2

1

．…………………………………….4分 ∵ 两张牌的数字都是一奇一偶有6种结果 ∴ P （一奇一偶）=

126=2

1． ∴小红获胜的概率与小慧获胜的概率相等 ∴游戏公平． ……………………………………………5分

四、解答题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）

19．解： 依题意，设乙船速度为每小时x 海里，2小时后甲船在点B 处，

乙船在点C 处，2PC x = ……………………………………………1分 过P 作PD BC ⊥于Ｄ，……………………2分 ∴8621556BP =-?=

在Rt PDB △中, 90PDB ∠=?,60BPD ∠=°∴cos6028PD PB =??=……………3分 在Rt PDC △中，

90PDC ∠=?，45DPC ∠=?，

∴cos 4522

PD PC x =??=

?=……………………4分

28=

，即20x =≈（海里）．

答：乙船的航行速度为每小时20海里．……………………………………5分

20．解：依题意，得点P 关于x 轴的对称点为(a,-2) ……………………1分

∵ 点(a,-2)在8

y x

=-图象上 ∴-2a = -8 ,即 a = 4

∴P (4 , 2 ) ………………………2分

把 a = 4代入(1)3y a x =-+,得33y x =-+ 令y =0，可得x =1∴交点A (1,0)

令x =0，可得y =3∴交点Ｂ (０,３)……………3分 ∵S △PAB =S 梯形PCOB -S △PAC -S △AOB ∴S △PAB =

12(PC+OB )×OC-12P C ×PA-1

2

O B ×OA =31032--

=11

2

…………………………………………………………5分 ∴△PAB 的面积为

112

． 21．解：（1）证明：∵∠BED =∠BAD ，∠C =∠BED

∴∠BAD =∠C ………………………………1分

∵OC ⊥AD 于点F ∴∠BAD +∠AOC =90o ∴∠C +∠AOC =90o ∴∠OAC =90o

O

D

E F

B

A

C

∴OA ⊥AC

∴AC 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分 （2）∵OC ⊥AD 于点F ，∴AF =

2

1

AD =4 Rt △OAF 中，OF=22AF OA -=2………………………………3分 ∵∠OAF =∠C ∴sin ∠OAF =sin ∠C ∴

OF AF

OA AC

=

即

OA AF

AC OF

?=

=…………………………………………5分 （解法二：利用相似三角形）

五、解答题（本题6分）

22．解：（1）如图是滑道的平面展开图

在Rt △EDA 中，半圆AmD 的弧长4,20416ED π==-=… 2分

滑行的最短距离AE ==………… 3分 （2）∵AD 为2x ∴半圆AmD 的半径为x ，则半圆AmD 的弧长为x π ∴ 3222x AM x π=++

∴2162AM x π+=-

+ （32

04x π

<<

+）………………………………………… 4分 ∴y []2

2222(16)(34)6422

x x x x x πππ+=-+-

=-++……………………………5分

∴当[]6432

2(34)34

x ππ=-

=-++时，U 型池强度最大

E

D

C A

B

所以当32

34

x π=

+时，U 型池强度最大 …………………………………………6分 注：2162AM x π+=-

+ （32

04x π

<<

+）中无自变量范围不扣分。 六、解答题（本题满分6分）

23．解：（1）依题意，得22[(21)]4()m m m ?=----

224414410m m m m =-+-+=>…………………1分

∴此方程有两个不相等的实数根． ………………2分 （2）解方程 2

2

(21)0

x m x m m --+-=

得x=m 或x=m-1……………………………3分 ∵a >b ，m >m-1 ∴a=m ，b=m-1 ∴y=3b-2a=m-3………………………………4分 （3）y=m-3在坐标系内图象如图所示， 设该图象与m 轴交于点A ，与y 轴交于点B

则点A 坐标为(3,0)，点B 坐标为(0,-3)……………5分 翻折后图象如图所示， 设翻折后图象与m

y 4

-=交于C 、D 两点 可得射线AD 的解析式为y =－m+3)3(≥m 射线AD 与双曲线m

y 4

-

=交点D 的坐标为（4，-1） 同理可得射线BC 与双曲线m

y 4

-=交点C 的坐标为（1，-4）， 直线y=m-3与双曲线m

y 4

-

=无交点 ∴点Q 的横坐标的取值范围是14m ≤≤……………6分 七、解答题（本题满分7分）

24．解：（1）结论：OMN △是等腰三角形…………1分

y

m

1

O

y=m+3

C

D

B

A

H

B

A

C

D E

F M N

O

图1

证明：如图1，取AB 的中点H ，连结HF HE 、 ∵Ｅ、Ｆ分别是AD 、BC 的中点， ∴HF ∥AC ，1

2

HF AC =……………………2分 ∴ FMC HFE ∠=∠ 同理，HE ∥BD ，12

HE BD = ∴END HEF ∠=∠

又∵AC =BD ，∴HF HE =∴HEF ∠HFE =∠ ∴END ∠=FMC ∠ ……………………………3分 ∴OMN △是等腰三角形

（2）正确画图（如图2） …………………………4分

BMF CNF ∠=∠ …………………………5分

（3）点M 在以AD 为直径的圆外…………………6分 证明：如图3，由(2)的结论，45M AEM ∠=∠=? ∴90MAD ∠=? ∴ME AE >, 又Ｅ是AD 中点

∴点M 在以AD 为直径的圆外 …………………7分 八、解答题（本题满分8分）

25．解：（1）右；m …………………………………………………………………2分 （2）由题意点A （m ，0

），将其代入y b =

+

，得b = ………………3分

∴此时直线l 的解析式：m x y 33-=

， 点B （0

）………………4分

以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 相似，且相似比为2，共有以下四种情况，

①90PQA ∠=?， 当

2PQ AQ

BO AO

==时

可得,2PQ AQ m ==

∴(,2)P m m --

，代入抛物线解析式得：2

2(),0m m m m -=--->

解得11,)63

m P =

∴-……………………………………………………5分 ∠?

图2

图

3

M

B

F

C