常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理
[教学目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解
的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时
[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方
程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显
得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的
条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在
常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理
论的基础。
例如方程
dy
dx
=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数
2
0 0() c<1
x c
y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx
dy
= （3.1）
这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，
2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件
00()x y ?=
（3.3） 其中,min(,
),max (,)x y R b
h a M f x y M
∈==,L 称为Lipschitz 常数.
思路：
1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+?
的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ?
任取一个连续函数0()x ?，使得00|()|x y b ?-≤，替代上述积分方程右端的
y ，得到
100()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果10()()x x ??≡，那么0()x ?是积分方程的解，否则，又用1()x ?替代积分方程右端的y ，得到
201()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果21()()x x ??≡，那么1()x ?是积分方程的解，否则，继续进行，得到 0
01()(,())x
n n x x y f x x dx ??-=+?
（3.4）
于是得到函数序列{()}n x ?.
3） 函数序列{()}n x ?在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ?，即 lim ()()n n x x ??→∞
=
存在，对(3.4)取极限,得到
00
010lim ()lim (,()) =(,())
x
n n x n n x
x x y f x x dx
y f x x dx ???-→∞
→∞=++??
即0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
.
4) ()x φ是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
在00[,]x h x h -+上的连续解.
这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.
为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.
命题1 设()y x ?=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件
00()x y ?= （3.3）
的解,则()y x ?=是积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+?
00x x x h ≤≤+
(3.5)
的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.
证明 因为()y x ?=是方程(3.1)满足00()x y ?=的解,于是有
()
(,())d x f x x dx
??= 两边取0x 到x 的积分得到 0
0()()(,())x
x x x f x x dx ???-=?
00x x x h ≤≤+
即有0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
00x x x h ≤≤+
所以()y x ?=是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.
反之,如果()y x ?=是积分方程(3.5)上的连续解,则
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+
（3.6）
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ?连续,两边对x 求导,可得
()
(,())d x f x x dx
??= 而且 00()x y ?=,
故()y x ?=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ?=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ?.
0000100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???(1,2,)n =L
（3.7）
命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式
0|()|n x y b ?-≤ （3.8）
证明 用数学归纳法证明 当1n =时，0
100()(,)x
x x y f y d ?ξξ=+?
，显然1()x ?在00x x x h ≤≤+上有定义、
连续且有
10000|()||(,)||(,)|()x x
x x x y f y d f y d M x x Mh b ?ξξξξ-=≤≤-≤≤??
即命题成立.
假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ?-≤ 当1n k =+时，
10()(,())x
k k x x y f dx ?ξ?ξ+=+
?
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ?在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ?+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有 0
100|()||(,())|()x
k k x x y f d M x x Mh b ?ξ?ξξ+-≤
≤-≤≤?
即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.
命题3 函数序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.
记lim ()()n n x x ??→∞
=,00x x x h ≤≤+
证明 构造函数项级数 011
()[()()]k
k k x x x ??
?∞
-=+-∑ 00x x x h ≤≤+
(3.9) 它的部分和为
011
()()[()()]()n
n k
k n k S x x x x x ??
??-==+
-=∑
于是{()}n x ?的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.
1000|()()||(,())|()x
x x x f d M x x ??ξ?ξξ-≤≤-?
(3.10)
2110|()()||(,())(,())|x
x x x f f d ??ξ?ξξ?ξξ-≤-?
由Lipschitz 条件得知
2110020|()()||()()|ξ
() ()2!
x
x x
x x x L d L M x d ML
x x ???ξ?ξξξ-≤-≤-≤
-??
设对于正整数n ,有不等式
1
10|()()|() !
n n n n ML x x x x n ??---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有
011101
0|()()||(,())(,())| |()()|ξ
() !
()(+1)!
x
n n n n x x
n n x n x n
x n
n x x f f d L d ML x d n ML x x n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-???
于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有
1110|()()|() !!
k k k
k k k ML ML x x x x h k k ??----≤-≤ 00x x x h ≤≤+
(3.11) 由正项级数
1
1
!
k
K k h ML
k ∞
-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛.
设lim ()()n n x x ??→∞
=,则()x ?也在00x x x h ≤≤+上连续,且
0|()|x y b ?-≤
命题4 ()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
证明 由Lipschitz 条件
|(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ????-≤-
以及{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ?,可知(,())n f x x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ?.因此
000101lim ()lim (,())
=lim (,())
x
n n x n n x
n x n x y f d y f d ?ξ?ξξξ?ξξ-→∞
→∞-→∞
=++??
即 0
0()(,()) x
n x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
故()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ?ψ≡,00x x x h ≤≤+.
证明 设()|()()|g x x x ?ψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 0
0()(,()) x
x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
0()(,()) x
x x y f d ψξψξξ=+?
而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得
()|()()||[(,())(,())]|
|(,())(,())| |()()|()x
x x
x x
x
x x g x x x f f d f f d L d L g d ?ψξ?ξξψξξξ?ξξψξξ
?ξψξξξξ
=-=-≤
-≤-=??
??
令0
()()x
x u x L
g d ξξ=?
,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,
0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,
即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤= 故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.
对定理说明几点:
(1)存在唯一性定理中min(,
)b
h a M
=的几何意义.
在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ?=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.
当b M a ≤
时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ?=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b
a M
≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，
它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b
x x x M M
-≤≤+
才能保证解()y x ?=在R 内，故要求解的存在范围是
0||x x h -≤.
(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上
212121212(,())
|(,)(,)||
|||
||
f x y y y f x y f x y y y y L y y θ?+--=-?≤-
这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数
(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数.
(3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为
()()dy
P x y Q x dx
=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值
000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.
实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ?时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]
max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.
(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程
0 =0
ln || 0
y dy y y dx y ≠?=?
? 经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.
证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在
0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.
又由
ln ||dy
y y dx
=
可得方程的通解为 x
ce y e
=±,其中
x
ce y e
=为上半平面的通解,
x
ce y e
=-为
下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是
|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -== 因为0
lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得
|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤
所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.
此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程
(,,)0F x y y '= (3.12)
由隐函数存在定理,若在000
(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0F
y ?≠'
?,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数 (,)y f x y '= (3.13)
并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足0
00(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且
/f F F
y y y ???=-'
??? (3.14)
显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.
定理2 如果在点000
(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；
ⅱ）000
(,,)0F x y y '=
ⅲ）
000
(,,)0F x y y y '?≠'
? 则方程（3.12）存在唯一的解
0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数） 满足初始条件
0000
(), ()y x y y x y ''== （3.15）
1、 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法
000
0100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???
对方程的第n 次近似解()n x ?和真正解()x ?在0||x x h -≤内的误差估计式
1
|()()|(1)!
n n n ML x x h n ??+-≤
+ （3.16）
此式可用数学归纳法证明. 0
00|()()||(,())|()x
x x x f d M x x Mh ??ξ?ξξ-≤≤-≤?
设有不等式
1110|()()|() !!
n n n
n n ML ML x x x x h n n ??----≤-≤ 成立,则
01101
10|()()||(,())(,())| |()()|ξ
()
! ()(+1)!(+1)!
x
n n x x
n x n x n
x n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x h
n n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤???
例1 讨论初值问题
22dy
x y dx
=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, :11,11R x y -≤≤-≤≤.
解 (,)1
max |(,|2,1,1,min{,
}2
x y R
b M f x y a b h a M ∈======,由于|
||2|2f
y L y
?=≤=?,根据误差估计式(3.16) 11
|()()|0.05(1)!(1)!
n n n ML x x h n n ??+-≤
=<++ 可知3n =.于是 0()0x ?=
3
2
2
10
0()[()]3
x
x x x x dx ??=+=?
37
2
2
21
0()[()]363
x
x x x x x dx ??=+=+?
371115
2
2
32
0()[()]363207959535
x
x x x x x x x dx ??=+=+++?
3()x ?就是所求的近似解,在区间11
22
x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.
§2 解的延拓
上节我们学习了解的存在唯一性定理，当
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在R 上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
的解在0||x x h -≤上存在且
唯一. 但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的. 可能随着
),(y x f 的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1，
当定义区域变为:22,22R x y -≤≤-≤≤时，21
8,min{2,}84
M h ===，解的范围缩
小为01
||4
x x -≤
. 在实际引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的.
1、饱和解及饱和区间
定义1 对定义在平面区域G 上的微分方程 ),(y x f dx
dy
= (3.1)
设()y x ?=是方程(3.1)定义在区间1I R ?上的一个解,如果方程(3.1)还有一个定义在区间2I R ?上的另一解()y x ψ=,且满足 (1) 12I I ?；但是12I I ≠ （2）当1x I ∈时，()()x x ?ψ≡
则称1(),y x x I ?=∈是可延拓的，并称()y x ψ=是()y x ?=在2I 上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解()y x ψ=,则称1(),y x x I ?=∈是方程(3.1)的不可延拓解或饱和解,此时把不可延拓解的区间1I 称为一个饱和区间.
2、局部李普希兹条件
定义2 若函数),(y x f 在区域G 内连续，且对G 内每一点P ，都存在以P 点为中心，完全含在G 内的闭矩形域p R ，使得在p R 上),(y x f 关于y 满足李普希兹条件（对于不同的点，闭矩形域p R 的大小和李普希兹常数L 可能不同），则称),(y x f 在G 上关于y 满足局部李普希兹条件.
定理3 （延拓定理）如果方程
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在（有界或无界）区域2G R ∈上连续，且在关于y 满足局部李普希兹条件，则对任意一点00(,)x y G ∈，
方程),(y x f dx
dy =以),(00y x 为初值的解)(x ?均可以向左右延展，直到点(,())x x ?任
意接近区域G 的边界.
以向x 增大的一方来说，如果()y x ?=只能延拓到区间上，则当x m →时，
(,())x x ?趋于区域G 的边界。
证明 00(,)x y G ?∈，由解的存在唯一性定理，初值问题
???=)
(00x y y dx
（1）
存在唯一的解()y x ?=，解的存在唯一区间为00||x x h -≤.取100x x h =+,
11()y x ?=,以11(,)x y 为中心作一小矩形1R G ∈,则初值问题
11(,)
()
dy
f x y dx y y x ?=???=?
(2)
存在唯一的解()y x ψ=，解的存在唯一区间为11||x x h -≤.
因为 11()()x x ?ψ=,有唯一性定理,在两区间的重叠部分应有()()x x ?ψ=,即当
111x h x x -≤≤时()()x x ?ψ=.定义函数
0000
00001(),()(),x x h x x h x x x h x x h h ??ψ*
-≤≤+?=?+≤≤++?
则()y x ?*=是方程(3.1)满足(1)(或(2)) 的,在0011[,]x h x h -+上有定义的唯一的解.这样,把方程(3.1)满足(1)的解()y x ?=在定义区间上向右延伸了一段.即把解
()y x ?*=看作方程(3.1)的解()y x ?=在定义区间00||x x h -≤的向右延拓,延拓到更大
区间00001x h x x h h -≤≤++.同样的方法,也可把解()y x ?=向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去,最后将得到一个解~
()y x ?=,不能再向左右延拓了.这个解称为方程(3.1)的饱和解.
推论1 对定义在平面区域G 上的初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
其中00(,)x y G ∈
若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.
推论2 设~
()y x ?=是初值问题
???=)
(00x y y dx 其中00(,)x y G ∈
的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间I 一定是开区间.
证明 若饱和区间I 不是开区间,不妨设(,]I αβ=,则~
(,())G β?β∈,这样解~
()y x ?=还可以向右延拓,从而~
()y x ?=是非饱和解,矛盾.对[,)I αβ=时,同样讨论,即
x β-→(或x α+→)时, (,())x x G ?→?.
推论3 如果G 是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过00(,)x y 点的解()y x ?=可以延拓,以向x 增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:
(1) 解()y x ?=可以延拓到区间0[,)x +∞(或0(,]x -∞)；
(2) 解()y x ?=只可延拓到区间0[,)x m (或0(,]m x )，其中为有限数，则当
x m →时，或者()y x ?=无界,或者点(,())x x G ?→?.
例1讨论方程21
2dy y dx -=分别通过点(0,0)和点(ln 2,3)-的解的存在区间. 解 此方程右端函数21
(,)2
y f x y -=在整个xy 平面上满足解的存在唯一性定理及
解的延拓定理的条件.易知方程的通解为
11x
x
ce y ce
+=- 故通过点(0,0)的解为(1)/(1)x x y e e =-+,这个解的存在区间为x -∞<<+∞； 通过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-,这个解的存在区间为0x <<+∞ (如图所示).注意, 过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-向右方可以延拓到
+∞,但向左方只能延拓到0,因为当0x +→时,y →-∞.
例2讨论方程
1ln dy
x dx
=+过(1,0)点的解的存在区间. 解 方程右端函数(,)1ln f x y x =+在右半平面0x >上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y 轴是它的边界. 易知问题的解为ln y x x =,它于区间0x <<+∞ 上有定义、连续且当0x →时,
0y →,即所求问题的解向右方可以延拓到+∞,但向左方只能延拓到0,且当0x →时
积分曲线上的点(,)x y 趋向于区域G 的边界上的点.
例3 考虑方程
),()(22y x f a y dx
dy
-=,假设(,)f x y 和),('y x f y 在xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
证明 根据题设,易知方程右端函数在整个xoy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又y a =±为方程在(,)-∞+∞上的解,由延拓定理可知,对
00,||x y a ?<,满足00)(y x y =的解()y y x =应当无限远离原点,但是,由解的唯一性, ()y y x =又不能穿过直线y a =±,故只能向两侧延拓,而无限远离原点,从而解应在(,)-∞+∞存在.
注: 如果函数(,)f x y 于整个xoy 平面上定义、连续和有界,同时存在关于y 的一阶连续偏导数,则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间x -∞<<+∞.
练习 试证对任意0x ，0y ，方程1
222
++=
y x x dx dy 满足初始条件00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
§3 解对初值的连续性和可微性定理
在初值问题?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再
去讨论方程),(y x f dx
dy
=经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题
的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值00(,)x y .
例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得
00x x e y y -=.很显然它是自变量x 和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx
dy
的解记为),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.
1、解关于初值的对称性
设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式
00(,,)y x x y ?=
证明 在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点1x ,显然
1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积
分曲线,即此解也可写为
11(,,)y x x y ?=
并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式
00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立.
2、 解对初值的连续依赖性
由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当
00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续
依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：
引理：如果函数(,)f x y 于某域D 内连续，且关于y 满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为L ），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式
0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）
其中0x 为所考虑区域内的某一值.
证明 设()x ?, ()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令 2()[()()],V x x x a x b ?ψ=-≤≤ 则
()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ?ψ?ψ'=-- 于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ?ψ?ψ''≤=--≤ 22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤ 从而
2(())0Lx d
V x e dx
-≤ 所以,对0[,]x a b ?∈,有
02()00()(),L x x V x V x e x x b -≤≤≤
对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为
(,)dy
f t y dx
=-- 而且已知它有解()y t ?=-和()y t ψ=-. 类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤ 因此, 02||
00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤
两边开平方即得(3.17).
利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性： 解对初值的连续依赖定理
假设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，如果
00(,)x y G ∈，初值问题?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
有解00(,,)y x x y ?=，它于区间b x a ≤≤上有
定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε， (,,)0a b δδε?=>，使得当
2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ?=在区
间b x a ≤≤上也有定义，并且有
0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ε-<≤≤.
证明 记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ??=≡≤≤是xy 平面上一个有界闭集. 第一步:找区域D ,使S D ?,而且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件. 由已知条件,对(,)x y S ?∈,存在以它为中心的开圆,C C G ?,使(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆
(1,2,,)i C i N =L (不同的i C ,其半径i r 和Lipschitz 常数i L 的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段S ,令1
N
i i G
C ==%U ,则S G
G ??%,对0ε?>,记
1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=?==%L ,则以S 上的点为中心,以η为半径的圆的全体及其边界构成包含S 的有界闭域D G
G ??%,且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为L .
第二步:证明(,,)0()a b δδεδη?=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解
00()(,,)y x x x y ψ?==在区间a x b ≤≤上也有定义.
由于D 是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知, 解00()(,,)y x x x y ψ?==必能延拓到区域D 的边界上.设它在D 的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有
0||
00|()()||()()|,L x x x x x x e
c x
d ?ψ?ψ--≤-≤≤
利用()x ?的连续性,对()11
2
L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有
01|()()|x x ??δ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有
0002||
22002||
200002||
22
00002101|()()||()()|2
(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e
y ?ψ?ψ???ψ???ψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()
022()21|) 4 ()
L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤
(3.18)
于是对一切[,],|()()|x c d x x ?ψη∈-<成立,特别地有 |()()|c c ?ψη-<,|()()|d d ?ψη-<
即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域D 的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间
[,]a b 上有定义.
第三步 证明|()()|,x x a x b ?ψε-<≤≤.
在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当
2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有
0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ηε-<≤≤≤. 根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有 3、解对初值的连续性定理
若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ?=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.
证明 对00(,)x y G ?∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ?=定义于
0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令
00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈ 下证00(,,)y x x y ?=在V 上连续.
对00(,,)x x y V ?∈,[,]a b ?,使解00(,,)y x x y ?=在[,]a b 上有定义,其中
0,[,]x x a b ∈.
对10,0εδ?>?>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时, 0000(,,)(,,),2
x x y x x y a x b ε
??-<
≤≤
又00(,,)y x x y ?=在[,]x a b ∈上对x 连续,故20δ?>,使得当2||x x δ-≤时有 0000(,,)(,,),,[,]2
x x y x x y x x a b ε
??-<
∈
取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有
000000000000(,,)(,,)
|(,,)(,,)||(,,)(,,)|2
2
x x y x x y x x y x x y x x y x x y ??????ε
ε
ε
-≤-+-<
+
=
从而得知00(,,)y x x y ?=在V 上连续.
常微分方程试题库
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
一阶常微分方程的奇解
摘要.................................................... 错误!未定义书签。 1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。 2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。 3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。 克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。 5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。 定理１ ............................................. 错误!未定义书签。 定理２ ............................................. 错误!未定义书签。 定理３ ............................................. 错误!未定义书签。 6.小结.................................................. 错误!未定义书签。参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。
常微分方程试题(卷)
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
一阶常微分方程解法总结
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法 摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用 Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples. 关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式 方法一：利用c-判别式求奇解 设一阶微分方程0, ,=?? ? ?? dx dy y x F ① 可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ② 如果()()???==0 ,,0,,' c y x c y x c φφ ③ 是微分方程①的解，且对③式满足：()()02 '2 '≠+y x φφ ④ 则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。 例1：方程() 2 2 2 x x y dy dx dy dx + -= 的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为2 2 2 c cx y x ++= 与4 2 x y = 其中c 为任意常数 当时2 2 2 c cx y x ++= ， ()y c cx x c y x -++= 2 2 2 ,,φ 其相应的c -判别式为 ? ??=+=-++02022x 2 c x y c cx 易得到： ? ??=-=2 2c y c x
代入原微分方程，可知? ??=-=2 2c y c x 不是原微分方程的解； 当4 2 x y = 时，易求出2 ,1''x y x ==φφ，则有()()02 '2 '≠+y x φφ 故4 2 x y = 为原微分方程的奇解 例2：试求微分方程() () y y dy dx 9 42 2 1= -的奇解 解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式： ()()()? ??=--=---020 322c x y y c x 易求出：? ??==0y c x 或 ???==3y c x 当???==0y c x 时，代入原微分方程成立； 所以? ??==0y c x 为原微分方程的解 且有()02'=--=c x x φ；()()93232 '-=---=y y y y φ 满足(Φ‘ x )2 +(Φ‘ y )2≠0 易验证???==3y c x 不是原微分方程的解 故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。 方法二：利用p-判别法求奇解 在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为： ()()?????==0,,0 ,,' p y x F p y x F p ⑤ 消去p 之后得到的函数y=?(x)是微分方程①身为解，
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy +2x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2 e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =2 1y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程 dx dy ＝222y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0
(2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =2 2y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 28――――37
常微分方程试题
常微分方程试题
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：
①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得 到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：0 1、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=0 0y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy 解：由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令?? ???-=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ，代入得到
2012常微分方程试题B及答案
南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装 订 线 装 订 线
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解： 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解： 对应的特征方程为：012 =++λλ， 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分） 凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 （5分）
2018常微分方程考研复试真题及答案
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程 dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？ 7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解 （1） y `＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？ 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy -
14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2+y 2)dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 28――――37
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
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常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^= 二阶常微分方程解 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其 22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。 摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15) 一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解 )(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。 《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2 一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分） 四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）. 常微分方程试题库试 卷库 常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题（30%） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 ７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、 3 ()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=- ３、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt ４、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2 dy x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题（１０％） １、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 １、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=- 摘要 (4) 1.何谓奇解 (5) 2.奇解的产生 (5) 3.包络跟奇解的关系 (6) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7) 4.1 克莱罗微分方程 (11) 5.奇解的基本性质 (14) 5.1 定理１ (14) 5.2 定理２ (16) 5.3 定理３ (16) 6.小结 (17) 参考文献： (17) 一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程) x F=0有一特解 y , , (,y )(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。二阶常微分方程解
一阶常微分方程的奇解
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