高中物理选修3-1磁场知识点及精选习题

一、 磁场 知识要点 1.磁场的产生 ⑴磁极周围有磁场。

⑵电流周围有磁场（奥斯特）。

安培提出分子电流假说（又叫磁性起源假说），认为磁极的磁场和电流的磁场都是由电荷的运动产生的。（不等于说所有磁场都是由运动电荷产生的。）

⑶变化的电场在周围空间产生磁场（麦克斯韦）。 2.磁场的基本性质

磁场对放入其中的磁极和电流有磁场力的作用(对磁极一定有力的作用；对电流只是可能有力的作用，当电流和磁感线平行时不受磁场力作用)。这一点应该跟电场的基本性质相比较。

3.磁感应强度 IL

F B

（条件是匀强磁场中，或ΔL 很小，并且L ⊥B ）。

磁感应强度是矢量。单位是特斯拉，符号为T ，1T=1N/(A ?m)=1kg/(A ?s 2

) 4.磁感线

⑴用来形象地描述磁场中各点的磁场方向和强弱的曲线。磁感线上每一点的切线方向就是该点的磁场方向，也就是在该点小磁针静止时N 极的指向。磁感线的疏密表示磁场的强弱。

⑵磁感线是封闭曲线（和静电场的电场线不同）。⑶要熟记常见的几种磁场的磁感线：

⑷安培定则（右手螺旋定则）：对直导线，四指指磁感线方向；对环行电流，大拇指指中心轴线上的磁感线方向；对长直螺线管大拇指指螺线管内部的磁感线方向。

5.磁通量

如果在磁感应强度为B的匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，其面积为S，则定义B与S的乘积为穿过这个面的磁通量，用Φ表示。Φ是标量，但是有方向（进该面或出该面）。单位为韦伯，符号为W b。1W b=1T?m2=1V?s=1kg?m2/(A?s2)。

可以认为磁通量就是穿过某个面的磁感线条数。

在匀强磁场磁感线垂直于平面的情况下，B=Φ/S，所以磁感应强度又叫磁通密度。在匀强磁场中，当B与S的夹角为α时，有Φ=BS sinα。

地球磁场通电直导线周围磁场通电环行导线周围磁场

二、安培力（磁场对电流的作用力）

知识要点

1.安培力方向的判定 ⑴用左手定则。

⑵用“同性相斥，异性相吸”（只适用于磁铁之间或磁体位于螺线管外部时）。

⑶用“同向电流相吸，反向电流相斥”（反映了磁现象的电本质）。可以把条形磁铁等效为长直螺线管（不要把长直螺线管等效为条形磁铁）。

只要两导线不是互相垂直的，都可以用“同向电流相吸，反向电流相斥”判定相互作用的磁场力的方向；当两导线互相垂直时，用左手定则判定。

2.安培力大小的计算：F =BLI sin α（α为B 、L 间的夹角）高中只要求会计算α=0（不受安培力）和α=90°两种情况。

例题分析

例1：如图所示，可以自由移动的竖直导线中通有向下的电流，不计通电导线的重力，

仅在磁场力作用下，导线将如何移动？

解：先画出导线所在处的磁感线，上下两部分导线所受安培力的方向相反，使导线从左

向右看顺时针转动；同时又受到竖直向上的磁场的作用而向右移动（不要说成先转90°后平移）。分析的关键是画出相关的磁

感线。

例2：条形磁铁放在粗糙水平面上，正中的正上方有一导线，通有图示方向的电

流后，磁铁对水平面的压力将会＿＿(增大、减小还是不变？)。水平面对磁铁的摩擦力大小为＿＿。

解：本题有多种分析方法。⑴画出通电导线中电流的磁场中通过两极的那条磁感线（如图中粗虚线所示），可看出两极受的磁场力的合力竖直向上。磁铁对水平面的压力减小，但不受摩擦力。⑵画出条形磁铁的磁感线中通过通

电导线的那一条（如

图中细虚线所示），可看出导线受到的安培力竖直向下，因此条形磁铁受的反作用力竖直向上。⑶把条形磁铁等效为通电螺线

管，上方的电流是向里的，与通电导线中的电流是同向电流，所以互相吸引。

例3：如图在条形磁铁N 极附近悬挂一个线圈，当线圈中通有逆时针方向的电流时，线圈将向哪个方向偏转？

解：用“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”最简单：条形磁铁的等效螺线管的电流在正面是向下的，与线圈中的电流方向相反，互相排斥，而左边的线圈匝数多所以

线圈向右偏转。（本题如果用“同名磁极相斥，异名磁极相吸”将出现判断错误，因为那只适用于线圈位于磁铁外部的情况。）

例4：电视机显象管的偏转线圈示意图如右，即时电流方向如图所示。该时刻由里向外射出的电子流将向哪个方向偏转？

解：画出偏转线圈内侧的电流，是左半线圈靠电子流的一侧为向里，右半线圈靠电子流的一侧为向外。电子流的等效电流方向是向里的，根据“同向电流互相吸引，反向电流互相排斥”，可判定电子流向左偏转。（本题用其它方法判断也行，但不如这个方法简洁）。

例5：如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽L 。匀强磁场磁感应强度为B 。金属杆长也为L ，质量为m ，水平放在导轨上。当回路总电流为I 1时，金属杆正

好能静止。求：⑴

B

至少多大？这时B 的方向如何？⑵若保持B 的大小不变而将B 的方向改为竖直向上，应把回路总电流I 2调到多大才能使金属杆保持静止？

解：画出金属杆的截面图。由三角形定则可知，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B 也最小。根据左手定则，这时B 应垂直于导轨平面向上，大小满

足：BI 1L =mg sin α， B =mg sin α/I 1L 。

当B 的方向改为竖直向上时，这时安培力的方向变为水平向右，沿导轨方向合力为零，得

BI 2L cos α=mg sin α，I 2=I 1/cos α。（在解这类题时必须画出截面图，只有在截面图上才能正确表示各力的准确方向，从而弄清

各矢量方向间的关系）。 三、洛伦兹力

知识要点

1.洛伦兹力

运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力，它是安培力的微观表现。 计算公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力（安培力）为F 安 =BIL ；其中I=nesv ；设导线中共有N 个自由电子N=nsL ；每个电子受的磁场力为F ，则F

安

=NF 。由以上四式可得F=qvB 。条件是v 与B 垂直。当v 与B 成

θ角时，F=qvB sin θ。

2.洛伦兹力方向的判定

在用左手定则时，四指必须指电流方向（不是速度方向），即正电荷定向移动的

方向；对负电荷，四指应指负电荷定向移动方向的反方向。

3.洛伦兹力大小的计算

带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，由此可以推导出该圆周运动的半径公式和周期公式： Bq

m T Bq

mv r π2,=

=

4.带电粒子在匀强磁场中的偏转

⑴穿过矩形磁场区。一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。偏转角由sin θ=L /R 求出。

侧移由R 2

=L 2

-(R-y )2

解出。经历时间由Bq

m t θ=

得出。

注意，这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电

粒子在匀强电场中的偏转结论不同！

⑵穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

偏角可由

R

r =2t

a n θ求出。经历时间由Bq

m t

θ=

得出。

注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

例题分析

例1：磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射，两极板间有如图方

向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极？两板间最大电压为多少？

解：由左手定则，正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时，达到最大电压：U=Bdv 。当外电路断开时，这也就是电动势E 。当外电路接通时，

极板上的电荷量减

O

小，板间场强减小，洛伦兹力将大于电场力，进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是E=Bdv ，但路端电压将小于Bdv 。

在定性分析时特别需要注意的是：

⑴正负离子速度方向相同时，在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。

⑵外电路接通时，电路中有电流，洛伦兹力大于电场力，两板间电压将小于Bdv ，但电动势不变（和所有电源一样，电动势是电源本身的性质。）

⑶注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。 例2：半导体靠自由电子（带负电）和空穴（相当于带正电）导电，分为p 型和n 型两种。p 型半导体中空穴为多数载流子；n 型半导体中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块半导体材料是p 型还是n 型：将材料放在匀强磁场中，通以图示方向的电

流I ，用电压表比较上下两个表面的电势高低，若上极板电势高，就是p 型半导体；若下极板电势高，就是n 型半导体。试分

析原因。

解：分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向，由于四指指电流方向，都向右，所以洛伦兹力方向都向上，它们都将向上偏转。p 型半导体中空穴多，上极板的电势高；n 型半导体中自由电子多，上极板电势低。

注意：当电流方向相同时，正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同，所以偏转方向相同。

例3：如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁

场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

解：正负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距2r ，由图还看出经历时间相差2T /3。答案为射出点相距Be

mv s

2=，

时

间

差

为

Bq

m t 34π=

?。关键是找圆心、找半径和用对称。

例4：一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P (a ，0)点以速度v ，沿与x 正方向成60°

的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。求

匀强磁场的磁感应强度

B 和射出点的坐标。

解：由射入、射出点的半径可找到圆心O /

，并得出半径为

aq

mv B Bq

mv a r 23,3

2=

==得；射出点坐标为（0，a 3）。

四、带电粒子在混合场中的运动

知识要点

1.速度选择器

正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器。否则将发生偏转。这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平衡得

出：qvB=Eq ，B

E v

=。在本图中，速度方向必须向右。

⑴这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。

⑵若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方

向偏转，电场力做

M

N

x

正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。

2.带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动

⑴带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动。必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力。 ⑵与力学紧密结合的综合题，要认真分析受力情况和运动情况（包括速度和加速度）。必要时加以讨论。

例题分析

例1：某带电粒子从图中速度选择器左端由中点O 以速度v 0向右射去，从右端中心a

下方的b 点以速度v 1射出；若增大磁感应强度B ，该粒子将打到a 点上

方的c 点，且有ac =ab ，则该粒子带___电；第二次射出时的速度为_____。

解：B 增大后向上偏，说明洛伦兹力向上，所以为带正电。由于洛伦兹力总不做功，所以两次都是只有电场力做功，第一次为正功，第二次为负功，但功的绝

对值相同。

2

1

20222

20

20

21

2,2

12

12

121v v v mv

mv

mv

mv

-=∴-

=

-

例2：如图所示，一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速度v 0分别穿越匀强电场区和匀强磁场区， 场区的宽度均为L 偏转角度均为α，求E ∶B

20

tan mv

EqL =

α，在

解：分别利用带电粒子的偏角公式。在电场中偏转：

磁场中偏转：0

sin mv

LBq =α，由以上两式可得α

cos 0v B

E =

。可以证明：当偏转角相同时，侧移必然不同（电场中侧移较大）；当侧移相同时，偏转角必然不同（磁场中偏转角较

大）。

例3：一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带_____，旋转方向为_____。若已知圆半径为r ，电场强度为E 磁感应强度为B ，则线速度为_____。

解：因为必须有电场力与重力平衡，所以必为负电；由左手定则得逆时针转

动

；

再

由

E

Brg v Bq

mv r mg Eq =

=

=得和

例4：质量为m 带电量为q 的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球与杆间的动摩擦因数为μ。匀强电场和匀强磁场的方向如图所示，电场强度为E ，磁感应强度为B 。小球由静止释放后沿杆下滑。设杆足够长，电场和磁场也足够大， 求运动过程中小球的最大加速度和最大速度。

解：不妨假设设小球带正电（带负电时电场力和洛伦兹力都将反向，结论相同）。刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦力作用，向下加速；开始运动后又受到洛伦兹力作用，弹力、摩擦力开始减小；当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为g 。随着v 的增大，洛伦兹力大于电场力，弹力方向变为向右，且不断增大，摩

擦力随着增大，加速度减小，当摩擦力和重力大小相等时，小

球速度达到最大

B

E Bq

mg

v +

=

μ。

若将磁场的方向反向，而其他因素都不变，则开始运动后洛伦兹力向右，弹

m

Eq g a μ-

=；摩擦

力、摩擦力不断增大，加速度减小。所以开始的加速度最大为

v a

力等于重力时速度最大，为B

E Bq

mg

v -

=μ。

例6：（20分）如图所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdef 处于竖直向下磁感应强度为B 0的匀强磁场中。金属杆ab 与金属框架接触良好。此时abed 构成一个边长为l 的正方形，金属杆的电阻为r ，其余部分电阻不计。

⑴若从t =0时刻起，磁场的磁感应强度均匀增加，每秒钟增量为k ，施加一水平拉力保持金属杆静止不动，求金属杆中的感应电流。

⑵在情况⑴中金属杆始终保持不动，当t = t 1秒末时，求水平拉力的大小。

⑶若从t =0时刻起，磁感应强度逐渐减小，当金属杆在框架上以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使回路中不产生感应电流。写出磁感应强度B 与时间t 的函数关系式。

解(1)设瞬时磁感应强度为B ,由题意得 ① （１分）

产生感应电动势为 ② （３分）

根据闭合电路欧姆定律得，产生的感应电流 ③ （３分）

（２）由题意，根据二力平衡，安培力等于水平拉力，即 ④（１分）

⑤ （３分）

由①③⑤得 ，所以 （２分）

（３）回路中电流为０，说明磁感应强度逐渐减小产生的感应电动势Ｅ和金属杆运动产生的感应电动势

相反，即

，则有

（４分）解得（２分）

例7(19分)如图，在x轴上方有磁感强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。x轴下方有磁感强度大小为B/2，方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电量为–q的带电粒子（不计重力），从x轴上O点以速度v0垂直x轴向上射出。求：（1）经多长时间粒子第三次到达x轴。(初位置O点为第一次)（2）粒子第三次到达x轴时离O点的距离。

解：

（1）粒子运动轨迹示意图如右图（2分）

由牛顿第二定律

①（4分）

②（2分）

得T1 = （2分）

T2 = （2分）

粒子第三次到达x轴需时间t = （1分）

（2）由①式可知r1 = （2分）

r2 = （2分）

粒子第三次到达x轴时离O点的距离s = 2r1 2r2 = （2分）

例8、如图所示，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电量大小为q的带电粒子（不计重力），在axy平面里经原点O射入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60°角，试分析计算：

（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？

（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？

解：带电粒子若带负电荷，进入磁场后将向x轴偏转，从A点离开磁场；若带正电荷，进入磁场后将向y轴偏转，从B点离开磁场；如图所示．带电粒子进入磁场后作匀速圆周运动，轨迹半径均为

．圆心位于过O点与v0垂直的同一条直线上，O1O＝O2O＝O1A＝O2B＝R，带

电粒子沿半径为R的圆周运动一周的时间为．

（１）粒子若带负电荷，进入磁场后将向x轴偏转，从A点离开磁场，运动方向发生

的偏角为：

θ1＝2θ＝2×600＝1200。

A点到原点O的距离为：

粒子若带正电荷，进入磁场后将向y轴偏转，在B点离开磁场；运动方向发生的偏角为：

θ2＝2（900－θ）＝2×300＝600。

B 点到原点O 的距离为：

（２）粒子若带负电荷，进入磁场后将向 x 轴偏转，从A 点离开磁场，运动的时间为：

粒子若带正电荷，进入磁场后将向 y 轴偏转，在B 点离开磁场；运动的时间为：

例9、右图是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金

属板运动的径迹。云室旋转在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里。云室中横放的金属

板对粒子的运动起阻碍作用。分析此径迹可知粒子 A. 带正电，由下往上运动 B. 带正电，由上往下运动 C. 带负电，由上往下运动 D. 带负电，由下往上运动 答案： A 。

解析：粒子穿过金属板后，速度变小，由半径公式qB

mv r 可知，半径变小，粒子运动方向为由下向上；又由于洛仑兹力的方

向指向圆心，由左手定则，粒子带正电。选A 。

例10、如图所示，固定位置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d ，其右端接有阻值为R 的电阻，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。一质量为m （质量分布均匀）的导体杆ab 垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为u 。现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F 作用下从静止开始沿导轨运动距离L 时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。设杆接入电路的电阻为r ，导轨电阻不计，重力加速度大小为g 。则此过程

A.杆的速度最大值为

B.流过电阻R 的电量为

C.恒力F 做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量

D.恒力F 做的功与安倍力做的功之和大于杆动能的变化量 答案BD

【解析】当杆达到最大速度v m 时，02

2

=+-

-r

R v d B mg F m μ得()()

2

2

d

B r R

mg F

v m +-=

μ，A 错；由公式

()

()

r

R B d L r R S

B r R

q +=

+=

+=

??Φ

，B 对；在棒从开始到达到最大速度的过程中由动能定理有：K f

F E W W

W ?=++安，

其中mg W

f

μ-=，Q W -=安，恒力F 做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量与回路产生的焦耳热之和，C 错；

恒力F 做的功与安倍力做的功之和等于于杆动能的变化量与克服摩擦力做的功之和，D 对。

例11、如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大

小为E 、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为k 的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m 、带电量为q （q>0）的滑块从距离弹簧上端为s 0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没

有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g 。

（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t 1 （2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为v m ，求滑块从静止释放到速度大小为v m 过程中弹簧的弹力所做的功W ；

（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t 图象。图中横坐标轴上的t 1、t 2及t 3分

别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v 1为滑块在t 1时刻的速度大小，v m 是题中所指的物理量。（本小题不要求写出计算过程．．．．．．．．．．．．） 答案（1）θ

sin 20

1mg qE ms

t +=

; （2）)sin ()sin (2

102k

qE

mg s qE mg mv

W m

++

?+-=

θθ;

(3)

【解析】本题考查的是电场中斜面上的弹簧类问题。涉及到匀变速直线运动、运用动能定理处理变力功问题、最大速度问题和运动过程分析。

（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a ，则有 qE +mg sin θ=ma ① 2

102

1at s =

②

联立①②可得

θ

sin 20

1mg qE ms

t +=

③

（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为0x ，则有

0sin kx qE mg =+θ ④ 从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得 02

1)()sin (20-=++?+m

m mv

W x x qE mg θ ⑤

联立④⑤可得 )sin ()sin (2

102k

qE

mg s qE mg mv

W m

++

?+-=

θθs

（3）如图

例12、图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3

T,在X 轴上距坐标原点L=0.50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104

m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0.50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。 （1）求上述粒子的比荷

q m

；

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的

最小面积，并在图中画出该矩形。

答案（1）

m

q =4.9×7

10

C/kg （或5.0×7

10C/kg ）；（2）s t 6

10

9.7-?= ； （3）2

25.0m S =

【解析】本题考查带电粒子在磁场中的运动。第（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。

（1）设粒子在磁场中的运动半径为r 。如图甲，依题意M 、P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得

2

2L r =

①

由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

r

v

m

qvB 2

= ②

联立①②并代入数据得

m

q =4.9×7

10

C/kg （或5.0×7

10

C/kg ） ③

（2）设所加电场的场强大小为E 。如图乙，当粒子子经过Q 点时，速度沿y 轴正方向，依题意，在此时加入沿x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有

qvB qE = ④ 代入数据得

C N E /70= ⑤

所加电场的长枪方向沿x 轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ 所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T ，所求时间为t ，则有

T t 0

0360

45= ⑥

v

r T π2=

⑦

联立①⑥⑦并代入数据得 s t 6

10

9.7-?= ⑧

（3）如图丙，所求的最小矩形是P P MM

11

，该区域面积

2

2r S = ⑨ 联立①⑨并代入数据得 2

25.0m S = 矩形如图丙中P P MM

11

（虚线）

例13、如图，在x 轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于x y 平面向外。P 是y 轴上距原点为h 的一点，N 0为x 轴上

距原点为a 的

一点。A 是一块平行于x 轴的挡板，与x 轴的距离为，A 的中点在y 轴上，

长度略小于。带点粒子与挡板碰撞前后，x 方向的分速度不变，y 方向的分速度反向、大小不变。质量为m ，电荷量为q （q>0）的粒子从P 点瞄准N 0点

入射，最后又通过P 点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。 26. 【解析】设粒子的入射速度为v,第一次射出磁场的点为'

O

N

,与板碰撞后再次进入磁场的位置为1N .粒子在磁场中运动

的轨道半径为R,有qB

mv R =…⑴,粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离1x 保持不变有

=1x θs i n 2R N

N

O

O

='

…⑵,粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离2x 始终不变,与1N N

O

'

相等.由图可以看出

a x =2……⑶

设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n 次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P 点,由对称性,出射点的x 坐标应为-a,即()a nx

x n 212

1=-+……⑷,由⑶⑷两

式

得

a n n x 1

21++=

……⑸

若粒子与挡板发生碰撞,有4

21a x x >-……⑹联立⑶⑷⑹得n<3………

⑺联立⑴⑵

⑸得

a n n m qB v 1

2sin 2++?

=

θ

………⑻把2

2

sin h

a

h

+=

θ代入⑻中得

0,2

2

=+=

n mh

h

a

qBa v o …………⑼

1,432

2

1=+=

n mh

h

a

qBa

v …………⑾

2,322

2

2=+=

n mh

h

a

qBa v …………⑿

例14、如图所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，在水平的x 轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应为B,方向垂直xOy 平面向里，电场线平行于y 轴。一质量为m 、电荷量为q 的带正电的小球，从y 轴上的A 点水平向右抛出，经x 轴上的M 点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x 轴上的N 点第一次离开电场和磁场，MN 之间的距离为L,小球过M 点时的速度方向与x 轴的方向夹角为θ.不计空气阻力，重力加速度为g,求

(1) 电场强度E 的大小和方向； (2) 小球从A 点抛出时初速度v 0的大小; (3) A 点到x 轴的高度h.

（1）q

mg ，方向竖直向上 （2）

θcot 2m

qBL （3）

g

m L B q 2

2

228

【解析】本题考查平抛运动和带电小球在复合场中的运动。

（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡（恒力不能充当圆周运动的向心力），有

mg qE = ①

q

mg E = ②

重力的方向竖直向下，电场力方向只能向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上。

（2）小球做匀速圆周运动，O ′为圆心，MN 为弦长，θ='∠P O M ，如图所示。设半径为r ，由几何关系知

θsin =r

2L ③

小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力白日提供，设小球做圆周运动的速率为v ，有

r

mv qvB 2

=

由速度的合成与分解知

θcos 0=v

v ⑤

由③④⑤式得

θcot 20m

qBL v =

⑥

（3）设小球到M 点时的竖直分速度为v y ，它与水平分速度的关系为

θtan 0v v y = ⑦ 由匀变速直线运动规律

gh v 22

= ⑧

由⑥⑦⑧式得

g

m L B q h 2

2

228=

⑨

例15、如图18（a ）所示，一个电阻值为R ，匝数为n 的圆形金属线圈与阻值为2R 的电阻R 1连接成闭合回路，线圈的半径为r 1，在线圈中半径为r 2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的关系图线如图18（b ）所示，图线与横、纵轴的截距分别为t 0和B 0导线的电阻不计，求0至t 1时间内 （1）通过电阻R 1上的电流大小和方向；

（2）通过电阻R 1上的电量q 及电阻R 1上产生的热量

解：（1）由法拉第电磁感应定律知 0

2

2

022t r nB t

B t

r

n n E ππ=

==????Φ

由闭合电路欧姆定律知 0

2

2033Rt r nB R

E

I π=

=

，方向由b →a （2）通过电阻R 1上的电量为0

1

2

2031Rt t r nB It q π=

=

电阻R 1上产生的热量为20

1

4

22

02

2

92112

Rt

t r B n t R I Q

π=

=

图18