计算方法-刘师少版课后习题答案
1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数
解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有
31105.06592001.0-*?≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x
即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字.
而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10?50≤00009260=-.. x x
即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字.
这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字
1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.0004 －0.00200 9000 9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x x
m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字
1x =2，相对误差限000025.010********
1)1(1
=??=??=---n r x ε
（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2
5105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x x
m -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字
1x =2，相对误差限3
110221
-??=r ε=0.0025
(3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000?<≤-=-*x x x
m -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字
4
110921-??=r ε＝0.000056
(4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，
2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x x
m -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6
110921-??=r ε＝0.000 00056
由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？ 解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过
31021-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f +=，则32)(x x f -='，由于
159.05.112
)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。
（2）令321)(x x f +=，则32
2)1(3
2)(-+='x x x f ，由于 134.0)5.11(35.12)(32
2<≈+?='x f
迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。
（3）令11)(-=x x f ，则
3
)1(21)(--='x x f ，由于
1)15.1(21)(3
>--='x f
迭代发散。
（4）令1)(3-=x x f ，则21
32)1()(--='x x x f ，由于 11
5.15.11)(32
32
>-=-='x x x f
迭代发散。
具体计算时选第二种迭代格式，
3211k k x x +=+ n=0,1,…
计算结果如下：
4727057.1,481248.1,5.1210===x x x
466243.1,4670480.1,4688173.1543===x x x
4656344.1,4657102.14658768.1876===x x x
4656000.19=x
4656000.1,10219489=?≤--x x x
2.5 对于迭代函数)2()(2-+=x C x x ?，试讨论：
（1） 当C 取何值时，),2,1,0(),(1 ==+k x x k k ?产生的序列{}k x 收敛于2；
（2） C 取何值时收敛速度最快？
解：（1）)2()(2-+=x C x x ?，Cx x 21)(+='?，由已知条件知，当
1221)2(<+='C ?，即
021<<-C 时，迭代收敛。 （2）当0)(='x ?时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即 0221)2(=+='C ?，所以221-=C 时收敛最快。 2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式： (1) c 1不使用除法运算； (2) c 1不使用开方和除法运算. 解：（1）令c x =1，取21)(,1)(x x f c x x f -='-=，则 22211cx x x c x x x -=---= 迭代格式为 212k k k cx x x -=+ 注：若令c x 1=，取1)(,1)(='-=x f c x x f ，则 x c x x x =--=11，显然迭代格式不法不符合题意。 （2） 令c x =21，取322)(,1)(x x f x c x f ='-=，则 x x c x c x x x c x x )223(223212332-=-=--= 迭代格式 k k k x x c x )223(21-=+ 2.10 设23)()(a x x f -=。 （1） 写出解0)(=x f 的Newton 迭代格式。 （2） 证明此迭代格式是线性收敛的。
解：因23)()(a x x f -=，故)(6)(32a x x x f -='，由Newton 迭代公式： ,1,0,)
()
(1='-=+n x f x f x x n n n n
得
,1,0,665)(6)(2322
31=+=---=+n x a
x a x x a x x x n
n n n n n n
以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数,665)(2x a x
x +==?而,365)(3--=='x a
x ?又,3*
a x =则 021
31
65
)(365)(3
33≠=-=-=='-a a a ?
故此迭代格式是线性收敛的。
第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答
（考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组
?????=+-=-=++-6
5577104
62332121321x x x x x x x x
解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去1x ，得
??
?
?
?
?
?
?
??????
??=??????
??????????????????
??--25106175250610100710321x x x 第二步列选主元25
，将第二和第三行交换，再消去2x ，得
??
?
???
?
?
????????=??????????
????
??????????
??-531257
5310052500710321x x x
回代求解得0,1,1123=-==x x x
3.3 用高斯-约当法求逆矩阵 ??????????=431212321A 解：??????????100431010212001321 ??????????100431001321010212 ??????????--15.0035.2005.0125.1005.0015.01 ??????????--05.0125.1015.0035.2005.0015.01 ??????????----6.02.012.000
4.02.002.1102.0604.001
??????????----315100416010112001 则 ??????????----=-3154161121A 3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组 ?????-=-+=+--=-+39673412321321321x x x x x x x x x 解 设系数矩阵A 的杜利特尔分解为A=LU ，即 列选主 消元 列选主 消元 消元
????????????????????=???????
???---332322131211323121111196314112
u u u u u u l l l 将右端两矩阵相乘后比较两端，可得
1,1,2131211-===u u u
3/6,2/411311121====u l u l
53,31132123122122=-=-=--=u l u u l u
2,93222321231-==+l u l u l 得
12,1333323321331=-=++u u u l u l 得
??
??
?
???
??--=???
???????-=1253112,123121U L
再求解方程组LY=b, UX=Y , 即：
?
????==+-=-+?????-=+-=+-=3
32321
32132121112532,323721
y x y x x y x x x
y y y y y y
先由前一个方程组求得18,9,1321==-=y y y ，代入后一个方程组，求得原方程的解为
23
,21,21321=-==x x x
3.7 证明对任意非奇异矩阵A 、B 有
B A B A B A -≤-----1111 证：B A B A ---11
11---=B B A A
11)(---≥B B A A
11)(---=B B A I
11---=A B
11---=B A
等式成立 3.8 证明对任意非奇异矩阵A 有 A A 1
1≥-
证：因为 A A I 1-= 所以 A A A A I ?≤=--11 A A 11≥- 3.9 设A 、B ∈n n R ?为非奇异矩阵，证明 （1） Cond (A )≥1，Cond (A )= Cond (A -1)； （2） Cond (A α)=Cond (A )，0,≠∈ααR ； （3） Cond (AB )≤Cond (A ) Cond (B )。 证：(1) 1)(11==≥?=--I A A A A A Cond )()()(11111-----=?=?=A Cond A A A A A Cond (2) )(1)()()(111A Cond A A A A A A A Cond =?==?=---ααααα (3) )()()()(11111B Cond A Cond B B A A B A B A AB AB AB Cond ?==≤?=----- 3.10 设线性方程组为 ???=+=+7.0751*******x x x x （1） 试求系数矩阵A 的条件数)(A cond ∞； （2） 若右端向量有扰动T b )01.0,01.0(-=δ，试估计解的相对误差。 解：（1）??????--=??????=-75107,751071A A {}1712,17m ax ==∞A {}1712,17m ax 1==∞-A
2891717)(1=?==∞∞-∞A A A Cond
（2）本题是讨论方程组的右端项有扰动δb 时对解的相对误差的估计，
由解向量的精度的估计式：
89.2101.0289)(=?=≤∞∞
∞
∞∞
b b A Cond X X δδ
第四章 解线性方程组的迭代法习题及解答
4.1 用Jacobi 迭代格式解方程组
?????=+--=-+-=--10
52151023210321321321x x x x x x x x x 要求005.0)()1(<-∞+k k x x
解 Jacobi 迭代格式为
???
??++=++=++=+++2
4.02.0
5.11.02.03.01.02.0)(2)(1)
1(3)
(3)(1)1(2)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
取初始迭代向量T x )0,0,0()0(=，迭代结果为：
T x )000.2,5000.1,3000.0()1(=
T x )6600.2,7600.1,8000.0()2(=
……
T x )9938.2,9961.1,9963.0()6(=
T x )9977.2,9986.1,9986.0()7(=
由于 2
)6()7(105.0-∞?<-x x
所以满足要求的解为
T x )9977.2,9986.1,9986.0(≈*
4.2 用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组
???=+=+1
2232121x x x x 要求005.0)()1(<-∞+k k x x 解：建立高斯—塞德尔迭代格式： ???????+-=+-=+++21213231)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x 取初始迭代向量T x )0,0()0(=，迭代结果为： T x )1667.0,6667.0()1(= T x )2222.0,6111.0()2(= T x )2037.0,5925.0()3(= T x )2006.0,5988.0()4(= T x )2000.0,6000.0()5(= 005.0)4()5(<-∞x x 故方程组的近似解为T x )200.0,600.0(=*
4.4 线性方程组b Ax =的系数矩阵为 A ＝??????????-ααα232131 试求能使雅可比迭代法收敛的α的取值范围。 解 当0≠α时，雅可比迭代矩阵 B ＝????????????????-----023201310αααααα
λαααλ
ααα
λ
λ232131-=-B I 0)4(1496622222333=+=--+-+=αλλλαλαλαααλ 得αλλi 2,03,21±==，故α
ρ2)(=B ，由1)(α，即2>α时，1)(
4.6 设线性方程组
???-=+=+324
3121x x x x
αα
试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的α的取值范围。
解 高斯－赛德尔迭代矩阵
??
?
?????????-=+-=--00121)(11ααU L D G s
??
?
?????????--=
????????????--=0012100121αααα
??
?
???-=2200αα
它的特征多项式为
)2(20)d e t (22αλλαλαλλ-=??
?
???-=-s G I
其特征值为2212,0αλλ== 当22
,122<<αα即时，1)(
第五章 插值与曲线拟合习题与解答
5.1 已知函数y =f (x )的观测数据为
x k －2 0 4 5
y k 5 1 －3 1
试构造不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的惟一性，再计算f (－1)的近似值.。
解 （1）建立拉格朗日插值多项式：构造基函数 84)5)(4()52)(42)(02()5)(4()(0---=--------=x x x x x x x l 405-4-2+=5-04-02--05-4-2+=1))()(()
)())((())()(()(x x x x x x x l 245-2+-=5-40-42+45-2+=2)
)(())()(()()()(x x x x x x x l 35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=--+-+=x x x x x x x l 所求三次多项式为 P 3(x )=∑=n k k k x l y 0)( ＝845-4-?5-))((x x x ＋405-4-2+))()((x x x +245-2+?3-))(()(x x x ＋354-2+)()(x x x ＝1+2155-141-42523x x x （2）建立牛顿插值多项式：建立差商表为 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 -2 5 0 1 -2 4 -3 -1 1/6 5 1 4 1 5/42 牛顿插值多项式为 [][][]))()((,,,))((,,)(,)()(21032101021001003x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N ---+--+-+= )4)(2(425)2(61)2(25)(3-+++++-=x x x x x x x N 1215514142523+--=x x x (3) 惟一性验证：将拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式比较它们是完全一样的，这一结论和插值多项式的惟一性一致。 （4）计算f (－1)≈724=1+2155-141-425-
5.6 设4)(x x f =，试利用拉格朗日余项定理给出)(x f 以 -1，0，1，2为节点的三次插值
多项式P (x )。
解 根据拉格朗日余项定理
))()()((!
4)()()(3210)4(x x x x x x x x f x P x f ----=-ξ )2)(1)(1()(4--+=-x x x x x P x
x x x x P 22)(23-+=
5.10 若13)(2+=x x f ，求[]3,2,1f 和[]4,3,2,1f 。
解 []3!2)
(3,2,1=''=ξf f ，[]4,3,2,1f =0
5.13 求满足以下条件的Hermite 插值多项式
i x 0 1
)(i x f
0 1 )(i x f ' 1 2
解 令所求插值多项式为
012
2333)(a x a x a x a x P +++=
122
3323)(a x a x a x P ++='
依所给插值条件有
03)0(0a P ==
13)0(1a P ='=
32103)1(1a a a a P +++==
321332)1(2a a a P ++='=
由此解出
1,1,1,03210=-===a a a a
故有
x x x x P +-=2
33)(
第六章数值积分与微分习题与解答
6.1 用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分dx e x ?-1
0，并估计各种方法的误差（保留5位小数）
解 记a =0, b =1, x e x f -=)(, 则 x x x x x e x f e x f e x f e x f e x f e x f ------=-==-=''=''-=')(,)(,)(,)(,)(,)()6()5()4( ?-=10dx e I x 则梯形公式 [][]6839.0201)()(21010=+-=+-≈?-e e b f a f a b dx e x 其误差为 ()1,0083333.0121121)(12)()(3∈=≤-=''--=-ξξξe f a b f R 辛卜生公式 []6323.04601)(24)(615.0010=++-=??????+??? ??++-≈---?e e e b f b a f a f a b dx e x 其误差为 ()1,000035.028*******)()(2180)()(5)4(4∈=≤--=??? ??---=-ξξξe a b f a b a b f R 柯特斯公式 []6321.09088727.5657516.211572.1527836.792163.24790173212327901432141010==++++=??????++++-≈-----?e e e e e a b dx e x 其误差为 ()1,00000005167.04945249452)(49458)(66)6(7∈=?≤?-=??? ??--=-ξξξe f a b f R 6.2 试确定求积公式)()(d )(31+31-≈?11-f f x x f 的代数精度. [依定义，对x k (k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k 数值] 解 当f (x )取1,x ,x 2,…计算求积公式何时精确成立. (1) 取f (x )=1, 有
左边＝
2=1=??11-11-x x x f d d )(, 右边＝2=1+1=31+3
1-)()(f f (2) 取f (x )=x , 有 左边＝
0=0=??11-11-x x x f d d )(, 右边＝0=31+31-=31+31
-)()(f f (3) 取f (x )=x 2, 有 左边=32
==??11-21
1-x x x x f d d )(, 右边=3
2=31+31-=31+31-22)()()()(f f
(4) 取f (x )=x 3, 有
左边=0==??11-311-x x x x f d d )(, 右边=0=3
1+31-=31+31-3
3)()()()(f f (5) 取f (x )=x 4, 有
左边=52
==??11-41
1-x x x x f d d )(, 右边=9
2=31
+31
-=31
+31
-44)()()()(f f 当k ≤3求积公式精确成立，而x 4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度
6.3 用代数精度定义直接验证辛卜生公式
???
?
???
+??? ??++-≈b a b f b a f a f a b dx x f )(24)(6)(
具有3次代数精度。
解：设f (x)=1, 公式左边 ?-=b a a b dx 1，公式右边 a b a
b -=++-)141(6
f (x)=x, 公式左边 ?-=b a a b x d x 22
2，公式右边 2
) 24(62
2a
b b b
a a a
b -=+++-
f (x)=x 2, 左边 ?-=b a a b dx x 3332，右边 3) )2(4(63
3222a
b b b a a a
b -=+++-
f (x)=x 3, 左边 ?-=b a
a b dx x 44
4
3，右边 4) )2(4(64
4
333a b b b a a a b -=+++- f (x)=x 4, 左边 ?≠-=b a a b dx x 55
544) )2(4(64
44
44a
b b b a a a b
-=+++-
所以辛卜生公式具有3次代数精度
6.4 设有近似公式?-++-≈11)1()0()1()(Cf Bf Af dx x f 试确定求积系数A ,B ,C 使这个公式具有最高的代数精度 解：分别取 )(x f = 1, x , 2x 使求积公式准确成立，即得如下方程组。 ???????=+=+-=++3202C A C A
C B A 解之得，31,34,31===C B A 所以得到求积公式为：)1(31)0(34)1(31)(11f f f dx x f ++-≈?- 此求积公式对于32,,,1)(x x x x f =都准确成立，对于4)(x x f =就不准确了，所以此求积公式具有 3 次代数精度。 6.5 如果用复化梯形公式计算定积分 ?10-x x d e ，要将积分区间[0, 1]多少等份才能使误差不超过 0.5×10－4 ？若用复合辛卜生公式呢？ 解：取x e x f -=)(，则x e x f -='')(，x e x f -=)()4( 又区间长度b-a=1, 对复化梯形公式有余项 422210*********)(12)(--?≤≤??? ??≤''--=n e n f h a b x R n ηη 即421061?≥n ，n ≥40.8，取n=41，即将区间[0,1] 41等份时，用复化梯形公式计算误差不超过0.5×10－4。 用复合辛卜生公式计算时要求 444)4(4102128801128801)(2880)(--?≤≤??? ??≤--=n e n f h a b x R n ηη 即34101441?≥n ，n ≥1.6233，取n=2，即将区间[0,1] 2等份时，用n=2的复化梯形公式计算可使误差不超过0.5×10－4。
6.6. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式
)()()(d )(2+1+0≈21020?f A f A f A x x f 的代数尽可能的高。
解：设求积公式对2,,1)(x x x f =准确成立，则得方程组 ??
?????
=+=+=++3
8
42222121210A A A A A A A 解之得31
,34,31210===A A A
所求的求积公式为：
)2(31)1(34)0(31d )(20f f f x x f ++≈?
将43,)(x x x f =分别代入上式得：
当3)(x x f =时 左端=右端，即
438
34
)2(31
)1(34
)0(314=+=++=f f f
当4)(x x f =时 左端≠右端，即
2020
316
314
)2(31
)1(34
)0(31
532=+=++≠f f f
所以求积公式具有3次代数精度。
77
6.7 若0)(>''x f ，证明用梯形公式计算积分?b
a dx x f )(所得结果比准确值大，并说明这个结果的几
何意义。
证明：由梯形公式的误差
[][]b a f a b b f a f a
b dx x f x R b a ,)(12)()()(2)()(3∈'
'--=+--=?ηη
若0)(>''x f ，则0)(>''ηf ，所以0)(
a dx
x f )(所得的结果比准确值大。 其几何意义如下图所示：当0)(>''x f 时，曲线)(x f y =是下凹的，梯形ab CD 的面积
[])()(2b f a f a b +-大于曲边梯形面积?b a dx x f )(。 C
D y =f(x ) a b
6.8 推导下列三种矩形求积公式： 2))((21)()(d )(a b f a f a b x x f b a -'+-=?η 2))((21)()(d )(a b f b f a b x x f b a -'--=?η 3))((2412)(d )(a b f b a f a b x x f b a -''+??? ??+-=?η 解：（1）将)(x f 在x=a 处Taylor 展开得 []x a a x f a f x f ,))(()()(∈-'+=ξξ 两边在[a,b ]上积分，得： ???-'+=b a b a b a dx a x f dx a f x x x f ))(()(d )(ξ []b a dx a x f a f a b b a ,)()()()(∈-'+-=?ηη 2))((21)()(a b f a f a b -'+-=η ∴[]b a a b f a f a b x x x f b a ,))((21)()(d )(2∈-'+-=?ηη （2）将)(x f 在x=b 处Taylor 展开得 []b x b x f b f x f ,))(()()(∈-'+=ξξ 两边在[a,b ]上积分，得：
计算方法引论课后答案.
第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
数值计算课后答案
习 题 四 解 答 1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。 设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为 1 01 1a b a b e -?+=???+=? 解之得11 1a e b -?=-?=? 则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为 (1)(2) (2)011 ()()()()() (1)! 1()()2!1 ()()()2!1 (0)(1)((0,1))2n r x f x p x f x n f x f x x x x e x x ξξπξπξξ+-=-=+= =--=--∈ 所以 01 0101 ()max max (1) 2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤-=??=。 2选用合适的三次插值多项式来近似计算f 和f 。 解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为 23012323 012323 01232301 23(0.1)(0.1)(0.1)0.9950.30.30.30.995 0.70.70.70.7651.1 1.1 1.10.454 a a a a a a a a a a a a a a a a ?+?-+?-+?-=?+?+?+?=??+?+?+?=??+?+?+?=?
即 012301230123 123012312301230.10.010.0010.9950.10.010.0010.9950.30.090.0270.9950.40.080.02800.70.490.3430.7650.80.480.344 1.761.1 1.21 1.3310.454a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=-+-=??+++=++=??? +++=++=??+++=?12301231232330.40.720.9880.3110.10.010.0010.9950.40.080.02800.320.288 1.760.384 3.831a a a a a a a a a a a a a ??????++=-? -+-=??++=??? +=? ?-=-? 解之得 01 230.416.293.489.98 a a a a =??=-?? =-??=? 则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。 所以 2323 (0.2)0.41 6.290.2 3.480.29.980.20.91 (0.8)0.41 6.290.8 3.480.89.980.8 1.74f f =-?-?+?=-=-?-?+?=- 3、设(0,1,2,,)i x i n =L 是 n+1个互异节点，证明： （1）0()(0,1,2,,)n k k i i i x l x x k n ===∑L ； （2）0 ()()0(0,1,2,,)n k i i i x x l x k n =-==∑L 。 证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为 0()()n n i i i p x l x y ==∑， 而y i =x i k , 所以0 ()()()n n k n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑ 同时，插值余项 (1)(1)11 ()()()()()()0(1)!(1)! n k n k n r x x p x f x x x n n ξξππ++=-= ==++ 所以0 ()n k k i i i l x x x ==∑ 结论得证。 （2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=L 对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =L ，则对应的插值多项式为
数值分析课后答案
1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。 由于 n i i i n n n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1... ......... ...... 1 )(21110 20 0---= ，.1,...,1,0-=n i 故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。又)(x V n 的最高 次幂 n x 的系数为 )(...1...1... ...... .........1),...,,(101 1 21 11 2 2221 02001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -== ∏-≤<≤-----------。 故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V 6、解：（1）设 .)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n 对 )(x f 构造Lagrange 插值多项式， ),()(0 x l x x L j n j k j n ∑== 其 0)()! 1() ()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ， ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j = 故 ),()(x L x f n =即 .,...,1,0,)(0 n k x x l x k j n j k j ==∑= 特别地，当0=k 时， 10) (=∑=n j x j l 。 （2） 0)()1(1) ()1()()(0000=-=??? ? ??-??? ? ??-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j k i i j i i k j n j k i i j k n j j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。 7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得 )()()(1 b f a b a x a f b a b x x P --+--= 因 0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。而 ))()(("2 1 )()(1b x a x f x P x f --= -ξ，b a <<ξ。 故)("max )(8 122)("max )(max 2 2 x f a b a b x f x f b x a b x a b x a ≤≤≤≤≤≤-=??? ??-≤。 14、解：设 ))...()(()(21n n x x x x x x a x f ---=， k x x g =)(，记)() (1 ∏=-=n j j n x x x w ，则 ),()(x w a x f n n =).()(' j n n j x w a x f = 由差商的性质知 [])! 1()(1,..,,1) (' 1 )(')('1 211 11 -== ==-===∑∑∑ n g a x x x g a x w x a x w a x x f x n n n n n j j n k j n n j j n n k j n j j k j ξ， ξ介于n x x ,...,1之间。 当20-≤≤ n k 时，0)()1(=-ξn g ， 当 1-=n k 时，)!1()(1-=-n g n ξ， 故 ???-=-≤≤=-= --=∑1,,20,0)!1()(1) ('1 11 n k a n k n g a x f x n n n n j j k j ξ 16、解：根据差商与微商的关系，有 [] 1! 7! 7!7)(2,...,2,2)7(7 10===ξf f ， [ ] 0! 80 !8)(2,...,2,2)8(8 1 ===ξf f 。 （ 13)(47+++=x x x x f 是7次多项式， 故 ,!7)()7(=x f 0)()8(=x f ）。 25、解：（1） 右边= [][]dx x S x f x S dx x S x f b a b a ??-+-)(")(")("2)(")("2 = [] d x x S x f x S x S x S x f x f b a ?-++-)("2)(")("2)(")(")("2)(" 222 = [] d x x S x f b a ?-)(")(" 22 = [][]dx x S dx x f b a b a 2 2 )(")("??- =左边。 （2）左边= ? -b a dx x S x f x S ))(")(")(("
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
计算方法课后题答案之习题二
习题二 1. 证明方程043 =-+x x 在区间[1，2]内有一个根。如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要 二分多少次。 证明: （1） 不妨令 4)(3-+=x x x f ，求得： 02)1(<-=f 06)2(>=f 又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。 又因为 13)(2'+=x x f 在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。 得证，043 =-+x x 在区间[1，2]内仅有一个根。 （2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成 5 4321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是 5a 位上的 一半，即： 4105.0-?=ε。由公式： ε≤-+1 2 k a b 可得到, 14=k 迭代次数为151=+k 次。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. 用二分法求方程 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。 解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2 >=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2 <-=-=-=f 所以0)2 (sin )(2 =-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又 x cos )('-=x x f 在区间[1.5，2]内 0x cos )('<-=x x f 所以 0)2 (sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。符合二分条件，可以用二分法，二分的 次数为：
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2） 习题二（6） 习题三（15） 习题四（29） 习题五（37） 习题六（62） 习题七（70） 2009．9，9
习题一 1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： (())(())'()()()() f x x f x f x x f x f x δδ?= ≈得 （1）()f x = 11 ()()*2%1% 22x x δδδ≈ ===； （2）4 ()f x x =时 44 4 ()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈ === 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。 （1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。 解：由教材9P 关于1212.m n x a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效 数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352） 哪个较精确？ 解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈2 1 ((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ?+?+ =2 (0.3443100.1352)fl ?+ =0.3457210? （2）31.97+（2.456+0.1352） 2 1 (0.319710(0.245610))fl fl ≈?+? = 21 (0.3197100.259110)fl ?+? =0.34562 10? 易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122 10?，故（2）的计算结果较精确。 4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？
数值计算课后答案
习 题 三 解 答 1、用高斯消元法解下列方程组。 （1）1231231 22314254 27x x x x x x x x -+=?? ++=??+=?①②③ 解：?4②＋(-)①2，1 2 ?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 1232323231425313222 x x x x x x x ? ?-+=? -=???-=?④⑤⑥ 再由5 2)4 ?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组： 1232332314272184x x x x x x ? ?-+=? -=???-= ? 回代，得： 36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为 (9,1,6)T x =-- 注意： ①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。 ②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。 要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。 矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。 一般形式或分量形式： 1231231 22314254 27x x x x x x x x -+=?? ++=??+=?①②③ 矩阵形式 123213142541207x x x -?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
向量形式 123213142541207x x x -???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。 ④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 ⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。 （2）1231231231132323110 221x x x x x x x x x --=?? -++=??++=-? ①②③ 解：?23②＋( )①11，1 11 ?③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ? --=?? ? -=? ? ? +=-??④⑤⑥ 再由25 11)5211 ?⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组： 123233113235235691111111932235252x x x x x x ? ?--=? ? -=?? ? =-?? 回代，得： 32122310641 ,,193193193 x x x =- ==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193T x =- 2、将矩阵 1020011120110011A ?? ? ?= ?- ???
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
数值分析简明教程课后习题答案
比较详细的数值分析课后习题答案
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]的近似根，要求误差不超过 10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]有唯一个实根；使用二 分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根.
由二分法的误差估计式21 1*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71， 718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171 .205 .0||222=<-= x x e r ε；
计算方法习题答案
计算方法第3版习题答案 习题1解答 1.1 解：直接根据定义得 *411()102x δ-≤?*411()102r x δ-≤?*3*12211 ()10,()1026 r x x δδ--≤?≤?*2*5331()10,()102r x x δδ--≤?≤ 1.2 解：取4位有效数字 1.3解：433 5124124124 ()()() 101010() 1.810257.563 r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=?++? 123()r a a a δ≤ 123132231123 ()()() a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016= 1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故** * ***(()) (())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x x δδδ-= ≈== 1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=± 2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++ ***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤， 1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈= 现100,()1x S δ=≤，从而得() 1 ()0.00522100 S x x δδ≈ ≤ =? 1.7 解：因S ld =，故 S d l ?=?，S l d ?=?，*****()()()()()S S S l d l d δδδ??≈+?? * 2 ()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+?=, *** ** * () () 0.0744 ()0.55%13.4784 r S S S l d S δδδ= = = ≈ 1.8 解：（1）4.472 （2）4.47 1.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减 (3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357 sin ..3!5!7! x x x x x -=-+-， （2） 1 (1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N =N N +-N N +N +-? 1 (1)1ln ln N +=N +N +-N 1.11 解：0.00548。 1.12解：21 16 27 3102 ()()() -? 1.13解：0.000021
计算方法练习题与答案
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( ) 4.用 2 1 2 x - 近似表示cos x产生舍入误差。( )
5. 3.14和 3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算 ()()2334912111y x x x =+ -+ ---的乘除法次数尽量少，应将该 表达式改写为 ； 2. * x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则是 。 三、选择题 1．* x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在 时间t 内的实际距离，则s t - s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题
计算方法-刘师少版课后习题答案
1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 31105.06592001.0-*?≤=- x x . 即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字. 而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 4-1*10?50≤00009260=-.. x x 即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字 1x =2，相对误差限000025.010******** 1)1(1 =??=??=---n r x ε （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-2 5105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x x m -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字 1x =2，相对误差限3 110221 -??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4， 0105.049.09000?<≤-=-*x x x m -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字 4 110921-??=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4， 2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x x m -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6 110921-??=r ε＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？ 解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过 31021-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f +=，则32)(x x f -='，由于
第3章 MATLAB数值计算-习题 答案
roots([1 -1 -1]) x=linspace(0,2*pi,10); y=sin(x); xi=linspace(0,2*pi,100); y1=interp1(x,y,xi); y2=interp1(x,y,xi,'spline'); y3=interp1(x,y,xi,'cublic'); plot(x,y,'o',xi,y1,xi,y2,xi,y3) x=[0 300 600 1000 1500 2000]; y=[0.9689 0.9322 0.8969 0.8519 0.7989 0.7491]; xi=linspace(0,2000,20); yi=1.0332*exp(-(xi+500)/7756); y1=interp1(x,y,xi,'spline'); subplot(2,1,1);plot(x,y,'o',xi,yi,xi,y1,'*') p=polyfit(x,y,2); y2=polyval(p,xi); subplot(2,1,2);plot(x,y,'o',xi,yi,xi,y2,'*') x=[0 300 600 1000 1500 2000]; y=[0.9689 0.9322 0.8969 0.8519 0.7989 0.7491]; xi=linspace(0,2000,20); y1=interp1(x,y,xi,'spline'); subplot(2,1,1);plot(x,y,'-o', xi,y1,'-*') p=polyfit(x,y,2); y2=polyval(p,xi); subplot(2,1,2);plot(x,y,'-o',xi,y2,'-*')
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）
则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字
数值计算方法试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=????????????。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )；