高三数学第二轮《数形结合》公开课教(学)案
华侨中学高三数学（理科）第二轮复习专题：数形结合思想教学地点：一中集美分校高三（4）班
授课教师：华侨中学王磊 2016.03.24
【思想方法概述】
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值围等．对这类容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．
以形助数(数题形解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，
把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解
决数学问题的数学思想．
数形结合思想通过“以
形助数，以数辅形”，使
复杂问题简单化，抽象问
题具体化，能够变抽象思
维为形象思维，有助于把
握数学问题的本质，它是
数学的规律性与灵活性
的有机结合．[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学_科_网]
以数辅形(形题数解)[来源:][来
源:https://www.360docs.net/doc/332890327.html,][来源:Z*xx*https://www.360docs.net/doc/332890327.html,][来源:][来源:https://www.360docs.net/doc/332890327.html,]借助于数的精确性和规性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．[来源:https://www.360docs.net/doc/332890327.html,]
以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．
（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．
（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点
（1）集合的运算及Venn 图； （2）函数及其图象；
（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；
（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； （6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．
4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；
（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；
（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．
【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若,x y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥??
-≤??+-≤?
，则y x 的最大值
为 .
【变式】设点P (,)x y 为圆221x y +=上的动点.
(1) 求22(2)(1)x y +++的取值围 （2）求x y -的取值围； (3)求1
2
y x ++的取值围
【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y ＝kx ＋b 中k 表示直线的斜率，b 表示直线在y 轴上的截距．
(2)b －n a －m
表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)连线的斜率． (3)（a －m ）2
＋（b －n ）2
表示坐标平面上两点(a ，b)，(m ，n)之间的距离．
只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．
【例题2】已知0 1.a <<则方程|||log |x a a x =的实根个数为
【变式】已知关于x 的方程m x x =+-542
有四个不相等的实根，则实数m 的取
值围为
【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。
【例题3】（2015课标全国Ⅰ理10）已知抛物线C ：x y 82
=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若4=，则=QF （ ） A. 27 B. 3 C. 2
5
D. 2
【规律与总结】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线；4、数形结合
【变式】已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2
＝1上一个动点，那么点
P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小值是( )
A ．5
B ．8 C.17－1 D.5＋2
【课时练习】
1.设函数?????-=-2112)(x
x f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值围是（ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）
（C ）（∞-，2-）?（0，∞+） （D ）（∞-，1-）?（1，∞+）
2.设命题甲：03< A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 3．函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A ．a >0，b <0，c >0，d >0 B ．a >0，b <0，c <0，d >0 C ．a <0，b <0，c <0，d >0 D ．a >0，b >0，c >0，d <0 4.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2} 5.【2015高考，理6】若变量x ，y 满足约束条件?? ? ??≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为 （ ） A ． 531 B. 6 C. 5 23 D. 4 6. 【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A 5．2 C 32 7.(2016届高三·四校联考)已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2 ＋2x ，则满足 f (f (a ))＝12 的实数a 的个数为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 8.当x ∈(1，2)时，(x －1)2 ＜log a x 恒成立，则a 的取值围为________． 9．已知x ，y 满足条件x 2 16＋y 2 25＝1，求y －3x 的最大值与最小值． 10. 函数2222613y x x x x =-+-+___________.