专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)

专题14 运用函数的图像研零点问题

一、题型选讲

题型一： 运用函数图像判断函数零点个数

可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上

题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数

复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层(

)f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数

题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题

三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进

而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原

题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题

求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围

例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝?

??

??－x 3＋3x 2＋t ，

x ＜0，x ，x ≥0，

t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x )

－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．

2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________.

3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-

，，

若函数()2()g x f x ax =-恰有2

个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．

4、(2017苏北四市期末）已知函数f (x )＝?????

sin x ，x ＜1，

x 3

－9x 2

＋25x ＋a ，

x ≥1，

)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同

的公共点，则实数a 的取值集合为________．

．

专题14 运用函数的图像研零点问题

一、题型选讲

题型一： 运用函数图像判断函数零点个数

可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上

??

?<≤-<≤-=4

3,43

2,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5

)(-=的零点的个数为 【答案】 5

【解析】因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，

根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．

例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝?????

1

2x

－1，x ＜1，ln x

x 2

，x ≥1，

)则函数y ＝|f (x )|－1

8

的零点个数为________．

【答案】 4

【解析】设g (x )＝ln x

x 2，则由g ′(x )＝x －ln x ·2x x 4＝1－2ln x x 3＝0，可得x ＝e ，所以g (x )在(1，e)上单调递增，

在(e ，＋∞)上单调递减，当x →＋∞时，g (x )→0，故g (x )在(1，＋∞)上的最大值为g (e)＝12e ＞1

8.在同一平

面直角坐标系中画出y ＝|f (x )|与y ＝1

8

的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．

易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x 轴．

题型二 运用函数图像研究复合函数零点个数

复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数

例3、(2017南通期末） 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝

???

1－|2x －3|，1≤x <2，12f ? ?

?

??12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．

【答案】11 【解析】

解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝?????

2x －2，1≤x ≤3

2

，4－2x ， 3

2

n －1,2n

)(n ∈N *

)，则x

2

n －1∈[1,2)，

又f (x )＝12n －1f ? ??

??

12n －1x ，

①当x 2n －1∈??????1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2

]，所以f (x )＝12n －1f ? ????12n －1x ＝12n －1? ????2·12n －1x －2，所以2xf (x )

－3＝2x ·12n －1? ????2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2

.由于x

∈[2

n －1,

3·2

n －2

]，所以x ＝3·2

n －2

；

②当x 2n －1∈? ????32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n

)，所以f (x )＝12n －1f ? ????12n －1x ＝12n －1? ????4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3

＝2x ·12n －1? ????4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n

)，

所以无解．

综上所述，x ＝3·2n －2

.由x ＝3·2

n －2

∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)

上零点的个数是11.

解法2 由题意得当x ∈[2n －1,2n

)时，因为f (x )＝12n －1·f ? ????12n －1x ，所以f (x )max ＝f ? ????32·2n －1＝1

2

n －1.令g (x )

＝

32x .当x ＝32·2n －1时，g (x )＝g ? ????32·2n －1＝12

n －1，所以当x ∈[2n －1,2n

)时，x ＝32·2n －1为y ＝2xf (x )－3的一个零点．

下面证明：当x ∈[2n －1,2n

)时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．

当x ∈[2

n －1,

3·2

n －2

]时，y ＝f (x )单调递增，y ＝g (x )单调递减，f (3·2

n －2

)＝g (3·2

n －2

)，所以x ∈[2

n －

1,

3·2

n －2

]时，有一零点x ＝3·2n －2

；当x ∈(3·2

n －2,2n

)时，y ＝f (x )＝12

n －1

－12n －1? ??

??x 2n －2－3，k 1＝f ′(x )＝－122n －3

，

g (x )＝3

2x ，k 2＝g ′(x )＝－3

2x 2∈? ?

???

－1

3·2

2n －3，－322n ＋1，所以k 1

n －2)＝g (3·2n －2

)，所以当x ∈[2

n －1,2n

)时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．由x ＝3·2

n －2

∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－

3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

解法3 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝32x 的图像，如图，交点在x 1＝32，x 2＝3，x 3＝6，…，x n ＝3·2

n －2

处取得．由x ＝3·2n －2

∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是

11.

题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题

三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。

例4、(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝?????x ＋2x ＋1，x ≤0，

|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只

有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．

【答案】 ????

??

1e 3∪(－e ，－1)

【解析】 思路分析 作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，考察两函数图像的公共点，两函数图像的公共点的个数等价于方程f(x)＝kx ＋2解的个数．

作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k ≥0时，直线应与曲线y ＝f(x)(x>1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2

x 0

，解得

x 0＝e 3，此时k ＝1

e 3，当k<0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1相切于点(0，2)时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2

的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1

1，此时k ＝－e 不符合

题意，当k<－e 时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当－e

意，所以实数k 的取值范围是????

??

1e 3∪(－e ，－1)．

解后反思 方程解的个数的判断，常转化为函数图像公共点个数的判断，在转化的过程中，一般将它转化为一个确定的函数与一个不确定的函数，这样，只需要研究不确定的函数的图像的变化情况就可以得到问题的解．转化时有时也会做一些“技术”上的处理，比如本题可以知方程f(x)＝kx ＋2一定有一个零解，在x ≠0时，可以转化为直线y ＝k 与曲线y ＝

f （x ）－2

x

有三个公共点来处理，这样做的好处是在画出两图像后很容易得到k 的取值范围，但曲线画起来难度增加了．

例5、(2019宿迁期末） 已知函数f(x)＝????

?x －1，1≤x<2，2f ????12x ，x ≥2， 如果函数g(x)＝f(x)－k(x －3)恰有2个不

同的零点，那么实数k 的取值范围是________. 【答案】 (－1，0)∪????

1629，813

【解析】思路分析 函数g(x)＝f(x)－k(x －3)恰有2个不同的零点，表示函数y ＝f(x)，y ＝k(x －3)的图像有2个交点，所以关键是画出函数y ＝f(x)的图像，将函数y ＝f(x)在区间[1，2)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍，就得到了y ＝f(x)在区间[2，4)上的图像，将函数y ＝f(x)在区间[2，4)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍，就得到了y ＝f(x)在区间[4，8)上的图像，依次类推，然后考察两函数图像有两个交点时直线的斜率．

函数g(x)＝f(x)－k(x －3)恰有2个不同的零点，表示函数y ＝f(x)，y ＝k(x －3)的图像有2个交点．画出y ＝f(x)和y ＝k(x －3)的图像，可以看出．当k>0时，当且仅当点(16，8)在直线y ＝k(x －3)的上方且点(32，

16)在直线y ＝k(x －3)的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出1629≤k<8

13；当k<0时，当且仅当

点(2，1)在直线y ＝k(x －3)的上方时，两图像有两个公共点，可求出－1

1629，813.

题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题

求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围

例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝?

??

??－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ，x ≥0，

t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x )

－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________． 【答案】[－4，0)

【解析】思路分析 本题是“复合函数零点”问题，常见思路是借助函数图像，由求外函数零点切入，进而再分析内函数零点个数．当x<0时，有f′(x)＝－3x 2＋6x ＝3x(2－x)，故函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在区间(－∞，0)上至多一个零点，进而分类讨论即可．

当x<0时，有f′(x)＝－3x 2＋6x ＝3x(2－x)，故函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，此时f(0)＝t.当t ≥0时，令f(x)＝0得，x ＝0，从而当g(x)＝f(f(x)－1)＝0时，f(x)＝1，借助图像1知，此时至多两个零点，不符合题意；当t<0时，令f(x)＝0得，x ＝0，或x ＝m(m<0)，且－m 3＋3m 2＋t ＝0，从而当g(x)＝f(f(x)－1)＝0时，f(x)－1＝0或f(x)－1＝m ，即f(x)＝1或f(x)＝1＋m ，借助图像2知，欲使得函数g(x)恰有4个不同的零点，则m ＋1≥0，从而－1≤m<0，又因为t(m)＝m 3－3m 2，而t′(m)＝3m 2－6m>0，故t(m)在区间[－1，0)上单调递增，从而t ∈[－4，0)．

,图1)

,图2)

二、达标训练

1、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)＝????

?x （3－x ），0≤x ≤3，－3

x ＋1，x>3，若函数y ＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 ???

?1，9

4 【解析】 先画出x ≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图像．令y ＝0得f(x)＝m.令y ＝f(x)，y ＝m ，由图像可得要有四个不同的零点，则m ∈???

?1，9

4.

易错警示 本题在作图时，易出现没有画出y ＝1－3

x 的渐近线的错误，从而导致交点个数判断错误．

2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 【答案】 {2}

【解析】思路分析 首先判断f (x )是偶函数，而偶函数有唯一零点时，零点只能是x ＝0.

f (x )是偶函数，若f (x )有唯一零点，故f (0)＝0，由f (0)＝0，得m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2－2cos x ＋2＝x 2＋4sin 2x

2，有唯一零点x ＝0；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋4cos x －4.因为f (2)＝

4cos2＜0，f (π)＝π2－8＞0，所以在(2，π)内也有零点，不合题意．

解后反思 因为f (0)＝0只是偶函数f (x )有唯一零点的必要条件，所以检验是必须的．说明不充分常用举反例的方法．

3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-

≥，

，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2

个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

【答案】3(2)2

-，

【思路分析】遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.

解析：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根，亦即方程（Ⅰ）

20x a

x ax ≥??

-=?和（Ⅱ）3260

x a x x ax

（1）若0x =是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足0a ≥，即0a ≤，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一个根，即3

260

x a x x ax <≤??

--=?有唯一根，因为0x ≠，由3260x x ax --=，得226x a =+必须有满足0

x a <≤的唯一根，首先60a +>

，其次解得的负根需满足0a <≤，从而解得3

02

a -<≤， （2）若0x =不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足0a <，即0a >，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相等

的根，即30

260a x a x x ax ?>?

有两个不相等的根，由3260x x ax --=，得0x a =<适合，另外226x a

=+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根，首先60a +>

，解得的正根需满足

a ≥，从而解得02a <≤，但前面已经指出2a ≠，故02a <<，

4、(2017苏北四市期末）已知函数f (x )＝?????

sin x ，x ＜1，

x 3

－9x 2

＋25x ＋a ，

x ≥1，

)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同

的公共点，则实数a 的取值集合为________． 【答案】 {－20，－16}

【解析】当x ＜1时，f(x)＝sin x ，联立?

????

y ＝sin x ，

y ＝x ，得x －sin x ＝0，令u(x)＝x －sin x(x ＜1)，则u ′(x)＝1－

cos x ≥0，所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数，且u(0)＝0，所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x ＝0，这表明当x ＜1时，函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点，从而当x ≥1时，函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时，f(x)＝x 3

－9x 2＋25x ＋a ，联立?

????

y ＝x 3－9x 2＋25x ＋a ，

y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x ，令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1)，则h ′(x)

＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．

令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4，列表如下：

实数a ＝－20或a ＝－16.综上所述，实数a 的取值集合为{－20，－16}．

解后反思 本题中函数f(x)由三角函数和高次函数组成分段函数，对于考生而言是不熟悉的，再研究其与函数y ＝x 交点个数问题，考生比较擅长的与x 轴平行的直线消失，所以考生对于本题无从下手，此时突破问题瓶颈的关键就是如何将陌生化为熟悉，转化与化归的数学思想就显得特别重要．注意到当x ＜1时，函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有一个交点，只需求当x ≥1时，函数f(x)的图像与直线y ＝x 有且只有两个交点，此时实现了第一次转化；当x ≥1时，易得a ＝－x 3＋9x 2－24x ，即研究函数h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1)与y ＝a 有且只有两个交点的问题，此时与x 轴平行的直线出现，实现了第二次转化，这时再求解就非常容易了．

5、（2016南京、盐城一模）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x

＋m

2x ，设g (x )＝???

f (x )， x >1，f (－x )， x ≤1，

若

函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________． 【答案】 [－32，3

2

]

【解析】思路分析 注意到函数f (x )为奇函数，所以可以求出m 的值，进而将函数y ＝g (x )－t 的零点问题转化为函数y ＝g (x )与y ＝t 的图像的交点的个数问题来加以解决．

因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－

x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－

x )，解得m ＝－1，故g (x )＝

???

2x －2－x

， x >1，2－x －2x

， x ≤1，

作出函数g (x )的图像(如图所示)．当x >1时，g (x )单调递增，此时g (x )>3

2；当x ≤1时，g (x )单调递减，此时g (x )≥－32，所以当t ∈[－32，3

2

]时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点．

解后反思 应用数形结合的方法研究函数的零点是一种常用的方法，在用此法时，一般地，会将函数的

零点转化为两个函数的图像的交点来加以研究，这两个函数中，一个函数为定函数，另一个函数为动函数，这样，可有效地降低解题的难度．

6、（2016苏州期末）已知函数f (x )＝|sin x |－kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x 0，则x 0(1＋x 20)sin2x 0＝________.

【答案】 12

【解析】思路分析 转化为定曲线y ＝|sin x |(x ≥0)与动直线y ＝kx 的位置关系问题．

由y ＝|sin x |(x ≥0)和y ＝kx 的图像可知，当曲线与直线恰有三个公共点时，直线y ＝kx 与曲线y ＝－sin x (x ∈[π，2π])相切，设切点横坐标为x 0，斜率为－cos x 0.

由???

－sin x 0＝kx 0，－cos x 0＝k ，

得tan x 0＝x 0. 因为sin2x 0＝2sin x 0cos x 0cos 2x 0＋sin 2x 0＝2tan x 01＋tan 2x 0＝2x 01＋x 20，所以x 0(1＋x 20)sin2x 0＝1

2

.

解后反思 “函数零点个数”通常转化为“定曲线与动直线的公共点个数”来解决．

7、(2015苏州期末） 已知函数f (x )＝?

???

?

4， x ≥m ，x 2＋4x －3， x

实数m 的取值范围是________．

【答案】(1,2]

【解析】解法1 问题转化为g (x )＝0，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，即????? x ≥m ，4＝2x 或?

???

?

x

得????? x ≥m ，x ＝2或????? x

x

x ＝－3.因为方程f (x )＝2x 有三个不同的解，所以??

???

2≥m ，

1

解得1

解法2 由题意知函数g (x )＝?

????

4－2x ， x ≥m ，x 2＋2x －3， x

函数g (x )的三个零点为－3，1,2，因此可判断m 在1与2之间．当m ＝1时，图像不含点(1,0)，不合题意；

当m ＝2时，图像包含点(2,0)，符合题意．所以1

(,2)2

-.

8、(2019扬州期末）已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，

则实数a 的值为________． 【答案】 116或－1－33

2

【解析】 思路分析1 函数f(x)有且仅有三个零点，通常转化为方程f(x)＝0有三相异实根，再转化为两个新函数的图像有三个不同的交点，这两个新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点，所以构造的是函数y ＝4

x ＋3与y ＝|x ＋a|－a ＝

?

??

??x ，x ≥－a ，－x －2a ，x<－a

的图像有且仅有三个不同的交点，再通过分类讨论的思想方法和三个零点构成等差

数列建立关于a 的方程，从而求得a 的值．

思路分析2 注意所研究的函数为分段函数f(x)＝?????x ＋4

x

＋3＋2a ，x<－a ，

－x ＋4

x

＋3，x ≥－a ，

因此，分别来研究每

一段中的零点的个数，由于函数分为两段，因此，只有两种可能，一段为两个零点，另一段为一个零点．另外，注意到当x ≥－a 时，函数为f(x)＝－x ＋4

x

＋3不含参数，可以直接求解，因此需对这两个零点是否在

解法1 由f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|＝0，得4

x

＋3＝|x ＋a|－a ，原函数有三个零点，即可转化为函数y

＝4

x ＋3与y ＝|x ＋a|－a ＝?????x ，x ≥－a ，－x －2a ，

x<－a 图像有且仅有三个不同的交点，设三个交点的横坐标为x 1，x 2，x 3，且x 1

(1)a>0.如图1所示．

,图1)

由?????y ＝4x ＋3，y ＝x ，

解得x 2＝－1，x 3＝4.

又三个零点构成等差数列，则x 2＝x 1＋x 32，得x 1＝－6，则有4－6＋3＝－(－6)－2a ，解得a ＝11

6符合题

意．

(2)a<0.如图2所示．

,图2)

由?????y ＝4x ＋3，y ＝x ，解得x 3＝4，由x 2＝x 1＋x 32

，得x 1－2x 2＝－4；再由?????y ＝4x ＋3，y ＝－x －2a ，消去y ，得x 2

＋(2a ＋3)x

＋4＝0 (*)．

由根据与系数的关系得?

????x 1＋x 2＝－（2a ＋3），x 1x 2＝4，且x 1－2x 2＝－4，

解得?????x 1

＝－4a －10

3，x 2

＝1－2a

3，

即（－4a －10）（1－2a ）9＝4，化简得4a 2

＋8a －23＝0，综上(1)(2)可得a 的值

为

116或－1－3

2

3. 解得a ＝－2±332，检验方程(*)Δ(2a ＋3)2－16＝4a 2＋12a －7>0，但a<0，则a ＝－2－332满足题意．

解法2 因为f(x)＝?????x ＋4

x

＋3＋2a ，x<－a ，－x ＋4

x

＋3，x ≥－a ，

所以由f(x)＝－x ＋4

x

＋3＝0得x ＝－1或4.

(1)若－1≥－a ，即a ≥1时，由于函数有三个零点，且成等差数列，所以，另一个零点x 0<－1，故－2＝4＋x 0，从而x 0＝－6，故－6＋4－6＋3＋2a ＝0，解得a ＝11

6

，满足条件；

(2)若－1<－a ，即a<1时，设函数f(x)＝x ＋4

x ＋3＋2a(x<－a)的两个零点为x 1，x 2(x 1

是方程x 2

＋(2a ＋3)x ＋4＝0 (*)的两个实数根，从而x 1＋x 2＝－2a －3，x 1x 2＝4，又由于三个零点成等差数列，所以2x 2＝x 1＋4，消去x 1，x 2得4a 2

＋8a －23＝0，解得a ＝－2±332，检验方程(*)Δ>0，而a<1，则a

＝

－2－33

2

满足题意． 综上，实数a 的值为116或－2－33

2

.

9、(2018南通、泰州一调） 已知函数f(x)＝?

??

??x 2－2ax －a ＋1，

x ≥0，ln （－x ），x<0，

g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝

f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________．

【答案】 ????

??a|5－1

21

【解析】思路分析 换元g(x)＝t ，f(t)＝0，由g(x)＝x 2＋1－2a ＝t 得x 2＝t －(1－2a)，因为函数有四个零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t 1，t 2，且t 1>1－2a ，t 2>1－2a ，因为方程f(t)＝0的一个解为t ＝－1，故按照1－2a 与－1的大小关系，分三种情况讨论得出a 的取值范围．

设g(x)＝t ，因为函数y ＝f(g(x))有四个不同的零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t 1，t 2，且由g(x)＝x 2＋1－2a ＝t ，得x 2＝t －(1－2a)，故t 1>1－2a ，t 2>1－2a.

当t<0时，由ln (－t)＝0得t ＝－1.

若1－2a ＝－1，则a ＝1，易得函数f(g(x))有五个不同的零点，舍去．

若1－2a<－1，则a>1，所以f(0)<0，所以方程f(t)＝0有且仅有一个正根，符合题意． 若1－2a>－1，则a<1，所以方程f(t)＝0必有两个正根，且t 1>1－2a ，t 2>1－2a. 因为t>0时，f(t)＝t 2－2at －a ＋1， 所以a>0，Δ＝4a 2－4(－a ＋1)>0，f(0)>0， f(1－2a)＝(1－2a)2－2a(1－2a)－a ＋1>0， 解得

5－1

2

5－121，即{a|5－1

2

1}． 解后反思 本题考查复合函数的零点问题，处理f(g(x))＝0解的个数问题，往往通过换元令t ＝g(x)，f(t)＝0，研究t 的解的个数，再讨论每一个解对应的g(x)＝t 的解x 的个数，常用数形结合的方法来处理．