沪教版高中数学第11章坐标平面上的直线(1)

沪教版高中数学第11章坐标平面上的直线（1）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,?7)的圆交于y轴于M、N两点，则|MN|=()

A. 2√6

B. 8

C. 4√6

D. 10

2.函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)

个不同的数x1，x2，…，x n，使得f(x1)

x1=f(x2)

=?=f(x n)

x n

，则n

的取值范围是()

A. {3,4}

B. {2,3，4}

C. {3,4，5}

D. {2,3}

3.函数y=f(x)的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数

x1,x2,.....,x n，使得f(x1)

x1=f(x2)

=......=f(x n)

x n

，则n的取值范围为()

A. {3,4}

B. {2,3，4}

C. {3,4，5}

D. {2,3}

4.过点(?1,2)且与直线2x?3y+4=0垂直的直线方程为()

A. 3x+2y?1=0

B. 3x+2y+7=0

C. 2x?3y+5=0

D. 2x?3y+8=0

5.直线x+y+1=0关于点(1,2)对称的直线方程为()

A. x+y?7=0

B. x?y+7=0

C. x+y+6=0

D. x?y?6=0

6.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x?y+3=0的距离为1，则a等于()

A. √2

B. 2?√2

C. √2+1

D. √2?1

7.若AC<0，BC<0，则直线Ax+By+C=0不通过()

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

8.已知点A(?1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，

则b的取值范围是()

A. (0,1)

B. (1?√2

2,1

) C. (1?√2

] D. [1

)

9. 设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx ?y ?m +3=0交于点P(x,y)，

则|PA|+|PB|的取值范围是( )

A. [√5,2√5]

B. [√10,2√5]

C. [√10,4√5]

D. [2√5,4√5]

10. 在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，

经BC ，CA 反射后又回到点P(如图).若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )

A. 2

B. 1

C. 8

D. 4

11. 已知

的顶点A(1,2)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为x +2y ?1=0，

的平分

线BH 所在直线方程为y =x ，则直线BC 的方程为( )

A. 2x ?3y ?1=0

B. 2x +3y ?1=0

C. 3x ?2y ?1=0

D. 3x ?2y +1=0

12. 正方形ABCD 的边长为3，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE =BF =1，动点P 从点E 出

发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到点E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )

A. 8

B. 6

C. 4

D. 3

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知直线l 1：{x =1?2t,

y =2+kt

(t 为参数)，l 2：{x =s,y =1?2s (s 为参数)，若l 1//l 2，则k =______；若l 1⊥l 2，则k =________．

14. 设λ∈R ，动直线l 1：λx ?y +λ=0过定点A ，动直线l 2：x +λy ?3?2λ=0过定点B ，若P

为l 1与l 2的交点，则|PA|·|PB|的最大值为_______．

15. 已知圆O:x 2+y 2=1和点A(?2,0)，若定点B(b,0)(b ≠?2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，

都有|MB |=λ|MA |，则λ?b =_____

(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条16.设定点A(a,a)，P是函数y=1

件的实数a的所有值为 ________

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.已知三条直线l1：(m+2)x?y+m=0，l2：x+y?2=0；l3：y=0相交于同一点，求实数

m的值．

18.在2x+y?8=0上求一点P，使它到两直线l1：√3x?3y?3=0，l2：√3x?y?1=0的距

离相等．

19.如图，圆x2+y2=8内有一点P(?1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的

弦．

当α=135°时，求线段AB长度；

设过点P的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．

20.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点y2=2px(p>0)记η=(ax1+by1+

c)(ax2+by2+c)若η<0，则称点P1,P2被直线l分隔.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C

上存在点P1,P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．

(1)求证：点A(1,2)，B(?1,0)被直线x+y?1=0分隔；

(2)若直线y=kx是曲线x2?4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；

(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证

明y轴为曲线E的分割线．

21.已知点P(2,?1)，求：

(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程；

(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：

本题考查了圆的方程，属于基础题．

设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令x =0，即可得出结论．解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则{1+9+D +3E +F =0

16+4+4D +2E +F =01+49+D ?7E +F =0， ∴D =?2，E =4，F =?20， ∴x 2+y 2?2x +4y ?20=0，令x =0，可得y 2+4y ?20=0， ∴y =?2±2√6， ∴|MN|=4√6．故选C ．

2.答案：B

解析：

本题考查的知识点是函数图象的应用，属于中档题．由

f(x)x

表示(x,f(x))点与原点连线的斜率，结合函数y =f(x)的图象，数形结合分析可得答案．

解：作直线y =kx ，与y =f(x)可以得出2，3，4个交点，故k =

f(x)x

(x >0)可分别有2，3，4个解．

故n 的取值范围为{2,3，4}．故选：B ．

解析：

本题考查的知识点是函数零点与方程根的关系，n的值为函数f(x)与y=kx图象的交点个数，结合函数y=f(x)的图象，数形结合分析可得答案．

解：令f(x1)

x1=f(x2)

=......=f(x n)

x n

=k，

则n的值为函数y=f(x)与y=kx图象的交点个数，

作直线y=kx，当k值变化时，y=f(x)与y=kx，可以得出2，3，4个交点，

故k=f(x)

可分别有2，3，4个解．

故n的取值范围为{2,3，4}．

故选：B．

4.答案：A

解析：

本题考查了两条直线垂直的判定，与直线2x?3y+4=0垂直的直线方程可设为3x+2y+c=0，将点(?1,2)代入即可得出结果．

解：与直线2x?3y+4=0垂直的直线方程可设为3x+2y+c=0，

将点(?1,2)代入得3×(?1)+2×2+c=0，得c=?1，

所以与直线2x?3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y?1=0，

故选A．

5.答案：A

解析：

本题考查求一个点关于另一个点的对称点的方法，考查直线的方程，属于基础题．

解：在所求直线上取点(x,y)，关于点(1,2)对称的点的坐标为(2?x,4?y)，

代入直线x+y+1=0，

可得2?x+4?y+1=0，

即x+y?7=0，

故选A．

解析：解：∵点(a,2)(a >0)到直线l ：x ?y +3=0的距离为1， ∴

√2

=1，

化为a +1=±√2， ∵a >0， ∴a =√2?1，故选：D ．

利用点到直线的距离公式即可得出．

本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．

7.答案：C

解析：将直线化为斜截式方程为y =?A

B x ?C

B ，又A

C <0，BC <0，∴AB >0，故?A

B <0，?C

B >0，故直线通过一、二、四象限，故选

C ．

8.答案：B

解析：

本题考查了直线方程的综合应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

根据题意可得，△ABC 面积为1，分若点M 和点A 重合、若点M 在点O 和点A 之间则点N 在点B 和点C 之间和若点M 在点A 的左侧，三种情况，进行讨论，即可得出结果．解：根据题意可得，△ABC 面积为1，

因为直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(?b

a ,0)，由?b

a ≤0可得点M 在射线OA 上，设直线和BC 的交点为N ，则由{

y =ax +b

x +y =1, 可得点N 的坐标为(1?b a+1,a+b

a+1)，

(1)若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，则?b

a =?1且a+b

a+1=12，

解得a =b =1

3；

(2)若点M 在点O 和点A 之间则点N 在点B 和点C 之间，根据题意可得三角形NMB 的面积等于1

2，即1

2·MB ·y N =1

2，即1

2·(1+b

a )·a+b

a+1=12，计算得出a =

b 21?2b

>0，故b <1

2；

(3)若点M 在点A 的左侧，则?b

b >a ，设直线y =ax +b 和AC 的交点为P ，则{y =ax +b

y =x +1，

求得点P 的坐标为(1?b a?1,a?b

a?1)，

此时，NP =√(1?b

a+1?1?b

a?1)2+(a+b

a?1?a?b

a?1)2 =√4(1+a 2)(1?b)2

(a+1)2(a?1)2=2|1?b|

|(a+1)(a?1)|√1+a 2，

此时，点C(0,1)到直线y =ax +b 的距离等于√1+a 2，根据题意可得，△CPN 的面积等于1

2，即1

2·2|1?b|

|(a+1)(a?1)|√1+a 2√1+a 2

，

化简得√2(1?b)=√1?a 2<1，则b >1?√2

，

综上所述，b 的取值范围是(1?√22

)．

故选B ．

9.答案：B

解析：

本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属于中档题．

可得两动直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角换元后，由三角函数的知识可得．

解：由题意可知，动直线x +my =0经过定点A(0,0)，

动直线mx ?y ?m +3=0即m(x ?1)?y +3=0，经过点定点B(1,3)，

当m =0时，显然两直线垂直；当m ≠0时，

∵动直线x +my =0和动直线mx ?y ?m +3=0的斜率之积为?1，所以两直线始终垂直， P 又是两条直线的交点，∴PA ⊥PB ，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP =θ，则|PA|=√10sinθ，|PB|=√10cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0,π

∴|PA|+|PB|=√10(sinθ+cosθ)=2√5sin(θ+π

4)，

∵θ∈[0,π

2]，∴θ+π

∈[π4

3π

]，

∴sin(θ+π

4)∈[√

2,1]，

∴2√5sin(θ+π

)∈[√10,2√5]，

即|PA|+|PB|的取值范围是[√10,2√5]，故选B ．

10.答案：D

解析：

本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标，和P 关于y 轴的对称点P 2的坐标，由P 1，Q ，R ，P 2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值．解：建立如图所示的坐标系：

可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC 的方程为x +y =4， △ABC 的重心为(

0+0+43

0+4+03

)，即(43,4

)，设P(a,0)，其中0

则点P 关于直线

BC 的对称点P 1(x,y)，满足{a+x

解得{x =4y =4?a ，即P 1(4,4?a)，易得P 关于y 轴的对称点P 2(?a,0)，