高三数学练习题

N

P M A 18中2020学年高三年级数学试卷

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为

A ．1

B ．1-

C ．i

D ．i - 2．设集合{}|21A x x =-≤≤，{}

2

2|log (23)B x y x x ==--，则A B =I

A ．[2,1)-

B ．(1,1]-

C ．[2,1)--

D ．[1,1)-

3．已知1sin 3θ=

，(,)2

π

θπ∈，则tan θ= A ．2- B ．2-

C ．2-

D ．2

4．执行如图所示的程序框图，输出的n 为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．设变量,x y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥??

-+≥??--≤?

， 则32z x y =-的最大值为

A ．2-

B ．2

C ．3

D ．4 6．已知m ,n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“||?=?m n m n ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A.

23 B. 43 C.2 D. 83

8．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2

x

y =的图像经过

A ．向右平移3

π

个单位长度得到 B ．向右平移23π个单位长度得到

C ．向左平移3

π

个单位长度得到 D ．向左平移23π个单位长度得到

9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在

前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种

10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?满足2,90AB ACB =∠=o ，PA 为球O 的直径且4PA =，则点P 到底面ABC 的距离为

A 2

B ．22

C 3

D ．3

11. 已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足||2AB =，点C 为直线l 上一点，

且满足52

CB CA =uu r uu r ，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ?u u u r u u u u r

的值为

A ．3

B ．3 C. 2 D ．3-

12．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>> 的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上第二象

限内一点，若直线b

y x a

=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为

A 2

B 3

C 5

D 6 二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.

13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，L ，63，依编号顺序平均分成8组，组 号依次为1，2，3，L ，8. 现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机 抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 . 14．二项式5

2()x x

-的展开式中3x 的系数为 .

15．已知ABC ?的面积为3,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，3

A π

=，则a 的最小值

为 . 16．已知函数2

ln(1),0,

()=3,0

x x f x x x x +>??

-+≤?，若不等式|()|20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范 围为 ．

三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17:21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．(12分) 已知数列{}n a 的前n 项和1

22n n S +=-，记(*)n n n b a S n N =∈.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=o ，BAC ∠60CAD =∠=o ，PA ⊥

平面ABCD ，2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点.

（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；

（2）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.

19.微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人）

（1

列联表，并据此

判断能否有90%的把握认为“评定类型”

（2）如果从小明这40X 人，求X 的分布列及数学期望()E X ．

附：

20．(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，短轴长为2.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若5

4

OM ON k k

?=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.

21．(12分)

设函数2()ln 2(,)f x x mx n m n =--∈R . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有最大值ln 2-，求m n +的最小值.

22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为2cos 22sin x y α

α?=??=+??（为参数），直线的方程

为y x =

，以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线和直线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于,P Q 两点，求||||OP OQ ?的值.

23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 设函数()|23|f x x =-.

（1）求不等式()5|2|f x x >-+的解集；

（2）若()()()g x f x m f x m =++-的最小值为4，求实数m 的值.

PK 22?()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++xOy 1C α2C O x 1C 2C 2C 1C

理科数学参考答案及评分标准

二、填空题:13．45 14. 10- 15. 16. [3--

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.

17.【解析】（1）∵122n n S +=-， ∴当1n =时，11

11222a S +==-=；

当2n ≥时，1

12

22n n n

n n n a S S +-=-=-=，

又∵1122a ==， ∴2n

n a =. ………………6分 （2）由（1）知，1

242n n n n n b a S +==?-，

∴123231

1232(4444)(222)n n n n T b b b b +=++++=++++-+++

L L L

124(14)4(12)24

242141233

n n

n n ++--=?

-=?-+--. ………………12分

18.【解析】（1∴2

2

40(131278) 2.5 2.70620202119

K ??-?=

≈

（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性

6人，女性2人， 现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布， X 的所有可能取值为0，1，2，

363820(0)56C P X C ===， 12263830(1)56C C P X C ===， 12623

186

(2)56

C C P X C ===， …………9分 ∴X 的分布列如下：

∴203063()012.5656564

E X =?

+?+?= 19.【解析】（1）证明：∵,M N 分别为,PD AD 的中点， ………………12分 则MN ∥PA .又∵MN ?平面PAB ，PA ?平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .

在Rt ACD ?中，60,CAD CN AN ∠==o

，

∴60ACN ∠=o

.

又∵60BAC

∠=o

， ∴CN ∥AB .

∵CN ?平面PAB ，AB ?平面PAB ，∴CN ∥平面PAB . ………………4分 又∵CN MN N =I ， ∴平面CMN ∥平面PAB . ………………

6分 （2

）∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ACD ，

又∵DC AC ⊥，平面PAC I 平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC

，

如图，以点A

为原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系， ∴

(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,A C P D ，

N ，∴(

2)CN

PN =-=-u u u r u u u r

，

设(,,)x y z =n 是平面PCN 的法向量，则0

CN PN ??=???=??u r u u u r

n n ，

即020

x x z ?-+=??+-=??

，可取=n ， 又平面PAC 的法向量为(0,CD =u u u r

，

∴cos ,|||CD CD CD ?===

u u u r

u u u r u u u r n n n |， 由图可知，二面角N PC A --的平面角为锐角，

∴二面角N PC A --的平面角的余弦值为7

. …………12分

20.【解析】（1）设焦距为2c ，由已知c e a =

=，22b =，∴1b =，2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=. ………………4分 （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214

y kx m x y =+???+=??得222

(41)8440k x kmx m +++-=，

依题意，222

(8)4(41)(44)0km k m ?=-+->，化简得2241m k <+，① 2121222844

,4141

km m x x x x k k -+=-=++， ………………6分

2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，

若5

4

OM ON k k ?=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =，

∴2

2

12121244()45k x x km x x m x x +++

=，∴22

222

4(1)8(45)4()404141

m km

k km m k k --?+?-+=++， 即222222

(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=，化简得2254

m k +=，②………………9分

由①②得22615

0,5204

m k ≤<<≤， ………………10分

∵原点O 到直线l 的距离d =，

∴22

22225941114(1)k m d k k k -===-++++， 又∵215204

k <≤，

∴28

07

d ≤<

， ∴原点O 到直线l

的距离的取值范围是[0,7. ………………12分 21.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2

114()4mx f x mx x x

-'=-=，

当0m ≤时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；

当0m >时，解()0f x '>

得0x <<，

∴()f x

在(0,

2m

上单调递增，在)2m

+∞上单调递减. ………………6分 （2）由（1）知，当0m >时，()f x

在

上单调递增，在)+∞上单调递减.

∴max 111()2ln 2ln ln 2422

f x f m n m n m ==?-=----=-， ∴11ln 22n m =--， ∴11

ln 22

m n m m +=--，

令11()ln 22h m m m =--，则121

()122m h m m m -'=-=

， ∴()h m 在1(0,)2上单调递减，在1

(,)2+∞上单调递增，

∴min 11()()ln 222h m h ==， ∴m n +的最小值为1

ln 22

. ……………………12分

22.【解析】（1）曲线

的普通方程为22

((2)4x y +-=，

即22

430x y y +--+=，

则

的极坐标方程为2

cos 4sin 30ρθρθ--+=， …………………3分

∵直线

的方程为y x =

， ∴直线的极坐标方程()6

R π

θρ=

∈. …………………5分

（2）设1122(,),(,)P Q ρθρθ， 将()6

R π

θρ=

∈

代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=得，2530ρρ-+=，

∴123ρρ?=， ∴12|||| 3.OP OQ ρρ?== …………………10分

23.【解析】（1）∵()5|2|f x x >-+可化为|23||2|5x x -++>，

∴当3

2x ≥

时，原不等式化为(23)(2)5x x -++>，解得2x >，∴2x >； 当3

22

x -<<时，原不等式化为(32)(2)5x x -++>，解得0x <，∴20x -<<；

当2x ≤-时，原不等式化为(32)(2)5x x --+>，解得4

3

x <-，∴2x ≤-.

综上，不等式()5|2|f x x >-+的解集为(,0)(2,)-∞+∞U . …………………5分 （2）∵()|23|f x x =-，

∴()()()|223||223|g x f x m f x m x m x m =++-=+-+--

|(223)(223)||4|x m x m m ≥+----=，

∴依题设有4||4m =，解得1m =±. …………………10分

1C 1C 2C 2C