Surfer的数学表达式功能
Surfer的数学表达式功能
译自Surfer11的帮助文档程贤辅
数学函数功能
Surfer中的数学函数功能，在场景窗口中通过“网格｜函数①”、“网格｜数学②”、“网格｜数据③”以及“网格｜变异图④”等命令来修改数据；而在数据表窗口中，则通过“数据｜转换⑤”命令来修改数据。
数据类型
程序中内涵的表达式计算器支持32位有符号整数、双精度浮点数、一位布尔值、0至256个字符的文本字符串，以及日期时间标记值。
变量名
变量名必须是开始于一列的列号（如：A），或者是行号（如：_1），或者是单元格位置（如：A2），其次是随后的其他字母和数字或者下划线（_）组成，每个变量名称最大为256个字符。
变量名是大小写不敏感的。例如，sum(a..z)，sum(A..z)，和sum(A..Z)，都是指的同一个变量。
优先权
数学表达式可以由常量、变量（如列的字母），或者函数（将在下面列出）组成。计算公式遵循标准的优先级规则。表达式中的空格，只是为了表示清楚起见而被使用。
表达式中计算器将运算符按以下顺序确定优先级：
1.!, NOT, ~
2.*, /, %
3.+, -
4.<<, >>
5.<, >, <=, >=
6.==,!=,<>
7.&
8.^, XOR
9.|
10.&&, AND
11.||, OR
12.?:
13.I F
当方程中的运算符相同时，则从左至右确定它们的优先级。使用圆括号可以重置优先级，括号中的表达式优先运行。
下面是表达式中所支持的内置函数。
三角函数
所有的三角函数都是以弧度为计算单位。如果数据是度，请使用D2R(x)将度数据转换成弧度（参
●行列区间的统计函数的操作方向，在列为区间进行统计时以行为操作方向，而以行为区间进
行统计时以列为操作方向。
●行列区间的统计函数并不对单元格操作。方程式B1=avg(A1..A6)返回仅仅是第一行的平均
值，而不是指定单元格的平均值。
●例如，SUM(A..Z)是分别为每一行计算从A、B、C、…到Z这26列的总和。
●更换“A..Z”为任何例如W..AC或者_4.._612这样有效的行列区间表述，但它们必须恰好
为两个行或列标签之间。标签可以以相反的顺序表示，例如SUM(Z..A)。
字符串比较函数是比较字符串，而非数值。任何行或列如果包含数值则返回空白。比较是基于标准的ASCII表：
1.数字值(正如上所述，在字符串比较中将忽视)
2.单元格中以空格字符开始
3.常用的标点符号
4.数字文本(数字作为文本输入)
5.不常见的标点符号
6.大写的字母
7.甚不常见的标点符号
8.小写的字母
9.罕见的标点符号
10.空白单元格(在字符串比较中忽略)
这是ASCII表的顺序。读取的顺序是从左到右，从上到下。
左上角出现的字符小于右下角出现的字符
字符串比较的举例：
下面的示例显示了比较行1和行2的两个字符串，并将结果保存在行4。如果行1小于行2，则STRCMP函数返回1；如果行1大于行2，则返回-1；如果两行的字符串相等，则返回0。(帮助中的原图有错误，因此改成我的截图——译者)
该表达式比较行1和2中的字符串，并将结果存入4行。
此表显示了在ASCII表中的字符串比较的结果。
包含数字或者空白的单元格，比较时被忽略。
布尔表达式
布尔表达式包括：
●逻辑运算符（and，or，xor，not）,
●比较运算符（=，<>，<，>，<=，>=），
●IF函数–IF(条件表达式，真值，假值)
这里的AND，OR，XOR，NOT，以及IF都是保留关键字，不得用作变量名。
举例说明：
以下是在Surfer中使用的数学函数的语法。在“网格｜函数”以及“网格｜数学”命令中使用X、Y还有Z作为变量。如果在工作表中你使用“数据｜变换”命令，请用列字母(A)、行编号(不要
附录：
①网格函数对话框
“网格｜函数”命令允许你从一个具有用户自定义两个变量的形如Z=f(X,Y)的方程式，来创建一个网格文件。所生成的网格的密度是网格极小值、极大值以及Ｘ和Ｙ增量的函数。“网格｜函数”命令可以使用任何数学函数。使用函数创建的网格，和用“网格｜数据”命令所创建的网格一样，可以用相同的方式绘制出来。
网格函数对话框
单击“网格｜函数”菜单命令，或者单击按钮，用以打开网格函数对话框。
在“网格函数”对话框中设置该数学函数中
X、Y的最小值、最大值，及其增量。
输入函数
在函数编辑框中输入你需要的类似如Z=f(X,Y)形式的函数。该函数重复计算每一个Z值并将其写入到网格文件中。在输出网格中的网格节点数目，也是要执行的计算的次数，是根据指定的最小值、最大值还有递增的增量决定的。
要使用以前使用过的函数，可以按一下当前函数旁边的按钮。将会显示最近十次所使用过的函数。这些函数是储存在注册表中的，它们是在你与Surfer会话之时保存的。你也可以在函数编辑框中键入新的函数。如果所需函数是历史上保存的十个函数之一，那么输入功能将自动完成。
极小值X和极小值Y
在最小值X和Y的编辑框中，确定了所指定函数的起始值。该网格的第一个节点，由框中的数值来定义和由它们计算的。在网格文件中，这些值还指定了最低的X和Y值的限制。
极大值X和极大值Y
在X和Y的最大值编辑框中，指定了应用在函数中的上限值，也就是该网格最大的X和Y的限制数值。
增量X和Y
在增量框中，指定了在X和Y方向上每条网格线的间隔步长数值。相当于“网格｜数据”对话框中的网格间距设置。
输出网格文件
在输出网格文件这部分，单击该按钮，指定要创建的网格文件的路径和文件名。
单击“确定”按钮，您所指定的网格文件在该函数及参数的基础上被创建完成。
②网格数学对话框
“网格｜数学”命令将创建一个新的网格文件，它将一个网格文件的单一的Z值进行数学转换或者将多个网格文件的Z值结合在一起。输出的网格文件是基于f(A,B,C,D)这样的数学函数形式，其中，A、B、C、D表示输入的网格文件。定义的函数从输入的网格文件具有相同行和列的坐标上相应的节点上来执行，并且将计算结果保存在输出的网格文件的相同的坐标的节点上。例如，函数log10(A)将输出创建一个网格文件，它将以网格A的每个网格节点的以10为底的对数值所组成。
在默认的情况下，如果一个节点在任何的输入网格中被白化，那么在输出的网格中该节点也会是白化的。但是，你可以改变该白化处置方式，使得网格的每个白化节点都分配一个值。这样的话，当输入网格中包含一个白化节点时，输出文件将会有一个非白化的值。
网格数学对话框
单击“网格｜数学”命令，或单击按钮，打开网格数学对话框。
指定网格文件以及在网格数学对话框中定义一个数学函数
输入网格
输入网格列显示选定的网格文件。X和Y的限制以及这些网格文件的大小决定了输出网格文件的大小和限制。将鼠标移到网格文件的任何一行，将浮显该网格文件的完整路径和文件名。
变量名
默认情况下，Surfer为每一个网格定义一个单字母的变量名。第一个网格命名为A，第二个网格命名为B，以此类推。要为一个网格更改变量名称，请在变量名编辑框中单击当前的变量名，删除现有的文本，然后键入新的名称。变量名称是不区分大小写的，因此“Blanking”和“blanking”是一样的。变量名必须以下划线( _ )或者字母开始，并且只能包含下划线和字母数字字符。
白化处置方式
该白化处置方式选项允许你指定网格的任何白化节点上将要使用的值。如果在网格中找到一个白化节点，那么在输出的网格的同样的节点位置上也将白化。如果该白化处置方式改为“重新映射到：”，那末输入网格中的白化节点的值将变成“重新映射值”列中指定的值。要改变白化处置方式选项，请在现有的选项上单击，并从列表中选择所需要的选项。
重新映射值
当白化处置方式设置为“重新映射到：”时，该“重新映射值”框变得可以使用(非灰色)。高亮当前的值并且键入新的值，以便改变白化值。在输入网格的每一个白化节点，由于这一设置而变为新的白化值。每一个网格文件，允许包含不同的重映射值。
添加网格
单击“添加网格”按钮，显示“打开网格”对话框。如果执行的是单一的网格上的操作，那就选择一个网格文件。如果要在多个网格上执行操作，可以使用Ctrl和Shift键选择多个网格文件。你可以一次选择任意数量的网格文件。当所有的网格被选中，单击“打开”按钮，网格文件名都将显示在“输入的网格”列表中。
所有选定的网格必须包含相同数量的网格行和列，并且具有相同的X和Y的覆盖范围。
删除网格
要从输入网格列表中删除一个网格，可以在该网格上单击一次选中它。然后单击“移除网格”按钮，该选中的网格就从列表中删除了。
网格信息
单击“网格信息”按钮，将显示该网格的行数、列数，以及X、Y、Z的极大值、极小值等等该网格的统计数据。如果该网格文件比较大，可以在消息框中点击“确认”按钮，从而创建一个详细的表格信息报表，或者点击“取消”按钮，以便创建一个比较短小但也够详细的网格报表。
输入一个形如f(A,B,…)的函数
在一个输入的形如f(A,B,…)的函数中，A,B,…是上面列表中的变量。编辑框中输入的函数代表了输出的网格文件。这些变量名就是表达式中使用的变量。默认情况下，变量名是A、B、C、D等，这是指的输入的网格文件。要是仅在网格文件A上执行计算，你可以放弃任何引用在其他网格文件上的指定功能。
要使用以前使用过的函数，可以按一下当前函数框旁边的按钮，就会显示最近以来十次使用的函数列表。这些函数是储存在注册表中的，它们是在你与Surfer会话之时保存的。你也可以在函数编辑框中键入新的函数。如果所需函数是历史上保存的十个函数之一，那么输入功能将自动完成。
输出网格文件
在“输出网格文件”这部分，单击该按钮以指定一个不同的路径和文件名来保存要创建的网格文件。这时“另存为”对话框将出现。键入网格文件名，然后单击“保存”。网格文件将显示在输出网格文件编辑框中。按一下按钮，可以查看输出网格文件的统计信息。
要使用“网格｜数学”命令
1.单击“网格｜数学”命令，或单击按钮。
2.在网格数学对话框中，单击“添加网格”按钮。选择任意数量的网格文件并单击“打开”。
所有网格必须包含相同数量的网格行和列，并且X和Y的范围要相同。
3.在“输出网格文件”这部分，单击该按钮以指定一个不同的路径和文件名来保存要创建
的网格文件。
4.在一个输入的形如f(A,B,…)的函数中，A,B,…是上面列表中的变量。编辑框中输入的函数代
表了输出的网格文件，这里A、B是指的输入的网格文件。
5.单击“确认”按钮创建一个新的网格文件。
网格数学及.GSR2文件
随着采用“网格｜数学”命令调入.GRD文件的时候，一个携带坐标系统信息的.GSR2文件被定义，用于输出.GRD文件的是首先输入的.GRD文件的信息。
③网格数据对话框
网格文件在Surfer中创建基于网格的图形是必须的，包括等值线图、影像图、地貌图、矢量图、流域图、三维曲面以及三维线框图。数据文件中的数据通常是随意分布的，而这些数据在被Surfer 的许多特定功能使用前必须被转换成一个均匀分布的网格。网格文件通常是用“网格｜数据”命令来产生。数据和网格数据的更多信息，请参阅教程(指帮助中的教程，已被本人翻译——译者)。
创建一个网格文件时，你通常可以接受默认的网格参数，用于生成代表你的数据的网格文件。在大多数情况下，推荐的网格化算法是线形的变异函数克里金插值算法。这是选定的默认网格化算法，因为对于大多数XYZ数据集，它都能提供最良好的插值效果。
在产生网格文件时，你可以设置一些网格化参数。请参考网格化算法的具体参数的详细信息。所有的网格化算法都需要至少三个不共线的数据点。某些算法可能需要更多的数据点。例如，高阶多项式拟合需要三个以上的数据点；必须有尽可能多的具有自由度的数据。单击“网格｜数据”命令，选择在网格化过程中要使用的数据文件。
网格数据对话框
单击“网格｜数据”命令或者按钮，显示打开数据对话框。选择一个数据文件，单击“打开”。“网格数据”对话框被显示出来。
网格数据对话框中网格化选项的设置
数据列
需要单独指定X数据、Y数据、Z数据所在的列。Surfer默认列A为X值，列B为Y值，列C 为Z值，然而，你的数据可以在任意三列。单击下拉箭头，为每个变量选择合适的列。如果数据文件是从“打开数据”对话框中的网格信息组中选择，那么数据列组合中的指定的XYZ列(如果已指定的话)将替换相应的数据列。
筛选数据
你可以在网格化之前根据一个预定义的过滤器来过滤数据，或者通过点击“过滤数据…”按钮根据用户自定义的计算公式来过滤数据。
查看数据
如果你不能确定哪一列包含你的XYZ数据，请单击“查看数据”按钮，查看该文件在工作表中的数据文件格式。如果你收到一个“没有足够数据”(三个或更多的XYZ三元的组合)的错误，也请使用“查看数据”功能以确保所有三列数据都是右对齐。如果其中一列是左对齐，可以确定它是文本数据而不是数值数据。你可以使用数据视图以确定相应列中的XYZ数据值。
统计
点击“统计”按钮，显示在选定的X、Y、Z列基础上的数据统计资料。
网格报告
选中该对话框旁边的“网格报告”复选框，将创建一个网格报告，包括生成网格的所有被使用的网格化参数。该报告还包含了统计资料。你可以在网格节点编辑器中点击“选项｜网格信息”命令，
或者在场景窗口中点击“网格｜网格信息”命令，来访问网格化报告中的数据统计部分。
网格化算法及其高级选项
Surfer具有多个不同的网格化算法。这些网格化算法定义了在生成网格文件时对XYZ数据进行插值的方式。在“网格化算法”中可以选择一种网格化算法和网格选项(“高级选项”按钮)。有关该选项的更多信息，请参阅“网格化算法”。
交叉验证
单击“交叉验证”按钮，你的数据将进行交叉验证。交叉验证是对你的数据集网格化的参数进行评估的一种客观检验方法。
输出网格文件
在输出文件的组合框中，选择路径和文件名。你可以键入一个路径和文件名，或者按一下按钮，浏览到一个新的路径，然后在“网格另存为”对话框中输入一个文件名。
网格线几何特征
网格线几何特征定义了网格的限制和网格密度。网格线的几何特征也控制着网格节点以外的数据是否会自动消隐(白化)。
X和Y的最小和最大坐标(网格限制)
网格限制是一个网格的X和Y的坐标决定的。Surfer从XYZ数据文件中计算出X和Y的最小和最大值。使用这些值作为默认的最小和最大的网格坐标。(这样的默认值，很多情况下生成的网格文件范围偏小，做出来的等值线图某些位置不能覆盖，出现空白。建议使用图形的“底边轴”的最小最大值作为X的最小最大值，“左边轴”的最小最大值作为Y的最小最大值——译者) 网格限制定义了从创建的网格文件生成的等值线图、影像图、阴影地貌图、矢量图、三维线框和三维曲面图中的X和Y的范围大小。在创建一个网格文件时，你可以为你要使用的图形设置X和Y的网格限制范围。一旦网格文件被创建，你不能产生一个基于这个网格的图形的范围大于网格文件的限制。如果你发现你需要更大的网格限制范围，你必须重新网格化这些数据。如果可能，可以读取网格文件的一个子集，以产生一个小于该网格文件范围的图形。
间距和节点数(网格密度)
网格密度是根据网格的行和列的数量决定的，而且也是对网格中节点数的一种衡量。在X方向上的节点数决定于网格的列数，而在Y方向上的节点数决定于网格的行数。在默认情况下，在某个方向(X方向或者Y方向)上先确定有100个、或许包括更大范围(更大数量的数据单元)的网格节点被预先分配。在另一个方向上的网格节点的数目的计算，应该是使网格的节点在两个方向上的间距尽可能地彼此接近。
一旦确定了的网格界限以及行和列的数目，数据单元中相邻行和相邻列之间的间隔距离就自动
确定了。
高密度网格文件的注意事项
较高的网格密度(间距较小、节点较多)将增加基于网格文件的图形的平滑程度。然而，网格中节点数的增加成比例地增加了网格化的时间、绘图的时间，同时也增大了网格文件。你最多可以有32767个行和列的网格文件。这是你的电脑很可能会耗尽内存之前达到的最大网格尺寸。这样大型的网格主要用于要创建极端纵横比的网格的时候。
网格中网格节点的密度越大，从网格文件创建的图形就越是平滑。等值线和XY线条所定义的线框图是由一系列的线条来表示的。一个网格文件中更多的X和Y网格节点就可以在等值线图或线框图中获得更短的线段。这就提供了一个具有平滑的外观轮廓线的等值线图或者平滑的线框图外观。
虽然高度密集的网格文件可以被创建，但是你可能在创建网格文件时受到时间上和网格节点数量造成的空间上的限制。网格密度的限制在根本上是在于你的计算机的用于创建网格数据文件的大小需要的可用内存数量。有限的内存、非常大的数据文件、非常密集的网格，或者任何这些因素的结合，将大大增要加网格化的时间。当网格化开始后，状态栏就为你提供了完成网格化任务的估算时间信息。如果网格化时间过长，请在场景窗口中单击“取消”按钮取消该次网格化操作。
一个大网格文件所需要的内存量的一些例子：
一个10000 x 10000的网格将需要10000*10000*8=763MB。
一个15000 x 15000的网格将需1.7GB。
一个20000 x 20000的网格将需3.2GB，这是一个32位操作系统能够寻址的上限了(虽然它可以在一个64位系统中运行)。
你可以通过使用“Grid｜Spline Smooth(网格｜线条平滑)”、“Grid｜Extract(网格｜提取)”或者“Grid｜Mosaic(网格｜嵌入)”命令增加或者减少网格密度。
数据包络外部网格的白化
勾选“数据包外网格自动白化”旁边的复选框，可以使没有数据的网格节点自动白化。如果需要外推数据的最小和最大的网格界限，无论在这些区域是否存在数据，那么可以不要勾选这个复选框。
例如，对于一个数据集，如下面左图中的数据点，勾选“数据包外网格自动白化”使数据外部分白化。右下方的等值线图显示生成的网格文件。如果未选中此选项，等值线将延伸到轴线。
在左上角的附近区域没有数据。当“数据包外网格自动白化”被选中，
则在此区域没有等值线。
举例
考虑以下示例。处于Y方向的0到25和X方向的0到10之间的数据。这两个例子在网格化过程中的网格节点、网格间距上都使用了不同的数值。
两种不同的网格线几何特性的例子显示在这里。
这些都是基于相同的数据文件。
坐标范围是X方向0到10，Y方向0到25。
在上述左侧的例子中，网格间距被设定为在X和Y方向每一个单元相等，这样就导致在X和Y
方向上的网格节点数大不相同。(与右图相比较——译者)
在上述右侧的例子中，在两个方向上有相同的节点数。但却导致了在两个方向上数据单元中具有不相等的间隔。
在“网格数据”对话框中，“网格线几何特征”的信息显示在下面。
这里显示了“网格线几何特征”中的信息11x26网格。
网格的节点间距被设置为1，
从而导致在X和Y方向上具有不同数量的节点。
这里显示了“网格线几何特征”中的信息5x5网格。
它们的节点数量相等，
从而导致在X和Y方向上的间距不相等。
要从一个XYZ数据文件创建一个网格文件
1、首先创建一个XYZ数据文件。必须将数据组织到有关列中：所有的X数据在一列之中，所有的Y数据则在另一列中，而所有的Z数据应该处于第三列中。
2、单击“网格｜数据”命令，或者按此按钮，显示“打开数据”对话框。
3、指定一个XYZ数据文件，并单击“打开”。要链接到数据库，而不是一个文件，则单击“数据库”按钮。
4、在“网格数据”对话框中，指定你要的网格类型文件的参数。
5、单击“确定”后网格文件将被创建。在网格化的过程中，Surfer窗口底部的状态栏会为您提供网格化的进度信息。
④新建变异图对话框
单击“网格｜变异图｜新建变异图”命令，或者单击按钮，可以从数据文件创建一个新的变异函数图。当你创建新的变异函数图，选定了一个数据文件时，将弹出“新建变异图”对话框。
“新建变异图”对话框中包含从变异函数中关于变异图的设置选项。一旦变异图被创建，那么变异图的属性，比如所采用的变易函数的模型等，它们是通过位于“属性管理器”中的变异函数属性来设置的。一旦变异函数网格被创建，它将在变异函数建模过程中持续进行。更多变异函数网格的信息请参阅“变异函数网格”。
关于“新建变异图”对话框
单击“网格｜变异图｜新建变异图”命令将打开一个“打开数据”对话框。选择一个数据文件，并单击“打开”，就启动了该“新建变异图”对话框。
在“新建变异图”对话框中指定一个新变易函数的选项
数据页
在此数据页中，选择一个新的变异函数图的数据。
常规页
在该“常规页”中，定义变异图网格。
创建一个变异图
以下列出了创建变异图的一般步骤。必须基于现有的数据和现有的变异函数的基础，才能决定有关的各种选项，因此这里不能提出具体的建模建议。
1、单击“网格｜变异图｜新建变异图”命令，或者单击按钮。
2、在“打开数据”对话框中选择一个数据文件并点击“打开”。
3、在“新建变异图”对话框的“数据”页中设定好药使用的数据列。
4、在“常规”页中设置变异图网格。
5、点击“确认”按钮创建该变异图。
6、一旦变异图创建成功，点击一下变异图，将其选中。属性管理器允许你选择一个变异函数选项，包括除了默认的线性模型以外的一个变异函数模型。
更多变异函数的知识，请参阅本人编译的“VariogramTutorial变异函数教程(程贤辅译)”一文。——译者
⑤转换对话框-工作表
单击“数据｜转换”命令，可将数据进行数学转换。有效的数学运算符包括加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)，以及一个内置的数学函数库。使用圆括号以改变优先级，圆括号也用于表达式的归统。
变换对话框
在“工作表”窗口，单击菜单“数据｜转换”命令，或者单击按钮，将打开“变换”对话框。
使用“变换”对话框将数据进行数学转换。
该对话框选项的变更，反映了转换根据选项的选择。
转换根据
您可以将数学转换应用到整列、整行或者某个单元格。在“转换根据”列表框中可以选择不同的类型。整列变换(例如：C=A+B)，适用于对于指定的行范围中所有的列的数据进行转换。整行变换(例如：_3=_1+_2)，适用于对于指定的列范围中所有的行的数据进项转换。单元格变换(例如：C3=A1+B2)，适用于对于指定的单元格进行数学方程变换。
变换表达式
在变换表达式的编辑框中输入数学表达式。表达式等号的左边包括一个目标列，或者目标行，或者一个目标单元格，等号的右侧，包含了一个数学方程或函数的表达式。方程等号的两侧，都可以有列的标签字母、首字符为下划线的行号数字，以及单元格位置。单击下箭头可以采用以往输入的表达式。对于列，一个示范的方程式是：C=A+B，对于行，示范方程式是：_3=_1+_2，对于单元格，示范表达式是：C3=A1+B2。
如果变换方法是按列操作，所有范围函数(sum、avg、std、rowmin、rowmax)则只能按列索引，例如：sum(A...C)。如果变换方法是按行操作，则范围函数只能按行索引，例如：sum(_1…_3)。
如果变换方法是对单元格操作，则范围函数不被支持。
起始行列和结束行列
在进行列转换计算时，可以输入一个起始行和结束行来指定行的范围。在进行行的转换计算时，可以输入一个起始列和结束列来指定列的范围。在进行单元格的转换计算时，所有的起始行、列和结束行、列的指定都是无效的。
视空单元格为0.0
在默认的情况下，如果任何一个单元格是空的，那末这一行表达式将不进行计算。如果您将空单元格视为0.0，那末这一单元格被数值0.0替换，计算结果被置于目标列。
函数
单击“展开函数>>”按钮会显示一个预定义的函数列表，按钮上的文字变成“收起函数<<”，再次点击该按钮，将隐藏该函数列表。
要使用一个函数，将光标放到希望添加函数的位置，从列表中选择一个函数，单击“插入”按钮，然后用列字母(A)、下划线和行号(_1)、或者单元格位置(A1)来替代函数中的X。此外，一定要正确使用数学运算符(+-*/)之间的功能，以及其他的表达式。函数被选中时，会列出该函数的定义供参考。
插入
当函数选项被展开时，该“插入”按钮可见。单击“插入”按钮来添加函数到转换的表达式中。在转换表达式的编辑框中，可以手动改变表达式中列出的变量(X或Y)，改成列字母，或者行号(如_1)，或者单元格位置。
举例
一个列计算的表达式实例是：C=A+B。列A和列B数据相加，结果值添加到C列。该表达式在起始到结束列的范围中将每一行中的A列内容和B列内容相加，并在该行的C列中保存结果。只有具有数值的单元格被用于计算，如果单元格中包含字符型的数字或者空白，则目标列C的结果也是空白的。
一个行计算的表达式实例是：_4=_1+_2。行1和行2相加之和存入第4行。该表达式相加计算范围由起始列到结束列之间的每个列的1和2行的数值，结果存入该列的第4行。只有数值型的单元格可以参与计算，如果单元格中包含字符型的数字或者空白，则目标单元格的结果也是空白的。
一个单元格计算的表达式实例是：C2=A1+B1-C1。单元格A1和B1的值之和，减去单元格C1的值之差，结果存入单元格C2中。只有数值型的单元格可以参与计算，如果单元格中包含字符型的数字或者空白，则目标单元格的结果也是空白的。
函数示例：
这个例子展示了如何使用内置的函数。考虑一下，例如，要计算列C数据的余弦值。由于D列是第一个空白列，所以我们将D列作为目标列。
1、使用“数据｜转换”命令，打开“变换”对话框。你并不需要高亮显示任何列，然后选择“转换”。
2、在表达式编辑框中，输入“D=”，引号不要输入。
3、单击“展开函数>>”按钮。
4、在函数名称组合框中双击COS(X)这个函数名。或者，你也可以选择一个函数名，然后单击“插入”按钮。
5、COS(X)将被自动置入表达式中成为“D= COS(X)”，没有引号。
6、将函数中的X替换成包含需要转换数据的列(列C)的列字母。表达式成为“D=COS(C)”，同样无需引号。
7、更改你希望的起始行和结束行范围，然后单击“确定”按钮，就创建了一个新的数据列，它是由C列数据转换成的余弦值。
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式 贝塞尔方程 的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。有 p 第一类柱贝塞尔函数J(z) p np为整数n时，J=(,1)J; ,n n p不为整数时，J与J线性无关。 p,p 第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) p nn为整数时N=(,1)N。 ,n n 第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p 大宗量z
小宗量z 0 ，为欧拉常数 见微波与光电子学中的电磁理论 p668 J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近 展开成罗朗级数，可得到 j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得 又可得 如z=x为实数
贝塞尔函数的加法公式 J(z)的零点,nni J’(z)的零点,nni 半整数阶贝塞尔函数 J(z)的零点,n+1/2np
J'(z)的零点,'n+1/2np D(朗斯基行列式及其它关系式 E(修正贝塞尔函数有关公式 贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程 方程的两个线性无关的解为 ,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 pp
大宗量z 小宗量z 0 (0210)《古代散文》复习思考题 一、填空题 1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。 3(《》长于描写外交辞令。 4(《国语》的突出特点是长于。 5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。
贝塞尔函数
贝塞尔函数 当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22222 2222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)() u x y t V x y T t =
代入方程（5.1）得 2 2 2 2 2 ( )V V VT a T x y ??'=+ ?? 或 2 2 2 2 2 (0)V V T x y a T V λλ??+'??= =-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 2 0T a T λ'+= （5.4） 2 2 2 2 0V V V x y λ??+ +=?? （5.5） 从（5.4）得 2 ()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 2 2 2 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22 222 110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得 ()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9） 2 2 ()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）
贝塞尔函数
6-2 贝塞尔函数柱函数 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程． 通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数． 贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．
6.1 贝塞尔方程及其解 6.1.1 贝塞尔方程 拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 2 2 2 222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,) tt xx yy x y l t t t u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ?ψ+===?=+≤+<>? =≥?? =??=?（6.1.1 ）
其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ?ψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 (,,)(,,)()(,) u x y t u t T t U ρ?ρ?==）得 2 2 0a T =（6.1.2） 2 2100 U U k U ρ? ρ′′′++=（6.1.3）
再令 (,)()() U R ρ?ρ?=Φ，得到2 ν′′Φ+Φ=(6.1.4) 2 22 2 ()0 R R k R ρρρν′′++?=（6.1.5） 于是(6.1.5)得到 22 d ()0d y x x y x ν+?=（6.1.6）
边界条件为 ()|()0 l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为 ν 阶贝塞尔微分方程．这里 ν x 和 可以为任意数．
数学公式识别技术研究
本科毕业设计论文 题目数学公式识别技术研究 专业名称 学生姓名 指导教师 毕业时间
毕业 任务书 一、题目 数学公式识别技术研究 二、指导思想和目的要求 1、 利用已有的专业知识，培养学生解决实际工程问题的能力； 2、 锻炼学生的科研工作能力和培养学生的团结合作攻关能力； 三、主要技术指标 1. 研究数学公式识别算法； 2. 完成演示程序 四、进度和要求 第01周----第02周： 英文翻译； 第03周----第04周： 学习图像处理与模式识别算法； 第05周----第10周： 研究公式识别算法； 第11周----第16周： 设计演示程序； 第17周----第18周： 撰写毕业设计论文，论文答辩； 五、主要参考书及参考资料 [1] 《Markov Models for Pattern Recognition: From Theory to Applications 》 Gernot A. Fink, Springer; 2nd ed. 2014 [2] 《Pattern Recognition 》Sergios Theodoridis , Konstantinos Koutroumbas , Academic Press; 4 edition 2008 [3]《Machine Learning in Action Paperback 》Peter Harrington, Manning Publications 2012 学生 指导教师 系主任 设计 论文
摘要 随着计算机技术的发展和信息技术与课程的整合,信息化教育越来越受到人们的关注。多媒体教学的使用,迫切需要将传统的键盘输入转化为手写输入以提高课堂的教学效率。但由于手写数学公式本身的特点,如数学符号的相似字符较多,而且一些比较复杂的数学公式存在着上/下标的定位问题,导致了手写数学公式的识别会相对困难一些。一个手写的数学公式识别系统,总体上分为字符识别和公式的结构分析两个主要的步骤。其中,字符识别是公式识别的基础。字符识别分类器的设计直接影响到识别系统的识别率。而结构分析是公式识别的关键。本文第一章介绍了数学公式的研究背景,国内外的研究现状以及相关的一些商业化的产品,介绍了数学公式识别的一般步骤以及本文所做的工作。介绍了一般数学符号的预处理和特征提取,以及本文所提出的预处理方法和边界特征提取方法和变换进行高维空间的降维，和一些常用的字符识别的一些方法,提出了组合分类器的思想,以及本文所用的最小距离分类器和改进的神经网络算法对数学符号的识别,目的是在能够识别数学公式的基础上,增加了学习的功能,以便今后识别能力的扩展。然后对数学公式识别的结构分析和数学公式的输出做了阐述。主要介绍了自己如何设计并实现印刷体数学公式识别系统,提出了自己的设计思路与模块划分并编写程序实现。 本文对公式分析与识别部分做了较深入的研究，主要从以下几个方面进行了改进： 在公式字符识别阶段，针对公式自身的特点，提出了一种基于连通域搜索的公式字符切分算法，并通过公式字符识别结果的反馈信息对粘连字符实行切分，以改善字符分割的质量，在实验中采用该切分算法取得了比较好的效果。 在公式结构分析阶段，以公式字符的识别结果为基础，根据字符的结构布局，采用“自顶向下”和“自底向上”思想相结合的策略对数学公式进行结构分析。
LATEX数学符号的输入
常用数学符号的 LaTeX 表示方法（以下内容主要摘自“一份不太简短的 LATEX2e 介绍”）１、指数和下标可以用^和_后加相应字符来实现。比如： 2、平方根（square root）的输入命令为：\sqrt，n 次方根相应地为: \sqrt[n]。方根符号的大小由LATEX自动加以调整。也可用\surd 仅给出 符号。比如： 3、命令\overline 和\underline 在表达式的上、下方画出水平线。比如： 4、命令\overbrace 和\underbrace 在表达式的上、下方给出一水平的大括号。 5、向量（Vectors）通常用上方有小箭头（arrow symbols）的变量表示。这可由\vec 得到。另两个命令\overrightarrow 和\overleftarrow在定义从A 到B 的向量时非常有用。 6、分数（fraction）使用\frac{...}{...} 排版。一般来说，1/2 这种形式更受欢迎，因为对于少量的分式，它看起来更好些。 7、积分运算符（integral operator）用\int 来生成。求和运算符（sum operator）由\sum 生成。乘积运算符（product operator）由\prod 生成。上限和下限用^ 和_来生成，类似于上标和下标。 以下提供一些常用符号的表示方法 肄薇芁芁薆膆膂|TeX各版本概述及基本约定，特殊字符| +---------------------------------+ tex提供300多条基本排版命令 由 plain tex：在tex基础上新定义600多条复合命令
AMS-TEX：美国数学会开发（amsmath宏包）排版的数学公式 LATEX：https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,mport（1985）编写，适合排版普通文章和书籍 LATEX2e：可加载amsmath宏包，目前最流行的TEX宏包 版本：LATEX2.09-->LATEX2e-->LATEX3（开发中） 中文排版： CCT：科学院张林波 TY（天元）：华师大肖刚、陈志杰教授开发 CJK：德国W.Lemberg开发，处理中日韩三国文字。 发行版CTEX：集成了CCT，TY，CJK的MikTEX系统。 ChinaTEX:内容涵盖MiKTeX系统及中文支持、常用外围软件、TeX\LaTeX文档和模板选萃等 TeX中的长度 mm毫米 cm厘米 in英寸＝2.54cm＝72.27pt pt点 em大写字母M的宽度 ex小写字母x的高度 弹性长度：根据需要自动伸缩 正常值plus伸展值minus收缩值 实际长度可超过正常值和伸展值之和，但不能小于正常值和收缩值之差 \documentclass[11pt]{article}%11pt字体，普通文章 %导言区，全局命令 \usepackage{CJK}%使用CJK宏包 \begin{document}%主环境 \begin{CJK}{GBK}{song}%汉字必须放入CJK环境 %其它字体:song,kai,fs,hei,li,you %CJK的两种环境CJK和CJK* %GBK是采用的字符集：GB，GBK，Bg5，Gbt Hi,This is my first \LaTeX file 祝贺你，MikTex和CJK安装成功了 \end{CJK}
数学公式识别研究现状
Computer Science and Application 计算机科学与应用, 2015, 5, 218-224 Published Online June 2015 in Hans. https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,/journal/csa https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,/10.12677/csa.2015.56028 Research Status of Mathematical Formula Recognition Dongming Liu1,2, Lian Chen1, Ming Li1,2,3, Ju Zhang3 1Chengdu Institute of Computer Applications, Chinese Academy of Sciences, Chengdu Sichuan 2University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 3Chongqing Institute of Green and Intelligent Technology, Chinese Academy of Sciences, Chongqing Email: dacenzon@https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,, 248690205@https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,, liming@https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,, zhangju@https://www.360docs.net/doc/3514558346.html, Received: Jun. 3rd, 2015; accepted: Jun. 22nd, 2015; published: Jun. 25th, 2015 Copyright ? 2015 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,/licenses/by/4.0/ Abstract In order to search and edit the documents which contain mathematical formulas, we must auto-matically recognize the expression. Mathematical formula recognition is an active research field and many approaches have been proposed over the years. Nowadays, there are several forms of input data format such as document images, strokes, vector images and so on. Different ways of inputs determine the methods to extract mathematical formulas and different ways of mathemat-ical formula recognition. This article describes the currently researching work of mathematical formula recognition, discusses the four components problems in mathematical formula recogni-tion: the detection of expression, symbol recognition, structural analysis, interpretation and so on, and points out the future research directions of mathematical expressions. Keywords Mathematical Formula Recognition, Research Status, Document Images, Strokes, Vector Images 数学公式识别研究现状 刘东明1,2，陈联1，李明1,2,3，张矩3 1中国科学院成都计算机应用研究所，四川成都 2中国科学院大学，北京 3中国科学院重庆绿色智能技术研究院，重庆
数学论文的LaTeX排版与全文上网
数学论文的LaTeX排版与全文上网 LaTeX是一种格式化的排版系统，它是在PlainTEX 的基础上，由美国计算机学家莱斯利.兰波特（LeslieLamport)开发的。该系统提供了一组生成复杂文档所需要的高级命令，在排版含有大量数学公式的科技论文方面，显示出了独特的优越性^aTeX遵循传统的排版规则，以排版质量为最重要的目标，以其超常的稳定性、高度的灵活性、强大的可移植性而闻名于世。随着传播和展示手段的不断更新，LaTeX的输出方式也趋向于多样化，除了传统的纸质媒体输出外，也可以通过电脑屏幕，以PDF电子文档的格式输出到投影仪上，还可以把LaTeX的源文件直接输成HTML格式，以便在网上公布。LaTeX 历经时间的考验，并且还在发展更新，它已成为信息时代发布和交流数学思想的重要工具。 https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,TeX的排版过程 在LATEX环境中，LATEX根据作者提供的附加信息，用于描述文档的逻辑结构和表现方法。这些信息是以LATEX命令的形式写入文章中的1ATEX要求作者明确说明其文档的逻辑结构，然后再根据文档结构选择最适当的版面格式。很多现代排版处理程序都采用“所见即所得”的方式，例如大家所熟悉的Word，作者可以利用这些应用程序，在输入内容的同时，通过与计算机互动的方式决定整个文档的排版形式。在整个过程中，作者随时可以在屏幕上看到文章最终显示出来的
效果。而在使用LATEX的时候，是不能在输入内容的同时看到最终的输出效果的。作者通过输入LATEX命令完成对文章格式的排版，并随时通过编译命令在屏幕上预览当前的输出效果，这显然与所见即所得的方式是不同的。 LaTeX包含多达300多条基本命令和600多条扩展命令，显然令普通用户无法记忆。因此把这些命令代码封装在一个模版，利用预先设置好的页面格式和排版设置以方便用户使用，就显得非常必要。应用LaTeX系统从输入文本到在打印机上得到排版结果，其主要步骤为：①利用计算机的编辑器创建或修改文本文件。这个文本文件由实际的文本混杂LaTeX命令组成。文本文件的全名由基本名加上扩展名.tex 组成。如果用CCT中文LaTeX，文件名后缀就为.ctx，但要用另外的程序把它翻译成.tex文件，②用LaTeX处理文本文件，当LaTeX结束了这一过程后，它会生成一个新的文件，其基本名不变，后缀为.dvi;③在.dvi文件中的信息要被转化成可以在指定打印机上输出的形式，这一过程是由打印机驱动程序完成的。 https://www.360docs.net/doc/3514558346.html,TeX强大的数学排版功能 数学论文同一些文字性的文章相比，具有符号繁多、公式复杂的特点，传统上，很多作者还是用Word软件结合Mathtype数学公式编辑器来排版数学论文。但是，Mathtype数学公式编辑器进行的数
贝塞尔函数及其应用
题目：贝塞尔函数及其应用
摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式
目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。
贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性
常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径 其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 用分离变量法解这个问题，先令
或 （5.4） （5.5） 从（5.4）得 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 再令
代入（5.7）并分离变量可得 （5.9） （5.10） 5.10）得 （5.11） 这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别， 若再作代换 并记
贝塞尔函数释疑
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题 据百度百科介绍： 贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科） 一、 贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、 贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、 贝塞尔函数与伽马函数 四、 贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔 函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 0)(222 22 =-++y v x dx dy x dx y d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程 的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数 m v m m v x m v m x J 20)2 ()1(!)1()(+∞ =∑++-=Γ 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。 在教科书中Bessel 方程来源 1． 在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?? ? ????=+=<+=><++=2222 222222,0),,()0,,(0,),(R y x u R y x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ? 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得
增长率识别及公式熟记
增长率识别及公式熟记 小齐的工资来也： 2015年，小齐工资1500元，2016年小齐工资1800元； So：出现两个时间，时间靠后（2016年）的一定是现期，时间靠前（2015年）的是基期。工资明显涨了300元嘛，this is 增长量，怎么来的？现期量－基期量＝增长量。 那增长率怎么算呢，增长率本质就是增长了基期的百分之几嘛，所以公式：增长率＝增长量÷基期量，也可以是（现期－基期）÷基期，打死你也要记住~ 说重点！ 如何快速确定一道题目求的是增长率？ ①问题中出现明显的两个时间相比； ②增长、减少、上升、下降、增长率、增速、增幅； ③选项一般是“%” 上面3条能记住吧，来看看“最新”的真题问法和上面一样吗？ 【例1】（2017国考）2015年我国钟表全行业生产时钟（含钟心）的产值与2013年相比约：A．上升了11% B．下降了11% C．上升了8% D．下降了8% 【例2】（2017北京）2015年上半年，非养殖水产品产量与上年同期相比的变化最接近以下哪个数字？ A．-20% B．0% C．5% D．10% 【例3】（2017北京）与上年同期相比，2015年上半年全国农林牧渔业增加值增幅为A．1.85% B．3.72% C．5.91% D．8.12% 【例4】（2016联考）2015年一季度全国租赁贸易进出口总额较上一季度约： A．增长了30% B．增长了40% C．降低了30% D．降低了40% 【例5】（2016政法干警联考）2015年初中教育程度人口相比2000年： A．下降了3.16% B．提高了13.8% C．下降了11.4% D．提高了3.75% 好了，识别增长率没问题了吧，最后，公式说3遍，（现－基）÷基，（现－基）÷基，或者增长量÷基期量 。
[最新]贝塞尔公式
[最新]贝塞尔公式 样本标准差的表示公式 数学表达式: , S-标准偏差(%) , n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个 , i-物料中某成分的各次测量值，1,n; [编辑] 标准偏差的使用方法 , 在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。 , 如果价格保持平稳，这个指标值不高。 , 在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。[编辑] 标准偏差的计算步骤
标准偏差的计算步骤是: 2 步骤一、(每个样本数据 , 样本全部数据之平均值)。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。 步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)(“n”指样本数目)。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。 [编辑] [1]六个计算标准偏差的公式 [编辑] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l、l、……l。令12n测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ = l ? X 1i σ = l ? X 22 …… σ = l ? X nn 我们定义标准偏差(也称标准差)σ为 (1) 由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 [编辑] 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值
来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。 于是我们用测得值l与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差)V来代ii替真差σ , 即 设一组等精度测量值为l、l、……l 12n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为 将上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。 它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时， ,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。 应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ” 表示。于是, 将式(2)改写为
贝塞尔公式(建议收藏)
样本标准差的表示公式 数学表达式： ?S—标准偏差（％） ?n—试样总数或测量次数，一般n值不应少于20—30个?i—物料中某成分的各次测量值，1～n； [编辑］ 标准偏差的使用方法 ?在价格变化剧烈时,该指标值通常很高。 ?如果价格保持平稳,这个指标值不高。 ?在价格发生剧烈的上涨/下降之前,该指标值总是很低. [编辑] 标准偏差的计算步骤 标准偏差的计算步骤是： 步骤一、（每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。 步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n — 1)（“n”指样本数目）。 步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。［编辑］ 六个计算标准偏差的公式[1] [编辑] 标准偏差的理论计算公式 设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、 l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ，则有σl i?X.。.。。。文档交流 1 = σ2 = l2?X …… σn = l n?X 我们定义标准偏差（也称标准差）σ为 （1）
由于真值X都是不可知的，因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。 ［编辑] 标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式 由于真值是不可知的，在实际应用中, 我们常用n次测量的算术 平均值来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多，算术平均值最接近真值，当时，算术平均值就是真值。。.。。。.文档交流 于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差(也叫残差）V i来代替真差σ，即 设一组等精度测量值为l1、l2、……l n 则 …… 通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
数学公式OCR识别和编辑方法
数学公式ocr识别和编辑 数学试卷在制作的过程中，大量的公式编辑严重的拖了制作效率的后腿，传统的制作效率慢，容易出错，针对此研究新的制作方法势在必行。 数学公式的识别和编辑 1、目前的识别办法还是采用人工手工编辑公式， 2、编辑软件复杂和对人员要求较高 3、MathType公式编辑软件是收费的，破解版安装复杂 4、制作效率很低，试卷加工单价较高 新的编辑软件的处理方法 1、天若OCR文字识别软件： 该软件为开源软件，具备文字识别和公式识别、截图、翻译等功能，公式识别功能是接入了Mathpix软件的公式识别接口，该功能是在线服务，依赖于网络。 识别出的latex公式代码：$H ( Y | X ) = \sum _ { x \in \mathcal { X } , y \in \mathcal { Y } } p ( x , y ) \log \left( \frac { p ( x ) } { p ( x , y ) } \right)$. 识别后的代码复制拷贝到下面两个软件中都可以完成公式的识别重建工作。 具体使用和安装简单，应用也很简单，f4截图后自动识别为latex代码，然后重建公式即可 2、Mathpix开源公式识别软件 该软件为收费软件，提供免费的数据识别源码api，可以精确的识别图片为latex语法
的公式，对应生成latex代码和公式png图片。 识别后可以copy png图片，到word中粘贴即可，或者复制latex代码到下面软件中重建插入公式。 3、Axmath公式编辑软件 该软件是国产，具备复杂的公式编辑功能 安装后在word中会添加一个公式编辑菜单，可以插入公式和编辑，同时也是一个独立软件可以进行使用。 这里重点讲latex代码转换的功能，点击 选中识别出的latex公式代码，点击上图后可以自动转换为Axmath公式 也可以点击插入行内公式的按钮，新建一个公式后，在打开的对话框中粘贴入latex 代码，即可生成对应的axmath公式，关闭对话框后即可插入到指定位置。
Office中像LaTex那样快速打数学公式
Office 中像LaTex那样快速打数学公式 记得很久以前在word里打数学公式很痛苦，要用鼠标点啊点，效率奇低，包括像MathType那些工具。后来到了office 2007公式情况就不一样了，编辑器有了巨大的改进，适合我们喜欢用键盘的同学了。几乎所有的数学符号都对应一条命令，而且跟LaTex的命令很像，打起公式来一样。其实最开始我是乱按键盘发现公式编辑器这些功能的，然后凭感觉和经验发现了各种符号的输入方法。相比LaTex，word 里打公式的一大优势是你能立即看到你打的符号，而不像LaTex那样你看到的是一堆代码，要看公式必须编译一下，有什么语法错误还编译不过。微软这点做得相当好。于是自从我发现了word这个功能之后果断抛弃了LaTex，每次看到同学为打公式苦恼的时候都想过去帮一把。 下面介绍下我所知道的公式编辑器的用法。 0.开始输入公式 同时按住"Alt"和"="。这是你会发现出现了一个公式输入框，上方的工具栏也编程了公式编辑器栏。 0.字体准备 office 2007中输入公式默认是正常的字体，很难看，而我们需要斜体，按住"Ctrl"和"I"。2010之后默认斜体了貌似，至少2013在英文输入法下是的。 1.命令结构 命令是由反斜杠"\"开始的，紧跟着一串字符（一般都很形象的），以空格结束。比如打希第一个腊字母alpha，那么就是先输"\"，接着输"alpha"，最后按下空格键刚才输入的内容就变成希腊字母了。 3. 希腊字母 希腊字母最简单，一般情况下字母的国际音标就是其命令，只要你会念，你就会打。好在我初中时候就会背希腊字母表了，打起来毫无压力。 希腊字母有大小写之分，公式编辑器里你只要把命令的首字母大写显示的希腊字母就是大写了。 值得注意的是某些字母有多种形式，比如\epsilon 和\varepsilon 就有点小区别。这方面没研究过。 4. 常见运算符 偏微分算子："\partial " 极限："\limit "（按空格后会显示一个串很长的默认式子，再空格就变成数学公式了） 积分∫："\int " 求和Σ：”\Sigma “ 大写的sigma 梯度算子（也就是倒三角）?："\nabla " （我记得只有一个老师教过我们怎么读这个符号，就是nabla，可以查查这个单词）
巧用LaTeX编辑数学公式(20191126003309)
巧用LaTeX编辑数学公式 命令各项的含义如下： ◆ a4paper 表明文档将在A4纸上打印； ◆ 10pt 表明文档默认字体的大小是“10point”； ◆ article 表明文档的风格是“article”。 用户可以使用\pagestyle命令设置文档页码，它应该位于\documentclass命令之后、\begin{document}命令之前。在默认状态下LaT eX会在文档每页的底部插入页码。 位于\documentclass和\begin{document}命令之间的这一部分被形象地叫做输入文件的“前言(Preamable)”，前言中的这些命令叫做“前置指令”。在\documentclass命令和其它格式命令之后是 \begin{document}命令，它标志着文档主体部分的开始。当文档的主体部分结束后，需要键入\end{document}命令，标志着全文结束。 数学模式 要在LaTeX中编辑公式必须在开始编辑之前先进入数学模式，编辑完之后再从中退出。 在数学模式里，公式可以和文本混排在一段中，也可以自成一段。LaTeX把自成一段的公式叫作“显示(Display)”。 要将公式和文本混排，应该在公式前后各加上一个“$"，符号，以进入和退出数学模式。 键入如下文档： \documentclass[a4paper，12pt]{article} \begin{document} when $A＝5$ and $B＝10$ we can say $A+B＝15$ and $A-B＝-5$ \end{document} 这时，系统将显示出如下内容： when A=5 and B＝10 we can say A十B＝15 and A-B=-5 要将一个公式单段输出，只需在其首尾分别加上“\[”和“\]”即可。此外，LaTex还可以自动为公式编号。此时要用\begin{equation}和\end{equation}代替“\[”和“\]”。 数学模式中的特殊字符
Latex数学公式
Latex数学公式 1、数学公式的前后要加上$或\(和\)，比如：$f(x) = 3x + 7$和\(f(x) = 3x + 7\)效果是一样的； 如果用\[和\]，或者使用$$和$$，则改公式独占一行； 如果用\begin{equation}和\end{equation}，则公式除了独占一行还会自动被添加序号，如何公式不想编号则使用\begin{equation*}和\end{equation*}. 2、字符 普通字符在数学公式中含义一样，除了 # $ % & ~ _ ^ \ { } 若要在数学环境中表示这些符号# $ % & _ { }，需要分别表示为\# \$ \% \& \_ \{ \}，即在个字符前加上\。 3、上标和下标 用^来表示上标，用_来表示下标，看一简单例子： $$\sum_{i=1}^n a_i=0$$ $$f(x)=x^{x^x}$$ 效果: 这里有更多的LaT eX上标下标的设置 4、希腊字母 更多请参见这里 5、数学函数
6、在公式中插入文本可以通过\mbox{text}在公式中添加text，比如： \documentclass{article} \usepackage{CJK} \begin{CJK*}{GBK}{song} \begin{document} $$\mbox{对任意的$x>0$}, \mbox{有 }f(x)>0. $$ \end{CJK*} \end{document} 效果: 7、分数及开方 \frac{numerator}{denominator} \sqrt{expression_r_r_r}表示开平方， \sqrt[n]{expression_r_r_r}表示开n次方. 8、省略号（3个点） \ldots表示跟文本底线对齐的省略号；\cdots表示跟文本中线对齐的省略号， 比如： 表示为$$f(x_1,x_x,\ldots,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 $$ 9、括号和分隔符 ()和[ ]和｜对应于自己； {}对应于\{ \}； ||对应于\|。 当要显示大号的括号或分隔符时，要对应用\left和\right，如： \[f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right).\]对应于