2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集U={x∈N?|(x?6)(x+1)≤0}，集合A={1,2，4}，则?U A=()
A. {3,5}
B. {3,5，6}
C. {0,3，5}
D. {0,3，5，6}
2.计算：(2+i)2=()
A. 3
B. 3+2i
C. 3+4i
D. 5+4i
3.下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是()
A. f(x)=|x|
B. f(x)=√x?1+√1?x
C. f(x)=2x?2?x
D. f(x)=tanx
4.已知直线l经过双曲线x2
12?y2
4
=1的右焦点F，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，则直
线l的方程是()
A. y=?√3x+4√3
B. y=?√3x?4√3
C. y=?√3
3x+4√3
3
D. y=?√3
3
x?4√3
5.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视
图，则该几何体的体积为()
A. 2
B. 8
3
C. 6
D. 8
6.在区间[0,5]上随机地取一个数x，则事件“1≤2x?1≤4”发生的概率为()
A. 2
5B. 1
5
C. 1
2
D. 1
4
7.已知∠AOB如图所示，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，
且B(3
5,?4
5
)，点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos(5π
6
?α)=()
A. ?4
5
B. ?3
5
C. 3
5 D. 4
5
8. 执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为( )．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 11
9. 设tan(α?β)=1,tan(β+π
4)=2,则tanα等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
10. 已知实数x ，y 满足不等式组{x ?3y +5≥0
2x +y ?4≤0y +2≥0
，则z =x +y 的最小值是( )
A. ?13
B. ?15
C. ?1
D. 7
11. 已知椭圆C ：x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的右焦点为F 2，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直
线MF 2与椭圆C 的一个交点，且|OA|=|OF 2|=2|OM|，则椭圆C 的离心率为( )
A. 1
3
B. 2
5
C. √55
D. √53
12. 若函数f(x)=e x ?ax 的极值为1，则实数a 的值为( )
A. e
B. 2
C. √2
D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若向量a ? =(2,3)，b ? =(4,?1+y)，且a ? //b ? ，则y =______．
14. 某珠宝店的一件珠宝被盗，找到了甲、乙、丙、丁4个嫌疑人进行调查．甲说：“我没有偷”；
乙说：“丙是小偷”；丙说：“丁是小偷”；丁说：“我没有偷”，若以上4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是______．
15. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2√2，则该球的体积为
______ ．
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB?3ccosC=0，则cosC=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知{a n}是等差数列，a3=7，且a2+a6=18.若b n=
．
√a+√a
(1)求数列{a n}通项公式；
(2)求数列{b n}的前n项和T n．
18.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，M是AB的中点．
(1)证明：BC1//平面MCA1；
(2)若AB=A1M=2MC=2，BC=√2，求点C1到平面MCA1的距离．
19.为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷
调查．得到了如下的统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表
表2：女生上网时间与频数分布表
(1)从这200名学生中任抽1人，求上网时间在[50,60)间的概率．
(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？
附：K 2=n(ad?bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=?1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：y=x+m与抛物线C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点且满足|OM|=
2√5(O为坐标原点)，求直线l的方程．
21.已知函数f(x)=ln x+a(x2?1)。
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=e?1
，x∈[1,+∞)时，证明：f(x)≤(x?1)e x。
2
22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2t
(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正
y=t2
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=4，M为曲线C2上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16.
(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；
(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．
(a≠0)．
23.已知函数f(x)=|x?a|+1
2a
(1)若不等式f(x)?f(x+m)≤1恒成立，求实数m的最大值；
(2)当a<1
，函数g(x)=f(x)+|2x?1|有零点，求实数a的取值范围．
2
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：U ={1,2，3，4，5，6}，A ={1,2，4}； ∴?U A ={3,5，6}． 故选：B ．
可求出集合U ，然后进行补集的运算即可．
本题考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算，属于基础题．
2.答案：C
解析：
本题考查复数的运算． 根据复数的运算法则求解即可．
解：(2+i )2=4+4i +i 2=4+4i ?1=3+4i ． 故选C ．
3.答案：B
解析：
本题主要考查函数的奇偶性判断与应用，属于基础题．先求出函数的定义域，再利用f (?x )与f (x )关系判断奇偶性．
解：因为f(x)=√x ?1+√1?x 定义域满足{x ?1≥0
1?x ≥0，解得x =1，定义域不关于原点对称，所以
即不是奇函数也不是偶函数； 故选B ．
4.答案：A
解析：
本题考查了直线与双曲线的简单性质，属于简单题． 解：∵双曲线焦点F(4,0)，
第一、三象限的渐近线方程为y=√3
3
x，
∴直线l的方程是y=?√3x+4√3，
故选A．
5.答案：A
解析：
本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图
如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×2
2
=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．
解：直观图为四棱锥F?ABHI，如图所示：
底面为梯形，面积为(1+2)×2
2
=3，四棱锥的高为2，
∴几何体的体积为1
3
×3×2=2．
故选A．
6.答案：A
解析：
本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．
根据已知条件，求出区间[0,5]的长度，及事件“1≤2x?1≤4”对应区间的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
解：在区间[0,5]的长度为5，
因为1≤2x?1≤4，解之得1?x?3，
则事件“1≤2x?1≤4”发生的概率为P=3?1
5?0=2
5
．
故选：A．
7.答案：A
解析：
本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义，考查两角差的正弦和余弦，是基础题．
方法一：由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos(5π
6
?α)得答案．方法二：根据角
的变化得到∠AOB =a ?π
3，根据诱导公式即可求出答案． 解：方法一：如图，由B(3
5,?4
5)，得OB =OC =1，又BC =1， ∴∠BOC =π
3，由三角函数的定义，得sin∠AOB =4
5，cos∠AOB =3
5．
∴sinα=sin(π
3?∠AOB)=sin π
3cos∠AOB ?cos π
3sin∠AOB =√3
2
×35?12×4
5=
3√3?4
10
， 同理cosα=
3+4√3
10
∴cos(5π
6?α)=cos
5π6
cosα+sin
5π6
sinα=?
√32
×
3+4√310+1
2
×
3√3?4
10
=?4
5，
方法二：∵∠AOB 是OA 逆时针转至OC ，再顺时针转至OB 所得到
∴∠AOB =0+α?
π3=α?π3
∴sin(α?π4)=?4
5
∴cos(5π
6?α) =cos[π2?(α?π3)]
=sin(α?π3
)
=?4
5，
故选A ．
8.答案：C
解析：由题意得，共循环3次，
∴2[2(2x +1)+1]+1=23．
解得x =2，故选C ．
9.答案：B
解析：因为tan(α+π4)=tan[(α?β)+(β+π
4)]=
tan(α?β)+tan(β+π4)
1?tan(α?β)tan(β+π
4
)
=
1+21?1×2
=?3，所以tan(α+π
4)=
tanα+tan
π
41?tanαtan
π
4
=
tanα+11?tanα
=?3,解得tanα=2．
10.答案：A
解析：解：作出实数x ，y 满足不等式组{x ?3y +5≥0
2x +y ?4≤0y +2≥0
表示的平面区域：
得到如图的阴影部分，由{y =?2
x ?3y +5=0
，
解得B(?11,?2)设z =F(x,y)=x +y ，将直线l ：z =x +y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值=F(?11,?2)=?13． 故选：A ．
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =2x +y 对应的直线进行平移，可得当x =y =1时，z =2x +y 取得最小值．
本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
11.答案：D
解析：
本题考查了椭圆的几何意义，考查了求椭圆的离心率问题，属于中档题．
取椭圆的左焦点为F 1，连结AF 1，由ΔF 1AF 2～ΔMOF 2可得AF 1
AF 2
=OM OF 2
=12，从而求得AF 1=
2a 3
,AF 2=
4a 3
，
由勾股定理建立方程即可．
解：如图所示：
取椭圆的左焦点为F1，连结AF1，依题意|OA|=|OF2|=2|OM|，可得，
ΔF1AF2～ΔMOF2，则AF1
AF2=OM
OF2
=1
2
，
∵AF1+AF2=2a,∴AF1=2a
3,AF2=4a
3
，
由AF12+AF22=F1F22，(2a
3)
2
+(4a
3
)
2
=(2c)2，
c2 a2=5
9
，∴e=c
a
=√5
3
，
则椭圆的离心率为e=√5
3
．
故选D．
12.答案：D
解析：
本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题目．
由f′(x)=0得出f(x)的极值点，得出f(x)的极值，由f(x)的极值为1，得出关系式求出a的值即可．解：由已知可得f′(x)=e x?a，
令f′(x)=e x?a=0，
则a>0时方程才有解，
解得x=lna，此时f(x)的极值为f(lna)=e lna?alna=a?alna=1，
解得a=1．
故选D．
13.答案：7
解析：
?
本题考查了向量共线定理，属于基础题．
利用向量共线定理即可得出．
解：∵a?=(2,3)，b? =(4,?1+y)，且a?//b? ，
∴12=2(?1+y)，
解得y=7，
故答案为7．
14.答案：甲
解析：
本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，考查分析判断能力，是基础题．此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．
解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，
丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，
假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，
乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，
故偷珠宝的人是甲．
故答案为：甲．
π
15.答案：125
6
解析：解：如图，正四棱锥P?ABCD中，PE为正四棱锥的高，
根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四
棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连
接AE，AF，
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几
何中的射影定理可得PA2=PF?PE，
因为AE=2，
所以侧棱长PA=√42+22=2√5，PF=2R，
所以20=2R×4，所以R=5
2
，
所以球的体积V=4
3πR3=125
6
π
故答案为：125
6
π.
正四棱锥P?ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的体积．
本题考查球的体积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
16.答案：1
3
解析：解：∵bcosA+acosB?3ccosC=0，
∴由正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=3sinCcosC，
∴可得：sinC=3sinCcosC，
∵C∈(0,π)，sinC≠0，
∴cosC=1
3
．
故答案为：1
3
．
由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得sinC=3sinCcosC，结合sinC≠0，可求cos C的值．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
17.答案：解：(1){a n}是公差为d的等差数列，a3=7，且a2+a6=18，
可得a1+2d=7，2a1+6d=18，
解得a1=3，d=2，
则a n=3+2(n?1)=2n+1．
(2)b n=
a+a =
2n+1+2n+3
=1
2
(√2n+3?√2n+1)，
前n项和T n=1
2
(√5?√3+√7?√5+√9?√7+?+√2n+3?√2n+1)
=1
2
((√2n+3?√3).
解析：本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．(1)设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项
公式；
(2)求得b n=
√a+√a =
√2n+1+√2n+3
=1
2
(√2n+3?√2n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可
得所求和．
18.答案：(1)证明：连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，
则N为AC1的中点，
连接MN，又M是AB的中点，所以MN//BC1．
又MN?平面MCA1，BC1?平面MCA1，
所以BC1//平面MCA1;
(2)解：由AB=2MC=2，M是AB的中点，所以∠ACB=90°，
在直三棱柱中，A1M=2，AM=1，所以AA1=√3，
又BC=√2，所以AC=√2，CM=AM=BM=1，
则A
1
C=√(√2)2+(√3)2=√5，
所以CM2+A1M2=A1C2，
所以∠A1MC=90°．
设点C1到平面MCA1的距离为h，因为AC1的中点N在平面MCA1上，故A到平面MCA1的距离也为h，
三棱锥A1?AMC的体积V=1
3S△AMC?AA1=√3
6
，
△MCA1的面积S=1
2
A1M?MC=1，
则V=1
3S?=1
3
?=√3
6
，得?=√3
2
，
故点C1到平面MCA1的距离为√3
2
．
解析：本题考查直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
(1)连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，连接MN，又M是AB的中点，说明MN//BC1.
然后证明BC 1//平面MCA 1．
(2)设点C 1到平面MCA 1的距离为h ，因为AC 1的中点N 在平面MCA 1上，A 到平面MCA 1的距离也为h ，利用三棱锥A 1?AMC 的体积V =1
3
S △AMC ?AA 1=√3
6
，转化求解点C 1到平面MCA 1的距离．
19.答案：解：(1)男女上网时间在[50,60)间的人数为30+40=70，由频率知70200=7
20为其概率;
(2)
K 2
=
200(1800?2800)270×130×100×100
≈2.198，
因为2.198<2.706，所以不能有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关” ．
解析：本题考查概率知识的运用，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题． (1)男女上网时间在[50,60)间的人数为30+40=70，由频率知70
200=7
20为其概率; (2)根据所给数据完成表3的2×2列联表，利用公式求出k 2，与临界值比较，可得结论．
20.答案：解：(1)由于抛物线C ：y 2=2px(p >0)的准线方程为x =?p
2，
又抛物线C 的准线为x =?1， ∴
p 2
=1，即p =2，
∴抛物线C 的方程为y 2=4x ； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，
由方程组{y =x +m
y 2=4x 消去y ，整理得x 2+(2m ?4)x +m 2=0，
则△=?16m +16>0，即m <1 ①， x 1+x 2=4?2m ，
y 1+y 2=(x 1+m)+(x 2+m)=(x 1+x 2)+2m =4，
∴M(2?m,2)，
由|OM|=2√5，
∴√(2?m)2+22=2√5，解得m=?2或m=6②，
由①②得，m=?2，
∴直线l的方程为y=x?2．
解析：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．
(1)由于抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=?p
2
，由条件即可得到p=2，进而得到抛物线方程；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，联立直线方程和抛物线方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，结合两点的距离公式，计算即可得到m，进而得到所求直线方程．
21.答案：解：(1)f’(x)=1
x +2ax=2ax2+1
x
(x>0)，
当a≥0时，f’(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a<0时，f’(x)>0时，解得0 2a ，f’(x)<0时 ，解得x>√?1 2a ，所以函数f(x)在区间(0,√?1 2a )上单调递增， 在区间(√?1 2a ,+∞)上单调递减； (2)令g(x)=(x?1)e x?f(x)=(x?1)e x?ln x?e?1 2 (x2?1)(x≥1)，g’(x)=x·e x?(e?1)x? 1 x (x≥1)，g’(1)=e?(e?1)?1=0． 再令φ(x)=x·e x?(e?1)x?1 x (x≥1)，φ’(x)=(x+1)e x?(e?1)+1 x2 ，当x≥1时，(x+1)e x≥ 2e，1 x2 >0， ∴(x+1)e x?(e?1)+1 x >2e?(e?1)>0，即φ’(x)>0，所以y=φ(x)在[1,+∞)上单调递增， ∵φ(1)=g’(1)=0，∴φ(x)≥φ(1)=0， ∴y=g(x)在[1,+∞)上单调递增， ∴g(x)≥g(1)=0.综上所知f(x)≤(x ?1)e x ． 解析：本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式的证明，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题． (1)利用导数性质能讨论函数f(x)的单调性． (2)令g(x)=(x ?1)e x ?f(x)，利用导数性质求出g(x)≥g(1)=0，根据函数的单调性证明即可． 22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0． 由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4 θ=θ0 ，解得ρ=4sinθ． 故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y ?2)2=4(y ≠0)． (Ⅱ)将曲线C 1的参数方程{x =√2t y =t 2 (t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22． 联立{ x 2+(y ?2)2=4(y ≠0)y = x 22 ， 可得A(2,2)，B(?2,2)． 所以|AB|=4， 所以S △AOB =1 2×2×|AB|=4． 解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)将参数方程化为直角坐标方程，联立方程求解交点坐标，从而可得出面积． 23.答案：解：(1)f(x +m)=|x +m ?a|+1 2a ， f(x)?f(x +m)=|x ?a|?|x +m ?a|≤｜m ｜， ∴f(x)?f(x +m)≤1恒成立当且仅当|m|≤1， ∴?1≤m ≤1，即实数m 的最大值为1． (2)当a <1 2时，g(x)=f(x)+|2x ?1|=|x ?a|+|2x ?1|+1 2a ={ ?3x +a +1 2a +1,x 23x ?a +12a ?1,x >12 , ∴g(x)min =g(1 2 )=1 2?a + 12a = ?2a 2+a+1 2a ?0， ∴{