(完整版)1-7两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题
教学过程：
引入：考察极限x
x x sin lim 0
→
当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x
x sin =1；
当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是
)
()
sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+
-→-→． 综上所述，得
一．1sin lim
0=→x x
x ．
1sin lim 0=→x
x
x 的特点：
(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0
；
(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．
推广 如果a
x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，
则 a
x →lim
()[]()x x ??sin =()()[]()
x x x ???sin lim 0→=1．
例1 求x
x
x tan lim
0→．
解 x x x tan lim 0→=111cos 1
lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x
x x x x x x x x x x x x ．
例2 求x x
x 3sin lim 0→．
解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t
t
t x x x t x 令．
例3 求20cos 1lim x
x
x -→． 解 2
0cos 1lim
x x
x -→=2
12
2sin
22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim
02
202
2
0=??==→→→x x
x x x x x x x x x ．
例4 求x
x
x arcsin lim
0→．
解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim
0→=1sin lim 0=→t
t
t ．
例5 求30sin tan lim x
x
x x -→． 解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x
x x
x x x x x x x -?
=-→→ =21
cos 1lim cos 1lim sin lim
2000=-??→→→x
x x x x x x x ． 考察极限e x
x x =+∞→)1
1(lim
当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )1
1(+的值
总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x
)1
1(+是趋近于一个确
定的无理数e ＝2.718281828...．
当x →-∞时，函数x x
)1
1(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．
综上所述，得
二．x x x
)11(lim +∞
→=e ．
x
x x
)11(lim +
∞
→=e 的特点：
（１）lim(1+无穷小)无穷大案
；
（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．
推广 （１）若a
x →lim ?(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()
(1
1lim ))(11(lim x x x a
x x x ?????+
=+
∞→→=e ；
（２）若a
x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则
[()
]
()[()]
)
(10
)
(11lim
1lim x x x a
x x x ?????+=+→→=e ．
变形 令
x
1
=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→1
01lim ．
如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．
例6 求x x x )2
1(lim -∞→．
解 令－x 2=t ，则x =－t
2
．
当x →∞时t →0，
于是 x x x
)2
1(lim -∞→=21
02
0])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．
例7 求x
x x x )23(lim --∞→．
解 令x x --23=1+u ，则x =2－u
1
．
当x →∞时u →0， 于是 x
x x
x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 21
01
20u u u u u u u +?+=+-→-→
=])1(lim [])1(lim [20
11
u u u u
u +?+→-→=e -1．
例8 求x x x cot 0
)tan 1(lim +→．
解 设t =tan x ，则t
1
＝cot x ． 当x →0时t →0， 于是 x
x x cot 0
)
tan 1(lim +→=t
t t 10
)1(lim +→=e ．
小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。 作业：见首页
§2-1 导数的概念
教学过程： 引入：
一、两个实例
实例1 瞬时速度
考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t =0到时刻t 这一时间段内下落的路程
s 由公式s =
2
1g t 2
来确定．现在来求t =1秒这一时刻质点的速度． 当?t 很小时，从1秒到1+?t 秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t =1时速度的近似．
上表看出，平均速度t s ?随着?t 变化而变化，当?t 越小时，t
s ?越接近于一个定值—9.8m/s ．考察下列各式： ?s =
21g ?(1+?t )2－21g ?12=2
1
g [2??t +(?t )2]， t s ??=21g ?t t t ??+?2)(2=2
1g (2+?t )，
思考： 当?t 越来越接近于0时，t
s
??越来越接近于1秒时的“速度”．现在取?t →0的极
限，得 =→t s ???0lim
()=+→t g ??22
1
lim 0g =9.8(m/s )． 为质点在t =1秒时速度为瞬时速度．
一般地，设质点的位移规律是s =f (t )，在时刻t 时时间有改变量?t ，s 相应的改变量为?s =f(t +?t )-f (t )，在时间段t 到t +?t 内的平均速度为
v =
()()t
t f t t f t s ????-+=， 对平均速度取?t →0的极限，得
v (t )=()()t
t f t t f t s t t ?-?+=??→?→?00lim lim
， 称v (t )为时刻t 的瞬时速。
研究类似的例子 实例2 曲线的切线
设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点B ，它的坐标是(x 0+?x , f (x 0+?x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的
R t ?ACB ，可知割线AB 的斜率
tan β=()()x
x f x x f x y AC CB ????00-+==． 在数量上，它表示当自变量从x 变到x +?x 时函数f (x ) 关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)．
现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时?x →0， 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置—— 直线AT ，我们就称L 在点A 处存在切线AT ．记AT 的倾斜角为α，则α为β的极限，若α≠90?，得切线AT 的斜率为
tan α=0
lim →x ? tan β=x
x f x x f x y
x x ??????)()(lim
lim
0000-+=→→． 在数量上，它表示函数f (x )在x 处的变化率．
上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y =f (x )和自变量x 具体内容不同，但本质都是要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率． 1. 自变量x 作微小变化?x ，求出函数在自变量这个段内的平均变化率y =x
y ??，作为点x 处变化率的近似；
2. 对y 求?x →0的极限x
y x ???0lim
→，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值． 二、导数的定义
1. 函数在一点处可导的概念
定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域内有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量?x ，函数y =f (x )相应的改变量为?y =f (x 0+?x )-f (x 0)，若这两个改变量的比
()()x
x f x x f x y ????00-+=
当?x →0时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这一极限称为函数y =f (x )
在点x 0处的导数(或变化率)，记作0|x x y ='或f '(x 0)或0
x x dx dy
=或0)(x x dx x df =．即 0|x x y ='=f '(x 0)=x
x f x x f x y
x x ??????)()(lim
lim 0000-+=→→ (2-1) 比值
x
y ??表示函数y =f (x )在x 0到x 0+?x 之间的平均变化率，导数0|
x x y ='则表示了函数
在点x 0处的变化率，它反映了函数y =f (x )在点x 0处的变化的快慢． 如果当?x →0时
x
y
??的极限不存在，我们就称函数y =f (x )在点x 0处不可导或导数不存在． 在定义中，若设x =x 0+?x ，则(2-1)可写成
f '(x 0)=()()0
00
lim
x x x f x f x x --→ (2-2) 根据导数的定义，求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤如下： 第一步 求函数的改变量?y =f (x 0+?x )-f (x 0)； 第二步 求比值
x
x f x x f x y ????)()(00-+=；
f (x 0+?
f (x
第三步 求极限f '(x 0)=x
y x ???0lim
→． 例1 求y =f (x )=x 2在点x =2处的导数．
解 ?y =f (2+?x )-f (2)=(2+?x )2-22=4?x +(?x )2；
()x x x x y ?????24+==4+?x ； x y x ???0lim →=
lim →x ?(4+?x )=4．
所以y '|x =2=4． 当()()x
x f x x f x ???000lim -+-
→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的左导数，记作
)(0x f -'；当()()x
x f x x f x ???000lim -++→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的右导数，记作)(0x f +
'． 据极限与左、右极限之间的关系
f '(x 0) ? 存在)(0x f -
',)(0x f +'，且)(0x f -'=)(0x f +'= f '(x 0)． 2. 导函数的概念
如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )内每一点处都可导，就称函数y =f (x )在开区间(a ,b )内可导．这时，对开区间(a ,b )内每一个确定的值x 0都有对应着一个确定的导数f '(x 0)，这样就在开区间(a ,b )内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f (x )的导函数，记作等f '(x )或y '等．
根据导数定义，就可得出导函数
f '(x )=y '=()()x
x f x x f x y x x ??????-+=→→00lim lim (2-3) 导函数也简称为导数．
注意 （１）f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值
（２）f (x )在点处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值．
例2 求y =C (C 为常数)的导数．
解 因为?y =C -C =0，x x y ???0
=
=0，所以y '=0lim →x ?x
y ??=0． 即 (C )'=0常数的导数恒等于零）． 例3 求y =x n (n ∈N , x ∈R )的导数．
解 因为?y =(x +?x )n -x n =nx n -1?x +2n C x n -2(?x )2+...+(?x )n ，
x
y
??= nx n -1 +2n C x n -2??x +...+(?x )n -1， 从而有 y '=0lim →x ?x y
??=0
lim →x ?[ nx n -1 +2n C x n -2??x +...+(?x )n-1]= nx n -1．
即 (x n )'=nx n -1．
可以证明，一般的幂函数y =x α, (α∈R, x >0)的导数为 (x α)'=α x α-1．
例如 (x )'=(21
x )'=x x 21
2121=-；(x 1)'=(x -1)'=-x -2=-21x ．
例4 求y =sin x , (x ∈R )的导数．
解
x y ??=x
x x x ??sin )sin(-+，在§1-7中已经求得 0lim
→x ?x
y ??=cos x ，
即 (sin x )'=cos x ．
用类似的方法可以求得y =cos x , (x ∈R )的导数为 (cos x )'=-sin x ．
例5 求y =log a x 的导数(a >0, a ≠1, x >0)．
解 对a =e 、y =ln x 的情况，在§1-7中已经求得为 (ln x )'=
x
1． 对一般的a ，只要先用换底公式得y =log a x =a
x
ln ln ，以下与§1-7完全相同推导，可得 (log a x )'=
a
x ln 1
． 三、导数的几何意义
方程为y =f (x )的曲线，在点A (x 0,f (x 0))处存在非垂直切线AT 的充分必要条件是f (x )在x 0存在导数f '(x 0)，且AT 的斜率k =f '(x 0)．
导数的几何意义——函数y =f (x )在x 0处的导数f '(x 0)，是函数图象在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为
y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0) (2-4) 过切点A (x 0,f (x 0))且垂直于切线的直线，称为曲线y =f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的法线，则当切线非水平(即f '(x 0)≠0)时的法线方程为
y -f (x 0)=-)
(1
0x f '(x -x 0) (2-5) 例6 求曲线y =sin x 在点(
6π,2
1)处的切线和法线方程． 解 （sin x ）'
6
π
=x =cos x
6
π
=x =
2
3． 所求的切线和法线方程为 y －21=23(x －6π)， 法线方程 y －21=－332(x －6
π)． 例7 求曲线y =ln x 平行于直线y =2x 的切线方程．
解 设切点为A (x 0, y 0)，则曲线在点A 处的切线的斜率为y '(x 0)，
y '(x 0)=(ln x )'0x x ==0
1
x ，
因为切线平行于直线y =2x ，，所以0
1
x =2，即x 0=21；又切点位于曲线上，因而y 0=ln 21=-ln2．
故所求的切线方程为
y +ln2=2(x -2
1
)，即y =2x -1-ln2． 四、可导和连续的关系
如果函数y =f (x )在点x 0处可导，则存在极限
lim
→x ?x y ??=f '(x 0)，则x
y ??=f '(x 0)+α (
0lim →x ?α=0)，或?y = f '(x 0) ?x +α??x (0lim →x ?α=0)，
所以 0
lim →x ??y =0
lim →x ?[f '(x 0) ?x +α??x ]=0．
这表明函数y =f (x )在点x 0处连续．
但y =f (x )在点x 0处连续，在x 0处不一定是可导的． 例如：（１）y =|x |在x =0处都连续但却不可导．
（２）y =3x 在x =0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的．
学生思考：
设函数f (x )=???<+≥0
,10
,2x x x x ，讨论函数f (x )在x =0处的连续性和可导性．
小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。 作业：见首页
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§4－2 换元积分法
教学过程
复习引入
1． 不定积分的概念；
2． 不定积分的基本公式和性质。 新课：一、第一类换元积分法
例如：?xdx 2cos ，积分基本公式中只有：?xdx cos =sin x +C ．为了应用这个公式，可进行如下变换：
)2(2
12cos 2cos x d x xdx ???=
2
1cos 21=?udu sin u +C 2
1
sin2x +C , 因为(21sin2x +C )'=cos2x ，所以?xdx cos =2
1
sin2x +C 是正确的．
定理1 设f (u )具有原函数F (u )，?'(x )是连续函数，那么
?'dx x x f )()]([??=F [?(x )]+C ．
证明思路 因为F (u )是f (u )的一个原函数，所以F '(u )=f (u )； 由复合函数的微分法得：
d F [?(x )]=F '(u )??'(x )dx =f [?(x )]??'(x )dx ， 所以 ?
'dx x x f )()]([??=F [?(x )]+C ．
基本思想：作变量代换u =?(x ), (d ?(x )= ?'(x )dx )，变原积分为?du u f )(，利用已知f (u )的原函数是F (u )得到积分，称为第一类换元积分法．
例1 求dx b ax ?+10)(, (a ,b 为常数)．
解 因为dx =
a
1
d (ax +b )，所以 )()(1)(1010b ax d b ax a dx b ax ++=+?
? 11101111u a du u a ＝ ?+C
a 111(ax +
b )11+C ． 例2 求dx x x
?ln ．
解 因为x
1
dx =d (ln x )，所以
原式=?)(ln ln x xd 21=?udu u 2+C 2
1(ln x )2+C ． 例3 求dx xe x ?2
．
令2x =u u =2x 回代 u =ax +b 回代 令ln x =u u =ln x 回代 令ax +b=u
解 因为xdx =
2
1
d (x 2)，所以 原式=2
1)(2
2
x d e x ?
21
du e u ?=21e u +C 22
1x e
+C ． 例4 求
dx x
a x ?
-2
2
．
解 因为xdx =
21d (x 2)=－2
1
d (a 2-x 2)，所以 原式=－
2
1
?
--)(1222
2
x a d x
a －
2
1?
du u
1= －u +C
－22x a -+C ．
学生思考： 求dx x
x
?
2
cos 1sin ＋． 第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d ?(x )，另一部分为?(x )的函数f [?(x )]，且f (u )的原函数易于求得．因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法． 常用微分式：
dx =a
1
d (ax )； xdx =21d (x 2)；
x 1
dx =d (ln|x |)； x
1dx =2d (x )；
21x dx =－d (x 1)； 2
11x +dx =d (arctan x )；
2
11x -dx =d (arcsin x )； e x dx =d (e x )；
sin xdx =－d (cos x )； cos xdx =d (sin x )；
sec 2xdx =d (tan x )； csc 2
xdx =-d (cot x )；
sec x tan xdx =d (sec x )； csc x cot xdx =－d (csc x )．
例6 求dx x x
1
cos 12?．
解 原式=C x
x d x +-=-?1
sin )1(1cos ．
例7 求dx x
a ?
-2
2
1, (a >0)．
解 原式=
C a x
a
x d dx a
a
x a x +=-=-?
?arcsin )()(11
)
(11
22．
例8 求dx x
a ?
+2
21
． 令x 2=u u =x 2回代 令a 2-x 2=u
a 2-x 2=u 回代
解 原式=C a x
a a x d a dx a a x a
x +=+=+??)arctan(1)()(111)(111
2
22． 例9 求dx x a ?
-2
21
, (常数a ≠0)． 解 原式=])(1
)(1[21)11(21???---++=-++x a d x a x a d x
a a dx x a x a a =C x
a x
a a +-+||ln 21．
例10 求dx x ?tan ． 解 原式=)(cos cos 1cos sin x d x
dx x x ?
?-==－ln|cos x |+C ． 类似可得：dx x ?cot =ln|sin x |+C ．
例11 求dx x ?sec ．
解 原式=???
-==x x d x
x d dx x 22sin 1)
(sin cos )(sin cos 1， 利用例9的结论得
原式=2
)cos sin 1ln(21|sin 1sin 1|ln 21x
x C x x +=+-++C =ln|sec x +tan x |+C ．
类似可得：?xdx csc =ln|csc x -cot x |+C ．
学生思考：1 求?xdx 2sin ．2 求dx x ?3sin 3 求dx x x ?2cos 3cos
4 求dx x
x x
?
+ln ln 1 教师讲评
小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。 作业 见首页
高等数学典型教案淮安信息职业技术学院数学教研室
1-7 两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： 当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→． 综上所述，得 一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1． 例1 求x x x tan lim →． 解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0 →． 解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 cos 1lim x x x -→． 解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim →．
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
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【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
求极限的常用方法典型例题
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
两个重要极限学习资料
2.5.1两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。 难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1 x x x f →→ （3）极限的四则运算： [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论） （6）[]0lim =?有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1 lim sin lim =??? ???=∞→∞→x x x x x x
那么，？=→x x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征：（1）0 0型极限； （2）分子是正弦函数； （3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例1】 求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k k x x k x 111sin lim 10=?=→ 【例2】 求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim 0=→x x x ） 【例3】 求 x x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习 （1）x x x 3sin lim 0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3 1131sin lim 310=?=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000 =?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结:
1-7两个重要极限练习题
1-7两个重要极限练习题 教学过程: 弓I 入：考察极 限 si nx lim ---- x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0 ( x) 综上所述，得 sin X 一.lim 1 . x 0 X lim 沁1的特点： x 0 X (1) 它是“0 ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是 (2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x a sin x 出arcsinx 求 lim ------ . x 0 x 令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: 当x 取正值趋近于0时，sin 2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0 x 推广 lim x a sin X x =lim x 0 sin X =1 x lim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0 x COSX lim sinx x 0 lim --- x 0 cosx 1 1 1. 求lim 沁. x 0 x sin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0 击，-1 cosx 求 lim -- 2 — x 0 x 2 3x (令3x t) 3ltim Sin t 1 cosx _ X 1叫二叫 2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2 x 0 x c 2(-)2 x im .x sin — 2 .x sin — 2 x 2
两个重要极限(可编辑修改word版)
2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则 1 f (x ) → （0 x → x 0） （3） 极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论） （5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论） （6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ?
lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限； （2） 分子是正弦函数； （3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 （1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结:
极限计算方法及例题
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
两个重要极限练习题
1-7两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限lim 匹 x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 综上所述，得 sin x lim 1 . x 0 lim 泌1的特点： x 0 x 解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3. x 0 x x 0 3x t 0 t 1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2 例4 求 im arcSinX . X 0 X 解 令 arcsinx=t ，贝U X =S int 且 X 0 时 t 0. 当x 取正值趋近于 0时，叱1,即lim 竺S=1 ； x x 0 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: si nx lim x 0 x li m sin( x) (x) x a 则 lim sin x .. sin x -=lim =1. x a X x 0 X 例1 求 tanx lim x 0 X sin x 解 lim tanx cosx sin x 1 si 1 li lim lim lim — lim x 0 x x 0 X x 0 x cosx x 0 X x 0 cosx 例2 求 ..sin3x lim 1. COSX 2 X =P 叫 2 X 2sin — 2 mo H X X- 2 2( X X sin sin lim 2 2 x 0 2 X X 2 2 (1) 它是“0 理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果 是 推广 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x 0 x 1 1 2 X 一 2 2
两个重要极限练习题
1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 当x 取正值趋近于0时，x x sin ?1，即+→0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x ?0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ??或?)， 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0→． 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 0cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0→． 解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x ?0时t ?0．
1.7 极限存在准则 两个重要极限-习题
1．计算下列极限： ⑴0tan 3lim x x x →； 【解】这是“ ”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim 1()f x f x f x →=： 为将tan3x 化出sin3x ，利用sin 3tan 3cos3x x x =，得： 0tan 3lim x x x →0sin 33lim 3cos3x x x x →=?313cos0 =?=。 ⑵1 lim sin x x x →∞； 【解】由于1 lim sin x x →∞sin 00==，这是“0?∞”型极限， 应化为商式极限求解：1lim sin x x x →∞101sin lim 1 x x x →=， 这又成为了“ ”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim 1()f x f x f x →=： 101 sin lim 11x x x →=，亦即1lim sin 1x x x →∞=。 ⑶0 lim cot x x x →； 【解】由于0 limcot x x →=∞，这是“0?∞”型极限， 应化为商式极限求解：0 lim cot x x x →0lim tan x x x →=， 这又成为了“ ”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim 1()f x f x f x →=： 同样利用sin tan cos x x x = ，得： 00lim lim cos tan sin x x x x x x x →→=?1cos01=?=， 亦即0 lim cot 1x x x →=。
⑷01cos 2lim sin x x x x →-； 【解】这是“ ”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim 1()f x f x f x →=： 为将1cos2x -化出正弦函数，利用2 cos 212sin x x =-，得： 01cos 2lim sin x x x x →-202sin lim sin x x x x →=0sin 2lim x x x →=212=?=。 ⑸sin lim x x x ππ→-； 【解】这是“ ”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim 1()f x f x f x →=： 由于不可能将x π-转化为x ，应考虑利用诱导公式，将sin x 转换为sin()x π-，得： sin lim x x x ππ→-0sin() lim x x x πππ-→-=-1=。 ⑹0 lim x + →； 【解】这是“ ”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim 1()f x f x f x →=： 为将根号去掉，并将余弦函数转化为正弦函数，可利用2 cos 12sin 2 x x =-，得： lim x + → 0lim x + → =0lim sin 2 x x + → = 0lim sin 2x x x +→= 02 lim sin 2 x x x + → = 1= = ⑺0 sin lim sin x x x x x →-+； 【解】这是“ ”型含三角函数极限，可考虑套用极限公式()0sin ()lim 1()f x f x f x →=： 0sin lim sin x x x x x →-+0sin 1lim sin 1x x x x x →- =+ 11011 -==+。
两个重要极限教案
公开课教案 教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型 时间地点 教材分析 《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。 学情分析 一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。 教学目标 知识与技能：让学生了解公式1 sin lim = →x x x 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。 过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。 情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。 教学重点 正确理解公式1 sin lim = →x x x ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点 公式1sin lim 0=→x x x 的证明、公式及其变形式灵活运用。 教法学法 本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函 数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。 课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。 教学环节 教 学 内 容 师生双边活动 复习导入 1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。 如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 2、A x f x x =→)(lim 0 的充要条件是什么？ A x f x x =→)(lim 0 ? )(lim 0 x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0 3、说出函数极限的四则运算法则。 B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim :1则设法则 B A x g x f x g x f B x g A x f ?=?=?==)]([lim )]([lim )]()(lim[, )(lim ,)(lim 2则：设法则 B A x g x f x g x f B B x g A x f = =≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则 教师引导， 学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目 的。
求极限的方法及例题总结
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
求极限的方法总结
求极限的方法总结 1．约去零因子求极限 例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2．分子分母同除求极限 例2：求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．． ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++（-5)（-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→
3．分子(母)有理化求极限 例1：求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2：求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 习题：2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ） 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为 0而分母为0时 就取倒数！】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞
《第二个重要极限的应用——复利模型》
《第二个重要极限的应用——复利模型》 教学方案设计 一、教学简述 （一）教学背景 极限是高等数学的最基础的理论及工具，尤其是第二个重要极限在极限中占有很重要的地位，它的结构独特，使用灵活，许多实际问题都依赖于为这种极限的应用，特别是复利模型的应用，因此若掌握了第二个重要极限不仅有助于我们学好微积分，也利于解决生产和生活中的实际问题。 （二）教学特色 第二个重要极限的地位特殊，由于结构复杂，形式多样，计算灵活，在经济学中尤为重要，为了体现其在经济工作中的优势，本节课旨在突出第二个重要极限的应用——复利模型，通过理论联系实际，以点至面的让学生掌握这一重点和难点。本节微课从“情境问题”教学法出发，构建虚拟课堂，因故事引出谜团，以谜团贯穿教学过程，借谜团掌握知识要点，构建以专业问题为背景的数学模型教会学生学会
主动提出问题、研究问题和解决问题，最终又回归于专业问题的运用。环环相扣的教学进程，让学生步步深入教学内容，提高学习的效果，从而更助于学生掌握本节课的知识。 （三）教学内容 1.课程《高等数学》 2.章节：第一章函数极限与连续性，第三节两个重要极限的第二部 分第二个重要极限。 （四）授课对象 财管、经济、国贸等经管类专科一年级 （五）教学目标 1.知识目标：基于第二个重要极限的学习，探究复利模型的最终结 论，进而回归实际问题，完成对第二个重要极限的应用。 2.能力目标：通过本微课的学习培养学生质疑问题、解决问题的能 力和相关知识的迁移能力。对专业学习和生活阅历的培养都有帮助。 3.情感目标：专业问题的引入可以激发学生的学习兴趣，明确高等 数学的实用性，体会数学思想和数学方法的精妙。进而培养学生主动探索和创新的科学精神。 （六）教学的重点与难点 1.重点：利用第二个重要极限的运算方法解决实际运用 2.难点：引导学生对复利模型的理解和归纳总结，进而推出其结论。（七）教学方法
两个重要极限的推广与应用
两个重要极限的推广与应用 摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。 关键词： 重要极限 推广形式 应用 Two important limits of popularization and application Abstract : Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application 极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0 =→x x x 和e x x x =+∞→)11(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。 1.两个重要极限的基本形式及其推广形式 1.1 1sin lim 0=→x x x (1) 运用1sin lim 0=→x x x 这个极限时我们一定要注意以下几个方面：