高考真题_三角函数与解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析
三角函数
一、三角恒等变换(3题)
1.(2015年1卷2)o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )
(A ) (B (C )12- (D )12
【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1
2
,故选D. 考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
2.(2016年3卷)(5)若3
tan 4
α=
,则2cos 2sin 2αα+=( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【解析】由3tan 4α=,得34sin ,cos 55αα==或34
sin ,cos 55αα=-=-,所以
2161264
cos 2sin 24252525
αα+=+?=,故选A .
考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式.
3.(2016年2卷9)若π3
cos 45α??-= ???,则sin 2α=
(A )
7
25
(B )15
(C )1
5
-
(D )725
-
【解析】∵3cos 45πα??-= ???,2ππ
7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ?????
,故选D .
二、三角函数性质(5题)
4.(2017年3卷6)设函数π
()cos()3
f x x =+,则下列结论错误的是()
A .()f x 的一个周期为2π-
B .()y f x =的图像关于直线8π
3
x =对称
C .()f x π+的一个零点为π6x =
D .()f x 在π
(,π)2
单调递减
【解析】函数()πcos 3f x x ?
?=+ ??
?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到,
如图可知,()f x 在π,π2??
???
上先递减后递增,D 选项错误,故选D.
π
5.(2017年2卷14)函数()23sin 4f x x x =-(0,2x π??
∈????
)的最大值是
.
【解析】()2231
1cos cos 44
f x x x
x x =--
=-+ 2
cos 12x ?=--+ ?
?,0,2x π??
∈????,则[]cos 0,1x ∈,当cos 2x =时,取得最大值1. 6.(2015年1卷8)函数()f x =cos()x ω?+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( )
(A )13
(,),44k k k Z ππ-+∈ (B )13
(2,2),44k k k Z ππ-+∈
(C )13
(,),44k k k Z -+∈
(D )13
(2,2),44
k k k Z -+∈
【解析】由五点作图知,1
+42
53+42
πω?π
ω??=????=??,解得=ωπ,=4π?,所以()cos()4f x x ππ=+,
令22,4
k x k k Z π
ππππ<+<+∈,解得124k -
<x <3
24
k +,k Z ∈,故单调减区间为(124k -
,3
24
k +),k Z ∈,故选D. 考点:三角函数图像与性质
7. (2015年2卷10)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则f (x )的图像大致为
的运动过程可以看出,轨迹关于直线2
x π=对称,且()()42
f f ππ
>,且轨迹非线型,故选
B .
8.(2016年1卷12)已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ω?ω?=>≤=-
, 为()f x 的零
点,4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ??
??
?,单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5
考点:三角函数的性质 三、三角函数图像变换(3题)
9.(2016年2卷7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π
12
个单位长度,则平移后图象的对称轴为 (A )()ππ26k x k =-∈Z (B )()ππ26k x k =+∈Z (C )()ππ212Z k x k =
-∈ (D )()ππ212
Z k x k =+∈ 【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ??=+ ???,令ππ2π+122x k ?
?+= ??
?,得对称轴方程:
()ππ
26
Z k x k =
+∈,故选B . 10.(2016年3卷14)函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
考点:1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数.
11.(2017年1卷9)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π
3
),则下面结论正确的是
A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度,得到曲线C 2
B .把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度,得到曲线C 2
C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度,得到曲线C 2
D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度,得到曲线C 2
【解析】:熟悉两种常见的三角函数变换,先变周期和先变相位不一致。 先变周期:
2cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ????????
??==+?=+?=+
=++ ? ? ? ? ??????
??
???
先变相位:
22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ???????
?==+?=++=+?=+ ? ? ? ?????????
选D 。【考点】:三角函数的变换。
解三角形(8题,3小5大)
一、解三角形(知一求一、知二求最值、知三可解)
1.(2016年2卷13)ABC △的角A ,
B ,
C 的对边分别为a ,b ,c ,若4cos 5A =,5
cos 13
C =,1a =,则b = .
【解析】∵4cos 5A =
,5cos 13C =,3sin 5A =,12sin 13
C =,()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=
,由正弦定理得:sin sin b a B A =解得21
13
b =.
2. (2017年2卷17)ABC △的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
()2
sin 8sin 2
B
A C +=. (1)求cos
B ;
(2)若6a c +=,ABC △的面积为2,求.b
解析 (1)依题得2
1cos sin 8sin 84(1cos )22
B B B B -==?=-. 因为22sin cos 1B B +=,所以2216(1cos )cos 1B B -+=,所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=,得cos 1B =(舍去)或15cos 17
B =
. (2)由⑴可知8sin 17B =
,因为2ABC S =△,所以1sin 22ac B ?=,即18
2217
ac ?=,得172ac =.
因为15cos 17B =,所以22215
217
a c
b a
c +-=,即22215a c b +-=,从而22()215a c ac b +--=,
即2361715b --=,解得2b =.
3.(2016年1卷17)ABC ?的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知
2cos (cos cos ).C a B+b A c =
(I )求C ;
(II )若c ABC =
?求ABC 的周长.
【解析】(1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC,
2cosC·sin(A+B)=sinC.因为A+B+C=π,A,B,C∈(0,π),所以sin(A+B)=sinC>0, 所以2cosC=1,cosC=12.因为C∈(0,π),所以C=π
3
.
(2)由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2ab·cosC,7=a 2+b 2-2ab·1
2
,(a+b)2-3ab=7,
S=1
2
,所以ab=6,所以(a+b)2-18=7,a+b=5,
所以△ABC 的周长为.
4. (2017年1卷17)ABC △的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC △的
面积为2
3sin a A
.
(1)求sin sin B C 的值;
(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC △的周长.
解析 (1)因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =,所以21
sin 3sin 2
a bc A A =,即
223sin 2a bc A =.由正弦定理得223
sin sin sin sin 2
A B C A =,由sin 0A ≠,得
2
sin sin 3
B C =.
(2)由(1)得2sin sin 3B C =,又1
cos cos 6
B C =,因为πA B C ++=,
所以()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=.
又因为()0πA ∈,,所以60A =,sin A ,1cos 2A =.
由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =?,sin sin a c C A =?,所以2
2sin sin 8sin a bc B C A
=?= ② 由①,②,得
b c +=3a b c ++=ABC △周长为3+