深圳市南山区垃圾运输问题研究

深

摘要：本文就深圳市南山区垃圾运输问题，采用规划的理论方法建立数学模型，并利用图论模型，提出满足欧拉回路的算法，针对题设问题给出了合理的清运路线的具体方案。

1）问题一中，为简化问题，在转运站覆盖区域的划分的问题上，需要运用“最大覆盖”（1）及“模糊划分”（2）的思想，具体划分出每个转运站所对应的片区的近似最优划分。然后比照用中国邮递员问题解决（3），达到最佳经济效益和环保效果的垃圾清运路线问题是在车辆限载约束条件下的最优路径选择的问题，同时本项目涉及到深圳市南山区38个垃圾中转站，而每个中转站所覆盖的收集区域的选取需要满足最大覆盖域（即总体能够消耗最少资源来覆盖整片区域），收集区域的划分又要同时考虑实地情况（地形、路线、用地性质、人流量、垃圾量等）。

因此我们分两阶段建立模型：阶段一是从小区到转运站阶段清运路线的优化模型，将阶段一分为38个模块分别求解（就是将其中一转运站的模型建立出来，在综合38个转运站模型解求得从小区到转运站阶段的路线优化解），于是将每个小分区的街道及收集点简化成网络图，遵循以垃圾中转站为圆心沿径向发散求最小生成树的原则将圈点图中相邻的圈点组块，使得每块的垃圾量近似于垃圾收运车载限，对应于圈点分块，网络图分开成了各个子网络图，对于每一个子网络图即可利用欧拉回路（4）求得其最小路径线路（以月亮湾转运站为例求得的最短路径为方案二：4+11+18+25+29+30+31，总长为3.7公里）；阶段二就是转运站少数几个处理中心的路线优化模型，我们将处理中心以及对应的转运站的集合简化成点网络图，使得问题转化为分别对子点网络图构成的哈密尔顿图（5）求一条能通过集合内各个顶点的路径最短的哈密尔顿圈（以子网络图涌下村中转站、北头公厕中转站、南山市场中转站、深圳大学中转为例，得处理中心—深圳大学中转—涌下村中转站—北头公厕中转站—南山市场中转站—北头公厕中转站—处理中心为最短路线）。

2）设置垃圾转运站可以更有效地利用人力和物力，充分发挥垃圾清运车的效益，保证载质量较大的垃圾转运车经济而有效地进行长距离运输，从而降低垃圾收运的总费用。本文针对垃圾收运系统的特点,首先应用集合覆盖模型（6）,确定垃圾中转站的待选点；而后再引入整数规划构建垃圾收运系统费用的现值最小模型,从待选点中选出垃圾中转站的最优组合. 这样,通过对中转站选址分阶段地2次优化（7）,避免了直接运用整数规划的复杂运算,期望为城市垃圾中转站选址（8）提供一种简单易行的方法。

关键词：欧拉回路最大覆盖模糊划分集合覆盖模型二次优化

（1）问题重述

在垃圾分类收集与处理中，不同类的垃圾有不同的处理方式，简述如下：

1）橱余垃圾可以使用脱水干燥处理装置，处理后的干物质运送饲料加工厂做原料。不同处理规模的设备成本和运行成本（分大型和小型）见附录1说明。

2）可回收垃圾将收集后分类再利用。

3）有害垃圾，运送到固废处理中心集中处理。

4）其他不可回收垃圾将运送到填埋场或焚烧场处理。

相应数据：

1）所有垃圾将从小区运送到附近的转运站，再运送到少数几个垃圾处理中心。显然，1）和2）两项中，经过处理，回收和利用，产生经济效益，而3）和4）只有消耗处理费用，不产生经济效益。-大型厨余垃圾处理设备（如南山餐厨垃圾综合利用项目，处理能力为200吨/日，投资额约为4500万元，运行成本为150元/吨。小型餐厨垃圾处理机，处理能力为200-300公斤/日，投资额约为28万元，运行成本为200元/吨。橱余垃圾处理后产物价格在1000-1500元/吨。2）通过综合处理回收利用，可以减少污染，节省资源。如每回收1吨废纸可造好纸850公斤，节省木材300公斤，比等量生产减少污染74%；每回收1吨塑料饮料瓶可获得0．7吨二级原料；每回收1吨废钢铁可炼好钢0．9吨，比用矿石冶炼节约成本47%，减少空气污染75%，减少97%的水污染和固体废物。

1）四类垃圾的平均比例

橱余垃圾：可回收垃圾：有害垃圾：其他不可回收垃圾比例约为4：2：1：3。可回收垃圾划分为纸类、塑料、玻璃、金属四大类，大概比例分别是：55%、35%、6%、4%。纸类、塑料、玻璃、金属四类的废品回收价格是每公斤：1元、2.5元、0.5元、2.5元。

2）南山区的垃圾清运设备情况（主要是车辆数目和载重）。

3)拖头（拖车）：只拖十吨的大型厢，只用于从转运站到垃圾中心，每次只拖一个大型“厢”，平均吨公里耗油25L—30L柴油/百公里。

收集车辆：只负责从小区的垃圾站到转运站运输。100辆2.5吨汽车，每车耗油20L—35L 70#汽油/百公里。

司机月薪平均3500元。

本项研究课题旨在为深圳市的垃圾分类化进程作出贡献。为此请你们运用数学建模方法对深圳市南山区的分类化垃圾的实现做一些研究，具体的研究目标是：1）假定现有垃圾转运站规模与位置不变条件下，给出大、小型设备（橱余垃圾）的分布设计，同时在目前的运输装备条件下给出清运路线的具体方案。以期达到最佳经济效益和环保效果。

2）假设转运站允许重新设计，请为问题1）的目标重新设计。

（2）问题分析

问题一：为简化问题讨论，在转运站覆盖区域的划分的问题上，需要运用“最大覆盖”及“模糊划分”的思想，具体划分出每个转运站所对应的片区的近似最优划分。

将问题简化后，所要求解的问题就是每个垃圾中转站所对应的每个小分区的街道所构成的收集网络的垃圾收运车辆优化路线的问题，也就是要求每一条街道至少有一辆垃圾收运车经过并且车辆重复走过的街道的总长度最小化的问题。

对于这个问题，我们采用图论模型，将每个小分区的街道及收集点简化成网络图（也叫赋权图）。对于网络图中的圈用圈点来表示，计算各个圈点的垃圾量（也即围成圈的街道上的垃圾量的和），将相邻（有公共顶点）的圈点用线连接起来，这就构成了圈点图。遵循以垃圾中转站为圆心沿径向发散求最小生成树的原则将圈点图中相邻的圈点组块，使得每块的垃圾量近似于垃圾收运车载限，对应于圈点分块，网络图分开成了各个子网络图，对于每一个子网络图即可利用欧拉回路求得其最短路径线路。

问题二，转运站的建设规模和数量应与生活垃圾收集、处理设施协调。对于生活垃圾处理设施集中建设且远离城市的地区，可建设大型的转运站；对于生活垃圾处理设施分区建设的城市，可建设满足相应服务区域要求的垃圾转运站。我们可根据人口密度以及是经济成本及可能少，在合适的位置设置规模大小不同的转运站。一般每0.7~1km2设置一座小型转运站，一般每10~15km2设置一座大、中型转运站。而且一般用小型机动车收集垃圾的小、中转运站，服务半径不超过2km。对于城市垃圾收运系统,在综合考虑城市总体规划、当地经济、市政设施、交通状况、公众的接受认可度等影响因素,并进行现场踏勘的基础上,利用集合覆盖模型初步确定垃圾中转站的待选址.

（3）模型建立和求解

3.1问题一的模型

3.11 大小型橱余设备处理中心的布局方法：

通过lingo软件计算出大型橱余设备的数量为两个（实现程序见附录一），把南山区各中转站的橱余垃圾计算出来（见附录表），把中转站根据分布密集情况分为几个小块，根据南山区在图上的面积大小画两个直径为5厘米的圆。圆的位置为覆盖中转站最多的地方。而大型橱余设备处理中心为圆的原点附近的位置。我们知道，如果一个圆中覆盖的中转站越多，那么此块的中转站越密集，在此地设中转站的话所走的路程就大大缩短。而最短路程将是在圆的原点附近。具体哪个位置将结合每小块中转站的垃圾产量及公路分布来确定。

3.12具体的清运路线可以通过采用图论模型

首先，为简化问题讨论，在转运站覆盖区域的划分的问题上，需要运用“最大覆盖”及“模糊划分”的思想，具体划分出每个转运站所对应 的片区的近似最优划分，共38个区域。对于这个问题，我们采用图论模型，将每个小分区的街道及收集点简化成网络图（也叫赋权图）。对于网络图中的圈用圈点来表示，计算各个圈点的垃圾量（也即围成圈的街道上的垃圾量的和），将相邻（有公共顶点）的圈点用线连接起来，这就构成了圈点图。遵循以垃圾中转站为圆心沿径向发散求最小生成树的原则将圈点图中相邻的圈点组块，使得每块的垃圾量近似于垃圾收运车载限，对应于圈点分块，网络图分开成了各个子网络图，对于每一个子网络图即可利用欧拉回路算法（见附录二）求得其最小路径线路。

下面是月亮周转站的清运路线图：

上图为深圳市南山区的一部分图。其中用数字标记每一路段。从图中可以看出月亮湾中转站用拖车满载垃圾直达橱余处理中心的路径有适宜的几条：

20 1

2

3 4 5 6 7 8 10 14 9 11 12 13 15 16 17 18 19 21 22

23 24

25

26

27

28

29 30 31 大型橱余处理中心 南山大道 南海大道 北环大道 月亮湾中转站

1、 方案一：1+2+3+7+14+21+28

经测量方案一的具体路线总长度为4公里 2、 方案二：4+11+18+25+29+30+31

经测量方案二的具体路线总长度为3.7公里 3、 方案三：4+11+18+22+23+24+28

经测量方案三的具体路线总长度为4.1公里 比较上面三种方案从中得到较优方案为方案二。 同样对于其他中转站可以运用以上方法，通过逐步筛选最近距离点法求解总路径最短的方法，把每个中转站直接送达处于处理中心的最短路径。

对于阶段二是从转运站到几个少数处理中心的路线优化，将厨余垃圾处理中心以及对应的转运站的集合简化成点网络图（也叫赋权图），点与点之间的连线表示路径长度。若点上的厨余垃圾量超过车辆限载，则将能使车辆满载的厨余垃圾取最短路径送往处理中心。剩下的不能使车辆满载的厨余垃圾，则集合各个点，使每个集合的垃圾量近似于拖车的载限。对应于集合起来的点，点网络图分开成了各个子点网络图，则问题转化为分别对子点网络图构成的汉密尔顿图求一条能通过集合内各个顶点的路径最短的汉密尔顿圈（9）。

对于路径最短的汉密尔顿圈的求解，采用的是逐步筛选最近目的地法。具体步骤：一：从出发点开始，选取离出发点最近的一点为目的地；二：以到达的目的地再作为出发点，对未经过的点重复一的步骤；三：最终回到出发点。四：得出的备选路线方案中，选取总路径最短的方案为最优方案。

然后再对中转站剩下的不能使车辆满载的厨余垃圾，则集合各个转运站，使每个集合的垃圾量近似于拖车的载限。我们用子网络图表示。从统计的数据可以看到涌下村中转站、 北头公厕中转站、南山市场中转站、深圳大学中转站垃圾日常量 分别为11.4吨、8.6吨、14.2吨、8.6吨。可以

看出这几个中 转站要用到共同一辆拖车来运输所剩的垃圾量，

其路线图如下：

图代表的是其中一个子点网络图，其中的黄色方形表示厨余处理中

5.5

涌下村中转

北头公厕垃圾

中转站

南山市场中转

深圳大学中转

处于垃圾处理中心

2

3

1.5

2.5

4.5

1

3.5

心，各个不同颜色的小椭圆表示转运站，线上的数字表示两点间的路径长度，转运站里面剩下的需转运的厨余垃圾量之和近似于拖车的载限。现要求的是一个能连通方形以及各个小椭圆的路径最小的汉密尔顿圈。现在对这个问题分步求解：

第一步：从方形出发，选取离出发点最近的小椭圆作为目的地。 第二步：再以到达的小椭圆再作为出发点，再次选取未经过的距出发点最近的小椭圆作为目的地，依次下去，最终回到方形。

得到备选路线方案：

方案一具体路线总长为： 2+5.5+4.5+1+3=16

方案二的具体路线总长为1.5+2+5.5+3.5+1=13.5 涌下村中转

战

北头公厕垃圾中转站 南山市场中转站

深圳大学中转站

处于垃圾处理中心

涌下村

北头公厕垃

圾中转站

南山市场

深圳

大学

处于垃

圾处理

比较这两种方案具体路线总长后决定方案二的路线是最优的。

3.13 模型评价：

采用逐步筛选最近距离点法求解总路径最短的汉密尔顿圈能有效减小算法运行的步数，使之很快收敛到最优解。但此方法只能用于局部最优路线的规划，所以，对于涉及到大区域的规划，则需要做很多前期工作，将大区域逐步细分，在各个细分的小区域范围内做局部规划，再将每个小区域的最优规划组合，得到总体的近似最优规划。不过由于本数据太多，要重复该算法。 3.2 问题二的模型与建立；

考虑到垃圾站越多,环境影响点越多. 因此,在不影响垃圾正常收集的前提下,参照垃圾收集密度以及当地人口密度,适当增加每座垃圾站的服务范围,计算出每一垃圾收集站的规模和最优收集半径,据此布置垃圾收集站. 而后选用集合覆盖模型确定垃圾中转站的待选点,即用最少的垃圾中转站去覆盖所有的垃圾收集站. 具体步骤如下:

设有m 座垃圾收集站,集合覆盖模型为: m in k

k M

W ∈∑

(1)

约束方程:()

ik

k B i U ∈∑

= 1; i = 1, 2, ……, m (2)

()

i ik

k A i X U ∈∑

≤

k C *k

W ；i = 1, 2, ……, m, k ∈B( i)(3)

X i , C k ≥ 0； i = 1, 2, ?, m; k ∈B(i) (4) W k =

{10 k k 启用第座垃圾中转站

不启用第座垃圾中转站

(5) U ik =

1

0i k i k ??

?第座垃圾收集站被第座垃圾中转站覆盖　第座垃圾收集站没被第座垃圾中转站覆盖

(6)

式中, M = {1, 2, ?, m } ,表示m 座垃圾收集站组成的集合; Ck 表示筛选出的第k 座垃圾中转站的中转能力; Xi 表示第i 座垃圾收集站的垃圾量; A ( k)表示筛选出的第k 座垃圾中转站所覆盖的垃圾收集站的集合; B ( i) = { k | i ∈A ( k) }表示可以覆盖第i 座垃圾收集站的中转站的集合.表达式(1)为目标函数,即从现有m 座垃圾收集站的位置中优选出可以覆盖m 座垃圾收集站的最小数目的中转站选点;约束方程( 2)表示每一座垃圾收集站的垃圾均被清运;约束方程( 3)是满足垃圾中转站中转能力的要求;约束方程( 4)表示垃圾站和中转站的垃圾量非负;约束方程( 5)是垃圾收集站是否位于第k 座垃圾中转站附近的决策变量;约束方程(6)是第i 座垃圾收集站是否有垃圾收运到第k 座中转站的决策变量.对上述带有约束的极值模型求解,可以应用分枝定界的求解方法进行精确计算,但计算过程复杂且运算量较大. 因此,本研究选用启发式算法进行求解,所得结果可能不是最优解,但必定是可行解。我们可以把可行解都算出来，分别运用问题一模型，解出最短路线，然后逐一比较，得出最优垃圾转运站地址。

由于图形处理太复杂、太多，我们只给出了以上模型。

3.12 模型的评价

这种方法既可对单目标项目进行评价，也可以对多目标项目进行评价，适应性强，可推广到其它工程项目的评价。

参考文献：

1）https://www.360docs.net/doc/36331167.html,/view/4085581.htm（选址问题和覆盖问题）https://www.360docs.net/doc/36331167.html,/wiki/A435695.html

2）一种优化模糊划分的遗传方法崔莹; 吴绍兵; 云南警官学院计算机科学系;

2008（9）

3）王树禾. 几类多投递员中国邮路问题[J]. 中国科学技术大学学报, 1995,(04) .

4）https://www.360docs.net/doc/36331167.html,/view/b7b7a77ca26925c52cc5bf0f.html

5）杨冀林，哈密尔顿图的判定及在“旅行货郎问题”上的应用，Journal of Chifeng University(Natural Science Edition) 2010 （3）

6）姜阳光; 庞大钧，基于集合覆盖模型的城市ULS物流节点选址分析，物流科技, Logistics Sci-Tech, 2009年 10期

7）张聚，仇耀鑫，约束线性二次优化控制的多参数规划求解清华大学学报(自然科学版) 2007/S2

8）Gil Yitzhak，Kellerman Aharon. A Multicriteria Model for the Location of Solid Waste Transfer Stations: The Case of Ashdod，Israel 〔J〕.

Geo Journal，1993，29 （4） : 377-384.

贾传兴，彭绪亚，刘国涛，等. 城市垃圾中转站选址优化模型的建立及其应用〔J〕. 环境科学学报，2006，26 （11）：1927-l931.

9）周炳生,高向阳. 哈密顿图和欧拉图的一种判别方法[J]. 广西科学院学报, 2006,(01) .

附录一：小区每日垃圾预测一般模型

附录二：欧拉回路算法以及程序实现

附录三：厨余垃圾大小型设备分布lingo程序实现及数据记录附录表：南山区各中转站的橱余垃圾

序号垃圾转运站名称位置运营单位厢数垃圾转

运

量(吨/

日)

厨余垃圾

1 九街站深南大道南头中

学旁

德盈利公司 1 20

11.4285714

29

2 玉泉站玉泉路宝龙路口德盈利公司 2 25 14.2857142 86

3 动物园站西丽湖路旁德盈利公司 2 20 11.428571

4 29

4 平山村站南山区平山村内德盈利公司 1 2

5 14.2857142 86

5 牛城村站南山区牛成村内环卫总站 1 5 2.85714285 71

6 科技园站科苑南路与滨海

大道交汇处西侧

环卫总站 2 20

11.4285714

29

7 同乐村站同乐村内环卫总站 2 5 2.85714285 71

8 松坪山（二）站高新北区朗山一

路绿地内

环卫总站 2 10

5.71428571

43

9 大新小学站南头街大新小学

旁

环卫总站 1 30

17.1428571

43

10 南山村站东滨路与前海路

交汇处

环卫总站 2 25

14.2857142

86

11 阳光(白芒关外)

站

南山区白芒关外德盈利公司 1 10

5.71428571

43

12 月亮湾大道站西部绿化长廊北

端

环卫总站 4 40

22.8571428

57

13 光前站龙珠三路光前村

旁

环卫总站 1 20

11.4285714

29

14 北头站前海路北头村旁德盈利公司 1 15 8.57142857 14

15 涌下村站桃园路涌下村内德盈利公司 1 20 11.4285714 29

16 白石洲南站白石洲路与石洲

中路交叉东南角

环卫总站 1 30

17.1428571

43

17 前海公园站南山区前海公园

内

环卫总站 1 16

9.14285714

29

18 深圳大学站校园内环卫总站 2 15 8.57142857 14

19 官龙村站南山区官龙村内环卫总站 1 15 8.57142857 14

20 松坪山站南山区松坪山第

五工业区内

环卫总站 2 25

14.2857142

86

21 南光站南山区南光村内环卫总站 1 15 8.57142857 14

22 南园站南山区南园村内环卫总站 1 15 8.57142857 14

23 望海路站望海路避风塘对

面

蛇口市政 1 30

17.1428571

43

24 花果路站花果路蛇口小学

旁

蛇口市政 2 30

17.1428571

43

25 福光站南山区福光村内环卫总站 1 10 5.71428571 43

26 新围村站沙河西路新围村

旁

环卫总站 1 20

11.4285714

29

27 大冲站深南大道大冲村

旁

环卫总站 2 35 20

28 沙河市场站南山区沙河市场

旁

环卫总站 1 30

17.1428571

43

29 龙井龙珠五路龙井村

旁

环卫总站 1 15

8.57142857

14

30 南山市场南新路南山市场

旁

环卫总站 1 25

14.2857142

86

31 麻勘站南山区麻勘村内环卫总站 1 10 5.71428571 43

32 白芒站南山区白芒村内环卫总站 1 8 4.57142857 14

33 大石磡站南山区大磡村内环卫总站 2 30 17.1428571 43

34 长源村站南山区长源村内环卫总站 1 5 2.85714285 71

35 华侨城站侨城东路西侧华侨城清洁 2 70 40

36 疏港小区站兴海大道旁阳光三环 3 40 22.8571428 57

37 西丽路站西丽监督队楼下环卫总站 1 15 8.57142857 14

38 塘朗站塘朗工业区内环卫总站 2 10 5.71428571 43

合计63 804 459.428571 43

附录一：

线形回归分析法确定各小区日产垃圾量

Y=a0+a1x1+a2x2+…+amxm。

式中：

Y 小区每日垃圾预测产生量；

xi 为影响垃圾产生的多个因素（i=1，2，…，m）；

ai 为回归系数（i=1，2，…，m）。

影响垃圾产生的因素有很多，如人口数量、工资收入、消费水平、燃料结构等。

附录二：

欧拉回路的判断

以下判断基于此图的基图连通。

无向图存在欧拉回路条件

一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。

有向图存在欧拉回路条件

一个有向图存在欧拉回路，且所有顶点的入度等于出度

混合图存在欧拉回路条件

要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：

假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。

其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任以构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii

无向图欧拉回路解法

求欧拉回路的一种解法

下面是无向图的欧拉回路输出代码：注意输出的前提是已经判断图确实是欧拉回路。

int num = 0;//标记输出队列

int match[MAX];//标志节点的度，无向图，不区分入度和出度

void solve(int x)

{

if(match[x] == 0)

Record[num++] = x;

else

{

for(int k =0;k<=500;k++)

{

if(Array[x][k] !=0 )

{

Array[x][k]--;

Array[k][x]--;

match[x]--;

match[k]--;

solve(k);

}

}

Record[num++] = x;

}

}

pascal代码:

求无向图的欧拉回路（递归实现）

program euler;

const maxn=10000;{顶点数上限}

maxm=100000;{边数上限}

type tnode=^tr;

tr=record

f,t:longint;{边的起始点和终止点}

al:boolean;{访问标记}

rev,next:tnode;{反向边和邻接表中的下一条边}

end;

var n,m,bl:longint;{顶点数，边数，基图的极大连通子图个数}

tot:longint;

g:array[1..maxn] of tnode;

d:array[1..maxn] of longint;{顶点的度}

fa,rank:array[1..maxn] of longint;{并查集中元素父结点和启发函数值} list:array[1..maxm] of tnode;{最终找到的欧拉回路}

o:boolean;{原图中是否存在欧拉回路}

procedure build(ta,tb:longint);{在邻接表中建立边(ta, tb)}

var t1,t2:tnode;

begin

t1:=new(tnode);

t2:=new(tnode);

t1^.f:=ta;

t1^.t:=tb;

t1^.al:=false;

t1^.rev:=t2;

t1^.next:=g[ta];

g[ta]:=t1;

t2^.f:=tb;

t2^.t:=ta;

t2^.al:=false;

t2^.rev:=t1;

t2^.next:=g[tb];

g[tb]:=t2;

end;

procedure merge(a,b:longint);{在并查集中将a, b两元素合并} var oa,ob:longint;

begin

oa:=a;

while fa[a]<>a do a:=fa[a];

fa[oa]:=a;

ob:=b;

while fa[b]<>b do b:=fa[b];

fa[ob]:=b;

if a<>b then begin

dec(bl);{合并后，基图的极大连通子图个数减少1}

if rank[a]=rank[b] then inc(rank[a]);

if rank[a]>rank[b] then fa[b]:=a else fa[a]:=b;

end;

end;

procedure init;{初始化}

var i,ta,tb:longint;

begin

fillchar(fa,sizeof(fa),0);

fillchar(rank,sizeof(rank),0);

fillchar(d,sizeof(d),0);

readln(n,m);

for i:=1 to n do fa[i]:=i;

bl:=n;

for i:=1 to m do begin

readln(ta,tb);

build(ta,tb);

inc(d[tb]);

inc(d[ta]);

merge(ta,tb);

end;

end;

procedure search(i:longint);{以i为出发点寻找欧拉回路} var te:tnode;

begin

te:=g[i];

while te<>nil do begin

if not te^.al then begin

te^.al:=true;

te^.rev^.al:=true;

search(te^.t);

list[tot]:=te;

dec(tot);

end;

te:=te^.next;

end;

end;

procedure main;{主过程}

var i:longint;

begin

o:=false;

for i:=1 to n do

if d[i]=0 then dec(bl);{排除孤立点的影响}

if bl<>1 then exit;{原图不连通，无解}

for i:=1 to n do

if odd(d[i]) then exit;{存在奇点，无解}

o:=true;

for i:=1 to n do

if d[i]<>0 then break;

tot:=m;

search(i);{从一个非孤立点开始寻找欧拉回路}

end;

procedure print;{输出结果}

var i:longint;

begin

if not o then writeln('No solution.') else begin

writeln(list[1]^.f);

for i:=1 to m do writeln(list[i]^.t);

end;

end;

begin

init;

main;

print;

end.

注意record中的点的排列是输出的倒序，因此，如果要输出欧拉路径，需要将record倒过来输出。

求欧拉回路的思路：

循环的找到出发点。从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。这种方法不保证每个边都被遍历。如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被连接到一起了。

具体步骤：

1。如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径中

2。如果该点有相连的点，那么就列一张表，遍历这些点，直到没有相连的点。

3。处理当前的点，删除走过的这条边，并在其相邻的点上进行同样的操作，并

把删除的点加入到路径中去。

4。这个其实是个递归过程。

附录三：

min=4500*x1+28*x2;

x1>0;

x2>0;

200*x1+0.25*x2>=460;

求解得：

Global optimal solution found.

Objective value: 10350.00

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X1 2.300000 0.000000

X2 0.000000 22.37500

Row Slack or Surplus Dual Price

1 10350.00 -1.000000

2 2.300000 0.000000

3 0.000000 0.000000

4 0.000000 -22.50000

灵敏度分析：

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable

Variable Coefficient Increase Decrease

X1 4500.000 17900.00 4500.000

X2 28.00000 INFINITY 22.37500

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 0.0 2.300000 INFINITY

3 0.0 0.0 INFINITY

4 460.0000 INFINITY 460.0000