人教a版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换(含答案)

3.2 简单的三角恒等变换

自主学习

知识梳理

1．半角公式

(1)S α2：sin α2＝__________；(2)C α2：cos α2

＝________； (3)T α2：tan α2

＝________________＝________________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式：

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________

其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．

自主探究

1．试用cos α表示sin 2α2、cos 2α2、tan 2α2

.

2．证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α

.

对点讲练

知识点一 半角公式的应用

例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2

的值．

回顾归纳 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．

变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2

.

知识点二 利用辅助角公式研究函数性质

例2 已知函数f (x )＝3sin ????2x －π6＋2sin 2???

?x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．

回顾归纳 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝A sin(ω′x ＋φ)＋B 的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．

变式训练2 已知函数f (x )＝sin(x ＋π6

)＋sin ????x －π6＋cos x ＋a (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调增区间；

(2)若函数f (x )在???

?－π2，π2上的最大值与最小值的和为3，求实数a 的值．

知识点三 三角函数在实际问题中的应用

例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3

的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．

回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．

变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．

1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．

2．形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，

即f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (φ由sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b

2确定)进而研究函数f (x )性质． 如f (x )＝sin x ±cos x ＝2sin ???

?x ±π4， f (x )＝sin x ±3cos x ＝2sin ???

?x ±π3等.

课时作业

一、选择题

1．已知180°<α<360°，则cos α2

的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2

C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α2

2．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2

的值为( ) A ．－105 B.105

C ．－155 D.155

3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2

，则有( ) A ．a >b >c B ．a

C ．a

D ．b

4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )

A.????－π，－5π6

B.????－5π6

，－π6 C.????－π3，0 D.???

?－π6，0 5．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为( )

A ．2π

B ．π C.π2 D.π4

二、填空题

6．函数y ＝cos x ＋cos ???

?x ＋π3的最大值是________． 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．

8．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．

三、解答题

9．已知向量a ＝(sin(π2

＋x )，3cos x )，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；

(2)如果三角形ABC 中，满足f (A )＝32

，求角A 的值．

10．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b (a >0)的定义域为????0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．

§3.2 简单的三角恒等变换

答案

知识梳理

1．(1)±

1－cos α2 (2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2

点(a ，b ) 自主探究

1．解 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2

∴2sin 2α2＝1－cos α，sin 2α2＝1－cos α2

. ① ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2

② 由①②

得：tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2

＝tan α2. ∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证：tan α2＝1－cos αsin α

. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α

. 对点讲练

例1 解 ∵sin θ＝45，5π2

<θ<3π. ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35

. 又5π4<θ2<3π2

. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55

. tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－????－351＋???

?－35＝2.

变式训练1 解 ∵α为钝角，β为锐角，

sin α＝45，sin β＝1213

. ∴cos α＝－35，cos β＝513

. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

＝－35×513＋45×1213＝3365

. 又∵π2<α<π，0<β<π2

， ∴0<α－β<π.0<α－β2<π2

. ∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565

. 例2 解 (1)∵f (x )＝3sin ?

???2x －π6 ＋2sin 2???

?x －π12 ＝3sin2????x －π12＋1－cos2???

?x －π12 ＝2????32

sin2????x －π12－12cos2????x －π12＋1 ＝2sin ????2????x －π12－π6＋1 ＝2sin ????2x －π3＋1，∴T ＝2π2

＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ?

???2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋5π12

(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12

，k ∈Z }． 变式训练2 解 (1)f (x )＝sin ???

?x ＋π6＋ sin ???

?x －π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ???

?x ＋π6＋a ， 解不等式2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2

(k ∈Z )， 得y ＝f (x )的单调增区间是 ?

???2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)当x ∈????－π2，π2时，－π3≤x ＋π6≤2π3，sin ????x ＋π6∈???

?－32，1， ∴f (x )的值域是[－3＋a,2＋a ]．

故(－3＋a )＋(2＋a )＝3，即a ＝3－1. 例3 解 在直角三角形OBC 中，

OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在直角三角形OAD 中，DA OA

＝tan 60°＝ 3.