多次相遇问题

用过程图示法解多次相遇问题──兼析一类广为流传的错误
首都师大教育系研究生李景华
多次相遇类型的行程问题，由于相遇过程复杂，缺乏深入分析的直观性，难以发掘展开思维的突破口，因而显得晦涩抽象，令人费解。

如果在探讨这类问题的过程中，巧妙地辅之以过程图示法，就能达到化繁为易，化抽象为形象的效果。

问题1甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米。

如果他们同时分别从直路两端出发，当他们跑了10分钟时，那么在这段时间内共相遇了多少次？（1990年上海市第三届小学五年级数学竞赛试题）
命题者给出的解法如下：
解（90×2÷3=）60（秒），即甲经过60秒跑了一个来回，回到原来位置；（90×2÷2=）90（秒），即乙经过90秒跑了一个来回，回到原来位置。

60和90的最小公倍数是180，经过180秒甲和乙同时回到原来位置。

我们再分析一下，在180秒内，两人相遇了几次。

（90÷（2+3）=）18（秒），
（180-18）÷36=4……第18秒时他们第一次相遇，以后每隔36秒相遇一次。

18，在180秒内第一次相遇后他们又相遇了4次，然后用18秒时间各自回到了原来的位置。

可见180秒他们共相遇5次。

10分钟有600秒，600÷180=3……60，在3个180秒内相遇（5×3=）15（次）；余下60秒还有2次相遇的机会；（5×3+2=）17（次），因此这段时间内他们共相遇了17次。

事实上，这种解法碰巧避开了一个错误，而且“用18秒各自回到了原来的位置”也不是一目了然的。

问题2两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间内一共相遇了多少次？（1990年上海市第三届小学六年级数学竞赛试题）命题者给出如下解法：
解30米需要（30÷1=）30（秒），乙游30米需要（30÷0.6=）50（秒），经过150秒甲、乙两人同时游到两端，每隔150秒他们相遇的情况重复出现。

在150秒时间内他们一共相遇5次，两人一共游了（（1+0.6）×150=）240（米）。

他们相遇的情况用线段图表示如图1。

在第三次相遇时出现了追及相遇现象，因此说这道题的规律比较难找，5分钟有300秒，300秒是150秒的2倍，他们共游了480米，以上情况重复出现2次，因此，他们在5分钟内一共相遇了（5×2=）10（次）。

问题2用线段图，直观显示出各个时刻两人的运动状况，并且能清楚看出“各自回到原来位置”的状态，但是这种解法画出了5个时刻图，没有反映出运动的连续性，而且周期稍复杂这种线段图也难以奏效。

我们能否用某种图显示整个连续的运动过程呢？这就需要引进过程图示法。

所谓过程图示法，简单地说，就是以时间为横轴，以路程为纵轴，刻画出这段路程上任何时刻物体的各种运动状态的图形方法。

我们对问题1可以作出如下过程图（如图2）：以时间180秒为横轴，以直路长90米为纵轴，就能把这一段时间内（而不仅仅是某一时刻）甲、乙两人的运动情况清楚完整地表现出来。

路程（米）
在图2中，可以看到3分钟内，甲跑了3个来回，乙跑了2个来回，各自回到初始状态。

于是，我们可以知道3分钟就是一个最小周期，而且图2清晰地显示出在一个周期内相遇5次，10分钟内前9分钟是3个最小周期，相遇（3×5=）15（次），后一分钟相遇2次，所以甲乙一共相遇（5×3+2=）17（次）。

为什么说问题1的解法隐含着错误呢？命题者显然是这样推理的：“第18秒时他们第1次相遇，以后每隔36秒相遇一次”。

即认为第一次相遇以后每走两个全程（2×90=180（米），180÷（2+3）=36（秒）相遇一次，实际上在上述过程图与问题2的线段图中，我们都能发现甲速稍大一些，即问题2的情形，这就出现了追及相遇，用每走两个全程相遇一次的思路解题就难免出错。

例如《数学应用题思维训练》（湖北少年儿童出版社）一书第39页就有一道这种思路给出的错解例题：
问题3甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地。

从甲地开出的汽车每小时行30千米，从乙地开出的汽车每小时行40千米。

当从甲地开出的汽车第三次由甲地出发与另一辆汽车相遇时，两辆汽车各行驶了多少千米？
该书提供的解法如下：
解设汽车从出发到最后一次相遇共用x小时，则从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了30x千米和40x千米.依题意列方程，得
30x + 40x= 5×70
解之，得x=5
又30x=30×5=150 4Ox=40×5=200
答：从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了150千米和200千米。

这种解法错误地根据相遇次数得出了总行程。

在《中小学数学》1991年第1期第15页《解多次相遇问题应注意的一点》一文中，两位作者指出了这一错误，然后通过一大段文字分析得出汽车所走路程是全程10倍的结论，因而作出如下纠正：
解设同前。

30x+ 40x=10×70
解之，得x=10
又30x=30×10=300
40x=40×10=400
答：略。

这篇文章的纠正正确吗？让我们画一个过程图示（如图3）：
由图3可看出从甲地开出的汽车第三次由甲地出发与另一辆汽车相遇时，两车共走了11个全程！（不是10个）所以本题正确解答是：
解设汽车从出发到最后一次相遇共用x小时，则从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了30x千米和40x千米，列方程得
30x + 40x=11×70
解之，得x=11
又30x=30 ×11=330
40x=40×11=440
答：从甲、乙两地开出的汽车分别行驶了330千米和440千米。

我们再看一道典型的由相遇次数得出全程的失误命题，在中国大百科全书出版社出版的《华罗庚学校数学试题解析》（小学部）一书第144页，1993年华罗庚学校招生考试（五年级）试题中有这样一道题：
问题4甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不能往返行驶。

已知甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，又知两车第10次与第18次相遇的地点相距60米，那么AB间的路程是多少千米？
该书第147页给出如下答案：
第10次相遇时，两车共走了19个全程，设AB间的路程为x千米，则甲
显然这种思路沿袭了问题1的思维方式，事实上，我们可以作出如下过程图示（如图4）。

（设AB间路程为x千米）
中点1，第18次相遇地点为图中点9。

由于点1是两车由初始状态到第一次相遇的地点；点9是两车由相遇回到各自初始状态的地点，所以点1
与点9是AB之间同一点。

即两车第10次与第18次相遇地点相同。

这大概远出乎命题者的意料。

实际上若将“第18次”改成任何其他次数，用过程图示法都能轻松对其求解，只是与命题人本意相去甚远。

正如华罗庚教授所说，数缺形时少直观，形缺数时难入微。

借助本文所提供的过程图示法解多次相遇问题，能充分展示整个时间段的全过程，具体相遇细节清楚明了，大大提高了思维效率，并且用绘图计算在逻辑上也是无可挑剔的。

有兴趣的读者不妨试解下面这道竞赛题：
某轮船公司每天中午有一对轮船分别从A、B两地出发开往B、A，行程均为6昼夜，问今天中午从A地开出的轮船途中将遇到几艘本公司轮船从对方开来？（参考答案见本期）
参考书目：
1.金建中等编，《上海市小学数学竞赛试题解答》，上海科技教育出版社，1995年。

2.刘彭芝主编，《华罗庚学校数学试题解析），中国大百科全书出版社，1996年。

3.《中小学数学》，第1期（1991年）。