人教版七年级初一数学下学期第六章 实数单元 易错题难题测试提优卷

人教版七年级初一数学下学期第六章 实数单元 易错题难题测试提优卷

一、选择题

1．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，依此类推，则第⑦个图形中五角星的个数是( )

A ．98

B ．94

C ．90

D ．86

2．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……②

②-①得10

661S S -=-，即10

561S =-，所以1061

5

S -=.

得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出

23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是

A ．201811

a a --

B ．201911

a a --

C ．20181a a

-

D ．20191a -

3．若24a =，29b =，且0ab <，则-a b 的值为( )

A ．5±

B ．2-

C ．5

D ．5-

4．下列说法中正确的是（ ） A ．若a a =，则0a > B ．若22a b =，则a b = C ．若a b >，则

11a b

> D ．若01a <<，则32a a a <<

5．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2

π

不仅是有理数，而且是分数；④

23

7

是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个

B ．6个

C ．5个

D ．4个

6．下列各数中3.145，0.1010010001…，﹣1

7，2π38有理数的个数有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7．如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数25P 应落在( )

A ．线段A

B 上 B ．线段BO 上

C ．线段OC 上

D ．线段CD 上 8．2的平方根为（ ） A ．4 B ．±4 C ．2 D ．±2 9．4的平方根是（ ）

A ．±16

B ．2

C ．﹣2

D ．±2 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）

A ．2与3之间

B ．3与4之间

C ．4与5之间

D ．5与6之间

二、填空题

11．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[3

8

5

-)= 8-；②[x )

–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )

12．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________． 13．估计

512-与0.5的大小关系是：

51

2

-_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 14．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①31；②3312+；③333123++；④33331234+++，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值

333312326++++=__________．

15．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．

16．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：

，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例

如：对10连续求根整数2次： [10]3[3]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________． 17．若x ＜0，则323x x +等于____________．

18．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点

O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．

19．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b ，都有*1a b b ．例如

89914

*=+=，那么*(*16)

m m=__________．

20．利用计算器，得0.050.2236,0.50.7071,5 2.236,507.071

≈≈≈≈，按此规律，可得500的值约为_____________

三、解答题

21．如图，用两个面积为2

200cm的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）则大正方形的边长是___________；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为2

360cm？

22．观察下列各式：

(x－1)(x+1)=x2－1

(x－1)(x2+x+1)=x3－1

(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1

……

（1）根据以上规律，则(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=__________________．

（2）你能否由此归纳出一般性规律(x－1)(x n+x n－1+x n－2+…+x+1)=____________．

（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．

23．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方，”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作：“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把个记作a?，读作“a的圈n次方”

（初步探究）

（1）直接写出计算结果：2③，（﹣1

2

）③．

（深入思考）

2④

2 111111 2

222222

??=???=?= ?

??

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（2）试一试，仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥；（﹣1

2

）⑩．

（3）猜想：有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于多少．

(4)应用：求（-3）8×（-3）⑨-（﹣1

2

）9×（﹣

1

2

）⑧

24．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方

形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：

(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程) (2)这个图形的目的是为了说明什么?

(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)

A ．数形结合

B ．代入

C ．换元

D ．归纳

25．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是2,37的整数部分是z ，求

42x y z ++的平方根．

26．（1）如图，分别把两个边长为1cm 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm ；

（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是22cm π，设圆的周长为C 圆，正方形的周长为C 正，则C 圆_____C 正（填“=”或“<”或“>”号）；

（3）如图，若正方形的面积为2400cm ，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2300cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【分析】

学会寻找规律，第①个图2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，那么第n个图呢，能求出这个即可解得本题。

【详解】

第①个图 2五角星

第②个图 8五角星

第③个图 18五角星

…

第n个图2

2n五角星

当n=7时，共有98个五角星。

【点睛】

寻找规律是解决本题的关键所在。

2．B

解析：B

【解析】

【分析】

首先根据题意，设M=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，求出aM的值是多少，然后求出aM-M的值，即可求出M的值，据此求出1+a+a2+a3+a4+…+a2019的值是多少即可．

【详解】

∵M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，

∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，

②-①，可得aM-M=a2019-1，

即（a-1）M=a2019-1，

∴M=

20191

1 a

a

-

-

.

故选：B.

【点睛】

考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

3．A

解析：A

【分析】

首先根据平方根的定义求出a、b的值，再由ab＜0，可知a、b异号，由此即可求出a-b 的值．

【详解】

解：∵a2=4，b2=9，

∴a=±2，b=±3，

而ab＜0，

∴①当a＞0时，b＜0，即当a=2时，b=-3，a-b=5；

②a＜0时，b＞0，即a=-2时，b=3，a-b=-5．

故选：A．

本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

4．D

解析：D 【分析】

根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可． 【详解】

若a a =则0a ≥，故A 错误； 若22a b =则a b =或=-a b ，故B 错误； 当0a b >>时

11

b a

<，故C 错误； 若01a <<，则32a a a <<，正确， 故答案为：D ． 【点睛】

本题考查了有理数的运算，掌握有理数性质的运算是解题的关键．

5．B

解析：B 【分析】

根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】

解：①没有最小的整数，所以原说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；

③﹣

2π

是无理数，所以原说法错误； ④237

是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；

⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确； ⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；

⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误； 故其中错误的说法的个数为6个． 故选：B ． 【点睛】

本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

6．C

【分析】

直接利用有理数的定义进而判断得出答案． 【详解】

解：3.14，0.1010010001…，-17 ，2 3.14，-1

7

＝-2共3个. 故选C ． 【点睛】

此题主要考查了有理数，正确把握有理数的定义是解题关键．

7．B

解析：B 【分析】

【详解】

由被开方数越大算术平方根越大，得由不等式的性质得：故选B. 【点睛】

本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.

8．D

解析：D 【分析】

利用平方根的定义求解即可． 【详解】

解：∵2的平方根是． 故选D. 【点睛】

此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数.

9．D

解析：D 【分析】

根据平方根的定义以及性质进行计算即可． 【详解】

4的平方根是±2， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了平方根的问题，掌握平方根的定义以及性质是解题的关键．

10．C

解析：C

试题分析：∵16＜20＜25，

∴

∴4＜5．

故选C．

考点：估算无理数的大小．

二、填空题

11．③，④

【分析】

①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，

②由定义得[x)x变形可以直接判断，

③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，

④由定义

解析：③，④

【分析】

①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)

3

8

5

-)<

3

8

5

-<-8，[

3

8

5

-)=-9即可，

②由定义得[x)

③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，

④由定义知[x)

由定义知[x)

①[

3

8

5

-)=-9①不正确，

②[x)表示小于x的最大整数，[x)

③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)–x有最小值是-1，③正确，

④由定义知[x)

由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，

∵[x)

∴x1

-≤[x)

④正确．

故答案为：③④．

【点睛】

本题考查实数数的新规定的运算，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)

12．±2

先根据立方根得出x 的值，然后求平方根． 【详解】

∵x+1是125的立方根 ∴x+1=，解得：x=4 ∴x 的平方根是±2 故答案为：±2 【点睛】

本题考查立方根和平方根，注意一个正

解析：±2 【分析】

先根据立方根得出x 的值，然后求平方根． 【详解】

∵x+1是125的立方根

∴x=4 ∴x 的平方根是±2 故答案为：±2 【点睛】

本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．

13．> 【解析】

∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.

解析：> 【解析】

∵

1

0.52-=-=

20-> , ∴0> , ∴0.5> ,故答案为>.

14．351 【分析】

先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值． 【详解】 =1 =3 =6 =10

发现规律：1+2+3+ ∴1+2+3=351 故答案为：351 【点

解析：351 【分析】

先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值． 【详解】

=10

=1+2+3+

n +

=1+2+3

26+=351

故答案为：351 【点睛】

本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．

15．﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：

①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；

②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x]

解析：﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：

①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；

②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；

③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；

综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2. 故答案为-2或﹣1或0或1或2.

点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键. 【详解】 请在此输入详解！

16．255 【分析】

根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】 解：

∴对255只需要进行3次操作后变成1，

∴对256需要进行4次操作

解析：255 【分析】

根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】

解：

25515,3,1,??===?? ∴对255只需要进行3次操作后变成1，

25616,4,2,1,??====?? ∴对256需要进行4次操作后变成1，

∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 【点睛】

本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．

17．0 【分析】

分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案． 【详解】 解：∵x＜0， ∴，

故答案为：0． 【点睛】

本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方

的结果必须是

解析：0 【分析】

分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案． 【详解】 解：∵x ＜0，

0x x =-+=， 故答案为：0． 【点睛】

本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号．

18．【分析】

点对应的数为该半圆的周长． 【详解】

解：半圆周长为直径半圆弧周长 即

故答案为：． 【点睛】

本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键． 解析：

12π

+

【分析】

点O '对应的数为该半圆的周长． 【详解】

解：半圆周长为直径+半圆弧周长 即

12

π

+

故答案为：12

π

+．

【点睛】

本题考查数轴上的点与实数的关系．明确OO '的长即为半圆周长是解答的关键．

19．+1 【分析】

首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可． 【详解】 m*（m*16） =m*（+1）

=m*5

=+1．

故答案为：+1．

【点睛】

此题考查实数的运算，解题的关键是要

【分析】

首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．

【详解】

m*（m*16）

=m*）

=m*5

=．

．

【点睛】

此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．

20．36

【分析】

从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.

【详解】

解：观察，

不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，

因此得到第三个数的

解析：36

【分析】

从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.

【详解】

≈≈≈≈，

7.071

不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，

≈.

因此得到第三个数的估值扩大1022.36

故答案为22.36.

【点睛】

本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.

三、解答题

21．（1）20cm ；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形，理由详见解析 【分析】

（1）根据已知得到大正方形的面积为4002cm ，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，根据面积列得54360x x ?=，求出

x =520x =>，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.

【详解】

（1）∵用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形， ∴大正方形的面积为4002cm ，

20cm = 故答案为：20cm ；

（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，

54360x x ?=，

解得：x =

520x =>，

答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形. 【点睛】

此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.

22．（1）x 7

－1；（2）x n+1

－1；（3）5131

2

-．

【分析】

（1）仿照已知等式写出答案即可；

（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】

解：（1）根据题意得：(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=x 7-1； （2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；

（3）原式=12×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= 12×（x 50+1

-1）=51312

-

故答案为：（1）x 7－1；（2）x n+1－1；（3）51

31

2

-．

【点睛】

本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．

23．（1）1

2

，-2；（2）（

1

5

）4，（﹣2）8；（3）

n-2

1

a

??

?

??

；（4）

7

-2

8

.

【分析】

（1）分别按公式进行计算即可；

（2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；

（3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为1

a

，则a?=a×(

1

a

)n-1；

（4）将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．【详解】

解：（1）2③=2÷2÷2=1

2

，（﹣

1

2

）③=﹣

1

2

÷（﹣

1

2

）÷（﹣

1

2

）=﹣2；

（2）5⑥=5×1

5

×

1

5

×

1

5

×

1

5

×

1

5

=（

1

5

）4，同理得；（﹣

1

2

）⑩=（﹣2）8；

（3）a?=a×1

a

×

1

a

×…×

n-2

11

a a

??

= ?

??

；

(4)（-3）8×（-3）⑨-（﹣1

2

）9×（﹣

1

2

）⑧

=（-3）8×（

1

-

3

）7 -（﹣

1

2

）9×（-2）6

=-3-(-1 2 )3

=-3+1 8

=

7 -2

8

.

【点睛】

本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．

24．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.

【分析】

（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；

（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；

（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．

【详解】

解：(1)OB2＝12+12＝2，

∴OB，

∴OA ＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系

(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合． 故选A. 【点睛】

本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．

25．6±

【分析】

根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题． 【详解】

解：由题意可得3x 29

268y x y --=??+-=?

，

解得5

4x y =??=?

，

36<<

67∴<

<，

6z ∴=，

424542636∴++=?++?=x y z ，

故42x y z ++的平方根是6±． 【点睛】

本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．

26．（1；（2）<；（3）不能裁剪出，详见解析 【分析】

（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；

（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；

（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可； 【详解】

解：（1）∵小正方形的边长为1cm ， ∴小正方形的面积为1cm 2， ∴两个小正方形的面积之和为2cm 2， 即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2，

cm ， （2）∵22r ππ=，

∴r =

∴2=2C r π=圆， 设正方形的边长为a ∵22a π=，

∴a

∴=4C a =正

∴1C C ==

=

<圆正

故答案为：＜；

（3）解：不能裁剪出，理由如下： ∵长方形纸片的长和宽之比为3:2， ∴设长方形纸片的长为3x ，宽为2x ， 则32300x x ?=， 整理得：250x =，

∴2

2

(3)9950450x x ==?=， ∵450＞400， ∴2

2

(3)20x >， ∴320x >，

∴长方形纸片的长大于正方形的边长， ∴不能裁出这样的长方形纸片． 【点睛】

本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查．