数理逻辑考试题及答案

数理逻辑考试题及答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━

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一、命题逻辑基本知识（5分）

1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）

（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。

解：p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。

（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。

解：q→p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。

（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。

解：r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。

（3）小王与小张是亲戚。

解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。

2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分）

（0）A：((pq)((pq) (pq))) r

（1）B：(p(qp)) (rq)

（2）C：(pr) (qr)

（3）E：p(pqr)

（4）F：(qr) r

解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。

3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）

（0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。

解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(pq) qp。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。

（1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。

解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为： ((p q) →s) p q) →(r s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。

二、命题逻辑等值演算（5分）

1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分）

（0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r)))的主析取范式。

解：p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r))) p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧q∧r)

p∨(q∧r∧p) ∨0 (p∧q∧r) ∨ (p∧1∧1) ∨(q∧r∧p)

(p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨(q∧r∧p) (p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨m7

(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨m7

m0∨m1∨m2∨m3∨m7.

（1）求公式((p→q)) ∨(q→p)的主合取范式。

解：((p→q)) (q→p) (p→q) (p→q) (p→q)

pq M2.

（2）求公式(p→(p∨q)) ∨r的主析取范式。

解：(p→(pq)) r p (pq) r (ppq r) 1

m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.

2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）

（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：

甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。

乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。

丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。

村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？

解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。

判断公式F( (p1q2) (p1q2)) ( (p3q1) (p3q1)) ( (p2r1) (p2r1))

p1q2p3q1q2r11q2p3r1，

由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。

说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。

（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。选派条件是：

①若赵去，钱也去。②李、周两人必有一人去。

③钱、孙两人去且仅去一人。④孙、李两人同去或同不去。

⑤如周去，则赵、钱也同去。如何选派他们出国？

解：①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。

② (1) (pq) (2) (su) (3) ((qr)(qr))

(4) ((rs)(rs)) (5) (u(pq))

③ (1) ~ (5)构成的合取式为：

A= (pq)(su)((qr)(qr)) ((rs)(rs))(u(pq))

(pqrsu)(pqrsu)

由此可知，A的成真赋值为00110与11001，

因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。三、命题逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共5分）

（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。现在的情况是张老师与李老师都要出国。所以，王老师不出国，则孙老师出国。

解：形式化：

p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。

前提：p(qr)，pq

结论：rs

证明：① p(qr) 【前提引入】

② p (qr) pqr 【①置换】

③ pq 【前提引入】

④ r 【②③假言推理】

⑤ r s 【④附加规则】

⑥ r∨s 【⑤置换】

⑦ rs 【⑥置换】证毕。

（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。所以，李同学不是乐山人。

解：形式化：

p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人；s：王同学喜欢吃雅鱼。

前提：(pq) r，r s，s，p

结论：q

证明：① (pq) r 【前提引入】

② r s 【前提引入】

③ (pq) s 【①②假言三段论】

④ s 【前提引入】

⑤ (pq) 【③④拒取式】

⑥ pq 【⑤置换】

⑦ p 【前提引入】

⑧ q 【⑥⑦析取三段论】

证毕。

（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才大于6。现有n大于5。所以，若m大于6，则m是奇数。

解：形式化：

p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m大于6。

前提：(pq) r，s p，q

结论：s r

证明：① q 【前提引入】

② sq 【①附加规则】（这是证明的关键）

③ s q 【②置换】

④ s p 【前提引入】

⑤ (s q）q（s p）【③④合取】

⑥ s(pq ) 【⑤置换】

⑦ (pq) r 【前提引入】

⑧ sr 【⑥⑦假言三段论】

证毕。

四、一阶逻辑的基本概念（5分）

1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。共2分）（0）人人都生活在地球上。

解：x(F(x) →G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x生活在地球上。

（1）有的人长着金色的头发。

解：x (F(x) G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x长着金色的头发。

（2）没有能表示成分数的无理数。

解：x (F(x) G(x))，其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数。（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。

解：xy (F(x) G(y)→S(x,y))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y 力气大。

（4）有的学生不住在校内。

解：x (F(x) G(x))，其中，F(x)：x是学生，G(x)：x住在校内。

（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。。

解：x (F(x) y(G(x)→S(x,y)))，

其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。

2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共3分）

（0）x(F(x) G(x))

解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。

则在I1解释下，x(F(x) G(x))为真命题。

取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是中国人，G(x)：x是美国人。

则在I2解释下，x(F(x) G(x))为假命题。

（1）x(F(x) G(x) H(x))

解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是教师，G(x)：x是党员，H(x)：x是班主任。

则在I1解释下，x(F(x) G(x) H(x))为真命题。

取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，H(x)：x是班主任。

则在I2解释下，x(F(x) G(x) H(x))为假命题。

（2）x(F(x) y( G(y) H(x,y)))

解：取解释I1：个体域为整数集合，F(x)：x是正整数，G(x)：x是负整数，H(x,y)：x比y大。则在I1解释下，x(F(x) y( G(y) H(x,y)))为真命题。

取解释I2：个体域为自然数集合，F(x)：x是奇数，G(x)：x是偶数，H(x,y)：x 比y大。则在I2解释下，x(F(x) y( G(y) H(x,y)))为假命题。

五、一阶逻辑等值演算（5分）

1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共1分）

（0）证明等值式：x(A(x)B) x A(x)B。

证明：x(A(x)B) x(A(x)B) xA(x)B

x A(x)B x A(x)→B。

（1）证明等值式：x(A(x)B)xA(x)B。

解：x(A(x)B) x (A(x)B) x A(x)B

x A(x)B x A(x)→B

2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分）（0）x(F(x) →G(x))

解：x(F(x) →G(x)) x (F(x) G(x)) x (F(x) G(x))

（1）x(F(x) G(x))

解：x(F(x) G(x)) x (F(x) G(x)) x (F(x) G(x)) x (F(x) →G(x))

（2）yF(x,y) xG(x,y,z)

解：yF(x,y) xG(x,y,z) yF(u,y) xG(x,v,z) y x (F(u,y) G(x,v,z))

（3）xF(x) →y (G(x,y) H(x,y))

解：xF(x) →y (G(x,y) H(x,y)) zF(z) →y (G(x,y) H(x,y))

z(F(z) →y (G(x,y) H(x,y))) zy(F(z) →(G(x,y) H(x,y)))

3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分）

（0）举例说明“对无分配律”。

解：对无分配律指：不存在等价关系x(A(x) B(x))xA(x) xB(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。x(A(x) B(x))的真值为真，而xA(x) xB(x)的真值为假。

（1）举例说明“对无分配律”。

解：对无分配律指：不存在等价关系x(A(x) B(x)) x A(x)x B(x)。例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。x (A(x) B(x))的真值为假，而x A(x) x B(x))的真值为真。

六、一阶逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共5分）

（0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车。所以，有的人不喜欢步行。（个体域为人类集合）

解：形式化：

F(x)：x喜欢步行；G(x)：x喜欢骑自行车；H(x)：x喜欢乘汽车。

前提：x(F(x) →G(x))，x(G(x) H(x))，xH(x)

结论：xF(x)

证明：① x(F(x) →G(x)) 【前提引入】

② F(y) →G(y) 【- 】

③ x(G(x) H(x)) 【前提引入】

④ G(y) H(y) 【- 】

⑤ G(y) →H(y) 【④置换】

⑥ F(y) →H (y) 【②⑤假言三段论】

⑦ H(y) →F (y) 【⑥置换】

⑧ H(y) →x F (x) 【⑦ + 】

⑨ xH(x) →x F (x) 【⑧ + 】

⑩ xH(x) 【前提引入】

⑾ x F (x) 【⑨⑩假言推理】

证毕。

（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且聪明。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）

解：形式化：

F(x)：x是科学工作者；G(x)：x刻苦钻研；H(x)：x聪明；I(x)：x事业成功；a:王大海。

前提：x(F(x) →G(x))，x(G(x) H(x) →I(x))，F(a)，H(a)。

结论：I(a)

证明：① F(a) 【前提引入】

② x(F(x) →G(x)) 【前提引入】

③ F(a) →G(a) 【②-】

④ G(a) 【①③假言推理】

⑤ H(a) 【前提引入】

⑥ x(G(x) H(x) →I(x)) 【前提引入】

⑦ G(a) H(a) →I(a) 【⑥- 】

⑧ G(a) H(a) 【④⑤合取】

⑨ I(a) 【⑦⑧假言推理】

证毕。