(完整版)广东省广州市2015-2016学年高二学业水平测试数学试题(含解析)

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广东省广州市2015-2016学年高二学业水平测试数学试题含解析

2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、选择题:本大题共10小题，每小题5分.1。

已知集合M =-1,0,1{}，{}xxx N ==2|,则M ÇN =（）A.1{} B 。

0,1{} C 。

-1,0{} D 。

-1,0,1{}2.已知等比数列a n{}的公比为2，则a 4a 2值为（）A. 14B 。

12C 。

2 D.43。

直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直,则l 的方程是()A.2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0 C 。

3x -2y -7=0 D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是(）A.-1,0() B 。

0,1() C.1,2() D 。

2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是(）BD6.要完成下列两项调查：(1）某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是(）A 。

（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法C 。

(1)用分层抽样法,（2）用简单随机抽样法 D.(1）(2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（)A. 3 B 。

1 C 。

1- D 。

5- 8。

某几何体的三视图及其尺寸图,则该几何体的体积为（）A. 6 B 。

9 C 。

12 D. 18 9。

函数f x ()=12-cos2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A 。

2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZC.k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D.k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（)A 。

广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考2015-2016学年高二数学上学期期末试卷理(含解析)

2021 -2021学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共14小题，每题5分，共60分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项正确〕1．集合A={y|y=2x}，B={y|y=}，那么A∩B等于〔〕A．{y|y≥0} B．{y|y＞0} C．{y|y≥1} D．{y|y＞1}2．“α≠β〞是“cosα≠cosβ〞〔〕条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要3．=〔〕A．B．C．D．4．运行如下图程序语句后，输出结果是〔〕A．17 B．19 C．21 D．235．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，那么b＞a概率是〔〕A．B．C．D．6．等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，那么=〔〕A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣27．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间〔0，1〕上单调递减函数序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④8．〔题类A〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕，过焦点F1弦AB长为m〔A，B在同一支上〕，另一个焦点为F2，那么△ABF2周长为〔〕A．4a﹣2m B．4a C．4a+m D．4a+2m9．〔题类B〕设f〔x〕=sinx2，那么f′〔x〕等于〔〕A．sin2x B．cosx2 C．2xsinx2D．2xcosx210．假设变量x，y满足约束条件，那么z=2x+y最大值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．411．某几何体三视图如下图〔均为直角边长为2等腰直角三角形〕，那么该几何体外表积为〔〕A．4+4B．4+4C．6+2D．812．假设，是非零向量，且⊥，||≠||，那么函数f〔x〕=〔x+〕〔x﹣〕是〔〕A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数13．假设直线y=x+b与曲线有公共点，那么b取值范围是〔〕A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]14．正实数a，b满足a b=b a，且0＜a＜1，那么a，b大小关系是〔〕A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能确定二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共20分)15．cosx﹣sinx=，那么= ．16．〔题类A〕抛物线y=ax2焦点坐标为〔0，〕，那么a= ．17．计算定积分〔x2+sinx〕dx= ．18．假设正实数x，y满足2x+y+6=xy，那么xy最小值是．19．如图，正三棱锥A﹣BCD侧棱长为2，底面BCD边长为2，E，分别为BC，BD中点，那么三棱锥A﹣BEF外接球半径R= ，内切球半径r= ．三、解答题〔本大题共6个小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕.20．甲乙两机床同时加工直径为100mm零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工零件较好？甲9910098100103乙9910010299100 21．△ABC中，D为边BC上一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．22．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB中点．〔1〕求证：AC⊥SB；〔2〕求二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值．23．如图，A，B，C坐标分别为〔﹣，0〕，〔，0〕，〔m，n〕，G，O′，H分别为△ABC重心，外心，垂心．〔1〕写出重心G坐标；〔2〕求外心O′，垂心H坐标；〔3〕求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．24．数列{a n}是公差d不为0等差数列，a1=2，S n为其前n项与．〔1〕当a3=6时，假设a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，求n k表达式；〔2〕是否存在适宜公差d，使得{a n}任意前3n项中，前n项与与后n项与比值等于定常数？求出d，假设不存在，说明理由．25．〔题类A〕以椭圆+y2=1〔a＞1〕短轴端点A〔0，1〕为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件三角形．26．函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣x，g〔x〕=xlnx．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕最大值；〔Ⅱ〕设0＜a＜b，证明0＜g〔a〕+g〔b〕﹣2g〔〕＜〔b﹣a〕ln2．2021 -2021学年广东省广州市执信、广雅、二中、六中四校联考高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共14小题，每题5分，共60分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项正确〕1．集合A={y|y=2x}，B={y|y=}，那么A∩B等于〔〕A．{y|y≥0} B．{y|y＞0} C．{y|y≥1} D．{y|y＞1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中y范围确定出两集合，求出A与B交集即可．【解答】解：由A中y=2x＞0，得到A={y|y＞0}，由B中y=≥0，得到B={y|y≥0}，那么A∩B={y|y＞0}，应选：B．2．“α≠β〞是“cosα≠cosβ〞〔〕条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件判断．【分析】根据充分必要条件定义结合三角函数性质判断即可．【解答】解：假设“α≠β〞那么“cosα≠cosβ〞逆否命题是：假设“cosα=cosβ〞那么“α=β〞，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ〞是“α=β〞必要非充分条件，即“α≠β〞是“cosα≠cosβ〞必要不充分条件．应选：B．3．=〔〕A．B．C．D．【考点】复数代数形式混合运算．【分析】化简复数分母，然后复数分子、分母同乘分母共轭复数，即可求得结果．【解答】解：=应选B．4．运行如下图程序语句后，输出结果是〔〕A．17 B．19 C．21 D．23【考点】伪代码．【分析】根据代码流程依次计算程序运行结果，直到满足条件i≥8，计算输出S值．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1i=3，S=9，i=2不满足条件i≥8，i=4，S=11，i=3不满足条件i≥8，i=5，S=13，i=4不满足条件i≥8，i=6，S=15，i=5不满足条件i≥8，i=7，S=17，i=6不满足条件i≥8，i=8，S=19，i=7不满足条件i≥8，i=9，S=21，i=8满足条件i≥8，退出循环，输出S值为21．应选：C．5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，那么b＞a概率是〔〕A．B．C．D．【考点】等可能事件概率．【分析】由题意知此题是一个古典概型，试验包含所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果．【解答】解：由题意知此题是一个古典概型，∵试验包含所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，应选D．6．等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，那么=〔〕A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【考点】等差数列性质；等比数列性质．【分析】先根据等差中项性质可知得2×〔〕=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×〔〕=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2应选C7．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间〔0，1〕上单调递减函数序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】函数单调性判断与证明．【分析】此题所给四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型图象与性质；①为增函数，②为定义域上减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在〔0，+∞〕上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中函数是由函数向左平移1个单位长度得到，因为原函数在〔0，+∞〕内为减函数，故此项符合要求；③中函数图象是由函数y=x﹣1图象保存x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到，故由其图象可知该项符合要求；④中函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．8．〔题类A〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕，过焦点F1弦AB长为m〔A，B在同一支上〕，另一个焦点为F2，那么△ABF2周长为〔〕A．4a﹣2m B．4a C．4a+m D．4a+2m【考点】双曲线简单性质．【分析】先根据双曲线定义可知，|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，两式相加求得|AF2|+|BF2|=4a+m，进而根据代入|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|求得答案．【解答】解：由双曲线定义可知，|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，∴△ABF2周长为|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a+|AF1|+|BF1|+|AF1|+|BF1| =4a+2m，应选：D．9．〔题类B〕设f〔x〕=sinx2，那么f′〔x〕等于〔〕A．sin2x B．cosx2 C．2xsinx2D．2xcosx2【考点】导数运算．【分析】根据复合函数求导法那么进展计算．【解答】解：令u〔x〕=x2，h〔u〕=sinu，那么h〔u〔x〕〕=f〔x〕=sinx2，∴f′〔x〕=h′〔u〕•u′〔x〕=cosx2•2x．10．假设变量x，y满足约束条件，那么z=2x+y最大值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内点B时，从而得到m 值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5交点为最优解点，∴即为B〔1，1〕，当x=1，y=1时z max=3．应选C．11．某几何体三视图如下图〔均为直角边长为2等腰直角三角形〕，那么该几何体外表积为〔〕A．4+4B．4+4C．6+2D．8【考点】由三视图求面积、体积；简单空间图形三视图．【分析】作出几何体直观图，计算出各面面积．【解答】解：该几何体为三棱锥，作出直观图如下图，那么SC⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=SC=2．∴BC=2，SA=2．AB⊥平面SAC．∴S=+++==4+4．应选A．12．假设，是非零向量，且⊥，||≠||，那么函数f〔x〕=〔x+〕〔x﹣〕是〔〕A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数【考点】平面向量数量积运算．【分析】f〔x〕=x﹣x，因为||≠||，所以f〔x〕=〔〕x，所以函数f〔x〕是一次函数且是奇函数．【解答】解：∵⊥，∴•=0∴f〔x〕=〔x+〕〔xb﹣〕=x﹣x，∴所以f〔x〕=〔〕x所以函数f〔x〕是一次函数且是奇函数应选A．13．假设直线y=x+b与曲线有公共点，那么b取值范围是〔〕A．[，] B．[，3] C．[﹣1，] D．[，3]【考点】函数与方程综合运用．【分析】此题要借助图形来求参数b取值范围，曲线方程可化简为〔x ﹣2〕2+〔y﹣3〕2=4〔1≤y≤3〕，即表示圆心为〔2，3〕半径为2半圆，画出图形即可得出参数b范围．【解答】解：曲线方程可化简为〔x﹣2〕2+〔y﹣3〕2=4〔1≤y≤3〕，即表示圆心为〔2，3〕半径为2半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心〔2，3〕到直线y=x+b距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知〔舍〕，故当直线过〔0，3〕时，解得b=3，故，应选D．14．正实数a，b满足a b=b a，且0＜a＜1，那么a，b大小关系是〔〕A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能确定【考点】不等式比拟大小．【分析】法一、由a b=b a，得，构造函数y=，求导后利用其单调性分析；法二由0＜a＜1，a b=b a，得blog a a=alog a b，即=log a b，然后利用反证法说明a=b．【解答】解：法一、由a b=b a，得blna=alnb，从而，考虑函数y=〔x＞0〕，y′=．∵在〔0，1〕内f′〔x〕＞0，∴f〔x〕在〔0，1〕内是增函数，由于0＜a＜1，b＞0，∴a b＜1，从而b a=a b＜1．由b a＜1及a＞0，可推出b＜1．由0＜a＜1，0＜b＜1，假设a≠b，那么根据f〔x〕在〔0，1〕内是增函数，得f〔a〕≠f〔b〕，即，从而a b≠b a，这与a b=b a矛盾．∴a=b；法二、∵0＜a＜1，a b=b a，∴blog a a=alog a b，即=log a b，假设a＜b，那么＞1，∵a＜1，根据对数函数性质，得log a b＜log a a=1，从而，这与矛盾，∴a不能小于b假设a＞b，那么＜1，而log a b＞1，这也与矛盾．∴a不能大于b，因此a=b．应选：B．二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共20分)15．cosx﹣sinx=，那么= ．【考点】二倍角余弦．【分析】利用二倍角公式以及两角与正弦函数化简所求表达式，然后求解即可．【解答】解：cosx﹣sinx=，那么==〔cosx﹣sinx〕==．故答案为：．16．〔题类A〕抛物线y=ax2焦点坐标为〔0，〕，那么a= ．【考点】抛物线简单性质．【分析】化简抛物线方程为标准方程，然后利用焦点坐标求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2标准方程为：x2=y，它焦点坐标为〔0，〕，可得，解得a=．故答案为：．17．计算定积分〔x2+sinx〕dx= ．【考点】定积分．【分析】求出被积函数原函数，再计算定积分值．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．18．假设正实数x，y满足2x+y+6=xy，那么xy最小值是18 ．【考点】根本不等式．【分析】首先左边是xy形式右边是2x+y与常数与形式，考虑把右边也转化成xy形式，使形式统一．可以猜测到应用根本不等式．转化后变成关于xy方程，可把xy看成整体换元后求最小值．【解答】解：由条件利用根本不等式可得，令xy=t2，即t=＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．19．如图，正三棱锥A﹣BCD侧棱长为2，底面BCD边长为2，E，分别为BC，BD中点，那么三棱锥A﹣BEF外接球半径R= 1 ，内切球半径r= 2﹣．【考点】球体积与外表积；球内接多面体．【分析】利用勾股定理求出三棱锥A﹣BEF外接球半径，利用等体积求出内切球半径．【解答】解：设三棱锥A﹣BEF外接球球心为O，那么O在平面BEF 上射影O′为△BEF中心，∴BO′=×=∵A到平面BCD距离为=，∴三棱锥A﹣BEF外接球半径R==1，三棱锥A﹣BEF体积V==，又S=+2×+=2+，∴=〔2+〕r，∴r=2﹣．故答案为：1，2﹣．三、解答题〔本大题共6个小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕.20．甲乙两机床同时加工直径为100mm零件，为检验质量，随机从中各抽取5件，测量结果如图，请说明哪个机床加工零件较好？甲9910098100103乙9910010299100【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】分别求出两个车床加工零件平均数与方差，由此能判断哪个机床加工零件较好．【解答】解：==100，∴它们有整体水平相当，又==2 .8，==1 .2，∴乙车床相对稳定，故乙车床加工零件相对较好．21．△ABC中，D为边BC上一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．【考点】同角三角函数根本关系运用；正弦定理．【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC范围，因为∠BAD=∠ADC ﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC=＞0，那么∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sinB=，可得cosB=，又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=．从而sin∠BAD=sin〔∠ADC﹣B〕=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==．由正弦定理得，所以AD==．22．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB中点．〔1〕求证：AC⊥SB；〔2〕求二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值．【考点】二面角平面角及求法；直线与平面垂直性质．【分析】〔1〕取AC中点O，连结OS、OB，由推导出AC⊥OS，AC⊥OB，由此能证明AC⊥SB．〔2〕平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，从而SO⊥面ABC，过O 作OD⊥CM于D，连结SD，那么∠SDO是二面角N﹣CM﹣B平面角，由此能求出二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值．【解答】证明：〔1〕取AC中点O，连结OS、OB，∵SA=SC，∴AC⊥OS，∵BA=BC，∴AC⊥OB，又OS，OB⊂平面OSB，OS∩OB=O，∴AC⊥平面OSB，∴AC⊥SB．解：〔2〕∵平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，∴由面面垂直性质定理，得SO⊥面ABC，过O作OD⊥CM于D，连结SD，由三垂线定理，得SD⊥CM，∴∠SDO是二面角N﹣CM﹣B平面角，又SO=2，OD=1，∴SD==3，∴cos∠SDO=，∴二面角S﹣CM﹣A平面角余弦值为．23．如图，A，B，C坐标分别为〔﹣，0〕，〔，0〕，〔m，n〕，G，O′，H分别为△ABC重心，外心，垂心．〔1〕写出重心G坐标；〔2〕求外心O′，垂心H坐标；〔3〕求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．【考点】向量在几何中应用．【分析】〔1〕根据重心坐标公式即可求出，〔2〕设外心O′，垂心H坐标为〔0，a〕，〔m，b〕，根据向量坐标运算得到=〔m﹣，n〕，D坐标为〔+，〕，=〔+，﹣a〕，=〔m+，b〕，由题意得到由，化简计算得到即，即可求出外心O′，垂心H坐标；〔3〕根据向量坐标运算得到=2，根据向量共线条件即可证明．【解答】解：〔1〕重心G坐标为〔，〕，〔2〕设外心O′，垂心H坐标为〔0，a〕，〔m，b〕，BC中点为D，∵A，B，C坐标分别为〔﹣，0〕，〔，0〕，〔m，n〕，∴=〔m﹣，n〕，D坐标为〔+，〕，∴=〔+，﹣a〕，=〔m+，b〕，由，那么，即，∴外心O′坐标为〔0，〕，垂心H坐标为〔m，〕，〔3〕由〔1〕〔2〕可知=〔，〕，得=2，∴G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．24．数列{a n}是公差d不为0等差数列，a1=2，S n为其前n项与．〔1〕当a3=6时，假设a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，求n k表达式；〔2〕是否存在适宜公差d，使得{a n}任意前3n项中，前n项与与后n项与比值等于定常数？求出d，假设不存在，说明理由．【考点】数列求与．【分析】〔1〕数列{a n}公差d=，可得：a n=2n．另一方面，a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，可得q=．利用等比数列通项公式即可得出．〔2〕等差数列{a n}中，S n=n2+•n，可得S3n﹣S2n，令S3n ﹣S2n=λS n，解出即可得出．【解答】解：〔1〕数列{a n}公差d===2．∴a n=2+2〔n﹣1〕=2n，另一方面，a1，a3，a，a…，a成等比数列〔其中3＜n1＜n2＜…＜n k〕，∴q==3．∴═a1•3k+2﹣1=2•n k，∴n k=3k+1．〔2〕等差数列{a n}中，S n=na1+=n2+•n，S3n﹣S2n=﹣=•n2+，令S3n﹣S2n=λS n，那么•n2+=λ[n2+•n]，∴，解得或〔舍去〕．∴d=4，满足题意，且定常数为5．25．〔题类A〕以椭圆+y2=1〔a＞1〕短轴端点A〔0，1〕为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件三角形．【考点】椭圆简单性质．【分析】由题意设出等腰直角三角形两边所在直线方程：l AB：y=kx+1〔k＞0〕，l AC：y=﹣x+1，分别联立直线方程与椭圆方程，求出|AB|，|AC|长度，利用|AB|=|AC|得，k3﹣a2k2+a2k﹣1=0，然后分析方程根情况得答案．【解答】解：设三角形另外两顶点为B，C，不妨设l AB：y=kx+1〔k ＞0〕，l AC：y=﹣x+1．由，得〔1+a2k2〕x2+2ka2x=0，∴|AB|==．同理可得：|AC|=．由|AB|=|AC|得，k3﹣a2k2+a2k﹣1=0，即〔k﹣1〕[k2+〔1﹣a2〕k+1]=0，解得k=1或k2+〔1﹣a2〕k+1=0．对于k2+〔1﹣a2〕k+1=0，由〔1﹣a2〕2﹣4=0，得a=，此时方程根k=1；当1＜a＜时，方程k2+〔1﹣a2〕k+1=0无实根；当a＞时，方程k2+〔1﹣a2〕k+1=0有两个不等实数根．∴当a＞时，这样三角形有3个；当1＜a≤时这样三角形有1个．26．函数f〔x〕=ln〔1+x〕﹣x，g〔x〕=xlnx．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕最大值；〔Ⅱ〕设0＜a＜b，证明0＜g〔a〕+g〔b〕﹣2g〔〕＜〔b﹣a〕ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数最值；平均值不等式在函数极值中应用．【分析】〔1〕先求出函数定义域，然后对函数进展求导运算，令导函数等于0求出x值，再判断函数单调性，进而可求出最大值．〔2〕先将a，b代入函数g〔x〕得到g〔a〕+g〔b〕﹣2g〔〕表达式后进展整理，根据〔1〕可得到lnx＜x，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立，再用根据y=lnx单调性进展放缩＜．然后整理即可证明不等式右边成立．【解答】〔Ⅰ〕解：函数f〔x〕定义域为〔﹣1，+∞〕．．令f′〔x〕=0，解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f′〔x〕＞0，当x＞0时，f′〔x〕＜0．又f〔0〕=0，故当且仅当x=0时，f〔x〕取得最大值，最大值为0．〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕结论知ln〔1+x〕﹣x＜0〔x＞﹣1，且x≠0〕，由题设，因此ln=﹣ln〔1+〕＞﹣，所以．又，＜．=〔b﹣a〕ln＜〔b﹣a〕ln2综上．。

2015-2016学年广东实验中学等高二(下)期末考试数学(理)试题(解析版)

2015-2016学年广东实验中学等高二（下）期末考试数学（理）试题一、选择题1．设集合{|06}A x x =≤≤，集合2{|3280}B x x x =+-≤，则A B = （） A ．4[0,]3 B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 【答案】D【解析】试题分析：由于42,3B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故[]2,6A B ⋃=-．【考点】1．集合交集、并集和补集；2．一元二次不等式．【易错点晴】确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系． 2．若12z i =+，则41izz =-（） A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i 【答案】B【解析】试题分析：22125z z ⋅=+=，故451ii =-．【考点】复数运算．3．设随机变量~(2,9)N ζ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：依题意正态分布均值2μ=，故24,3c c c +-==．【考点】正态分布．4．已知实数,x y 满足1x ya a <<（01a <<），则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++B ．22ln(1)ln(1)x y +>+ C ．sin sin x y > D ．22x y > 【答案】A【解析】试题分析：由于1x y a a <<且01a <<，所以222222110,,11,11x y x y x y x y >><+<+>++．【考点】不等式．5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（）A ．24B ．96C ．144D ．210 【答案】B【解析】试题分析：如果1,2连，方法数有4424A =中，同理其它连的方法也有24种，故中的方法数有24496⋅=种．【考点】排列组合．6．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（） A．3-．3+【答案】C【解析】试题分析：因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，即21112a q a a q=+，2210q q --=，1q =，故()278291078783a a qa a q a a a a ++===+++【考点】等差、等比数列的基本概念．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图分析可知，程序框图的作用是计算()333332log 2log 2log log 22n n --+=<+，即21,1428n n <>+，即15n =．由于程序运行时先1n n =+再进行循环的判断，故取16n =．【考点】算法与程序框图．8．已知函数()sin()f x x ϕ=-且2πϕ<，又230()0,f x d x π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（） A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=【答案】A【解析】试题分析：由于()2300f x dx π=⎰，即()f x 图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()sin 0,33f x ππϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，()sin()3f x x π=-，代入选项验证可知A 正确．【考点】1．定积分；2．三角函数图象与性质．9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m ），则该四棱锥的体积为（）m 3A ．4B ．73C ．3D ．2 【答案】D【解析】试题分析：底面积为212⋅=，高为3，故体积为12323⋅⋅=．【考点】三视图．10．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为（） A ．43 B ．3 C ．94 D ．53【答案】D【解析】试题分析：设12,PF m PF n ==，依题意有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，前两项平方相减得224949mn b a ab =-=，两边除以2a 得249940,3b b b a a a ⎛⎫-⋅-== ⎪⎝⎭，故53e ==．【考点】双曲线离心率．【思路点晴】求解圆锥曲线的离心率问题，主要考虑方程的思想、圆锥曲线的定义，如椭圆的定义是点到两个定点的距离之和等于常数，并且常数大于两个定点的距离．双曲线是点到两个定点的距离之差的绝对值为常数．本题依题意有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，由此解方程组求得43b a =，进而求出离心率．有的题目还需要结合222a bc =+，或者222c a b =+来求解．11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ，且((0)0)S =，则导函数'()y S t =的图像大致为（）【答案】A【解析】试题分析：五角星向上升起的时候，首先面积缓慢提升，然后突然变大，但是面积提升的速度变换，然后稍微面积提升速度又变快一点，最后面积提升速度变慢．有以上分析过程可知，A 选项正确．【考点】函数图象与性质．12．设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（）A ．)1,0(B ．)2,0(C ．),0(+∞D ．),1(+∞ 【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln .11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭11x >，【考点】1．分段函数；2．函数导数与不等式．【思路点晴】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 的坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，把面积用1x 表示后，可得面积的取值范围．本题的求解是根据题意按部就班一步一步解得结论，这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =-= ；则_____b = ．【答案】【解析】试题分析：2222244410a b a a b b b -=-⋅+=-+= ，解得b =【考点】向量运算．14．72)()(y x y x +-的展开式中63y x 的系数为 (用数字作答)．【答案】0【解析】试题分析：系数为061524272727742350C C C C C C -⋅+⋅=-+=．【考点】二项式定理．15．记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：画出可行域和直线图象如下图所示，注意到直线过定点()1,0-．由图象可知，斜率的取值范围在,AB AC k k 之间，1,42AB AC k k ==，所以取值范围是1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点】线性规划．【思路点晴】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理．线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有的限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清．16．在平面内，定点A 、B 、C 、D 满足：==，2-=⋅=⋅=⋅，动点P 、M 满足：AP =1，PM =MC ，则BM的最大值是．【答案】72【解析】试题分析：依题意可知，,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，且AOB AOC BOC ∠=∠=∠ 23π=，故222cos 2,4,23R R R π=-==．由题意可知，P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，各点的坐标分别为()2,0A，(1,B -，(C -，依题意P 在圆()2221x y -+=上，设其坐标为()2cos ,sin P θθ+，故1c 3s i n()2M θ+，3cos sin ,22BM θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2223cos sin 22BM θθ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3712sin 49644πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≤，BM 最大值为72．【考点】向量运算．【思路点晴】本题美妙的考查了向量的几何意义、向量的数量积，数形结合的思想、圆的参数方程，中点坐标公式，两点间的距离公式，三角函数求最值．题目的突破口在于三个向量模相等，并且两两的数量积相等，由此可知,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，由此计算出圆的半径．根据1PA =，实际上P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．先设出P 点的参数方程，然后一步一步求出BM的表达式最终求得其最大值．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知c o s (c 3s i n )c o sC A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若1b c ==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3B π=；（2【解析】试题分析：（1）利用sin sin()C A B =+，化简题目给定的已知条件，得到tan B =3B π=；（2）用余弦定理求出2a =，再利用三角形面积公式求得面积．试题解析：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即sin sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，所以sin 0tan B B B =⇒=因为0B π<< 所以3B π=（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a =所以11sin 212222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【考点】解三角形．18．正项数列{}n a 的前项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明:对于任意的*n N ∈，都有564n T <．【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）对222(1)()0n n S n n S n n -+--+=因式分解得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，20,n n S S n n >=+，再根据公式11,1,1n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩求得2n a n =；（2）将2n a n =代入得222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦，利用裂项求和法求得()()221111511646412n T n n ⎡⎤=+--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦．试题解析：（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦．由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+．当1n =时，112a S ==当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=．综上可知，数列{}n a 的通项公式2n a n =．（2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+．所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦． 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦．【考点】1．数列求通项；2．裂项求和法．19．为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望．附:2K ＝2()n ad bc - 【答案】（1）有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，2．【解析】试题分析：（1）利用公式计算得22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，故有99%把握；（2）X 的可能取值为0,1,2,3，且X 满足二项分布2~(3,)3X B ，由此求得分布列和期望．试题解析：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >= 所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．（2）X 的可能取值为0，1，2，3 271)31()0(3===X P ，92)31)(32()1(213===C X P94)32)(31()2(223===C X P278)32()3(3===X P所以的分布列为：因为2~(3,)3X B ，所以2()323E X np ==⨯= 【考点】1．独立性检验；2．二项分布．20．已知梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，12EF DE BD ==，2BD BC CD =====，DE BC ⊥．A BCDEF（1）求证：DE ABCD ⊥平面；（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）第一问利用面面垂直的性质定理来证明，连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD = AC BD ∴⊥，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BD EF ，DE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥，又D E B C ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面A B C D ；（2）以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面AEF 与平面CEF 的法向量来求二面角的余弦值．试题解析：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD =AC BD ∴⊥因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BDEFDE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面ABCD （2）1//,,2EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形 //,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(1,1),F(0,0,1)A - 设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(1,0,1)m = 设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =，由00n CF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,0,n =所以cos ,m n m n m n⋅<>==即平面AEF 与平面CEF【考点】空间向量法求面面角的余弦值．21．已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =且其中一个焦点与抛物线214y x=的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）存在一个定点()1,0T 满足条件．【解析】试题分析：（1）注意到焦点在y 轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，依题意2c a =，焦点为()0,1，求得椭圆方程为2212y x +=；（2）若直线l 与x 轴重合则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，这两个圆都过()1,0T ．当直线l 不垂直于x轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线的方程和椭圆的方程，计算得0TA TB ⋅= ，故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件．试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率2c e a ==，又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ∴椭圆C 的方程是2212y x +=．（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0．因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0．当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=．设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,=TA TB ∴⊥，即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T ．故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件．【考点】直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】第一问中，题目给了两个条件，一个是离心率为2c e a ==，另一个条件是过抛物线的焦点．通过分析可以知道，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以椭圆的交点也在在y 轴的正半轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>．在求圆锥曲线方程的时候，要特别注意题目中隐藏的焦点所在位置的条件． 22．已知函数)(,ln )(2R a x x a x f ∈-=．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若1>x 时，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x f y =上的两个不同点，满足210x x <<，且),(213x x x ∈∃，使得曲线)(x f y =在3x x =处的切线与直线AB 平行，求证：2213x x x +<．【答案】（1）当0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；（2）e a 2≤；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）先求得定义域0x >，然后求导xa x x x a x f +-=-=2'22)(，对a 分成两类来讨论()f x 的单调区间；（2）当1x >时，2()ln 0f x a x x =-≤等价于2ln x a x ≤，令()2ln x h x x=，利用到处求得()2h x e ≥，故2a e ≤；（3）先求得直线AB的斜率332AB ak x x =-，∵x x a x f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>，即证2ln 11121212>-+x x x x x x ，令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立，最后通过构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t t F 来证明．试题解析：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xax x x a x f +-=-=2'22)(；当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数；当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a 上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a上是减函数；综上所得， 0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a ；（2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞， ∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意；当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意； ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ，即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意；综上所得，a 的取值范围是e a 2≤；（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>，即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x 令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立，即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证．【考点】1．函数导数与单调区间；2．函数导数与不等式．【方法点晴】本题第一问考查分类讨论函数的单调性，导数为xax x x a x f +-=-=2'22)(，我们观察它的分子，分子是一个二次函数，且开口向下，那么单调区间只要分成两类就可以解决．分类讨论的问题，关键在于如何得到完整的分类标准．二次函数的分类标准主要在于二次项系数、对称轴、两个根的大小关系．制定分类标准要做到不重不漏．。

2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案

2015-2016学年度第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ）求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ）求证：AC ⊥PB ；（II ）求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ）求p 的值；（II ）设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132）说明：1.第9题，答对一个空给3分。

2015-2016学年广东省广州市五校高二上学期期末理科数学试卷(带解析)

绝密★启用前2015-2016学年广东省广州市五校高二上学期期末理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：182分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若函数的定义域为实数集R,满足(是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,且,则的值域为( )A ．B ．C ．D ．2、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（）A ．B ．C ．D ．3、已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于( )A ．B ．C ．D ．4、如图，若程序框图输出的是126，则判断框①中应为( )A ．B ．C ．D ．5、设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A ．若,,,则B ．若,,,则C ．若,,,则D ．若,,,则6、函数y ＝sin (2x ＋)的图像可由函数y ＝sin 2x 的图像( )A ．向左平移个单位长度而得到B ．向右平移个单位长度而得到C ．向左平移个单位长度而得到D ．向右平移个单位长度而得到7、等差数列的前n 项和为,若，则的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．1408、已知直线与直线平行，，则是的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分又非必要条件9、下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B ．线性回归直线方程恒过样本中心，且至少经过一个样本点．C ．命题“使得”的否定是：“均有”．D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题．10、已知向量．若为实数，，则( )A ．B ．C ．D ．11、函数的定义域是( ) A ．B ．C ．D ．12、设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为 ( )A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、设二次函数的值域为，则的最大值为_________．14、已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是_________．15、设满足约束条件,则的最大值是________．16、如图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．三、解答题（题型注释）17、设，函数．（Ⅰ）若，求函数在区间上的最大值；（Ⅱ）若，写出函数的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．18、给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）过点作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．19、如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，,平面平面。

2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试(数学)

1 / 3秘密★启用前 2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.已知全集 U 二｛1,2,3,4,5｝,集合 A —1,3 ?,,则 Q A =( C. ：2,4,5? ,则 tan ：=( 3 C.— 4 A . .一 B. (1,3? 2. 已知点P(3,/)是角〉终边上的一点4 3 A . B. 3 4D. “23,4,5 / 4 D.3 3. 若直线y =ax • 3与直线讨二-2x a 垂直，则实数a 的值为( 1C.2 9的矩形框，不考虑焊接损耗 C. 6A . -2 B. 24. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为 A .24 B. 1 25. 如图1,在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P,分别以 1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为 P 取自区域M 的概率是( ) Ji A .2 JiC.1 - 46. 某几何体的三视图 ( )1 A . 61C.— 2 函数 f(x) =£x - ) 1D.-2 ，则需要铁丝的长度至少为( B. D. JI 4 JI 1 -—2 则该几何体的体积为 7. (均为直角三角形)及其尺寸如图 2所示, B. D. 2 2的零点所在的区间为 x 图i 1 j A 0 — I — ・..,2 - .2，已知等差数列｛a n ｝的首项为4,公差为 —的前n 项和为( S nn A .2(n 1)在长方形 ABCD 中，AB=2, AD=1, A . 4 B. 210.设函数f x 的定义域为R,若存在与x 无关的正常数 f x 为有界泛函.有下面四个函数：B. 1,1C. 8. 9. B. 3 1 - I ，2 4,其前n 项的和为 D. i 2S n ,则数 2n (n 1)^ 贝U AC CD =( C. -2 C. n(n 1) D.2n n 1M, D. _4使f(x)乞M x 对一切实数x 恒成立，则称x18.2 / 3① f (x) =1;② f(x) =x 2； ③ f (x) = 2xsin x ；其中属于有界泛函的是A.①② ( )B.③④C.①③D.②④二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分20分. 11.已知幕函数 f (x) 的图象过点 2, 2 ,则函数f(x) 的定义域是 1 1 12•如图3,给出的是计算S =1 2 3 框图，当程序结束时，n 的值为 ________ 13.已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2,4,0),B(2,0,3) , C(2,2, z),若.C =90；,则 z 的值为 x E3, I 2 2 14.设实数x, y 满足x-y ，2_0,则x ，y 的 x y -4 _0, 1 丄值的一个程序n 取值范围是三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 15.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知A(3,1), C(1,0) (1) 求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；(2) 若直线I 的方程为x -2y • 9 = 0,判断直线I 与圆C 的位置关系，并说明理由. 16.(本小题满分12分) 已知函数 f(x) =sin x 「/3cosx, R . (1)求函数f (x)的的最小正周期； 6a € 1(0— I-，，2， (2)若 f -匸 I 3丿5 17.(本小题满分14分) 对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下求f 2： -3的值- ,随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加分组频数频率[3, 6) 10 m [6, 9) n P [9, 12)4 q [12, 15)2 0.05合计N1(1) 求赋中目N , p ,及图中的a 的值; (2) 在所取样本中，从参加社区服务的次数不于9次的学生中任选服务次数在区间小题满分 (本小12 14分)2人，求至少有一人参加社 ,15内的概率•次数如图4所示,AB 是O O 的直径，点C 是O O 圆周上不同于 A 、B 的任意一点,PA 丄平面ABC,点E 是线段3 / 3PB 的中点，点M 在AB 上,且MO//AC .（1）（2）19. (1) (2) (3) 求证:BC 丄平面FAC; 求证:平面EOM //平面FAC. （本小题满分14分）已知数列:a n ?满足a 1 =1, a n “ =a, d, a ?2, a 3成等差数列. 求■的值；求数列fa n ?的通项公式； 2n 20. 设数列:b n ?满足b n 口 a n +3 （本小题满分14分）设a 为常数，a • R ,函数f （x ） 2证明: =x 2|x - a | 1, x ：= R. （1）若函数f （x ）是偶函数，求实数a 的值; （2）求函数f （x ）的最小值.。

广东省广州市执信中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

广东省广州市执信中学2021 -2021学年高二数学下学期期末考试试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.〕 1.设集合{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，那么A B =〔〕A ．{0,1,2,3}B ．{0,3}C ．{}3,2,1D ．φ 【答案】C 【解析】试题分析：由{0,1,2,3}A =，{1,2,3}B =，得{}3,2,1=⋂B A ，应选C. 考点：交集运算.2.i 是虚数单位，那么(2)(3)i i ++=〔〕A ．55i -B ．55i +C ．75i -D ．75i + 【答案】B 【解析】试题分析：()()i i i 5532+=++,应选B. 考点：复数运算.3.先后抛掷质地均匀硬币三次，那么至少一次正面朝上概率是〔〕A ．18 B ．38C ．58D ．78【答案】D考点：互斥事件与对立事件.0:1p x ∃>，使得20210x x -+-≥，那么p ⌝为〔〕 A ．1x ∀>，使得2210x x -+-≤ B ．01x ∃>，使得200210x x -+-< C ．1x ∀>，使得2210x x -+-< D ．1x ∀≤，使得2210x x -+-< 【答案】C 【解析】试题分析：由特称命题否认是全称命题可得：命题0:1p x ∃>，使得200210x x -+-≥否认为1x ∀>，使得2210x x -+-<，应选项为C.考点：全称命题与特称命题否认.5.如下图，一个空间几何体正视图与侧视图都是边长为1正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体外表积是〔〕A ．πB ．32πC ．2πD ．52π【答案】B 【解析】考点：由三视图求面积、体积.n S 为等比数列{}n a 前n 项与，2580a a +=，那么52S S =〔〕 A ．11 B ．5 C ．-8 D ．-11 【答案】D试题分析：设公比为q ，由2580a a +=，得08322=⋅+q a a ，解得2-=q ，所以．应选D ．考点：等比数列前n 项与.sin ()y x x R =∈图象上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点横坐标伸长到原来2倍〔纵坐标不变〕，得到图象函数表达式为〔〕 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】8.函数图象大致为〔〕【答案】A 【解析】试题分析：令，∵()()()x f xx x f xx x x -=-=--=---226cos 226cos ，∴函数为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除C ，D ；又当+→0x ，+∞→y ，故可排除B ；应选A ．考点：〔1〕余弦函数图象；〔2〕奇偶函数图象对称性.111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 中心，那么AD与平面11BB C C 所成角大小是〔〕A ．030B ．045C ．060D ．090 【答案】C 【解析】考点：空间中直线与平面之间位置关系.,a b ，定义a b ⊗算法原理如程序框图所示，设a 为函数223()y x x x R =-+∈ 最小值，b 为抛物线28y x =焦点到准线距离，那么计算机执行该运算后输出结果是〔〕A ．23B ．32C ．72D ．12【答案】B 【解析】【思路点晴】此题主要考察了选择构造，根据流程图分析出计算类型是解题关键，属于根底题．分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，可知：该程序作用是计算并输出分段函数函数值，由可求函数223()y x x x R =-+∈最小值2=a ，抛物线28y x =焦点到准线距离4=b ，即可得解．12,e e 对任意实数λ都有，那么向量12,e e 夹角为〔〕A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】C 【解析】试题分析：设单位向量12,e e 夹角为θ，∵对于任意实数λ都有成立，∴对于任意实数λ都有成立，即θλθ2cos 41222212221e e e e -+≤++，即θλλθcos 21cos 4112-+≤++，即0cos 41cos 22≥⎪⎭⎫⎝⎛+--θθλλ恒成立，∴0cos 414cos 42≤⎪⎭⎫⎝⎛++=∆θθ，整理可得，再由可得，∵[]πθ,0∈，∴应选：C.考点：数量积表示两个向量夹角.R 函数()f x 对任意x 都有(2)(2)f x f x +=-，且其导函数'()f x 满足，那么当24a <<，有〔〕A ．2(2)(log )(2)a f f a f <<B ．2(log )(2)(2)a f a f f <<C ．2(2)(2)(log )a f f f a <<D ．2(log )(2)(2)a f a f f << 【答案】A 【解析】【方法点晴】此题主要考察了导数运算，以及奇偶函数图象对称性与比拟大小，同时考察了数形结合思想，该题有一定思维量，属于根底题之列．先根据条件求出函数对称轴为2=x ，根据x -2符号，再求出函数单调区间，然后判定2、a 2log 、a 2大小关系，根据单调性结合图象比拟()2f 、()a f 2log 、()a f 2大小即可．第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13.双曲线渐近线方程为____________. 【答案】x y 3±= 【解析】试题分析：令方程右边为0，得，即x y 3±=，故答案为x y 3±=. 考点：双曲线性质.ax y e =在点(0,1)处切线与直线310x y ++=垂直，那么a =___________.【答案】3 【解析】()f x 在某点()00,y x 处切线步骤：①对()f x 求导；②求()0x f '值；③利用点斜式得到切线方程()()000x x x f y y -'=-，结合与直线310x y ++=垂直，利用斜率之积为1-，得结果.15.假设变量,x y 满足约束条件，且2z x y =+最小值为6-，那么k =____________.【答案】2- 【解析】试题分析：作出不等式对应平面区域，〔阴影局部〕由y x z +=2，得z x y +-=2，平移直线z x y +-=2，由图象可知当直线z x y +-=2经过点A时，直线z x y +-=2截距最小，此时z 最小．目标函数为62-=+y x ，由，解得，即()2,2--A ，∵点A 也在直线k y =上，∴2-=k ，故答案为：2-．考点：简单线性规划.16.对大于或等于2自然数3次方可以做如下分解：33235,37911=+=++，3413151719=+++，根据上述规律，310分解式中，最大数是____________. 【答案】109 【解析】【方法点晴】归纳推理一般步骤是：〔1〕通过观察个别情况发现某些一样性质；〔2〕从一样性质中推出一个明确表达一般性命题〔猜测〕．注意观察各个数分解时特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续奇数之与；当底数是3时，可以分解成三个连续奇数之与．那么当底数是4时，可分解成4个连续奇数之与，进而求出32到310分解式用奇数个数，进而求出答案．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.等差数列{}n a 中，2474,15a a a =+=. 〔1〕求数列{}n a 通项公式；〔2〕设，求12310b b b b ++++值.【答案】〔1〕2+=n a n ；〔2〕3910. 【解析】〔2〕∵2n a n =+，∴11111(2)(3)23n n n b a a n n n n +===-++++ 考点：〔1〕等差数列通项公式；〔2〕数列求与. 18.〔本小题总分值12分〕空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够浓护问题.当空气污染指数〔单位：3/g m μ〕为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状年8月某日某省x 个监测点数据统计如下：〔1〕根据所给统计表与频率分布直方图中信息求出,x y 值，并完成频率分布直方图；〔2〕在空气污染指数分别为50~100与150~200监测点中，用分层抽样方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A “两个都为良〞发生概率是多少？【答案】〔1〕100x =，35y =；〔2〕53. 【解析】频率分布直方图如下图：19.〔本小题总分值12分〕如图，直角三角形ABC 中，060A =，沿斜边AC 上高BD ，将ABD ∆折起到PBD ∆位置，点E 在线段CD 上.〔1〕求证：PE BD ⊥；〔2〕过点D 作DM BC ⊥交BC 于点M ，点N 为PB 中点，假设//PE 平面DMN ，求DEDC值. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕31. 【解析】【方法点晴】此题考察了空间中平行与垂直关系应用问题，也考察了空间想象能力与逻辑推理能力应用问题，是综合性题目．在第一问中主要通过线面垂判定定理得到线面垂直，然后得到线线垂直，线线垂直与线面垂直之间互化是在证明垂直过程中常用手段；在第二问中首先根据线面平行性质定理，得到//PE NF ，根据长度与角关系得到DEF ∆是等边三角形，可得解. 20.〔本小题总分值12分〕如图，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点〔点M 在点N 下方〕，且〔1〕求圆C 方程；〔2〕过点M 任作一条直线与椭圆相交于两点,A B ，连接,AN BN ，求证：ANM BNM ∠=∠.【答案】〔1〕22525(2)()24x y -+-=；〔2〕证明见解析.【解析】考点：直线与圆方程应用.【方法点晴】此题考察了圆方程求法及圆锥曲线与直线交点问题，化简比拟复杂，通过根与系数关系简化运算，要细心，属于中档题．第一问中利用常见弦长一半，圆半径以及圆心到弦距离构成直角三角形，从而求得圆方程；第二问中把角相等转化为两直线斜率之与为0,通过联立直线方程与椭圆方程，根据维达定理，利用整体代换得到结果. 21.〔本小题总分值12分〕函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠. 〔1〕求函数()f x 极值；〔2〕假设对于任意[1,2]a ∈，假设函数23'()[2()]2x g x x m f x =+-在区间(,3)a 上有最值，求实数m 取值范围.【答案】〔1〕当0a <时，()f x 无极值，当0a >时，()f x 有极大值，无极小值；〔2〕. 【解析】∴()f x 在(0,)+∞单调增，()f x 无极值；当0a >时，由得：，那么得：，∴()f x 在上单调递增，在上单调递减. ∴()f x 极大值，无极小值. 综上：当0a <时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极大值，无极小值.〔2〕23'32()[2()]()22x m g x x m f x x a x x =+-=++-，考点：〔1〕利用导数研究函数单调性；〔2〕导数在最大值、最小值问题中应用.【方法点晴】此题是个中档题．考察利用导数研究函数单调性与最值问题，表达了对分类讨论与化归转化数学思想考察，特别是问题〔2〕设置很好考察学生对题意理解与转化，创造性分析问题、解决问题能力与计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程'()0g x =在(,3)a 上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为'22()3(2)1510g a a m a a a ma =++•-=+-<恒成立，利用别离参数得解.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.解答时请写清题号.22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 直径，AC 是弦，BAC ∠平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F .〔1〕求证：DE 是圆O 切线；〔2〕假设060CAB ∠=，圆O 半径为2，1EC =，求DE 值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕DE =【解析】考点：与圆有关比例线段.23.〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l参数方程为〔t为参数〕，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆=.C极坐标方程为ρθ〔1〕写出圆C直角坐标方程；〔2〕P为直线l上一动点，当P到圆心C距离最小时，求P直角坐标.【答案】〔1〕22+-=；〔2〕(3,0).(3x y【解析】〔2〕设，又C，那么PC==故当0t=时，PC取得最小值，此时P点坐标为(3,0)考点：〔1〕点极坐标与直角坐标互化；〔2〕直线与圆位置关系.。

广东省广州市执信中学2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)

2021 -2021学年广东省广州市执信中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1} 2．复数〔1+i〕z=2﹣3i〔i为虚数单位〕，那么z在复平面内对应点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a16值是〔〕A．22 B．16 C．15 D．184．角θ顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x 上，那么cos2θ﹣sin2θ等于〔〕A．﹣B．﹣C．D．5．如下图，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径半圆弧上随机取一点B，那么△AOB面积小于概率为〔〕A．B．C．D．6．某几何体三视图如下图，那么此几何体体积是〔〕A．πB．6πC．πD．π7．函数y=2x﹣x2图象大致是〔〕A．B．C．D．8．执行程序框〔如图〕，如果输入N=10．那么输出s=〔〕A． B．C．D．9．设0＜b＜a＜1，c＞1，那么〔〕A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角余弦值为〔〕A． B．C．D．11．如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕焦点F直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线方程为〔〕A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x12．我们把形如y=〔a＞0，b＞0〕函数称为“莫言函数〞，其图象与y轴交点关于原点对称点称为“莫言点〞，以“莫言点〞为圆心且与“莫言函数〞图象有公共点圆称为“莫言圆〞，当a=b=1时，“莫言圆〞面积最小值是〔〕A．2πB．C．eπD．3π二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设向量=〔m，1〕，=〔1，3〕，且•〔﹣〕=0，那么m= ．14．△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，那么∠ACB= ．15．〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数为﹣26，那么实数a值为．16．实数x，y满足不等式组，那么取值范围是．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}前n项与为S n，a n=，n∈N*．〔1〕求通项公式a n及S n；〔2〕设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}前n项与T n．18．在如下图几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD中点．〔1〕求证：EM∥平面ADF；〔2〕求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求二面角D﹣AF﹣B大小．19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁公务员，得到情况如表：〔1〕完成表格，并判断是否有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞，并说明理由；〔2〕现把以上频率当作概率，假设从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎概率．〔2〕15位有意愿生二胎女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请2人中来自省女联人数为X，求X公布列及数学期望E〔X〕．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P〔k2≥k0〕k020．设椭圆C：=1〔a ＞〕右焦点为F，右顶点为M ，且+=，〔其中O为原点〕，e为椭圆离心率．〔1〕求椭圆C方程；〔2〕假设过点F直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N ，使得•为定值？如果有，求出点N坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．21．函数f〔x〕=e x﹣kx+k〔k∈R〕．〔1〕试讨论函数y=f〔x〕单调性；〔2〕假设该函数有两个不同零点x1，x2，试求：〔i〕实数k取值范围；〔ii〕证明：x1+x2＞4．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C极坐标方程是ρ=4sin〔θ﹣〕，直线l参数方程是〔t 为参数〕．〔1〕将曲线C极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕设直线l与x轴交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=m﹣|x﹣3|，不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；〔1〕求实数m值；〔2〕假设关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立，求实数a取值范围．2021 -2021学年广东省广州市执信中学高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于〔〕A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式解集确定出A，找出A与B交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：〔x﹣1〕〔x+2〕＜0，解得：﹣2＜x＜1，即A={x|﹣2＜x＜1}，∵B={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，应选：B．2．复数〔1+i〕z=2﹣3i〔i为虚数单位〕，那么z在复平面内对应点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数表示法及其几何意义；复数代数形式乘除运算．【分析】根据复数运算法那么先化简z，然后根据复数几何意义进展判断即可．【解答】解：∵〔1+i〕z=2﹣3i，∴z====﹣i，对应坐标为〔﹣，〕位于第三象限，应选：C3．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a16值是〔〕A．22 B．16 C．15 D．18【考点】等差数列通项公式．【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a16．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，解得d=，a1=﹣，∴a16=a1+15d=﹣+=22．应选：A．4．角θ顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x 上，那么cos2θ﹣sin2θ等于〔〕A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角三角函数定义．【分析】在直线y=2x上除了原点外任意取一点〔a，2a〕，那么r=|a|，求得cos2θ 与sin2θ 值，即可求得cos2θ﹣sin2θ 值．【解答】解：在直线y=2x上除了原点外任意取一点〔a，2a〕，那么r=|a|，∴cos2θ==，∴sin2θ==，∴cos2θ﹣sin2θ=﹣，应选：B．5．如下图，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径半圆弧上随机取一点B，那么△AOB面积小于概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】利用OA=1，△AOB面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB面积小于概率．【解答】解：∵OA=1，△AOB面积小于，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB面积小于概率为=．应选：A．6．某几何体三视图如下图，那么此几何体体积是〔〕A．πB．6πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是由上半局部为半圆锥，下半局部为半圆柱组成几何体，根据三视图数据求半圆柱与半圆锥体积，再相加．【解答】解：由三视图知几何体是由上半局部为半圆锥，下半局部为半圆柱组成几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥底面圆半径为2，圆锥高为2，圆柱高为1，∴几何体体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．应选C．7．函数y=2x﹣x2图象大致是〔〕A．B．C．D．【考点】函数图象与图象变化．【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数零点2，4；函数特殊函数值f〔﹣2〕符号加以解决即可．【解答】解：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，所以选A．8．执行程序框〔如图〕，如果输入N=10．那么输出s=〔〕A． B．C．D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句作用，再根据流程图所示顺序，可知：该程序作用是利用循环计算s值并输出，模拟程序运行过程，即可得到答案．【解答】解：由中N=10．第一次执行循环体后，p=1，s=1，k=2，满足继续循环条件；第二次执行循环体后，p=3，s=1+=，k=3，满足继续循环条件；第三次执行循环体后，p=6，s=+=，k=4，满足继续循环条件；第四次执行循环体后，p=10，s=+=，k=5，满足继续循环条件；第五次执行循环体后，p=15，s=+=，k=6，满足继续循环条件；第六次执行循环体后，p=21，s=+=，k=7，满足继续循环条件；第七次执行循环体后，p=28，s=+=，k=8，满足继续循环条件；第八次执行循环体后，p=36，s=+=，k=9，满足继续循环条件；第九次执行循环体后，p=45，s=+=，k=10，不满足继续循环条件；故输出结果为：应选：C9．设0＜b＜a＜1，c＞1，那么〔〕A．ab＜b2＜bc B．alog b c＜blog a cC．ab c＞ba c D．log a c＜log b c【考点】不等式根本性质．【分析】分别根据幂函数指数函数对数函数单调性，可以排除ABC，问题得以解决．【解答】解：∵0＜b＜a＜1，c＞1，∴ab＞b2，b2＜bc，故A错误，∴0＞log b c＞log a c，故D正确，∴alog b c＞alog a c＜blog a c，故B无法比拟，又∵y=xα〔α＞0〕在〔0，+∞〕为增函数，∴a c＞b c，∴aa c＞ab c＞bb c＜ab c，故C无法比拟，应选：D10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，BC=CA=CC1，那么BM与AN所成角余弦值为〔〕A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成角．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1中点，如图：BC 中点为O，连结ON，，那么MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．应选：C．11．如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕焦点F直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线方程为〔〕A．y2=x B．y2=9x C．y2=x D．y2=3x【考点】抛物线标准方程．【分析】分别过点A，B作准线垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段性质可求得p，那么抛物线方程可得．【解答】解：如图分别过点A，B作准线垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，那么由得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．应选D．12．我们把形如y=〔a＞0，b＞0〕函数称为“莫言函数〞，其图象与y轴交点关于原点对称点称为“莫言点〞，以“莫言点〞为圆心且与“莫言函数〞图象有公共点圆称为“莫言圆〞，当a=b=1时，“莫言圆〞面积最小值是〔〕A．2πB．C．eπD．3π【考点】函数图象．【分析】根据中关于“莫言函数〞，“莫言点〞，“莫言圆〞定义，利用a=1，b=1，我们易求出“莫言点〞坐标，并设出“莫言圆〞方程，根据两点距离公式求出圆心到“莫言函数〞图象上点最小距离，即可得到结论．【解答】解：当a=1且b=1时，函数“莫言函数〞为y=图象与y轴交于〔0，﹣1〕点，那么“莫言点〞坐标为〔0，1〕．令“莫言圆〞标准方程为x2+〔y﹣1〕2=r2，令“莫言圆〞与函数y=图象左右两支相切，那么可得切点坐标为〔，〕与〔﹣，〕，此时“莫言圆〞半径r=；令“莫言圆〞与函数图象下支相切，此时切点坐标为〔0，﹣1〕．此时“莫言圆〞半径r=2；故所有“莫言圆〞中，面积最小值为3π．应选：D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．设向量=〔m，1〕，=〔1，3〕，且•〔﹣〕=0，那么m= ﹣1或2 ．【考点】平面向量数量积运算．【分析】可先求出坐标，这样进展向量数量积坐标运算由=0即可建立关于m方程，解出m即可．【解答】解：；∴m=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．14．△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，那么∠ACB= ．【考点】正弦定理．【分析】由利用三角形面积公式可求AB，进而由余弦定理可得BC，由余弦定理可得cos∠ACB=，结合范围∠ACB∈〔0，π〕，即可得解∠ACB=．【解答】解：∵△ABC面积为，AC=2，∠BAC=，∴=×2×AB×sin，可得：AB=1，∴由余弦定理可得：BC===，∴由余弦定理可得：cos∠ACB===，∵∠ACB∈〔0，π〕，∴∠ACB=．故答案为：．15．〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数为﹣26，那么实数a值为3或．【考点】二项式定理应用．【分析】把〔1﹣2x〕5与〔1+ax〕4分别利用二项式定理展开，可得〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4展开式中x2系数，再根据x2系数为﹣26，求得a值．【解答】解：∵〔1﹣2x〕5〔1+ax〕4=〔1﹣10x+40x2+ (32x5)•〔1+4ax+6a2x2+4a3x3+a4x4〕展开式中x2系数为﹣26，∴6a2﹣10•4a+40=6a2﹣40a+40=﹣26，即3a2﹣20a﹣38=0，求得实数a=3或a=，故答案为：3或．16．实数x，y满足不等式组，那么取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数性质结合换元法设t=，进展转化，然后作出不等式组对应平面区域，利用线性规划知识进展求解即可．【解答】解：==+﹣2，设t=，那么=t+﹣2，作出不等式组对应平面区域如图：那么t=几何意义是区域内点到原点斜率，由图象知OC斜率最小，OB斜率最大，由得，即B〔1，3〕，此时OB斜率t==3，由得，即C〔3，1〕，此时OC斜率t=，即≤t≤3，∵y=t+﹣2在≤t≤1上递减，在1≤t≤3递增，∴当t=1时，函数取得最小值y=1+1﹣2=0，当t=3或时，y=+3﹣2=，即0≤y≤，即取值范围是，故答案为：．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设数列{a n}前n项与为S n，a n=，n∈N*．〔1〕求通项公式a n及S n；〔2〕设b n=|a n﹣10|，求数列{b n}前n项与T n．【考点】数列求与；数列递推式．【分析】〔1〕a n=，那么a n+1=，a n﹣1﹣a n==，整理a n﹣1=3a n，当n=1时，求得a1，求得数列{a n}是等差数列，即可求得数列{a n}通项公式a n及S n；〔2〕求得b n通项公式，分别求得当n≤3时及当n≥4时数列{b n}前n项与T n．【解答】解：〔1〕由题意，a n=，n∈N*，那么a n+1=，作差得：a n+1﹣a n==，化简得：a n+1=3a n，又n=1时，a1==，解得a1=1，故数列{a n}是首项为1，公比为3等比数列，那么a n=3n﹣1，S n==；〔2〕a n﹣10=3n﹣1﹣10，那么b n=|a n﹣10|=，当n≤3时，T n=10n﹣=10n﹣，当n≥4时，T n=T3+﹣10〔n﹣3〕=17+﹣10+30=综上那么T n=．18．在如下图几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，，且M是BD中点．〔1〕求证：EM∥平面ADF；〔2〕求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求二面角D﹣AF﹣B大小．【考点】二面角平面角及求法；直线与平面平行判定；直线与平面所成角．【分析】〔1〕取AD中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行判定定理，证出EM∥平面ADF；〔2〕取AB中点G，连接FG，DG，可得∠FDG为直线DF与平面ABCD所成角，从而可求直线DF与平面ABCD所成角正切值；〔3〕求出平面ADF、平面EBAF一个法向量，利用向量夹角公式，可求二面角D﹣AF﹣B大小．【解答】解：〔1〕取AD中点N，连接MN，NF．在△DAB中，M是BD中点，N是AD中点，∴MN∥AB，MN=AB．又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN∥EF且MN=EF，∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF；〔2〕取AB中点G，连接FG，DG，那么FG∥EB，FG=∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∴∠FDG为直线DF与平面ABCD所成角∵BC=，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3∵BG=1，∴DG=∴tan∠FDG===；〔3〕因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz．由可得B〔0，0，0〕，A〔0，2，0〕，D〔3，0，0〕，F〔0，1，〕∴=〔3，﹣2，0〕，=〔0，﹣1，〕．设平面ADF一个法向量是=〔x，y，z〕．由，得，令y=3，那么=〔2，3，〕因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．∴=〔3，0，0〕是平面EBAF一个法向量．∴cos ＜＞==∵二面角D﹣AF﹣B为锐角，∴二面角D﹣AF﹣B大小为60°19．为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁公务员，得到情况如表：〔1〕完成表格，并判断是否有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞，并说明理由；〔2〕现把以上频率当作概率，假设从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎概率．〔2〕15位有意愿生二胎女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请2人中来自省女联人数为X，求X公布列及数学期望E〔X〕．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P〔k2≥k0〕k0【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验应用；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量期望与方差．【分析】〔1〕直接利用k2运算法那么求解，判断生二胎意愿与性别是否有关结论．〔2〕利用独立重复试验真假求解所求结果即可．〔3〕求出X可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】解：〔1〕由于=＜6.635．故没有99%以上把握认为“生二胎意愿与性别有关〞．〔2〕由题意可得，一名男公务员要生二胎意愿概率为=，无意愿概率为=，记事件A：这三人中至少有一人要生二胎，且各人意愿相互独立那么P〔A〕=1﹣=1﹣=．答：这三人中至少有一人有意愿生二胎概率为：．〔3〕X可能取值为0，1，2P〔X=0〕==；P〔X=1〕==；P〔X=2〕==．X012PE〔X〕==20．设椭圆C：=1〔a＞〕右焦点为F，右顶点为M，且+=，〔其中O为原点〕，e为椭圆离心率．〔1〕求椭圆C方程；〔2〕假设过点F直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆简单性质．【分析】〔1〕由题意求得a2=c2+3及|OF|、|OM|、|FM|，并代入+=，即可求得a值，即可求得椭圆方程；〔2〕直线l斜率存在时，设其方程为y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积坐标表示，结合条件能求出存在点N〔，0〕满足•=﹣．【解答】解：〔1〕由题意可知：焦点在x轴上，由a2=c2+3∴丨OF丨=c=，丨OM丨=a，丨FM丨=a﹣c=a﹣，e==由+=，即：+=，∴a[a2﹣〔a2﹣3〕]=3a〔a2﹣3〕，解得a=2．∴椭圆C方程；〔2〕由〔1〕可知：c=1，当直线l斜率存在时，设其方程为y=k〔x﹣1〕，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，将椭圆方程代入椭圆方程：，整理得：〔3+4k2〕x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，x1+x2=，x1•x2=，假设存在定点N〔m，0〕满足条件，那么有•=〔x1﹣m〕〔x2﹣m〕+y1y2，=m2﹣m〔x1+x2〕+k2〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕，=〔1+k2〕x1•x2﹣〔m+k2〕•〔x1+x2〕+k2+m2，=﹣+k2+m2，如果要上式为定值，那么必须有=⇒m=，证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N〔，0〕满足•=﹣．21．函数f〔x〕=e x﹣kx+k〔k∈R〕．〔1〕试讨论函数y=f〔x〕单调性；〔2〕假设该函数有两个不同零点x1，x2，试求：〔i〕实数k取值范围；〔ii〕证明：x1+x2＞4．【考点】利用导数研究函数单调性．【分析】〔1〕求出函数导数，通过讨论k范围求出函数单调区间即可；〔2〕〔i〕结合题意得到k＞0时，函数单调性，从而求出k范围即可；〔ii〕先求出两个根范围，问题转化为数x2﹣x1=ln〔x2﹣1〕﹣ln〔x1﹣1〕，令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，问题转化为证明y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，根据函数单调性证明即可．【解答】解：〔1〕由f〔x〕=e x﹣kx+k，〔k∈R〕，那么f′〔x〕=e x ﹣k，讨论：假设k≤0，那么f′〔x〕＞0，故f〔x〕在定义域上单调递增；假设k＞0，令f′〔x〕＞0，解得x＞lnk；令f′〔x〕＜0，解得x ＜lnk，综上：当k≤0时，f〔x〕单调递增区间为R，无单调递减区间；当k＞0时，f〔x〕单调递增区间为〔lnk，+∞〕，单调递减区间为〔﹣∞，lnk〕，〔2〕〔i〕由题意：由〔1〕可知，当k≤0时，函数至多只有一个零点，不符合题意，舍去；k＞0时，令f〔lnk〕=e lnk﹣klnk+k＜0，解得k＞e2，此时f〔1〕=e＞0；x→+∞时，f〔x〕→+∞＞0，因此会有两个零点，符合题意．综上：实数k取值范围是〔e2，+∞〕；〔ii〕：由〔i〕可知：k＞e2时，此时f〔1〕=e＞0；x→+∞时，f〔x〕→+∞＞0，且f〔2〕=e2﹣k＜0，因此x1∈91，2〕，x2∈〔2，+∞〕，由=kx1﹣k，=kx2﹣k，相除后得到=，取对数x2﹣x1=ln〔x2﹣1〕﹣ln〔x1﹣1〕，令y2=x2﹣1，y1=x1﹣1，即y2﹣y1=lny2﹣lny1=ln，要证x1+x2＞4，即证y1+y2＞2，即证＜ln，令=t＞1，即证＜lnt，构造函数h〔t〕=lnt﹣〔t＞1〕，由h′〔t〕=＞0，y=h〔t〕单调递增，那么h〔t〕＞h〔1〕=0，故不等式成立，综上，原不等式成立．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C极坐标方程是ρ=4sin〔θ﹣〕，直线l参数方程是〔t 为参数〕．〔1〕将曲线C极坐标方程转化为直角坐标方程；〔2〕设直线l与x轴交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|取值范围．【考点】简单曲线极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕ρ=4sin〔θ﹣〕，两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin〔θ﹣〕，展开可得：ρ2=4，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．〔2〕由直线l参数方程〔t为参数〕．消去参数t可得直线l直角坐标方程得：y=﹣〔x﹣2〕．可得：M〔2，0〕，利用|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，即可得出．【解答】解：〔1〕ρ=4sin〔θ﹣〕，两边同时乘以ρ得ρ2=4ρsin 〔θ﹣〕，展开可得：ρ2=4，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x，配方得：〔x+1〕2+=4．〔2〕由直线l参数方程〔t为参数〕．消去参数t可得直线l直角坐标方程得：y=﹣〔x﹣2〕．令y=0得x=2，即M〔2，0〕，又曲线C为圆，圆C圆心坐标为，半径r=2，那么|MC|==2．由|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，那么|MN|∈．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=m﹣|x﹣3|，不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；〔1〕求实数m值；〔2〕假设关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立，求实数a取值范围．【考点】绝对值不等式解法；绝对值三角不等式．【分析】〔1〕由m﹣|x﹣3|＞1，得4﹣m＜x＜m+2，根据不等式解集求出m值即可；〔2〕问题等价于|a﹣3|≥3恒成立，求出a范围即可．【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=m﹣|x﹣3|，∴不等式f〔x〕＞1，即m﹣|x﹣3|＞1，∴4﹣m＜x＜m+2，由不等式f〔x〕＞1解集为〔1，5〕；那么，解得：m=3；〔2〕关于x不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立⇔关于x不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，解得：a≥6或a≤0，即a∈〔﹣∞，0]∪[6，+∞〕．。

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2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A. 14 B.12C. 2D.4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A.2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）A.B. C. D.6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 189.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11.不等式x 2-3x +2<0的解集是__________.12.已知角q 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边为射线l ：y =-2x x £0()，则cos q 的值是__________.13.执行如图所示的程序框图，若输入1=x ，则输出y 的值是__________。

14.若函数f x()=log a x+m()+1（a>0且a¹1）恒过定点2,n()，则m+n的值为__________.15、在ABC∆中，角CBA,,的对边分别是cba,,，且︒===60,8,10Aba.（1）求Bsin的值；（2）求Ccos的值.16、甲，乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数.（1）求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；（2）分别从甲，乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.17、设nS为数列{}n a的前n项和，且*21NnnnSn∈++=，.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11nnaa的前n项和nT.18、如图，在三棱锥ABCP-中，︒=∠=====30,3245ACBBCABPBPCPA，，.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥ABC P -的体积.19、已知圆C 的圆心为点()30，C ，点()2,3R 在圆C 上，直线l 过点()01，-A 且与圆C 相交于Q P ,两点，点M 是线段PQ 的中点.（1）求圆C 的方程；（2）若9=⋅AC AM ，求直线l 的方程.20、已知点B A ,是函数[]()1,12-∈=x x y 图像上的两个动点，x AB //轴，点B 在y 轴的右侧，点()()2,1>m m M 是线段BC 的中点.（1）设点B 的横坐标为a ，ABC ∆的面积为S ，求S 关于a 的函数解析式()a f S =；（2）若（1）中的()a f 满足()1262--≤mk m a f 对所有(]1,0∈a ，()+∞∈,4m 恒成立，求实数k 的取值范围.2015学年度广州市高中二年级学生学业水平测试答案二、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

1. 【答案】B【解析】(){}2:0100,1N x x x x N -=⇒-=⇒=，\M ÇN =0,1{}.3+4+c =0 2. 【答案】D 【解析】a 4a 2=q 2=4 3. 【答案】C【解析】设直线:320l x y c -+=因为1,-2()在直线上，代点到直线方程得：7c ∴=-4. 【答案】D【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=⋅-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5. 【答案】A6. 【答案】C7. 【答案】B 【解析】y =x -z ,作l 0:y =x ,当l 0移至12,l l 两直线交点H 时截距z -最小，即z 最大，(1,2)H --，z max =-1+2=18.【答案】A【解析】()11233633S ABCD ABCD V S SB -=⋅=⨯⨯⨯=9.【答案】C【解析】()21cos 21112cos sin 224222x f x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭, 即求12sin 2x 的单调递减区间:3222,223,44k x k k Z k x k k Z ππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈10.【答案】D 【解析】()32232,2220,023********+≥++∴≥+∴>>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=∴+=a b b a a b b a ab b a ab b a a b b a b a ab ab b a ba ab 当且仅当b a =2,b =2a时符号成立，即1122a b ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩满足，则最小值为22+3。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11.【答案】1,2()【解析】()(){}2320,210,12x x x x x x -+<∴--<∴<< 12.【答案】-33【解析】终边在：()0,cos 0y x θ=≤∴<22tan cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩13.【答案】7【解析】x =1,y =5-2´1=3,3-1>5，否x =3,y =5-2´3=-1,-1-3>5，否x =-1,y =5-2´-1()=7,7--1()>5，是，7y =14.【答案】0【解析】f x ()=log a x +m ()+1过定点2,n ()，则()log 21a m n ++=，恒成立，\2+m =11=nÞm =-1n =1ìíîìíïîï\m +n =015.【答案】解:（1）由正弦定理得，sin sin a b A B= 10,8,60a b A ===︒sin sin b A B a ∴==（2）由（1）得，sin 5B =，且a b >cos 5B ∴==又60A =︒1sin 2A A ∴== ()cos cos sin sin cos cos 12C A B A B A B∴=-+=-==16.【答案】解：（1）由图可得，甲组答对题目的个数：8，9，11，12()()()()22222891112104158109101110121042x S +++∴==⎡⎤=⨯-+-+-+-=⎣⎦甲甲（2）由图可得，乙组答对题目的个数：8，8，9，11 设事件“两名同学答对题目个数之和为20”为事件A ，以(),x y 记录甲，乙两组同学答对题目的个数，满足“从甲，乙两组中各抽取一名同学”的事件有：()()()()8,8,8,8,8,9,8,11,()()()()9,8,9,8,9,9,9,11,()()()()11,8,11,8,11,9,11,11,()()()()12,8,12,8,12,9,12,11，共16种满足事件A 的基本事件为：()()()()9,11,11,9,12,8,12,8，共4种()41164P A ∴== 答：两名同学答对题目个数之和为20的概率为14.17.【答案】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，21n S n n =++①21(1)(1)1n S n n -=-+-+② -①②得：221(1)(1)n n S S n n n n --=+----(21)12n a n n =-+=但13a =不符合上式，因此：3,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，1121113412T a a ===⋅ 当2n ≥时，1111111()22(1)4(1)41n n a a n n n n n n +===-⋅+++1223341111111111111()()()124233411111()1242151244(1)n n n T a a a a a a a a n n n n +∴=++++⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-+=-+ 且1112T =符合上式，因此：51244(1)n T n =-+ 18. 【答案】解:（1）证明：取AC 中点D ，连接PD 、BD在∆ABC 中：BC AB =, D 为AC 中点AC BD ⊥∴在PAC ∆中PC PA =, D 为AC 中点AC PD ⊥∴又D PD BD =⋂ ,BD 、PBD PD 面⊂PBAC PBD PB PBDAC ⊥∴⊂⊥∴面面（2）方法一：BCD P ABD P ABC P V V V ---+=A PBD C PBD V V --=+在ABC ∆中，AB BC =, 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，PD DC ⊥, 5=PC , 3=DC4=∴PD41833)23(42122=⨯-⨯=∴∆PBD S131********A PBD PBD V S AD -∆=⨯⨯=⨯⨯= 又183C PBD A PBD V V --== 2183=+=∴---PBD C PBD A ABC P V V V （2）方法二：取BD 中点M ,连接PM 由（1）可知PBD AC 面⊥又PBD PM 面⊂PM AC ⊥∴在ABC ∆中，BC AB = , 030=∠ACB , D 是AC 中点 3=∴BD , 3==DC AD在PCD ∆中，DC PD ⊥ , 5=PC , 3=DC4=∴PDPBD ∴为等腰三角形BD PM ⊥∴又D BD AC =⋂ , ABC BD AC 面、⊂ABC PM 面⊥∴, 即PM 为三棱锥ABC P -的高h 易得261=PM h S V ABC ABC P ∆-=∴31 2183261362131=⨯⨯⨯⨯=19. 【答案】解：(1)2R =,圆的方程为22(y 3)4x +-=(2)方法一：①k 不存在时 1x =-，则P(1,33)--，Q(1,33)-+，M(1,3)-显然有=9AC AB ⋅②k 存在时设(1)y k x =+∴l 的方程为y kx k =+11(,)P x y ,22(,)Q x y ,00(,)M x y ∴(1,3)AC =，00(1,)AM x y =+∴有00139x y ++=即121213922x x y y ++++⋅= 联立22(3)4y kx k x y =+⎧⎨+-=⎩ 则2222(1)(26)650k x k k x k k ++-+-+=∴2122621k k x x k -+=+，231226221k k y y k k -+=++ ∴21202321x x k k x k +-==+，231202321y y k k y k k+-==++ 代入方程：00139x y ++=得：223223313[]911k k k k k k k --+++=++ 解得：43k = 综上所述，l 的方程1x =-或4340x y -+=方法二：MC AM AM MC AM AM MC AM AM AC AM ⋅+=⋅+=+⋅=⋅22)(M 是线段PQ 的中点，∴根据垂径定理，即PQ CM ⊥，即0AM MC ⋅=,3,92=∴=∴AM AM10)03(122=-+=CA在ABC Rt ∆中，191022=-=-=AM CA CM①若k 存在时，设直线l 为)1(0+=-x k y 即0=+-k y kx圆心)3,0(C 到直线l 的距离1132=++-=k kd ，解得34=k∴直线l 的方程为0434=+-y x②若k 不存在时，过)0,1(-A 的直线为1-=x也满足)3,0(C 到直线1-=x 的距离为1.综上所述，直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .方法三：(1,0)A -，(0,3)C ，设点00(,)M x y ，则：(1,3)AC =，00(1,)AM x y =+，00(,3)CM x y =-由题意得：00139AM AC x y ⋅=++=，得0083x y =-①又因为M 是弦PQ 的中点，因此AM CM ⊥，0000(1)(3)0AM CM x x y y ⋅=++-=，将①式代入，得：0000(83)(93)(3)0y y y y --+-=，整理得：00(3)(1024)0y y --=，解得：03y =或0125y =得M 的坐标为(1,3)-,或412(,)55，因此直线l 的方程为0434=+-y x 或01=+x .20. 【答案】解：（1）设)22,2(),,1(),2,(),2,(a m a C m M a a A a a B ---则ma a a a m a a f S 24)222(221)(2+-=--⨯⨯==∴. （2）12624126)(222--≤+---≤mk m ma a mk m a f 得由 ma a a f 24)(2+-=的对称轴为4m a =，4,14m m >∴>， m a 24]1,0(+-∈∴上的最大值为在，恒成立126242--≤+-∴mk m m ， 32622+-≤∴m m mk 恒成立，即12312-+≤mm k 恒成立. 222312≥+m m 当且仅当23=m 时成立， .122-≤∴k。