双曲线讲义(教师版)

一、双曲线知识点总结:

1. 双曲线的定义

（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, 的轨迹不存在;

当时, 的轨迹为以为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义

平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线

与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：

与双曲线共轭的双曲线为

等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 1.注意定义中“陷阱

·

问题1：已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为

2.注意焦点的位置

问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为 P P 21212||F F a PF PF ==-P 21F F 、F l F l e 1>e 12222=-b y a x )0(22

22≠=-λλb y a x 122

22=-b y a x 22221y x b a

-=222a y x ±=-x y ±=2=e 12(5,0),(5,0)F F -P 21,F F x y 2

3

±

=

—

二、双曲线经典题型:

1.定义题：

1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）

￥

设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线

上， 依题意得a=680, c=1020，

用y=－x 代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450

距中心处.

2. 设P 为双曲线上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）

A ．

B ．12

C ．

D ．24

:

解析： ①

又②

由①、②解得直角三角形故选B 。 122

22=-b

y a x 1340

5680340568010202

2

22222222=?-?=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为5680±=x 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即m 10680112

2

2

=-y x 363122:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由,22||||21==-a PF PF .4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2

212221==+F F PF PF 为

21F PF ∴.12462

1

||||212121=??=?=

∴?PF PF S F PF

3.如图2所示，为双曲线的左 焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27

[解析] ，选C

.

4. P 是双曲线左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距

为2c ，则的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，

由圆的切线性质知，

5. 若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线221x y a b

-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）

A. a m -

B.

()a m -2

1

C. 22a m -

D. a m -

()121PF PF ∴+=

()122PF PF ∴-=±

%

()()

()22

12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A .

2.求双曲线的标准方程

1已知双曲线C 与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C 的方程．

【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组

[解析] 解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c =2.又双曲线过点（3，

2），∴－=1. 又∵a 2+b 2=（2）2，∴a 2=12，b 2

=8.

F 116

9:

2

2=-y x C C i P ()3,2,17=-i P i y F P F P F P F P F P F P 654321---++=-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P )0,0(122

22>>=-b a b

y a x 21F PF ?a -b -c -c b a -+21F PF ?0x a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(|||162

x 4

2y 2c b a ,,22

a x 22b

y 5222)23(a 2

4

b 5

故所求双曲线的方程为－=1.

解法二：设双曲线方程为－＝1，

…

将点（3，2）代入得k =4，所以双曲线方程为－＝1.

2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；

[解析]设双曲线方程为， 当时，化为

，， 当时，化为

，， 综上，双曲线方程为

或 3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.

[解析] 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，

，双曲线方程为

—

4.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为

A ．

B ．

C ．（x > 0）

D ． [解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

3.与渐近线有关的问题

1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心

122

x 8

2y k x -162

k

y +422122

x 8

2y 2

x

y ±=λ=-2

24y x 0>λ14

2

2

=-

λ

λ

y x 20104

52

=∴=∴λλ

0<λ142

2

=---λλy y 2010452-=∴=-∴λλ221205

x y -=12052

2=-x y x y 382

=F 03=±y x x y 382=F )0,32(λ=-2

23y x 9)32(342=∴=∴λλ13

922=-y x (3,0)M -(3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P 22

1(1)8y x x -=<-22

1(1)8

y x x -=>1822

=+y x 22

1(1)10

y x x -=>2=-=-BN BM PN PM P M N )0,0(122

22>>=-b a b

y a x

率为 （ ）

A. B. C. D. 【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系

[

[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以

【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程

2. 双曲线的渐近线方程是 ( ) A. B. C. D.

[解析]选C

3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B

；

4.过点（1，3）且渐近线为x y 2

1

±

=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2

214

x y k -=

点（1，3）代入：135

944

k =

-=-.代入（1）

： 2222

3541

443535

x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22

221x y a b

-=中，令222200x y x y a b a b -=?±=即为其渐近线.根据这

一点，可以简洁地设待求双曲线为22

22x y k a b

-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.

4.几何

1.设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点，12F F ，12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）

2352c b a ,,a b 2=5122

222

=+==a

b a

c e 5=e c b a ,,22

149

x y -

=23y x =±49y x =±32y x =±9

4

y x =±12

22

=-y x 124

1222=-y x 1241222=-x y 1122422=-x y 112242

2=-y x

A

．

B ．12

C. D ．24

、

【解析

】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,a b c ===.设；

12123,2.

22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴=

于是2

2

2

1212126, 4.

52PF PF PF PF F F ==+==，

故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.

∴121211

641222

PF F S PF PF ?=

?=??=.选B. 5.求弦

1.双曲线12

2

=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）

A. 12-=x y

B. 22-=x y

C. 32-=x y

D. 32+=x y 【解析】设弦的两端分别为()()

1,12,2,A x y B x y .则有：

()()222222111212121222

121222

101x y y y x x x x y y x x y y x y ?-=-+?---=?=?-+-=?. ∵弦中点为（2，1），∴121242

x x y y +=??

+=?.故直线的斜率1

212

12122y y x x k x x y y -+===-+. 则所求直线方程为：()12223y x y x -=-?=-，故选C.

“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要

有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.

但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：

2.在双曲线12

2

2

=-y x 上，是否存在被点M （1，1）平分的弦如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法： 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

()()2

222

21221224302221y x x x x x y x ?-=??--=?-+=?

?=-?

这里1624

0?=-，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

此外，上述解法还疏忽了一点：只有当12x x ≠时才可能求出k=2.若

12120x x y ===，必有y .说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线.