人教A版数学选修2-2同步作业：综合卷

模块综合检测卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1

z 2在复平面内对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第三象限

C ．第二象限

D ．第四象限

答案 D 解析

z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点(32，－12

)在第四象限． 2．设f(x)＝10x ＋lgx ，则f′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln10＋lge C.10ln10＋ln10 D ．11ln10

答案 B

3．函数y ＝(1－sinx)2的导数是( ) A ．y ＝2sin2x －cosx B ．y ＝sin2x ＋2cosx C ．y ＝2sin2x －2cosx D ．y ＝sin2x －2cosx 答案 D

解析 y′＝2(1－sinx)(1－sinx)′＝2(1－sinx)(－cosx)＝2sinxcosx －2cosx ＝sin2x －2cosx. 4．函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )

A ．0

B ．0

C ．0

D ．0

答案 B

5．如果复数2－bi

1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为( )

A. 2

B ．－2

C ．－23

D.23

答案 C

6．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n(n ∈N *)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －9 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10

答案 B

解析 等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号，故选B. 7．如图阴影部分的面积是( )

A ．e ＋1e

B ．e ＋1

e －1

C ．e ＋1

e －2

D ．e －1

e

答案 C

8．若函数f(x)＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 取值范围是( ) A ．m>3 B ．m ≥1

3

C ．m<13

D ．m<0

答案 B

9．曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，4

3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )

A.1

9 B.29 C.13 D.23

答案 A

解析 ∵y′＝x 2＋1，∴切线斜率k ＝12＋1＝2. ∴切线方程为y －4

3

＝2(x －1)，

与坐标轴的交点坐标为(0，－23)，(1

3，0)．

∴所求三角形面积为12×23×13＝1

9

.

10．a 、b 是非零实数，若a

b

答案 C

11．若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0，2)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ＝2 C ．a ≤3 D ．0

12．若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0，2]上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[0，2]

C ．[－2，0]

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A

解析 m ＝－x 3＋3x ，令f(x)＝－x 3＋3x ，则f′(x)＝－3x 2＋3. 令f′(x)＝－3x 2＋3＝0，得x ＝±1， 且f(0)＝0，f(1)＝2，f(2)＝－2. ∴f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. ∴m ∈[－2，2]．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．(1＋2i 1－i )2＋(2－i 1＋i )2＝________．

答案 －4－3i

14．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t 2(m/s)(其中t 为时间，单位：s)，则它在前2 s 内所走过的路程为________ m. 答案 2

15．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 30

30，则在等比数列{b n }中，会

有类似的结论：________________． 答案

10

b 11b 12…b 20＝

30

b 1b 2…b 30

解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴

10

b 11b 12…b 20＝

30

b 1b 2…b 30.

16．已知f(x)＝x 3＋3x 2＋a(a 为常数)在[－3，3]上有最小值3，那么[－3，3]上f(x)的最大值是________． 答案 57

解析 f′(x)＝3x 2＋6x ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2. ①当0≤x ≤3，－3≤x ≤－2时， f ′(x)≥0，f(x)单调递增； ②当－2

又由f(－3)＝(－3)3＋3×(－3)2＋a ＝a ，f(0)＝a ，则a ＝3.

所以f(x)＝x 3＋3x 2＋3在x ＝－2或x ＝3处取得最大值，而f(－2)＝7，f(3)＝57.所以最大值为57.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i

（2＋i ）2，

求(1)z 1·z 2； (2)z 1

z 2

.

解析 ∵z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝5（3－i ）（3－4i ）25＝9－4－15i

5＝1－3i.

(1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i ； (2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝2＋9＋3i 10＝1110＋3

10

i. 18．(12分)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为1

12

，试求切点A 的坐标以及切线方程． 解析 设点A(x 0，x 02)，函数y ＝x 2的导函数为y′＝2x ，所以当x ＝x 0导数为y′＝2x 0. 曲线在点A 处的切线方程为y －x 02＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 02.

可得切线与x 轴交于点(x 02，0)，阴影部分的面积S ＝∫x 00x 2dx －12·x 02·x 02

＝13x 3 |x 0

0－14

x 03＝

112x 03＝1

12

，解得x 0＝1. 所以切点为(1，1)，切线方程为y ＝2x －1. 19．(12分)(1)求证：tan(x ＋π4)＝1＋tanx

1－tanx

；

(2)设x ∈R ，a ≠0，f(x)是非常数函数，且f(x ＋a)＝1＋f （x ）

1－f （x ）.试问f(x)是周期函数吗？证明

你的结论．

解析 (1)tan(x ＋π

4)＝tan π

4＋tanx 1－tan π4tanx

＝1＋tanx 1－tanx

.

(2)类比猜想：f(x)是以T ＝4a 为周期的周期函数．

因为f(x ＋2a)＝f(x ＋a ＋a)＝1＋f （x ＋a ）1－f （x ＋a ）＝1＋

1＋f （x ）1－f （x ）1－

1＋f （x ）1－f （x ）＝－1

f （x ）

，

所以f(x ＋4a)＝－1

f （x ＋2a ）＝f(x)．

所以f(x)是以T ＝4a 为周期的周期函数． 20．(12分)已知a<2，函数f(x)＝(x 2＋ax ＋a)e x . (1)当a ＝1时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)的极大值是6·e －

2，求a 的值．

解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝(x 2＋x ＋1)e x ，∴f ′(x)＝(x 2＋3x ＋2)e x . 由f′(x)≥0，得x 2＋3x ＋2≥0，解得x ≤－2或x ≥－1. ∴f(x)的单调递增区间是(－∞，－2]，[－1，＋∞)． (2)f′(x)＝[x 2＋(a ＋2)x ＋2a]e x . 由f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝－a. ∵a<2，∴－a>－2.

当x 变化时，f ′(x)，f(x)变化情况列表如下：

∴x ＝－2而f(－2)＝(4－a)·e －

2，∴(4－a)e －

2＝6·e －

2.∴a ＝－2.

21．(12分)设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12(a n ＋1

a n )，试求a n ，并用数学归纳法证

明你的结论．

解析 当n ＝1时，a 1＝12(a 1＋1

a 1

)，∴a 1＝1.

当n ＝2时，a 1＋a 2＝12(a 2＋1

a 2)，∴a 2＝2－1(a n >0)．

当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝12(a 3＋1

a 3)，∴a 3＝3－ 2.

猜想：a n ＝n －n －1. 证明：(1)当n ＝1时，已证．

(2)假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12

(a k ＋1

a k )，

即a k ＋1－1a k ＋1＝－(a k ＋1a k )＝－(k －k －1＋1

k －k －1)＝－2k.

∴a k ＋1＝k ＋1－k.

由(1)、(2)可知，对n ∈N *，a n ＝n －n －1.

22．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋cx ＋d(a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f(x)取得极值－2.

(1)求f(x)的单调区间和极大值；

(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1，1)，不等式|f(x 1)－f(x 2)|<4恒成立． 解析 (1)由奇函数的定义，应有f(－x)＝－f(x)，x ∈R ， 即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f(x)＝ax 3＋cx ，f ′(x)＝3ax 2＋c.

由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0.

故?

???

?a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3. 因此f(x)＝x 3－3x ，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，f ′(－1)＝f′(1)＝0. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1，1)时，f ′(x)<0，故f(x)在区间(－1，1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数． ∴f(x)在x ＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝x 3－3x(x ∈[－1，1])是减函数，且f(x)在[－1，1]上的最大值M ＝f(－1)＝2，f(x)在[－1，1]上的最小值m ＝f(1)＝－2. ∴对任意的x 1，x 2∈(－1，1)， 恒有|f(x 1)－f(x 2)|

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