2018-2019学年四川省成都市高二上学期期末调研考试数学(理)试题

四川省成都市2018-2019学年高二上学期期末调研考试

数学（理）试题

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.如图是某班篮球队队员身高单位：厘米的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是

A. 168

B. 181

C. 186

D. 191

【答案】C

【解析】

【分析】

利用茎叶图能求出该篮球队队员身高的众数．

【详解】如图是某班篮球队队员身高单位：厘米的茎叶图，

则该篮球队队员身高的众数是186．

故选：C．

【点睛】本题考查众数的求法，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

2.命题“若，则”的逆否命题是

A. 若，则，

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】

根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若，则”，写出即可．

【详解】命题“若，则”，

它的逆否命题是“若，则”．

故选：C．

【点睛】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．逆否命题是既否条件又否结论，同时将条件和结论位置互换.

3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且抛物线C上横坐标为4的点P到焦

点F的距离为5，则抛物线C的标准方程是

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义，可以构造出关于的方程，求解可得抛物线方程。

【详解】由题意可设抛物线的方程为，

可得抛物线的准线方程为，

由抛物线的定义可得

抛物线C上横坐标为4的点P到焦点F的距离为5，

即为，

解得，

则抛物线的方程为．

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据抛物线的定义求解标准方程，属于基础题。

4.在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为，若票仓中有足够多的票则下列说法正确

的是

A. 若只摸取一张票，则中奖的概率为

B. 若只摸取一张票，则中奖的概率为

C. 若100个人按先后顺序每人摸取1张票则一定有2人中奖

D. 若100个人按先后顺序每人摸取1张票，则第一个摸票的人中奖概率最大

【答案】B

【解析】

【分析】

利用概率的定义和性质直接求解．

【详解】在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为，

在A中，若只摸取一张票，则中奖的概率为，故A错误；

在B中，若只摸取一张票，则中奖的概率为，故B正确；

在C中，若100个人按先后顺序每人摸取1张票，不一定有2人中奖，故C错误；

在D中，若100个人按先后顺序每人摸取1张票，则第一个摸票的人中奖概率都是，故D 错误．

故选：B．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查概率定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.阅读如图所示的算法语句如果输入的A，B的值分别为1，2，那么输出的A，B的值分别为

A. 1，1

B. 2，2

C. 1，2

D. 2，1

【答案】D

【解析】

【分析】

模拟程序的运行，根据赋值语句的功能即可得解．

【详解】模拟程序的运行，可得

，

，，

输出A的值为2，B的值为1．

故选：D．

【点睛】本题考查了程序语言的应用问题，考查了对应思想的应用，属于基础题．

6.已知数据，，的方差，则，，的方差为

A. 4

B. 6

C. 16

D. 36

【答案】A

【解析】

【分析】

利用方差的性质直接求解．

【详解】数据，，的方差，

，，的方差为．

故选：A．

【点睛】本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

7.如图是某超市一年中各月份的收入与支出单位：万元情况的条形统计图已知利润为收入与

支出的差，即利润收入一支出，则下列说法正确的是

A. 利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元

B. 利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元

C. 收入最少的月份的利润也最少

D. 收入最少的月份的支出也最少

【答案】D

【解析】

【分析】

利用收入与支出单位：万元情况的条形统计图直接求解．

【详解】在A中，利润最高的月份是3月份，且2月份的利润为15万元，故A错误；

在B中，利润最小的月份是8月份，且8月分的利润为5万元，故B错误；

在C中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故5月分的利润不是最少，故C 错误；

在D中，收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查收入与支出单位：万元情况的条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．

8.已知圆：与圆：外切，则圆与圆的周长之和为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

通过圆的一般方程，求得两圆圆心坐标；再利用两圆外切，圆心距等于半径之和求解出周长之和。

【详解】由圆的一般方程可得两圆的圆心为，，

两圆外切，

两圆半径之和，

则圆与圆的周长之和

本题正确选项：

【点睛】本题考查圆与圆的位置关系问题。关键在于利用两圆外切，得到圆心距等于半径之和。

9.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，，

，，，，分组后，得到的频率分布直方图如图所示,

则下列说法正确的是

A. 频率分布直方图中a的值为

B. 样本数据低于130分的频率为

C. 总体的中位数保留1位小数估计为分

D. 总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等

【答案】C

【解析】

【分析】

由频率分布直方图得的性质求出；样本数据低于130分的频率为：；的频

率为，的频率为由此求出总体的中位数保留1位小数估计为：

分；样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等．

【详解】由频率分布直方图得：

，

解得，故A错误；

样本数据低于130分的频率为：，故B错误；

的频率为：，

的频率为：．

总体的中位数保留1位小数估计为：分，故C正确；

样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，

总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等，故D错误．

故选：C．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.

10.设斜率为k且过点的直线与圆相交于A，B两点已知p：，q：

，则p是q的

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

设出直线方程，求出圆心和半径，利用直线和圆相交的弦长公式建立方程进行求解，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】斜率为k且过点的直线方程为，即，

圆心到直线的距离，圆的半径，

若，

则，

即，

则，即，

得，

即p是q的充要条件，

故选：A．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相交的弦长公式是解决本

题的关键．判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

11.执行如图所示的程序框图，则输出的i的值是

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】模拟程序的运行，可得

，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为12．

故选：D．

【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

12.已知双曲线C：的一个焦点为F，若F关于双曲线C的渐近线的对称点

恰好在双曲线C上，则双曲线C的离心率为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

通过点关于直线的对称点的求解方法，得到关于渐近线的对称点坐标；代入双曲线方程，构造出关于的齐次方程，即可求解出双曲线的离心率。

【详解】设，渐近线方程为，

对称点为，

即有，

且，

解得，，

将，即，

代入双曲线的方程可得，

化简可得，即有，

解得．

本题正确选项：

【点睛】求解离心率问题重点是构造出关于的齐次方程。本题解题关键是能求解出点关于直线的对称点，构造方程求解对称点时，主要在三个等量关系中任选两个：①两点连线与对称轴垂直；②两点中点在对称轴上；③两点到对称轴的距离相等。

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某学校有教师100人，学生900人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为______．

【答案】2

【解析】

【分析】

先求出每个个体被抽到的概率，再用教师的人数乘以此概率，即得所求．

【详解】每个个体被抽到的概率等于，则应抽取的教师人数为，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．

14.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点2，，0，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用空间中两点间距离公式直接求解．

【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，

点2，，0，，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查两点间的距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

15.已知斜率为k的直线L与椭圆C：相交于A，B两点，若线段AB的中点为，则k的值是______．

【答案】

【解析】

【分析】

通过点差法可直接求解出直线得斜率。

【详解】设，，代入椭圆方程得：

上下两式作差可得：

即：

又线段的中点为

，

本题正确结果：

【点睛】解题的关键是利用点差法，采用设而不求的方式，将直线斜率与中点联系起来。点差法主要解决中点弦和弦中点问题。

16.利用随机模拟的方法计算图中阴影部分抛物线和x轴围成的部分的面积S．

第一步，利用计算机产生两组区间的均匀随机数；

，

第二步，进行伸缩变换，；

第三步，数出落在阴影内的样本点数．

现做了100次试验，模拟得到，由此估计______．

【答案】

【解析】

【分析】

由计算器做模拟试验结果试验估计，得出点落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解阴影部分的面积．

【详解】根据题意：点落在阴影部分的点的概率是，

矩形的面积为，阴影部分的面积为S，

则有，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型的概率问题，是基础题．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.某车间有5名工人其中初级工2人，中级工2人，高级工1人现从这5名工人中随机抽取2名．

Ⅰ求被抽取的2名工人都是初级工的概率；

Ⅱ求被抽取的2名工人中没有中级工的概率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

Ⅰ设初级工为，，中级工为，，高级工为c，从中随机取2人，利用列举法能求出被抽取的2名工人都是初级工的概率;Ⅱ利用列举法求出没有抽取中级工的情况有3种，由此能求出被抽取的2名工人中没有中级工的概率．

【详解】Ⅰ设初级工为，，中级工为，，高级工为c，

从中随机取2人，

基本事件有10个，分别为：

，，，，，，，，，．

抽到2名工人都是初级工的情况为：，共1种，

被抽取的2名工人都是初级工的概率．

Ⅱ没有抽取中级工的情况有3种，分别为：

，，，

被抽取的2名工人中没有中级工的概率．

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.

18.已知点，，在圆E上，过点的直线l与圆E相切．

Ⅰ求圆E的方程；

Ⅱ求直线l的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线l的方程为或.

【解析】

【分析】

Ⅰ根据题意，设圆E的圆心为，半径为r；将A、B、C三点的坐标代入圆E的方程可得，即可得圆E的方程；Ⅱ根据题意，分2种情况讨论：，当直线l的斜率不存在时，直线l

的方程为，验证可得此时符合题意，，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，由直线与圆的位置关系计算可得k的值，可得此时直线的方程，综合即可得答案．

【详解】Ⅰ根据题意，设圆E的圆心为，半径为r；

则圆E的方程为，

又由点，，在圆E上，

则有，解可得，

即圆E的方程为；

Ⅱ根据题意，分2种情况讨论：

，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，与圆M相切，符合题意；

，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，

圆心E到直线l的距离，解可得，

则直线l的方程为，即，

综合可得：直线l的方程为或．

【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及圆的标准方程以及切线方程的计算，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

19.已知，p：，，g：指数函数，且在R上单调递增．

Ⅰ若是真命题，求m的取值范围；

Ⅱ在Ⅰ的条件下，求椭圆的离心率e的取值范围．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

【分析】

Ⅰ由是真命题，可知p，q都是真命题，当p为真命题时，解得m的范围，当q为真命题时，求出m的范围，取交集即可求出m的取值范围；Ⅱ由Ⅰ知，，结合椭圆的性质，可得，再由函数在上单调递增，即可求出椭圆离心率e的取值范围．

【详解】Ⅰ是真命题，

，q都是真命题．

当p为真命题时，，则，解得．

当q为真命题时，．

的取值范围是；

Ⅱ由Ⅰ知，，

，

，，

而函数在上单调递增，

．

该椭圆离心率e的取值范围是

【点睛】本题考查了复合命题的真假判断，考查了不等式的解法以及函数的单调性，是中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).

20.已知椭圆C的焦点为，，点在椭圆C上．

Ⅰ求椭圆C的标准方程；

Ⅱ若斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点Q满足，求面积的最大值．

【答案】ⅠⅡ

【解析】

【分析】

（I）根据椭圆的几何性质，即可求得标准方程；（II）假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出线段的长度，再求出到直线的距离，从而可以表示出的面积；再利用基本不等式求解出面积的最大值。

【详解】（I）设椭圆C的标准方程为，

椭圆C的焦点为，，点在椭圆C上．

，解得，，

椭圆C的标准方程为．

（II）设直线l：，，，

联立，消去y，得，

由，

解得，，

，

由，知，

点Q到直线l的距离为，

的面积

，

当且仅当时，．

面积的最大值为．

【点睛】本题主要考察椭圆中面积的最值问题。关键在于利用变量将所求三角形的面积表示成一个关于的函数的形式，然后利用函数值域或者基本不等式的方法来求解出所求的最值。

21.环保部门研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系现采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如表：

单位：万辆浓度单位：

Ⅰ在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；

Ⅱ根据表中统计数据，求出线性回归方程计算b时精确到，计算a时精确到；

Ⅲ为净化空气，该地决定下周起在工作日星期一至星期五限号假设限号时每个工作日的车流量为表中对应工作日的，试预测下周星期三的PM10浓度精确到

参考公式：，．

参考数据，，，．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】

Ⅰ由已知表格中的数据直接作出散点图；Ⅱ分别求出的值，可得线性回归方程；Ⅲ求出下周星期三的车流量，代入线性回归方程得答案．

【详解】Ⅰ

Ⅱ．

．

关于x的线性回归方程为；

Ⅲ下周星期三的车流量预计为万辆．

预测下周星期三的PM10浓度为

【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查学生读取图表的能力和计算能力，是中档题．线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

22.设，动圆C经过点，且被y轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C的轨迹为E．

Ⅰ求轨迹E的方程；

Ⅱ求证：在轨迹E上存在点A，B，使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形．

【答案】Ⅰ，．Ⅱ详见解析。

【解析】

【分析】

（I）通过被轴截得弦长和经过点，构造出圆心满足的方程，整理可得轨迹方程；（II）通过假设点坐标以及，可求得直线的方程，将方程与轨迹联立，可表示出点坐标；从而可表示出，再通过构造出函数，通过零点存在定理说明存在零点，从而得到存在，从而证得结论。

【详解】（I）设动圆圆心，半径为r，

圆C过点，，

圆C被y轴截得的弦长为2p，，

由，得，化简，得，，

轨迹E的方程为，．

（II）证明：设，，则OA的斜率，

，的斜率，

直线AB的方程为，

联立直线AB与抛物线E的方程，得：

，解得，

，

，

记，，，，则，，

记，，

由题意，记，，

，，

根据零点存在定理，存在，使得，从而，

当满足时，有，

此时是以A为直角顶点的等腰直角三角形，

在轨迹E上存在点A，B，使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考察了直线与抛物线综合应用问题，难点在于证明等腰直角三角形过程中，涉及到的字母运算较多以及幂指数较高，此时可采用换元的方式，减少运算量，同时更清晰的构造出函数，将问题转化为存在零点问题，再利用零点存在定理解决。