椭圆的定义及几何性质精编版
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椭圆
【教学目标】（1）掌握椭圆的定义
（2）掌握椭圆的几何性质
（3）掌握求椭圆的标准方程
【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题
（2）椭圆焦点三角形面积的求法
【教学过程】
一、知识点梳理
知识点一：椭圆的定义
数于常的距离之和等个到两定平面内一个动点点、
的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦)(，这个动点点的距离叫作椭圆的焦距。
，则动点的轨迹为线段注意：若；
若，则动点的轨迹无图形。知识点二：椭圆的标准方程
轴上时，椭圆的标准方程：，；其中当焦点在
1．
椭圆的标准方程：；当焦点在，其中轴上时，2．注意：．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆1
的标准方程；
．在椭圆的两种标准方程中，都有和；2
轴上时，椭圆的焦点坐标为3；当，当焦点在．椭圆的焦点总在长轴上.
。，焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为知识点三：椭圆的简单几何性质1 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
椭圆的的简单几何性质
）对称性（1
同时换、y，或把y换成―y，或把x对于椭圆标准方程，把x换成―x
轴为对称轴的轴对称图形，―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y―x成、且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。讲练结合：（2）范围所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x=±a和y=±b椭圆上所有的点都位于直线|x|≤a，|y|≤b。（）顶点3①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
坐标分别为）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，（②椭圆a＞b＞0 0），A（―a，1（，B0，b）。（（Aa，0），B0，―b）221分别叫a和b。|=2aB③线段AA，B分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AA，|BB|=2b22122111做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率
。①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作，从而c就越接近a越接近＜的取值范围是＞②因为a＞c0，所以e0＜e1。e1，则
，越接近于，从而ba0c0e因此椭圆越扁；越小，反之，越接近于，就越接近，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为c=0a=b这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，222 x=a+y 2 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：
，1）；，
（
，2）；，
（
），,；（3
0b＞）的区别和联系a知识点四：椭圆与（＞
标准方程
图形
焦点，，
焦距
范围，，
性质关于x轴、对称性y轴和原点对称
顶点，，
轴=长轴长=，短轴长
3
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离心率
准线方程
焦半径，，
）的相同点为形状、大小都相同，参数间＞0（a＞b注意：椭圆，
222它们的；+c＞0和，a不同点为两种椭圆的位置不同，=b的关系都有a＞b 焦点坐标也不相同。
二、考点分析考点一：椭圆的定义????222210?x?x?22y?y??。【例1】方程化简的结果是
），动点P满足|PF|+|PF|=16，则点P的轨迹为（(8F【例2】已知(-8，0)，F，0)2112直线 D 线段 B 椭圆 C A 圆22yx＋点到另一焦则P到椭圆一个焦点的距离为=1上的一点P3,【变式训练】已知椭圆916。距离为
考点二：求椭圆的标准方程。，，3【例】若椭圆经过点(51)，(32)则该椭圆的标准方程为
AB G?BC16AC?ABC，求此三角形重心两边上中线长之和为，的底边和304【例】A的轨迹．的轨迹和顶点
4
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226)M(2,45??59xy的焦点为焦点，且经过点的椭圆的标准方程．【例5】求以椭圆
2212a??13c。的椭圆的标准方程为【变式训练】1、焦点在坐标轴上，且，
6c?x1:b?2a:。，2、焦点在轴上，椭圆的标准方程为
的椭圆的为焦点且过点P，0），求以、）、（－6，0）、（63、已知三点P（5，2FFFF2121标准方程；5245PP和4、已知，过点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为
33P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
考点三：利用标准方程确定参数
22yx【例6】若方程+=1
kk?5?3（1）表示圆，则实数k的取值是.
（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.
（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.
（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.
22100??25y4x顶点坐标, ，短轴长等于】椭圆的长轴长等于【例7
，, 焦距是, 是焦点的坐标是
离心率等于。 5
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22yxm21??= 【变式训练】1、椭圆的焦距为，则。4m
225?x?ky5?k),2(0 。的一个焦点是，那么2、椭圆
考点四：离心率的有关问题一、求离心率或找到a,cc/a）求离心率1、用定义（求出
22yx F(?1,0),F(1,0)0)b?1,(a???CC且椭圆,（1）已知椭圆:的两个焦点分别为
2122ab41)P(,C的离心率 .经过点则椭圆。33
22a3yxx?P0)??1(a?bE:?FF上一点，为直线是椭圆的左、右焦点，（2）设
E?PFF的离心率为（是底角为的等腰三角形，则）12
21222ab30
12??)(D)((A)C)(B
?23?22yx??1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A,B（3）椭圆,左、右焦点分别是F，F。若2122ab|AF|，|FF|，|FB|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________. 12112，焦点到相应准线距离为1）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为（4，则该椭圆的离心率为。
2、根据题设条件构造a、c的齐次式方程，解出e。ncc222?)0?0??m?p(manac??pc??
maa（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）43215555 D. B. C. A.
22xy xOy C??1(a?0,b?0),2（）在平面直角坐标系的标准方程为椭圆中,右焦点为22ab 6 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………FFBBF ddll,,设原点到直线到的距离为的距离为右准线为,,,短轴的一个端点为12d?6d C的离心率为_______.若,则椭圆12（3）设椭圆的两个焦点分别为F.F，过F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若三角形FPF22211为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为。
二）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）
a,c不等关系求解. 1、直接根据题意建立22yx M，Nx0)???1(a?b FF，，轴的交点分别为1）椭圆，两条准线与的焦点为（2122ab MN??FF，则该椭圆离心率的取值范围是若。2122yx??B F,F0b1?a???为椭圆短轴（2）已知上的圆为椭端的焦点，
点，2122ab12FF?BFBF?，求椭圆离心率的取值范围。21122
a,c不等关系求解2、借助平面几何关系（或圆锥曲线之间的数形结合）建立
a?b?01??F，FP,使设（）的左、右焦点，若在其右准线上存在分别是椭圆2122ab PFF，22yx
则椭圆离心率的取值范围是线段的中垂线过点。21a,c不等关系求解.（焦半径或横纵坐标范围建立不等式）3、利用圆锥曲线相关性质建立
22yx??1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F、F,若P为其上一点，且|PF|=2|PF|,（1）椭圆211222ab 则椭圆离心率的取值范围为。
22yx??1(a?b?0)右顶为A,点P在椭圆上，）已知椭圆（2O为坐标原点，且OP垂直22ab 于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
2b22??yx22c c??x?y）0???（a?b1??有四个和圆（其中为椭圆半焦距）椭圆）（3
222ba??。不同的交点，求椭圆的离心率的取值范围
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考点五：椭圆焦点三角形面积公式的应用22yx??
P FAFA0????1ba，14】，，，已知椭圆方程焦点为，长轴端点为【例
211222ba???a PFPF?FPA?A???Fb、．求：，表示）、的面积是椭圆上一点，（用．2121211?CabS sin?从而利用求面积．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，?2
22yxFF?PF?60?F1??，上的一点，、若P是椭圆是其焦点，、且【变式训练】1
212164100PFF.
求△的面积21
22yxFF1??若点，左、右2焦上的点，、的分别是椭圆椭已、知P是圆21925PF?PF121PFF?的面积为（），则△212||PFPF|?|2133323D.
A. B. C.
3 3
8
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课后作业：
一、选择题
1已知F(-8，0)，F(8，0)，动点P满足|PF|+|PF|=25，则点P的轨迹为( )
2112A 圆 B 椭圆C线段 D 直线
22yx??1表示椭圆，则k的取值范围是( 3已知方程)
1?k1?k A -1
2222yxx y17、椭圆＋=1与椭圆＋=?(??0)有（）3223(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线(D)以上都不对
18、椭圆与（0 相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线(D)有相等的长轴、短轴 二、填空题 22yx?1??CDF的周长为______ CD为过、椭圆F的弦，则F左右焦点为F、，212111694、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1) (3) 经过点(5，1)，(3，2) 5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC 的重心G的轨迹方程为______________________ 22yx??1(a?b?0)的左右焦点分别是F、F，过点F作6.椭圆x轴的垂线交椭圆于P12122ab 点。 若∠FPF=60°，则椭圆的离心率为____ _____ 217、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为____ ___ 椭圆方程为___________________. 22yx?FPF?60??PFF1??的面积已知椭圆的方程为点是椭圆上的点且8，P 求, 2121 439 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 9.，，它的一个焦点为F则满足△ABF为等边三角形的椭圆的离心率为若椭圆的短轴为AB1122yx1??到它的右焦点的距离是那么点P到它的左焦点的距离是上的点P椭圆12，10. 3610022yx8F?F FFF)5?1(a??，过点的两个焦点为，且11．已知椭圆、，弦AB21121225aABF△则的周长2。 程方椭圆的程为,那么这个短、长轴是轴的两倍,一条准线方心13、中在原点4?x。 为 e. = 则椭圆的离心率14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离, 椭圆上一点到两焦点的距离分别准线方程为,,焦点在x轴上,15、椭圆的中心在原点18y??。和14,则椭圆方程为___________________为1022到左焦点的距P到椭圆右准线的距离为8.5,已知P是椭圆则上的点,若P16.900y9x??25。离为 ，2 上一点P到左准线的距离为。则点、19椭圆P到右准线的距离为1?? 22yx 2622yx PF?PF P FF,1??的最小值为上的动点,为椭圆点为椭圆的左、右焦点,则、2021212516P的坐标为________________。. __________ ,此时点 10 椭圆 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换 成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合： （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 （3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而 越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2 二、椭圆的简单几何性质 一、知识要点 椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． e d MF =| |∴ 准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对 称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=． 焦半径公式： 由椭圆的第二定义可得： 右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右； 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左 二、典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 练习：椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________， 离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ， 求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。 椭圆的几何性质和在物理学中的应用 1 几何性质 为了思路清晰简明，我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质，但这又不是简单的罗列，各命题间是有紧密地联系的。 定义1：椭圆是到两个定点（焦点）的距离和等于定长（2a ）的点的轨迹。 命题1：椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。 【证明】：如图1所示，M 是椭圆外任一点，1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。由于M 在椭圆之外，所以我们总能够在椭圆上找到一点N ，使此点在21F MF ?内。所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。 下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。 命题2：三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。 【证明】：如图，M 是ABC ?中任一点，我们要证明的是CB CA BM AM +<+。 延长AM 与BC 交于D 点。 在ADC ?中，由于两边之和大于第三边，有MD AM CD CA +>+； 在BDM ?中，由于两边之和大于第三边，有MB MD DB >+。 上面两式相加有CB CA BM AM +<+，命题得证。 命题3：椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。 图3 图1 A B C M D 图2 【证明】：如图3所示，我们总能够在椭圆上找一点N ，使M 位于21F NF ?内。由命题2可知命题正确。 我们可以说，椭圆的外部是这样的点的集合，它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ；椭圆的内部是这样的点的集合，它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ；椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。 定义2：与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。 命题4：椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。 【证明】：假设切线可过椭圆内一点，则必与椭圆交于两点，这与该线为椭圆的切线相矛盾。 命题5：构成椭圆的切线的点的集合中，切点是到两个焦点的距离和最小的点。 【证明】：切点在圆上，因此到两焦点距离和为2a ，切线上其它点都在椭圆外，因此到两焦点的距离和大于2a ，命题得证。 命题6：直线与直线上到两定点的距离和最小的点跟该两点的连线成等角。 【证明】：如图4所示，设PQ 是任一直线，1F 和2F 是任意的两个点（在直线的同一侧）。我们总可以在直线上找一点M ，使此点到两点1F 和2F 的距离的和最小。方法如下 如图3所示，做1F 关于PQ 的对称点3F ，连结32F F 与PQ 交于M 点，则M 点为所求点。原因是简单的，如图5所示，任意在PQ 上取另一点1M ，则此点到两定点1F 、2F 的距离和大于M 到这两定点的距离和。由对称可知，角1PMF =角3PMF ，而角3PMF 与角2 QMF 互为对顶角。所以角1PMF =角2QMF ，命题得证。 命题7：椭圆的切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 【证明】：因为切点是切线上所有点到两点的距离之和最小的点，由命题6知切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 命题8：切线的垂线平分两焦点与切点连线所成的角。 【证明】：如图6所示，1F 与2F 是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，PQ 是过M 点的切线，MN 是的21MF F ∠的平分线。则有，PQ MN ⊥。 F 1 F 2 P 图4 F 1 F 2 P 图5 F 2．2.2椭圆的几何性质 ●三维目标 1．知识与技能 掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握椭圆基本量的几何意义以及其相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法． 2．过程与方法 利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次应用，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力． 3．情感、态度与价值观 通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质． ●重点难点 重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法． 难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程． ●教学建议 本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度．使用实物投影及多媒体辅助教学．借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 圆锥曲线定义、标准方程及性质 一．椭圆 定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0 2.2.2 椭圆的几何性质 一、基础过关 1． 已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1上，则下列说法正确的是________(填序号)． ①点(－3，－2)不在椭圆上； ②点(3，－2)不在椭圆上； ③点(－3,2)在椭圆上； ④无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上． 2． 椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标 为________________________________________________________________________． 3． 椭圆x 2＋4y 2 ＝1的离心率为________． 4． 已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12 ，焦距为8，则该椭圆的方程是___________________________________________________________________． 5． 椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________． 6． 已知椭圆x 2a ＋y 2b ＝1和x 2a ＋y 2 b ＝k (k >0，a >0，b >0)，下列说法正确的序号为________． ①相同的顶点； ②相同的离心率； ③相同的焦点； ④相同的长轴和短轴． 7． 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)离心率是23 ，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 二、能力提升 8． 过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________． 9． 若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32 ，则m ＝_________________________________. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰 直角三角形，则椭圆的离心率是________． 11．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝ 32 ，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b 7 ，求椭圆的离心率e . 三、探究与拓展 椭圆的标准方程与性质 教学目标： １了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积，对称关系，范围问题,存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点Ｆ１，Ｆ２的距离的和等于常数(大于|F1F２|=2c）的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P={M||MF1｜＋|ＭF2|＝2a｝，｜F1F2|＝２c,其中a＞0,c>０,且a,c为常数： 有以下３种情况 (１）若a＞c,则集合P为椭圆； (2）若a＝c，则集合P为线段； (3)若a 标准方程x2 ａ2 +＼ｆ（y２,ｂ2）＝1 （a>ｂ>0) ＼f(y2，a2）＋错误!=1 (a>ｂ>０) 图形 性质范围 －a≤x≤a -b≤y≤b -b≤ｘ≤b -a≤ｙ≤a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点 顶点 A1(-a,0),A２(a,０） Ｂ1(０,-b）,B2(0,b) A１(0，－a),A２(0，a) B1(－ｂ,0),B2(b,0）轴长轴A1A2的长为2ａ;短轴B1B2的长为2b 焦距｜F１Ｆ２|=2c 离心率ｅ=错误!∈(０，1） ａ，b，c的关系c2=a2-b2题型总结 类型一椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为Ｏ，F是圆内一定点,M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与Ｆ重合,然后抹平纸片,折痕为ＣD，设CＤ与OM交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆? B.双曲线 C.抛物线 D.圆 【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知，CD是线段MF的垂直平分线．,(定值）,又显然，根 据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以Ｆ、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的 练习1：已知Ｆ1,F２是椭圆C： 22 22 1 x y a b +=(a>b＞0)的两个焦点，P为椭圆C 上的一点,且 错误! 1⊥2 PF，若△PF1F２的面积为9,则ｂ＝____＿_＿_． 【解析】由题意的面积∴故答案为: 【答案】３ 练习2：已知F1，Ｆ２是椭圆错误!+错误!=１的两焦点，过点F２的直线交椭圆于A，B两点,在△AF1Ｂ中,若有两边之和是10，则第三边的长度为() A．6?B.5 Ｃ．4 D．3 椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ= 2.2.2 椭圆的几何性质 一、填空题 1．若椭圆 x 2k ＋2＋y 2 4＝1的离心率e ＝1 3 ，则k 的值为________． 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是____________． 3．已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________． 4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P .若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________． 5．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 6．已知两椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2 25－k ＝1(0 椭圆的定义及几何性质 一、复习目标： 1．掌握椭圆的定义、几何图形及标准方程 2．会用待定系数法求椭圆的标准方程 3．理解数形结合的思想 二、基础知识回顾 1．定义： ①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数等于2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． ②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e ，e ∈ ，则P 点的轨迹是椭圆。定点叫做双曲线的 ，定直线l 叫做双曲线的 。 ③,,a b c 之间的关系 。 2．标准方程及几何性质： （1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。 （2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。 3.椭圆参数的几何意义（如图）： （1）12PF PF += ，（2）12PM PM += ， （3） 1212|||| |||| PF PF PM PM == ；（4）1122A F A F == ； （5）1221A F A F == ；（6） 1PF ≤≤ ； （7）12BF BF == ，12OF OF == ；12OB OB == ； （8）21F PF ?中结合定义122PF PF a +=与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，设122 F PF θ ∠=，则12PF F S ?= ， 三、例题分析： 题型1．椭圆的定义 例1．下列说法中，正确的是（ ） A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆 B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆 C ．方程()22 22 2 10x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()22 2210,0x y a b a b +=>>表示焦点在y 轴上的椭圆 练习1：1F ，2F 是定点，126FF =，动点M 满足126MF MF +=，则点 M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 题型2．椭圆的标准方程 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率为 2 2 ，准线方程为8±=x ； （2）长轴与短轴之和为20，焦距为54 课题第 1 课时计划上课日期： 教学目标知识与技能 1．掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴． 2．感受如何运用方程研究曲线的几何性质 过程与方法 情感态度 与价值观 教学重难点椭圆的几何性质——范围、对称性、顶点 教学流程\内容\板书关键点拨加工润色 一、问题情境 1．情境： 复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a，b，c的关系． 2．问题： 在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？ 二、学生活动 （1）探究椭圆的几何性质． 阅读课本第34页至第35页例1上方，回答下列问题： 问题1椭圆的范围是指椭圆的标准方程 22 22 1(0) x y a b a b +=>>中x，y的范围，可 以用哪些方法推导？ 问题2借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性，能否借助标准方程用代数方法推导？ 问题3椭圆的顶点是最左或最右边的点吗？ 三、建构数学 1．范围． 由方程22221x y a b +=可知，椭圆上点的坐标都适合不等式22 2211x y a b =-≤， 即22x a ≤，所以 x a ≤，同理可得y b ≤． 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内． 2．对称性： 从图形上看：椭圆关于x 轴、y 轴、原点对称． 从方程22 221x y a b +=上看： （1）把x 换成x -方程不变，说明当点(,)P x y 在椭圆上时，点P 关于y 轴的对称点(,)P x y '-也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y 轴对称； （2）把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于y 轴对称； （3）把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点： 在方程22 221x y a b +=中，令0x =，得y b =±，说明点1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点． （1）顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点； （2）长轴、短轴：线段12A A 、线段12B B 分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ； （3）a ，b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长． 四、数学运用 1．例题： 例1 求椭圆22 1259 x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这 椭圆定义及性质的应用 一、椭圆的定义 椭圆第一定义 第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. ★过点1F 作12PF F ?的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222 x y a +=. 推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ， 由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1 F M 中点，212OQ F M ==()121 2 PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222 x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题） 椭圆第二定义 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(< 推导过程： 2 200 a PF ed e x a ex c ?? ==-=- ? ?? ；同理得 10 PF a ex =+. 简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆 22 22 :1(0) x y C a b a b +=＞ ＞的离心率为 3 ，过右焦点F且斜率为(0) k k>的直线与C相交于,A B两点．若3 AF FB = u u u r u u u r ，则k=（） A.1 D.2 B【解析】解法一：1122 (,),(,) A x y B x y，∵3 AF FB = u u u r u u u r ，∴12 3 y y =-，∵ 2 e=，设2, a t c ==，b t=，∴222 440 x y b +-=，直线AB方程为x my =.代入消去x，∴222 (4)0 m y b ++-=，∴ 2 1212 22 , 44 b y y y y m m +=-=- ++ ，则 2 2 22 22 2,3 44 b y y m m -=--=- ++ ，解得2 1 2 m=，则k= 0 k>. 解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11 , AA BB垂直于l， 11 , A B为垂足，过B作BH垂直于1 AA与H，设BF m =，由第二定义得， 11 , AF BF AA BB e e ==，由3 AF FB = u u u r u u u r ，得 1 3m AA e =, 2m AH e =，4 AB m =，则 2 1 cos 42 m AH e BAH AB m e ∠====，则sin BAH ∠=tan BAH ∠=，则k=0 k>.故选B. （离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为 6 π 的直线过椭圆)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x 的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3 AF BF =，求椭圆的离心率. 椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程. 2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2. 2.2.2 椭圆的几何性质 【教学内容解析】 1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上 的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何 2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型， 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用. 3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用. 4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的 关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点. 【教学目标设置】 1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质； 能解释椭圆标准方程中,, a b c的几何意义； 2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型； 3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵. 4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】 （1）学生已有的认知基础 本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯. （3）教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是： 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁； 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化； 突破难点的相应策略如下： 1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验； 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立b a 与椭圆圆扁程度的对应 关系，再利用b a 与 c a 的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示， 丰富学生的直观感悟与经历； 2019-2020学年高中数学 椭圆的几何性质（1）教案 苏教版选修1-1 教学 目标 1. 掌握椭圆的简单的几何性质。 2. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法 3. 4. 能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题 重点难 点 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆的几何性质的推导 教学过程 一、问题情境 在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质。椭圆有哪些几何性质？ 二、互动探究 由椭圆方程122 22=+b y a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致) (1)范围: 从标准方程得出122≤a x ,122 ≤b y ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性: 把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称． 如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称 原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴． （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 在椭圆122 22=+b y a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点. 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合： （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 （3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。 ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2 椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3）,，； 知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系椭圆的定义及几何性质
椭圆的第二定义及简单几何性质
椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用
苏教版数学高二- 选修2-1教案 椭圆的几何性质
高中数学椭圆的几何性质
圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)
【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.2.2 椭圆的几何性质备考练习 苏教版
椭圆的标准方程与性质
椭圆的标准方程及其几何性质(供参考)
椭圆的几何性质及综合问题汇总
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1课时训练 椭圆的几何性质
第3讲 椭圆的定义及几何性质
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1《 椭圆的几何性质(1)》 教案
椭圆定义及性质整合
椭圆方程及性质的应用
2.2.2椭圆的几何性质
2019-2020学年高中数学 椭圆的几何性质(1)教案 苏教版选修1-1.doc
椭圆的定义及几何性质