北京第二中学分校数学三角形解答题单元培优测试卷
北京第二中学分校数学三角形解答题单元培优测试卷
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：
（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：
①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点
B、C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= ；
②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4，若
∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．
【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）①40°②50°
【解析】
试题分析：（1）连接AD并延长，根据三角形的外角和内角关系解答；
（2）①利用（1）的结论，直接计算出∠ABX+∠ACX的度数；
②图（3）利用（1）的结论，根据∠BDC=135°，∠BG1C=67°，计算出相等的角：
∠DBG4+∠DCG4的和，再次利用（1）的结论，求出∠A的度数.
试题解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：
连接AD并延长到M．
因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，
所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．
（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
由于∠BXC=90°，∠A=50°
所以∠ABX+∠ACX
=∠BXC﹣∠A
=90°﹣50°
=40°．
②在箭头图G1BDC中
因为∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，
又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°
∵∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4
∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°
∴∠DBG4+∠DCG4=17°．
∴∠ABG1+∠ACG1=17°
∵在箭头图G1BAC中
∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，
又∵∠BG1C=67°，
∴∠A=50°．
答：∠A的度数是50°．
2．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点
B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，
∠BG1C=70°，求∠A的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．
【解析】
【分析】
（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，
∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；
②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得
1
10
（133-x）+x=70，
求出x的值即可.
【详解】
（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；
②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴1
2
（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴
1
2
ADC ADB
∠=∠，
1
2
AEC AEB
∠=∠，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,
=1
2
（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,
=45°+40°, =85°；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴
1
10
（133-x）+x=70，
∴13.3-
1
10
x+x=70，
解得x=63，
即∠A的度数为63°.
【点睛】
此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.
3．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).
(1)求△BCD的面积；
(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】
解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD//x轴
∴△BCD面积=1
2
×3×2=3；
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°
∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.
4．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.
(1)用“8字型”
如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；
(2)造“8字型”
如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;
(3)发现“8字型”
如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分
线，EF为∠BED的平分线.
①图中共有________个“8字型”；
②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.
【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5.
【解析】
分析：（1）根据题意即可得到结论；
（3）①由图形即可得到结论；
②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；
详解：
（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，
∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，
∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；
（2）如图，连结BC，
∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）?180°=540°，
故答案为：540°；
（3）①图中共有6个“8字型”；
故答案为：6．
②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED
∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，
∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC
∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH
∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE
∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG
∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG
∴∠D+∠B=2∠F；
∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，
∴x=5．
点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．
(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；
(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.
①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；
②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)解：①结论：DI∥CF，②35°.
【解析】
分析：（1）只要证明∠AIB=90°+1
2
∠ACB，∠ADI=90°+
1
2
∠ACB即可；
（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；
②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=1
2
∠ACE-
1
2
∠ABC=
1
2
（∠ACE-∠ABC）即
可解决问题；
详解：(1)证明：∵AI，BI分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠BAI＝1
2
∠BAC，∠ABI＝
1
2
∠ABC，
∴∠BAI＋∠ABI＝1
2
(∠BAC＋∠ABC)＝
1
2
(180°－∠ACB)＝90°－
1
2
∠ACB.
在△ABI 中，∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋1
2
∠ACB. ∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝
1
2
∠ACB.∵DI ⊥IC ， ∴∠DIC ＝90°，∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋1
2
∠ACB. ∴∠AIB ＝∠ADI. (2)解：①结论：DI ∥CF.
理由：∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－1
2
∠ACB ，CF 平分∠ACE ， ∴∠ACF=
12∠ACE ＝12 (180°－∠ACB)＝90°－1
2
∠ACB ，∴∠IDC ＝∠ACF ，∴DI ∥CF. ②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°. ∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ，∴∠F ＝∠FCE －∠FBC.
∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝1
2
∠ABC ， ∴∠F ＝
12∠ACE －12∠ABC ＝1
2
(∠ACE －∠ABC)＝35°. 点睛：本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，难度适中，此类题型的关键在于结合题目条件与三角形的外角性质，三角形内角和定理.
6．如图1：ABC 中，AD 是高，AE 是BAC ∠的平分线，
=40=70ABC ACB ，∠?∠?．
（1）求EAD ∠的度数
（2）当==ABC ACB αβ∠∠，，请用αβ，表示EAD ∠，并写出推导过程
（3）当AE 是BAC ∠的外角FAC ∠的平分线，如图2则此时EAD ∠的度数是多少，用
,αβ表示，直接写出结果．
【答案】（1）15o
;(2) -2
EAD βα
∠=
;(3) 902
EAD αβ
-∠=?+
【解析】 【分析】
（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分线的定义得∠EAC=
1
2
∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通过∠EAD=∠EAC-∠DAC 即可得到结果．
（2）猜想∠DAE=1
2
（β-α），重复（1）的过程找出∠BAD 和∠BAE 的度数，二者做差即可得出结论；
（3）作∠BAC 的内角平分线AE ′，根据角平分线的性质求出∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+1
2
∠CAF=90°，进而求出∠DAE 的度数. 【详解】 解:（1）
40,70,ABC ACB ∠=?∠=?
180704070BAC ∴∠=?-?-?=?,
AE 是BAC ∠的平分线，
1
=352
BAE CAE BAC ∴∠=∠=∠?,
在ACD Rt 中，9020CAD C ∠=?-∠=?, 15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=?. （2）,,ABC ACB αβ∠=∠=
180BAC αβ∴∠=?--,
AE 是BAC ∠的平分线，
1111
=180--=90--2222
BAE CAE BAC αβαβ∴∠=∠=∠??（）,
在Rt △ACD 中，90CAD β∠=?-，
-=
2
EAD CAE CAD βα
∴∠=∠-∠.
（3）902
EAD αβ
-∠=?+
.
如图，作∠CAB 的内角平分线AE′，
则∠DAE′=
-2
βα
．
因为AE 是∠ACB 的外角平分线， 所以∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+12∠CAF=1
2
（∠CAB+∠CAF ）=90°， 所以∠DAE=90°-∠DAE′=90°-
-2
βα
=902
αβ
-?+
．
即∠DAE 的度数为902
αβ
-?+.
【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3）作辅助线是关键．
7．如图1，在△ABC 中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E ． （1）∠E= °；
（2）分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点F ． ①依题意在图1中补全图形； ②求∠AFC 的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM=∠AFC ，设EC 与AB 的交点为H ，射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN=∠AHC ，射线HN 与FM 交于点P ，若∠FAH ，∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH=m ∠FAH+n ∠FPH ，请直接写出m ，n 的值．
【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3． 【解析】 【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=12∠DAC ，∠ACE=1
2
∠ACB ，设∠CAF=x ，∠ACE=y ，根据已知可推导得出x ﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案； （2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；
②如图2，由CF 平分∠ECB 可得∠ECF=1
2
y ，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF 以及
∠E+∠EAB=∠B+∠ECB ，可推导得出45°+
452y
+=∠F+12
y ，由此即可求得答案； （3）如图3，设∠FAH=α，根据AF 平分∠EAB 可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出
∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+
23∠FCH+∠FPH ②，由此可得∠FPH=
22.5
3
α+，再根据∠FCH=m ∠FAH+n ∠FPH ，即可求得答案. 【详解】 （1）如图1，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠CAF=1
2
∠DAC，∠ACE=
1
2
∠ACB，
设∠CAF=x，∠ACE=y，
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
∴2y+180﹣2x=90，
x﹣y=45，
∵∠CAF=∠E+∠ACE，
∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°，故答案为：45；
（2）①如图2所示，
②如图2，∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=1
2 y，
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF=∠F+1
2
y ①，
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，∴45°+2∠EAF=90°+y，
∴∠EAF=45
2
y
+
②，
把②代入①得：45°+45
2
y
+
=∠F+
1
2
y，
∴∠F=67.5°，
即∠AFC=67.5°；
（3）如图3，设∠FAH=α，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAH=∠EAF=α，
∵∠AFM=1
3
∠AFC=
1
3
×67.5°=22.5°，
∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∴45+α=67.5+∠FCH，
∴∠FCH=α﹣22.5①，
∵∠AHN=1
3
∠AHC=
1
3
（∠B+∠BCH）=1
3
（90+2∠FCH）=30+2
3
∠FCH，
∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，
∴α+22.5=30+2
3
∠FCH+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH=
22.5
3
α+
，
∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5=mα+n
22.5·
3
α+
，
解得：m=2，n=﹣3．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.
8．根据题意解答：（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D．（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．
解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①，∠P+∠2=∠4+∠D②，①+②，得
2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P= 1
2
（∠B+∠D）=26°．
①如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
②在图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
③在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠P=26゜；②∠P=180°﹣1
2
（∠B+∠D）；
③∠P=90°+ 1
2
（∠B+∠D）．
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；①表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
②根据四边形的内角和等于360°，可得
（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
③根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
试题解析：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）①∠P=26゜．∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D
①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B
②，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B③，①+③得
∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即
2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴∠P=1
2
（∠B+∠D）=26°．
②如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，
∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣1
2
（∠B+∠D）
；
③如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角
∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°
﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+ 1
2
（∠B+∠D）．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．
9．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．
（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；
（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=1
3
∠ABC，∠ACO=
1
3
∠ACB，且BO、CO相交于点O，
请直接写出∠BOC与∠A的关系式为_．【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；
（2）∠BOC=90°+1
2
∠A．理由见解析；
（3）∠BOC=60°+2
3
∠A．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+1
2
∠A；
（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+2
3
∠A．
【详解】
解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由：
如图1，连接AO，延长AO到H．
∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，
∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）∠BOC=90°+1
2
∠A．
理由：
如图2，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴∠OBC=1
2
∠ABC，∠OCB=
1
2
∠ACB，
∴∠BOC=180°-1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+
1
2
∠A，
∴∠BOC=90°+1
2
∠A；
（3）∠BOC=60°+2
3
∠A．
理由：
∵∠ABO=1
3
∠ABC，∠ACO=
1
3
∠ACB，
∴∠BOC=180°-2
3
（∠ABC+∠ACB）=180°-
2
3
（180°-∠A）=60°+
2
3
∠A．
故答案为：∠BOC=60°+2
3
∠A．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．
10．（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填
“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.
（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则
x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－＝ ,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
试题分析：（1）根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C；（2）△ABC沿DE 折叠，∠1+∠2=∠B+∠C，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，（3）根据以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A．
试题解析：
解：（1）∠1+∠2 = ∠B+∠C，理由如下：
在△ADE中，∠1+∠2 = 180°- ∠A
在△ABC中，∠B+∠C = 180°- ∠A
∴∠1+∠2 = ∠B+∠C
（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=∠B+∠C，当
∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°
（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°，所以∠BDA+∠CEA 与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A.
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2. 三角形内角和．
【详解】
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