泛函分析在桥梁工程中的应用

应用泛函分析解决桥梁工程中的一个问题

摘要：本文简单介绍泛函分析方法和在力学和桥梁工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法等。并通过两个例子来说明泛函在力学和桥梁工程当中的应用。

关键词：泛函变分法桥梁工程

中图分类号：U441.5

一泛函分析概述

泛函分析（Functional Analysis）其研究的主要对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和桥梁工程中常见的有：

1、度量空间：现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。

2、赋范线性空间

泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。

3、巴拿赫空间理论（Banach space）

巴拿赫空间理论是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广sup

n

n

x x

，巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。

4、内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和桥梁工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导范数，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；

5、Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel 不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。

6、线性算子：泛函分析另一内容是算子理论。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。

例如?Gatean 微分，Fr échet 微分和次微分等。为了剖析算子的结构和特性，谱分析

是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅。

出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。

线性算子与线性泛函 设x 、Y 是两个（实数或复数域上的）线性空间，T 是x 到Y 的映射。T 的定义域和值域分别记为D (T )、R (T )。如果对任何数α、β和x 1、x 2∈D (T )，满足αx 1+βx 2∈D (T )，并且 ()1212T x x Tx Tx αβαβ+=+，则称T 是以D （T ）为定义域的x 到Y 的线性算子。特别当D (T )=x ，Y 是实数域或复数域时，称T 是x 上的线性泛函。例1,设x =C [α,b ]([α,b ]上的连续函数全体), K (t ,s)是[α,b ]×[α,b ]上的二元连续函数，定义()()()(),b

a Tx tt K t s x s ds =?，则T 是x 到x 的线性算子。例3,设x =C [α,b],则()1,b

a T x K t s dt =?,T 2x =x (t 0)(t 0是[α,

b ]中取定的一个点)都是x 上的线性泛函。 线性算子的运算 设T 1、T 2是x 到Y 的线性算子,它们的定义域分别是D (T 1)、D (T 2)。对任一数α,规定αT 1表示以D (T 1)为定义域，而对任何 x ∈D (T 1),(α T 1)x =α(T 1x )的算子规定T 1+T 2表示以D (T 1)∩D (T 2)

为定义域，而对任何()()()121212,x D T D T T T T x T x ∈+=+的算子。易知αT 1（称T 1的α倍）,T 1+T 2(称T 1与T 2的和)仍是线性算子。又设T 3是以D (T 3)为定义域的Y 到Z 的线性算子，规定T 3·T 1（也记作T 3T 1）表示以

为定义域

而对任何

的算子。

综上所述，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、桥梁工程和其它实用学科的规律。然而，借助几何工具，它们在Banach 空间，尤其在Hilbert 空间获得直观几何解释，使力学和桥梁工程人员较易接受。因此，该学科不仅为应用数学家所欣赏，也为广大力学人员所重视。后者的队伍中不仅包括理论工作者，也包括实验和设计人员。 二 泛函分析主要定理与特性

1. 一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质。

2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。

3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。

4. 开映射定理和闭图像定理。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n 维空间可以用来描述具有n 个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。

现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

三泛函观点下的近代结构理论

为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。Oliveira以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrematical Theory of Structures）”。该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。

固体响应的一般模型举例

1，给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场X =

（e，σ）称为结构场。若还满足

-

-

应变位移方程、初应变条件、位移边界条件（非协调系统）力应力方程，力边界条件（外力系统）

称之为协调场

平衡场

，既协调又平衡的场称为精确场。记全体结构场的集为X，按应变

和应力分别引入线性运算，然后配上范数：X

= X

=

X成为Banach空间。对于任给的协调场

外力系统，X中与之

协调

平衡

的所有结构场构成X

的等协调

等平衡

子集。X的全体

等协调

等平衡

子集类记为

I

E

∈Γ

∈N

。通常，假定等协调和等平衡子

集之交仅包含一个元。于是，可建立X的元与笛卡尔积Γ?N（记为A）的元之间的一一对应，X = x（I，E）。称A

X

为外部作用响应空间。由功原理得到的总

势

余

能原

理表明：精确解使总E

*

I

T X

T X

势能（）

余能（）

在

I

E

协调场集

平衡场集

上表达到驻值。临近两个结构场X

和X+h的距离除了用范数定义外，更方便地另行定义为d（X+h，X）= 1ed

2

δ

Ω

Ω

?，

因为此时满足

2

2**

[(,)]()()

[(,)]()()

E E

I I

d x h x T x h T x

d x h x T x h T x

+=+-

+=+-

。

2，把结构场空间X中满足

协调方程、位移边界条件

平衡方程、力边界条件

的子集C称为X的约束子集。在X上有连续泛函类Φ={?}，其中泛函?在每个约束子集C上有极小点s。对给定的?，各种约束子集C的这种s之全体构成X的最小子集M。若两个结构场属同一

约束

最小

子集，称它们是

等约束

等最小

的。通常，每个最小子集和约束子集之交仅一个元，就是精确解。

3，在弹性体各种可能状态集中，若配上弹性能（f，f）作为范数，得到Banach

空间。若配上两个状态的“相互作用能”（?f，??f）（例如（（?f，??f）= 2

ij

e d

σ

Ω

Ω

?1ij）作为内积，得到Hilbert空间H，称为状态空间。有两条途径产生非零状态：（i）外力系p在位移系u上做功，产生“载荷应力状态f ′，即（f ′，f ′）

=p u 。全体f ′构成“载荷应力状态空间”H ′；（ii）因材料缺陷（例如位错等）或热应力等使弹性系统不再与内蕴欧几里德几何或刚性支撑协调，即使无外力仍呈现非零状态，称为“自应力状态”f ′′。若η表示几何非协调测度（例如非协调张量、Burgers 向量或刚性支撑偏差），x表示相应的应力函数，则（f ′′，f ′′）= xη。全体f ′′构成“自应力状态空间”H′′。于是，状态空间H = H′⊕H′′。其中⊕是直和，意味着载荷应力和自应力直交：（f ′，f ′）=0 。这构成Prager和Synge[8]超圆方法的基础。利用一般响应模型（例如以上第2种）可以描述结构分析的模型生成理论（例如有限元中由连续模型生成离散模型，板壳中由三维模型生成二维模型）。过程如

下：利用势

余

能方法，参照原模型定义新模型的

应变和位移

应力和接触力

，并把

-

-

应力位移

力应力

方程

和位移

力

边界条件移植于新模型。据此在原结构场与新结构场之间建立对应关系—

—现行算子B1：y=B1x，x∈X，y∈Y。从而在Y中（和X一样）也可考虑平衡

协调

方程。作某种限制（例如板壳的Kirchboff假定，杆的Bernoulli假定，有限元的允许场）使Y的元和子集X ′?X的元之间建立又一对应关系——线性算子B2：x ′ = B2y，

x ′∈X ′，称X ′为允许场空间。称算子B= B1 B2：X -> X ′为内插算子。X中等约束

等最小

元

的B象在X ′中也等约束

等最小

。然而，一般讲这些象元在X中不一定

等约束

等最小

。特殊地，

若内插算子B使X ′中任二个等约束

等最小

元的B象在X中也

等约束

等最小

，称B是共形算子。

另引入算子X -> X ′，它把X的每个约束与最小子集之交x对应于X ′中相应的约束与最小子集之交x a，称算子A为近似算子。把上述x∈X的A象元x a′∈X′称为

x在X′中的近似元。有限元（和板壳）理论相当于把求泛函?在C上的最小值s这个变分问题，近似为求?在C ′上的最小值s a′。由于一般地C′?C，它和Ritz法不同。因此得寻求新的收敛定理，以鉴别由有限元生成的离散模型或由板壳理论生成的低维模型的合理性，即须作收敛分析。Oliveira[7]曾给出估计近似值的基本定理d2（s，s a’）≤δ?+

a

δ?。在Ritz法中则为d（s，s a’）≤d（s，s’）。因此，收敛分析归为两步：（i）确定与精确解等约束的场s a，并用近似解内插；（ii）对精确解

和近似解的泛函变分δ?和

a

δ?作量级估计。,应该讲，上述“结构数学理论”尚粗糙，且局限于弹性（可以非线性）系统。须进一步精确和严密化，并扩大适用范围和提供新见解。

四力学和桥梁工程应用中的几种泛函方法

1.Cauchy-Schuwarz和Bessel不等式（超圆方法）

这两个不等式因几何意义明显易于求解具体问题。Diaz及其同事较早地把这些不等式应用于弹性力学，他们证明Rayleigh-Ritz和Trefftz方法可由Cauchy-Schuwarz不等式给出。Rayleigh-Ritz近似解相当于直交三角形之斜边，精确解为直角边；而Trefftz近似解相当于直交三角形的直角边，精确解为斜边。从而，这两个近似解给出线性编制问题精确解的上下界限。最近，Nowinski利用Cauchy-Schuwarz不等式研究各向异性板弯曲的广义双调和边值问题解的界限和各向异性杆的扭转刚度。数值结果表明精确度良好。Stumpf利用直和分解'''

H H H

=⊕对各类弹性量尤其薄板理论中的弹性量建立点状界限。

这两个不等式又能导出与实用问题有关的许多其它重要不等式和方法。值得

一体的是Prager和Synge的超圆方法。在状态空间H中选定就范直交系{

k

g g}，任

何状态可作Fourier展开：(,)

k k

k

f f

g g

=∑。用两个近似向量逼近并界限精确解f。把满足平衡方程和应力边界的所有状态视为约束子集C。把满足协调方程和位移边界条件的所有状态视为最小子集M。精确解是这两子集之交。通常难于找到C和M中全部向量。于是，只能分别在部分C和M中找最接近f的两个向量f和f≈，称为极点。f，f和f≈三向量的断电位于同一个“超圆”上。圆心位于（f+f≈）/2，半径为f f-≈/2，极点位于同一直径的两端，该方法的基本不等式为（f，f）≤（f，f）≤（f≈，f≈）。当超圆退化为一点时，得到精确解。Synge在他的专著和一系列论文中已把超圆方法应用于二维调和方程的Dirichlet问题；Neumann型扭转问题；任意截面弯扭杆的Dirichlet问题；非确定度量的弹性和电磁振动问题。他还考虑n维黎曼空间的情形。Greenberg和Prager在弹性板问题中推广了此方法，获得可接受的精度。Nordgren确定板近似解的误差限。Nowinski 和Cho讨论重力场中弹性柱的情形，其数值解与Galerkin法相比是一致的。可以

把超圆方法推广于任何具有正测度（例如能和功率）的线性系统。包括广义弹性连续体、电磁组合、交换场和电子网络等。还可推广于点状边界条件。这里应从更一般意义下理解“点状”——不仅指点力状态，还包括偶极和多极状态，以及相应的自应力状态。

2. 变分法

Mikhlin 较早地用泛函分析为工具研究直接变分法。以后，Kato ，Noble 等的论文中在估算各类边界条件下的弹性板振动频率及其界限时，甚至在更一般背景下研究算子*L L （*L 是L 的伴随）的理论。这类算子在许多数理方程中出现，例如调和方程，双调和方程，Sturm-Liouville 方程，线弹性方程以及某些Fredholm 型积分方程。

Oden 和Raddy 进一步推广补余变分原理；Sandhu 和Pister 给出广义Mikhlin 变分问题，对于连续统力学中出现的一类线性耦合场问题建立扩充的变分问题。以上诸研究中，泛函变分为零蕴涵Fréchet 导数为零。

Tonti 指出，与泛函变分问题相关的微分方程中的算子L 不必对称。若L 非对称，可以另取下述双线性型卷积为内积（Gurtin ）思想。0(,)()()T

u v u t T v t dt =-?

Raddy 利用此双线性卷积及Gateau 导数构造粘弹性动态理论的变分原理。该方法可用于流体弹性、在电学、热弹性和其它领域中的静态和动态弹性问题。在初值问题方面，Reiss 和Hang 考察了极值原理，用抽象算子记号构造了相当一般的最小原理，把一大类线性初值和混合问题包括在内。其应用包括振动、波传导、热传导，电磁体和粘弹体。Magri 推广了Tonti 的工作。他证明：对每个线性算子，有无限多个使该算子对称的双线性型，从而有可能做出相应的变分公式。他已就扩散问题对此作了解释。Collins 曾对自共轭算子提出构造补余极值原理的一般过程。Telega 把这种思想推广到塑性边值问题。众所周知，我国学者在变分学范围

内有重要贡献。

3. 变分不等式和凸分析

经典弹性问题的变分法常归结为变分等式。但在某些特性约束（刚支座或与另一弹性体接触）下，变分不能超越某界限，而且接触面的范围又以来与问题的解，事先根本不知道。数学上用解空间某个约束凸子集描述。于是，相应的变分公式呈现不等式形式。这类问题包括：单侧接触问题、有摩擦（例如Counomb 摩擦等）的弹性理论和塑性理论等。变分不等式的近代工作有Fichera ，Stamaccbia ，Lions 等开创。已在Banach 空间的凸集上定义的非线性算子范围内给出其理论基础，也讨论有限元近似和各种数值方法。

摩擦问题变分不等式中的泛函()F u 是非线性的，可用正则摄动法，即用凸可微泛函()F u ε（当0ε→时，()()F u F u ε→）替代，把问题转化为可微泛函。对于接触问题，它的解约束在凸集K 中，是自用边界问题。补偿方法是处理这类问题甚有效的方法。在约束凸集K 上引入补偿泛函相当于在接触面上加一层弹性支座，产生附加变形能。用有限元法模拟补偿项会有一定困难。可采用约化积分。可以在[34]中找到各种弹塑性和粘塑性理论（包括Heucky 材料、刚理想塑性材料、弹粘塑性材料、带应变硬化的弹塑性材料）的变分公式。它们大多是不等式，这由本构关系引起的。显然，可以像弹性学一样，导出诸如hellinger-Reissner 和其它类型的广义变分原理。有关变分不等式数值应用的具体算法可参阅[35]。由于有应力率，得进行时间增量积分。对于V on-Karmann 板理论，Ohtake 研究单侧条件，用补偿泛函求解。Oden 讨论过 弹性膜的障碍问题和把变分不等式用于由Darey 规律表征的多孔介质流动问题。单侧或摩擦的弹性动力学问题也有相应的变分不等式。其优点是可通过Galerkin 半离散化形式弱解。常用有限差分法离散时间算子，用有限元离散空间算子。处理动态和演变问题的典型方法是“紧致方法”：在紧致有限

维子空间中构造近似解，然后让子空间维数趋于∞，由此构造问题的解。

Moreau通过具有小纵向位移的弹塑性直杆准静态演变问题解剖了与线性赋范空间中的运动凸集有关的“扫描过程”。该方法可应用于弹塑性系统的演变过程，讨论解的存在性、构造算法和渐近性质等。但由于某些假定的限制，目前扫描过程局限于有限自由度系统。因此，如何把之用于连续统系统（二维或三位）有待探索。此外，利用近似算法得到其存在性的仅是演变问题的弱解，如何确定光滑程度。

4. 算子的特征值问题与谱方法

振动问题和弹性稳定性问题是特征值问题的源泉。小振动和经典弹性稳定性理论导致线性算子的特征值问题，包括无约束和有约束两种情况。可用Courat-Weierstrass方法处理。其中利用了正自共轭算子或紧致算子的谱分析。许多文献建立了相应的变分公式。这些变分公式为使用数值方法，包括有限元法，铺平道路。但在有限弹性等问题中，线性化方法把非线性算子的许多重要特征丢弃了。因此必须探索非线性特征值问题。其中一条途径是“初始后期屈曲行为理论”，要求载荷有势。该方法从定性角度分析总势能的性能，由此研究各类稳定。至于弹性稳定性中的“灾变理论”，除了一些具体术语外，本质上与上述方法无多大区别；另一途径是局部线性化方法或用线性增量链代替非线性问题。从数学严格性和一般性看，这些方法皆有局限性。事实上，对于非线性算子方程，尽管可以限定解的范围，并证明算子是到上的，但是限定区域内仍有不同点产生同一象，即同一象元可以分叉出多个解。许多学者已作大量努力解释非线性弹性问题解的存在状况，最终也涉及稳定性问题，但结论还不完善。最有希望但又甚困难的领域似乎是非线性特征值问题。近年来，变分法应用于非线性特征值问题值得一提的是Lusternik-Schnirelman理论。此外，高阶特征值问题涉及到拓扑概念，尤其Category理论。非线性特征值问题()()0

A u

B u

λ

-=，其中A，B是非线性算子，在它们有势（分别为F和G）及其它假定下，上述特征值问题归为泛函F和G的约束变分问题。而且，若许可解被约束在凸集K上，相应的约束特征值问题由变分不等式描述，可用前面叙述的正则摄动或补偿方法得到数值解。可在[34]中找到Von-Karmann板两边皆有约束面的屈曲问题的处理过程。

及到拟凸性、多凸性等。非凸泛函有力学背景，如非线性弹性体的存在定理；Mooney-Rivlin体的平衡等。另外，可由松弛理论求非凸问题的广义解。即把标准的非凸优化问题转化为正则问题******

:()inf()

p F u Fν

=，而**F是凸下半连续的，保证正则问题有解，该解称为原问题的广义解。

六变分与泛函在桥梁工程中的应用举例

在数学中，如果给定了一个函数，我们可以通过微分的方法确定函数是否有极值、取极值时的自变量和极值大小。自然界中的问题往往更复杂，有时需要确定的不是自变量的取值，而可能是需要确定选取何种函数。1696年贝努里提出最速降线问题，从而引出了泛函与变分问题，最终建立了变分的方法。例如：设{u(x)}是一个已给的函数集，如果对其中任一函数u(x)，Q恒有某个确定的数与之对应，则称Q是依赖于{u(x)}的一个泛函，记为Q[u(x)]，也就是说，泛函Q[u(x)]是依赖于u(x)的函数，是函数的函数，u(x)称为自变函数。力学中的荷载作用后的平衡问题: 能量原理，动力学方程的建立一般都可以采用变分原理建立。

在研究复杂的动力学系统中，常用的一种建立动力学方程的方法是利用拉格朗日方程。而拉格朗日方程也是根据最小能量原理，利用变分法推导的。

微分是对自变量求导。而变分所研究的是泛函数，所以变分是对函数求导。用du=u(x+⊿x)-u(x)=u’dx 表示u的导数，自变函数的变分为δu=u1(x)-u(x)，则对于泛函F=F（x,u,u’)，其一阶变分为''

F F F F

F u u u u

u u u u

δα

????

??

=+=+

?

????

??

上式中α是

任意小的实数，u=u(x)是允许改变的函数。x 是自变量，相当于微分中的常数，因此不做变化。变分的运算法则与微分是相同的，只是用变分算子δ取代微分算子d ，变分算子能与微分算子、积分算子交换。有：

()()1212

12211221221

21

1

.u u u u u u u u u u u u u u u u u

δδδδδδδδδ±=+=+??-= ??

?

和 ()()()()()''

1

''

x 00n I dx I x dx

u n u u u

u u δδδδδδδδδδ-

=====??‘， 例如：

在力学上，我们常遇到的问题是用能量原理求解结构的问题， 根据能量原理，往往可建立以下积分形式的能量表达式：

()()'

''

0=,,,l

F x v dx ννν∏?，'dv dx ν=，2

''

2d v

v dx

= 所要求的问题就是用数学的方法来计算上述表达式的驻值。

根据变分算子与积分算子可交换性，泛函I(v)的变分可写为：

()()()

''''''''''''00'''0

=,,,l l l

V V V F F F F F x v dx x v v v dx

x v v v F F v F dx

νννδδδδδνδδν??????

∏=+++ ???????=++???

采用分部积分法，将δv’、δv”相关的项变换为与δv 相关的项

将分部积分的两项代入，得到泛函的一阶变分为：

当两端的v 值给定时，即端点δv(0)=δv(l)=0,则上式第二项恒为零。如果某一端的几何边界条件未给定时，此时为满足驻值条件方程，则应满足自然边界条件

'

'=0F d Fv dx

v ?-?边界

于是，泛函的驻值条件为：

上式中第一项积分式中的δv 为任意的容许变分，为满足驻值条件，只有使积分式中方括号内为零；第三项在边界处δv’为任意值，因此要求边界处Fv”=0 于是根据极值条件，得到下列微分方程

'2

''20v V V d d F F F dx dx

=+= ()0x l ≤≤

以及下列边界条件：''0V F = ()0x x l ==，

例1：由梁的能量泛函变分方程导出相应的微分方程

代入极值条件微分方程，得到微分方程和自然边界条件

例2：里兹法与有限元法

材料力学中介绍的基于最小势能原理的里兹法，实际是通过变分法，求近似

值的一种方法。如果要求梁在分布荷载作用下的挠度函数v(x)，通过分析可归结为求势能函数()p x ν∏????的极值问题。()p x ν∏????=极值，对于边界条件中给定位移都是

零位移时，势能函数表达式为()()2

''002l

l p EI x dx q dx ννν∏=-??????按上面的推导可得到微

分方程，是无限自由度的结果。里兹法的思路则是用有限自由度的曲线来代替无限自由度曲线， 把势能原理中的求变分问题变为求偏微分问题。对于上面所讨论

的梁，采用以下几步得到里兹法的近似解： ①化无限为有限，按有限自由度处理

将待求函数v(x)表示为n 个线性不相关的已知函数的线性组合()()1n

i i i x x ναφ==∑

②将势能表示为含n 个参数的函数

()''2

10

011

[]())(,2,

,)2n n l

l p i i i i p i i EI x dx q dx n ναφαφααα==∏=-=∏∑∑?

?

这样就将势能从自变函数v(x)的泛函()p x ν∏????变为n 个自变量的函数，将求泛函的极值问题转换为求函数的极限问题。 ③按函数极值问题求解

里兹法是对一个单一的问题进行分析，如果考虑到参数的变化，把一个结构

分为若干个区域，在每一区域中有相同的参数的话，在每一区域应用里兹法，并满足区域边界处的条件，也就得到了有限元法。所以有限元法是里兹法的推广和

延拓，而里兹法是变分法的近似，是无限自由度问题有限化。在结构分析中，要建立问题的解析分析法，一般都可以采用变分方法进行推导。 七 参考文献

[1]许天周．应用泛函分析[M ]．北京：科学出版社，2002． [2]项海帆．高等桥梁结构理论[M ]．北京：人民交通出版社，2001．

[3]张士铎, 邓小华,王文州．箱形薄壁梁剪力滞效应.第一版.北京:人民交通出

版社,1998.

[4]刘开国．结构简化计算原理及其应用 [M ].第一版.北京:科学出版社 ,83一90 [5]付宝莲．弹性力学混合变量的变分原理及其应用 [M ]．北京：国防工业出版社，2010．