解高考数学选择题的常用方法和解答技巧

解高考数学选择题的常用方法和解答技巧

云南省文山州砚山一中，（663100） 马兴奎

趣题引入

正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，并使

λ==FD

CF EB AE )0(>λ，设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则βα+的值是 （ ）

A ．

6π B ．4π C ．3π D ．2

π 分析：解本题通常方法是画一个图，但不容易求解，只有紧紧抓住λ的两个极端值才能快速获解。

解：当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。因为BD AC ⊥（正三棱锥中对棱互相垂直），排除选择支C B A ,,。故选D （或+∞→λ时的情况，同样可排除C B A ,,）

技巧精髓

一、选择题中的题干、选项和四选一的要求都是题目给出的重要信息，答题时要

充分利用。

二、解答选择题的基本原则是小题不能大做，小题需小做、繁题会简做、难题要

巧做。求解选择题的基本方法是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，即求解时出了用直接计算方法之外还可以用逆向化策略、特殊化策略、图形化策略、整体化策略等方法求解。

三、解答选择题应注意以下几点：认真审题、先易后难、大胆猜想、小心验证。

1、逆向化策略

在解选择题时，四个选项以及四个选项中只有一个答案符合题目要求都是做题的重

要信息，逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息。解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析、考查、验证、推断而进行肯定或否定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，从而迅速找到所要选择的、符合题目的选项。

【例1】（2005年，天津卷）设)(1x f -是函数)1( )(2

1)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为

（ ） A ．),21(2+∞-a a B ． )21,(2a a --∞ C ． ),21(2a a

a - D ． ),[+∞a 【绿色通道】本题用直接法求解是先求出反函数，然后带入已知1)(1>-x f 得到一个不等

式，转化为解一个无理不等式问题，但运算量大。实际上由1)(1>-x f ，得)1()]([1f x f f >-， 即)1(f x >，此时并不需要往下计算，观察四个选项的特点，可以发现，只有选项A 是x 大于某个数的形式，而B 、C 、D 都不是x 大于某个数的形式，故选A 答案。

【警示启迪】逆向化策略与直接求解策略的解题方向相反，是充分利用题目中的选项信息进行解题的一种策略，但在解题时逆向化策略其他解题策略结合起来使用。

【例2】（2004年，重庆卷）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：

A ．0a <

B ．0a >

C ．1a <-

D ．1a >

【绿色通道】本题的直接解法并不难，而且有多种解法。只需利用方程与函数的对应关系，把2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根转化为函数12)(2++=x ax x f 与x 轴的交点在原点的两侧。但本题只需从选项入手，通过对选项的分析，找出答案，首先对四个选项进行逻辑分析。若A 成立，则C 也成立，即选 A 必选C ；若B 成立，则D 也成立，即选 B 必选D ，所以A 、B 都不正确。现在只需研究C 、D 。对于D 可以取2=a ，此时方程无实根，故D 不成立，答案选C

【警示启迪】逻辑分析法可分为以下三个方面：①若“A ”真?B 真；则A 必假，否则它将与“有且只有一个正确答案”的前提矛盾；②若A 、 B 是等价命题，即“B A ?”，则A 、 B 均为假，可同时排除；③若A 、 B 为互补命题（A 、 B 成矛盾对应关系），则必有一真，即非A 即B 。

2、特殊化策略

在求解数学问题时，如果要证明一个数学问题是正确的，就要证明该问题在所有可能的

情况下都正确，但是要否定一个问题，则只要举出一个反例就够了，基于这一原理，在解选择题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊图形、特殊角、特殊位置等对各个选项进行验证，从而可以否定和排除不符合题目要求的选项，在根据四个选项中只有一个答案符合题目要求这一信息，就可以间接地得到符合题目要求的选项。这时一种解选择题的特殊化策略。

【例3】（2007年，陕西卷）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2,S 3n =14, 则S 4n 等于 （ ）

（A ）80 （B ）30 （C ）26 （D ）16

【绿色通道】本题直接解也并不困难，只是运算量大，但是对于这道题，只需取特殊值1=n

便可求解了。

取1=n 则211==S a 又143=S 即14321=++a a a

∵∴142111=++q a q a a 即14)1(21=++q q a ∴712

=++q q 解之得：3-=q （舍去），2=q 故所求为301)1(414=--=q

q a S 故选B

【警示启迪】在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，

从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答

本类选择题的最佳策略。

【例4】（2007年，安徽卷）定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T

是它的一个正周期，若将方程f (x )=0在闭区间[－T ，T ]上的根的个数记为n ，则n

可能为

（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）5 【绿色通道】本题没有给出具体的函数)(x f y =，所以不能直接求解，可以选取一个符合

题目要求的函数，例如设满足条件的函数为：x x f sin )(= ，则π2=T 而从)

(x f 在]2,2[ππ-上有5个根。故选D

【警示启迪】特殊化策略是将一般问题特殊化，用构造满足题设条件的特殊函数或图形的特

殊位置直接求解的方法，它充分利用选择题的特点，将抽象问题具体化，它是“繁

题会简做”重要策略的体现，要求平时善于积累常见函数，并能熟练掌握

它们的图象和性质

3、图形化策略

图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一个解题策略，图形化策略是依靠

图形的直观进行选择的，用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，

从而简捷迅速地得到结果，

[例5] （2002年，全国卷）在（0，2π），使sinx>cosx 成立的x 的取值范围为（ ）

A 、)45,()2,4(ππππ

B 、),4(ππ

C 、)45,4(ππ

D 、)2

3,45(),4(ππππ 【绿色通道】本题可利用三角函数的图象和画单位圆，选C 。

【警示启迪】据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断。 有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。

【例6】(2005年，上海卷)

设定义域为R 的函数?

??=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）

(A) 0c ( B)0>b 且0

(C)0

【绿色通道】画出函数()x f 的图像,该图像关于直线1=x 对称

且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f

有7个不同实数解,则方程02

=++c bt t 有2个不同

实数解,且为一正根,一零根.因此, 0

【警示启迪】在选择题中，常常遇到下面一些问题可以借

助图形分析帮助解决。 （1）求方程解的个数：可以画出方程两边的函数图象，通过观察图象交点的

个数来研究方程解的个数。

（2）求参数的范围：可以研究参数的几何意义以及这些几何意义的变化状态，

通过几何意义的变化状态反映出参数的范围。

（3）求最值：通过研究与最值有关的几何图形或图形的极端位置得到最值。

（4）解不等式：可以研究不等式两边的函数图象的相关位置关系，寻找符合

不等要求的x 的取值范围。

（5）求值：可以构造与所求值的几何意义有关的图形，通过计算图形的有关

数据，得到所需要的值。

4、极限化策略

有一些选择题中，有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变

化趋势进行研究，分析它们的极限情况或者极端位置，并进行估算，以次来判断选择的结果，这种通过动态的变化或对极端取值来解选择题的策略是一种极限化策略。

【例7】（2005年，北京卷）对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是

（ ）

A ．βαβαsin sin )sin(+>+

B ．βαβαcos cos )sin(+>+

C ．βαβαsin sin )cos(+<+

D ．βαβαcos cos )cos(+<+ 【绿色通道】当2π

α→，2π

β→时 ,2sin sin →+βα而0)sin(→+βα，排除A

当0→α，0→β时，,2cos cos →+βα而0)sin(→+βα，排除B

当0→α，0→β时 0sin sin →+βα，而1)cos(→+βα排除C

选D .

【警示启迪】 用极限法是解选择题的一种有效方法，也是在选择题中避免“小题大做”的有效途径。它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，计算简便，迅速找到答案。

4、整体化策略

在解选择题时，有时并不需要把题目精解出来，而是从题目的整体去观察、分析和把握，通过对整体反映的性质或者对整体情况的合理估算、猜测，从而忽略具体的细节，缩短解题过程，迅速确定具体问题的结果。这是一种从整体出发

进行解题的策略。

【例8】（2002年，全国卷）曲线为参数）θθθ(sin cos ?

??==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值之为（ ）

（A ）21 （B ）2

2 （C ）1 （D ）2 【绿色通道】本题可以直接计算，但我们采用整体估算的方法

∵曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会等于1（因为直角

三角形两直角边之和大于斜边）故选（D ）

【警示启迪】估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.

【例9】（1999年，全国卷）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是

边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 2

3=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）

（A ）2

9 （B ）5 （C ）6 （D ）2

15

【绿色通道】由已知条件可知，EF ∥平面ABCD ，则F

∴V F －ABCD ＝3

1·32·2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D ）. 【警示启迪】由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜

测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加

强了思维的层次.

总之，解答选择题一定要“六忌”、“四注意”。六忌：一忌落入陷阱；二忌小

题大做；三忌思维定势；四忌只观其表；五忌顾此失彼；六忌隐而不见。四注意：审题要仔细；要求要看清；目标要明确；结果要检验。

【思维挑战】

1、（1996年，全国卷）双曲线122

22=-b

y a x )0(>>a b 的半焦距为c ，直线l 过)0,(a ， ),0(b 两点，已知原点到直线l 的距离为c 4

3，则双曲线的离心率于 （ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）3

32 （ D ）2 2、（2006年，全国I 卷）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 若a 、b 、c 成等比数列，且==B a c cos ,2则

（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32 3、（2004年，湖南卷）若直线y=2a ，与函数y=|a x —1|（a >0，且a ≠1）的图象有两个公共

点，则a 的取值范围是 （ ）

A ．（0，21）

B ．（21，1）

C ．),1(+∞

D ．（0，1） 4、（2005年，湖北卷）若x x x sin 32,20与则π

<

<的大小关系 （ ） A ．x x sin 32>

B ．x x sin 32<

C ．x x sin 32=

D ．与x 的取值有关 【答案咨询】 1、提示：∵0>>a b ?

22a b > 即 222a c a -< ∴222c a < 从而22>e

结合答案很快就选A 2、提示：令2=c ，则 2,1==b a 则4

342142cos 222=-+=-+=ac b c a B 故选B 。

3、提示：本题是由2004年湖南卷填空题而改编，若a >1，画出y=|a x —1|的图象，因为

a >1，2a >2，所以y=2a 与y=|a x —1|只有一个交点。

若0

21，2a <1，所以y=2a 与y=|a x —1|有二个交点。 故a 的取值范围是（0，2

1）。 4、提示：当2π→x 时 π→x 2,32sin 3sin 3=→π

x 此时x x sin 32>

当4π→x 时 57.122≈→πx 121.22

234sin 3sin 3≈=→πx 此时x x s i n 32< 故选D