2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案

2020年北京市海淀区高三二模试卷 数 学 2020.6

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若全集U =R ，{}|1A x x =<，{}|1B x x =>-，则

（A ）A B ? （B ）B A ? （C ）U B A ?e

（D ）U A B ?e

（2）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是

（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =

（D ）ln y x =

（3）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于

（A ）4

（B ）6

（C ）8

（D ）10

（4）已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为

（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//l m ，m α?，则//l α （C ）若//l α，//l β，则//αβ

（D ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥

（5）在△ABC 中，若7a =，8b =，1

cos 7

B =-，则A ∠的大小为

（A ）6

π

（B ）4

π

（C ）3

π

（D ）2

π

（6）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3

π

个单位长度，得到函数()g x 的图象，则

()g x =

（A ）sin(2)6x π

+

（B ）2sin(2)3

x π+

（C ）cos2x

（D ）cos2x -

（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体

积为

（A ）23

（B ）43

（C ）2

（D ）4

（8）对于非零向量,a b ，“2()2+?=a b a a ”是“ = a b ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（9）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面

ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.

若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25

（B ）455

（C ）5

（D ）25

（10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离. 某公司会议

室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座. 例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）. 根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为 （A ）9

（B ）10

（C ）11

（D ）12

B

C

D

1

A 1

B 1

C 1

D O

P

主视图

左视图

俯视图

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）若复数(2i)(i)a -+为纯虚数，则实数a =_______.

（12）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可

以为_______.（写出一个即可）

（13）数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，*n N ?. 若其前k 项和为126，则k =_______.

（14）已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，||||AP AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，则||AP =

u u u r

_______，OP u u u r 与OA u u u r

夹角的取值范围是_______.

（15）已知函数1,0,

()|ln |,0.

ax x f x x x ?+≤?=?>?? 给出下列三个结论：

① 当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；

③ 若1a <且0a ≠，则b ?∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.

其中，所有正确结论的序号是_______.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共14分）

已知{}n a 是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为n S . 又 ，且540S =，是否存在大于1的正整数k ,使得1k S S =？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.

从①14a =，②2d =-这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=?，

1

12

BC CD AD ==

=，E 为线段AD 的中点. PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G .

（Ⅰ）求证：//BE FG ；

（Ⅱ）若PC 与AB 所成的角为4

π

，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值．

B

C

D P

E G

F

为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务. 已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示. 为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.

（Ⅰ）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；

（Ⅱ）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；

（Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为44%. 为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.

（19）（本小题共15分）

已知椭圆2222:1x y W a b

+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -

.

（Ⅰ）求椭圆W 的方程；

（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.

1 图

频率组距

（20）（本小题共14分）

已知函数()e (sin cos )x f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π

上有且只有一条斜率为2的切线.

（21）（本小题共14分）

在平面直角坐标系中，O 为坐标原点. 对任意的点(,)P x y ，定义||||||||OP x y =+.任取点1122(,),(,)A x y B x y ，记1221'(,),'(,)A x y B x y ，若此时 2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+成立，则称点,A B 相关.

（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①(2,1),(3,2)A B -； ②(4,3),C -(2,4)D .

（Ⅱ）给定*n ∈N ，3n ≥，点集{(,)|,,,}n x y n x n n y n x y Ω=-≤≤-≤≤∈Z . (ⅰ)求集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；

(ⅱ)若n S ?Ω，且对于任意的,A B S ∈，点,A B 相关，求S 中元素个数的最大值.

2020北京海淀高三二模数学

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

注：第12题答案不唯一，写出一个形如221a a -=或221a a

-=（22a >）的方程即可；

第14题第一空3分，第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。 （16）（本小题共14分）

解：选择条件①，不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =.

解法1 理由如下：

在等差数列{}n a 中，51154

55102

S a d a d ?=+=+ 又14a =，540S =.

所以由 11

4,

51040a a d =??+=? 得 2.d =

所以 1(1)42(1)22n a a n d n n =+-=+-=+.

又因为110n n n S S a ++-=>，

所以数列{}n S 为递增数列.即1k ?>，都有1k S S >. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =. 解法2 理由如下：

在等差数列{}n a 中，51154

55102

S a d a d ?=+=+ 又14a =，540S =.

所以由 11

4,

51040a a d =??+=? 得 2.d =

所以21(1)(1)

42322

k k k k k S ka d k k k --=+

=+?=+. 令14k S S ==，即2340k k +-=.

解得1k =或4k =-.

因为1k >，所以1k =与4k =-均不符合要求. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =.

选择条件②，存在正整数12k =,使得1k S S =. 理由如下：

在等差数列{}n a 中，51154

55102

S a d a d ?=+=+ 又2d =-，540S =.

所以由 1

2,

51040d a d =-??+=? 得 112.a =

所以21(1)(1)

12(2)1322

k k k k k S ka d k k k --=+

=+?-=-+.

令112k S S ==，即21312k k -+=.

整理得213120k k -+=.解得1k =或12k =. 因为1k >，所以12k =. 所以当12k =时，1k S S =. （17）（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：因为E 为AD 中点，所以1

12

DE AD =

=. 又因为1BC =，所以DE BC =. 在梯形ABCD 中，//DE BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形. 所以//BE CD . 又因为BE ?平面PCD ，且CD ?平面PCD ， 所以//BE 平面PCD . 因为BE ?平面BEF ，平面BEF I 平面PCD FG =， 所以//BE FG .

（Ⅱ）解：（解法1）因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ?平面ABCD ，

所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥.

因为四边形BCDE 为平行四边形，90ADC ∠=?， 所以AE BE ⊥.

以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz -. 则(0,0,0)E ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,0,0)D -. 设(0,0,)P m （0m >），

所以(1,1,)CP m =-u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r

.

因为PC 与AB 所成角为4

π

，

所以cos ,CP AB <>u u u r u u u r =CP AB

CP AB

??u u u r u u u r

u u u r u u u r =

2

222

m -+?

=cos

4

π=22. 所以2m =. 则(0,0,)2P ，112

(,,)22F -.

所以(0,1,0)EB =u u u r ，112

(,,)22EF =-u u u r ，(0,1,)2PB =-u u u r .

设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ， 则00.

EB EF ??=?

?

?=??u u u r u u u r ，n n 即0112

0.22y x y z =??

?-++=??， 令2x =，则1z =，所以(2,0,1)=n . 所以cos ,||||PB PB PB ?<>=u u u r

u u u r u u u r n n n 22

333

-==-?. 所以直线PB 与平面BEF 的所成角的正弦值为

2

. （Ⅱ）（解法2）

连结EC ,

因为//AE BC 且AE BC =，所以四边形ABCE 为平行四边形. 所以//AB CE .

因为PC 与AB 所成角为4π，所以PC 与CE 所成角为4

π

.

即4

PCE π

∠=.

因为PE ⊥平面ABCD ，且CE ?平面ABCD ， 所以PE CE ⊥. 又因为2

EDC π

∠=

，所以平行四边形BCDE 是矩形. 所以在等腰直角三角形PEC

中，PE CE =. 因为PE ⊥平面ABCD ，且,AE BE ?平面ABCD ， 所以PE AE ⊥，且PE BE ⊥. 又因为AE BE ⊥，

以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz - 则(0,0,0)E ，(0,1,0)B

，P ，(1,1,0)C -

，11(,22F -.

所以(0,1,0)EB =u u u r

，11(,22EF =-u u u r

，(0,1,PB =u u u r .

设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，则

00.EB EF ??=???=??

u u u r u u u r ，

n n

即0110.222

y x y z =??

?-++=??，

令x 1z =，所以=n .

所以cos ,||||PB PB PB ?<>=u u u r

u u u r u u u r n n n ==.

所以直线PB 与平面BEF . （18）（本小题共14分）

解: （Ⅰ）由图1可知，该地区居民中年龄在71~80岁的频率为0.00410=4%?.

由图2可知，样本中年龄在71~80岁居民家庭医生的签约率为70.0%， 因为该地区居民人数约为2000万，

所以该地区年龄在71~80岁，且已签约家庭医生的居民人数约为

20004%70.0%=56??（万人）.

（Ⅱ）由题意，从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为

7

10

. 设i A 表示事件“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，其中第i 个人已签约家庭医生”（1,2i =），

则7()10i P A =

，73

()11010

i P A =-=（1,2i =）. 设事件C 为“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有1人已签约家庭医生”， 则1221C A A A A =U . 所以1212733721

()()()()()1010101050

P C P A P A P A P A =+=

?+?=. 所以这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为

21

50

. （Ⅲ）应着重提高年龄在31~50岁居民的签约率.

理由如下：

①依题意，该地区年满18周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升

11%；

②年龄在31~50岁居民人数在该地区的占比约为： 21%+16%=37%，占比大； ③年龄在31~50岁居民的医生签约率较低，约为37.1%； ④该地区年满18周岁居民的人数在该地区的占比约为：

0.008+0.0050.7)10=0.885??1-(；

所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至100%，可将该地区年满18周岁居民签约率提升37%(137.1%)0.88537%62.9%23%?-÷>?≈，大于

11%.

（19）（本小题共15分）

解：（Ⅰ

）由题意，2221.b c

a a

b

c =??

?=

??

?=+?

， 解得2,

1.a b =??=?

所以椭圆W 的方程为2

214

x y +=.

（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直.

设直线l 的方程为： 1y kx =+（0k ≠）. 由22

1,4 4.

y kx x y =+??+=?得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841

k

x k -=

+. 得2

112

2814114141k k y kx k k k --=+=?+=++. 即2

2

2814(,)4141

k k C k k --++.

又因为(0,1)B -，所以2

212

1411418441

k k k k k k -++=

=--+. 由1,2.y kx y =+??

=? 得1,

2.

x k y ?

=???=? 所以点M 的坐标为1

(,2)k

.

所以

221

31k k k

+=

=. 所以1213

344

k k k k ?=-

?=-. （20）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x x

f x x x x x '=+-

2e cos x x =.

令()0,f x '>得22()22

k x k k ππ

π-

<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22

k k ππ

π-π+()k ∈Z .

（Ⅱ）证明： 要证曲线()y f x =在区间(0,)2

π

上有且只有一条斜率为2的切线，

即证方程'()2f x =在区间(0,)2

π

上有且只有一个解.

令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.

设c (1)e os x

g x x =-，

则()e cos e sin sin()4

x x x

g x x x x π'=-=-.

当(0,)2x π

∈时，令()0g x '=，得4

x π=.

当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：

所以()g x 在(0,)4上单调增，在(,)42上单调减.

因为0(0)g =,所以当(0,]4

x π

∈时，()0g x >；

又1(0)2g π=-<，所以当(,)42

x ππ

∈时，()g x 有且只有一个零点.

所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os x

g x x =-有且只有一个零点.

即方程2()f x '=，(0,)2

x π

∈有且只有一个解.

所以曲线()y f x =在区间(0,)2

π

上有且只有一条斜率为2的切线.

（21）（本小题共14分）

解：（Ⅰ）①由题知'(2,2),'(3,1)A B -，进而有

2222||||||||(2+1)(32)34OA OB +=++=， 2222||'||||'||(2+2)(31)32OA OB +=++=，

所以2222||||||||||'||||'||OA OB OA OB +≥+. 所以,A B 两点相关； ②由题知'(4,4),'(2,3)C D -，进而有

2222||||||||=4+3)(24)85OC OD +++=（， 2222||'||||'||4+4)(23)89OC OD +=++=（，

所以2222||||||||||'||||'||OC OD OC OD +<+， 所以,C D 两点不相关.

（Ⅱ）(ⅰ)设(1,1)A 的相关点为(,)B x y ，,x y ∈Z ，,n x n n y n -≤≤-≤≤,

由题意，'(1,)A y ，'(,1)B x .

因为点,A B 相关，则2

2

2

2

42||||12||12||x y x y y y x x +++≥+++++. 所以||||||||10x y x y --+≥. 所以(||1)(||1)0x y --≥.

当0x =时,{}||0,1y ∈,则(1,1)A 相关点的个数共3个; 当||1x =时,则(1,1)A 相关点的个数共42n +个; 当||2x ≥时, ||1y ≥，则(1,1)A 相关点的个数共4(1)n n -个. 所以满足条件点B 共有2

4(1)42345n n n n -+++=+(个). (ⅱ)集合S 中元素个数的最大值为81n -.

{(0,0),(0,1),(1,1),(1,),(2,),,(,)}S n n n n =±±±±±±±±±L L 符合题意

下证：集合S 中元素个数不超过81n -. 设1122(,),(,)A x y B x y ，若点,A B 相关，则

2222

111122222||||2||||x y x y x y x y +++++

222

2121221212||||2||||x y x y x y x y ≥+++++.

则11221221||||||||x y x y x y x y +≥+.

所以1212(||||)(||||)0x x y y --≥.

设集合S 中共有m 个元素，分别为(,)i i i A x y ，1i m ≤≤，*i N ∈， 不妨设12||||||m x x x ≤≤L ，而且满足当1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 下证：12||||||m y y y ≤≤≤L . 若1||||i i x x +=，1||||i i y y +≤. 若1||||i i x x +<，则必有1||||i i y y +≤.

记，11||||||||i i i i i d x y x y ++=+--，11i m ≤≤-，*i ∈N ， 显然，数列{}i d 至多连续3项为0，必有1231i i i i d d d d ++++++≥， 假设81m n >-，

则1281123481()21n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥-L L . 而12818181||||||||21n n n d d d x x y y n -+++=-+-≥-L , 因此，必有10x =或10y =.

可得，12,d d 不可能同时为0，则121d d +≥.

所以1281123481()()2n n d d d d d d d d n --+++=+++++≥L L . 必有88||||n n x y n ==，110x y ==. 所以，11d =，230d d ==.

因此22||||1x y +=，33||||1x y +=，44||||1x y +=. 若2||1x =，则234,,{(1,0),(1,0)}A A A ∈-，矛盾. 同理，2||1y =，矛盾. 因此，假设不成立.

所以81m n ≤-. 所以集合S 中元素个数的最大值为81n -.