江苏省扬中市高级中学2020-2021第一学期高三数学第一次月考试卷

．．．．．．．．

1．已知集合{}

{}3,0,1,2,3x A y y B ===，则A B ?= （ ） A ．{}1,2,3 B ．(0,)+∞ C ．{}0,1,2 D ．[0,)+∞

2．复数(1)2(z i i i -=为虚数单位），则z 等于 （ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --

3．若从甲、乙、丙、丁4人中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率为 （ ）

A ．

14 B ．13 C ．12 D ．3

4

4．下列函数中，既是奇函数又在区间(1,1)-上是增函数的是 （ ）

A ．1

y x

= B ．tan y x = C ．sin y x =- D ．cos y x =

5．若sin cos 1sin cos 3

αααα+=-，则tan α= （ ）

A ．2-

B ．34

C ．4

3

- D ．2

6．已知菱形ABCD 的边长为04,60,ABC E ∠=是BC 的中点，

2DF AF =-，则AE BF ?= （ ）

A ．24

B ．7-

C ．10-

D ．12- 7．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月力法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部为七十六岁，二十部为一遂，遂千百五十二十岁，生住有数皆终，万物复苏，天以更元作记历”，某老年公寓20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为 （ ） A ．94 B ．95 C ．96 D ．98

8．已知函数ln ,1(),()11,14

x x f x g x ax x x >??

==?+≤??，则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的

取值范围是 （ ） A ．1

(0,)e B ．11[,)4e C ．1(0,]4 D ．1(,)4

e

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．设正实数,a b 满足1a b +=，则下列结论正确的是 （ ）

A ．

11

a b

+有最小值4 B

有最小值12

C

D ．22a b +有最小值12

10．将函数cos y x =的图象向左平移32

π

个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）

A

B E

C D F

A ．()y f x =是奇函数

B ．()y f x =的周期是π

C ．()y f x =的图象关于直线2

x π=

对称 D ．()y f x =的图象关于(,0)2

π

-对称

11．如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，则下列四个命题正确的是 （ ） A ．若点,M N 分别是线段,A A A D '''的中点，则//MN BC '

B ． 点

C 到平面ABC

D ''的距离为2

C ．直线BC 与平面ABC

D ''所成的角等于

4

π

D ．三棱柱AA D BB C ''''-的外接球的表面积为3π

12．关于函数()e ,x

f x ax x R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 下列说法正确的是 （ ） A ．当1a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递增

B ．当0a =时，()lnx 3f x -≥在x (0,)∈+∞上恒成立

C ．对任意0a <，()f x 在(,0)-∞上一定存在零点

D ．存在0a >，()f x 有唯一的极小值

二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 13．已知随机变量X 服从正态分布2

(1,)N σ，且(2)0.7P X <=,则(01)P X <<= ,

14．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则

4

2

S S = . 15．小明拟测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好 落在地面和一斜坡上（如图1）此时测得地面上树的 影子长为8米，坡面上树的影子长为4米，已知斜坡 的坡角为030，同一时刻，一根长为1，垂直于地面上 的标杆在地面上的影子长为2米（如图2），则树的高 度为 米. 16．已知实数,αβ满足34

,(ln 1)e e e ααββ=-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ= .

三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知平面向量(2cos ,1),(1,3sin ).a b θθ== （1）若//a b ，求sin 2θ的值；（2）若a b ⊥，求tan()4

π

θ+

的值.

18．如图，正四棱锥S ABCD -中，4,2,SA AB E ==为SC 中点. （1）求证：//SA BDE 平面；

（2）求异面直线SA 与BE 所成角的余弦值.

19．在①32525,6a a a b =+=；②23432,3b a a b =+=；③34529,8S a a b =+=，

A

B

D

C

B '

A 'C '

D '

M

N

0301（图）2（图）

B

E

D C

S

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为

n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11,a d q ==， .

（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）记n

n n

a c

b =

，求数列{}n c 的前n 项和.n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20．华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz ，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了0050，科研人员曾就是否需采取用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.

（1）完善列联表判断：这次实验是否有0099.5的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？

（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程，如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为

2

3

，每个环节出错需要修复的费用均为 200元，第四个环节生产正常的概率为

3

4

，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）

参考公式：2

2

(),.()()()()

n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++

参考数据：

21．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点(1,2)A 为抛物线C 上一点.（1）求C 的方程；（2）

若点(1,2)B -在C 上，过B 作C 的两弦BP BQ 与，若2BP BQ k k ?=-，求证：直线PQ 过定点.

22．已知函数2()1.x f x e x ax =---

（1）当0x ≥时，若不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若0x >，证明2(1)ln(1).x e x x -+>

参考答案

13. 0.2 ； 14．

15

2

； 15. 6； 16．4e ； 三、解答题

17．解：（1

）1

//,sin

23a b θ∴=；

（2）

2tan 1

,tan ,tan() 5.341tan

a b πθθθ

θ

+⊥∴=+

==-

18．解：（1）连接AC 交BD 于O ,连接OE ，

由正四棱锥S ABCD -，得O 为AC 的中点， 因为E 为SC 的中点，所以//OE SA ,

,OE BDE SA BDE ??面面，

//SA BDE ∴面；

（2）

//,OE SA OEB ∴∠为异面直线SA 与BE 所成角，

在正四棱锥S ABCD -中，

4,2,2,SA AB OE OB BE ==∴==∴=，

在Rt EOB ?中，cos OB BEO BE ∴∠=

==

所以异面直线SA 与BE

19．解：（1）若选条件①32525,6a a a b =+=，

111125,2566,2,1d d b q b d d b ∴+=+==∴==， 121,2n n n a n b -∴=-=； （2）

1

21

2n n n c --=

， 12211355

1222

n n n T c c c -∴=++

+=++++，

122311355

22222

n n n T c c c ∴=+++=++++，两式相减，得

A B

E

D

C

S

O

2

2

11112125

113222222n n n n

n n T --+∴=++

+++

-

=-

， 62410

.2n n n

n T ?--∴=

其它省略.

20．解：（1）由题意列表为：

故22

50(288212)25

302040103

K ??-?==

???， 故有0099.5的把握认为晶圆的制作效果使用西门子制程这一工艺有关； （2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，（1,2,3,4i =）

X 表示成为一个合格的多晶的晶圆需消耗的费用，

则X 的可能取值为：0,100,200,300,400,500,600,700，

那么13618

(0),(100),(200),(300)108108108108P X P X P X P X ==

======

， 1236824

(400),(500),(600),(700)

P X P X P X P X ========

， 故()(01132631841253668724)3081089

E X =?+?+?+?+?+?+?+?=≈

故大约需要耗费308元.

21．解：（1）若抛物线C 方程为22,42,2,y px p p =∴==，即抛物线C 的方程为24y x =， 若抛物线C 方程为212,14,,4x py p p =∴==

，即抛物线C 的方程为21

2

x y =； （2）因为点(1,2)B -在C

上，所以抛物线C 的方程为24y x =， 设弦BP 的方程为22(1),(2)4y k x y kx k y x +=-=-+=即代入，得 2222(244)(2)0k x k k x k -++++=，

2222(2)(2)24

,(,)P k k k x P k k k

+++=点，

以2

k

-

替换点P 坐标中的k 得点Q 的坐标为2((1),22)k k -- 所以2222PQ k k k k =-++，直线PQ 的方程为2

22(22)[(1)]22

k y k x k k k --=---++，

32x y ==当时，， 所以直线PQ 过定点(3,2)..

22．解：（1）

()12x f x e ax '=--，

设()12x h x e ax =--，()2x h x e a '=-，

01

121,()02

a a h x '≤≤∞≥若即时，在[0,+)上,

()h x ∴∞在[0,+)上单调递增，()(0),()(0)0h x h f x f ''∴≥∴≥=， ()f x ∴∞在[0,+)上单调递增，()(0)0f x f ∴≥=∞在[0,+)上恒成立，

1

2

a ∴≤

满足题意， 01

221,()=0ln 2,ln 2()02a a h x x a a h x ''>>=<若即时，令，在[0,)上,

()ln 2h x a ∴在[0,)上单调递减，()(0),()(0)0h x h f x f ''∴<∴<=， ()ln 2f x a ∴在[0,)上单调递减，()(0)0f x f ∴<=不合题意，

综上所述实数a 的取值范围是1(,].2

-∞

（2）由（1）知12

a =时，220,1,122x x

x x x e x e x >>++->+即，

欲证2(1)ln(1)x e x x -+>，只需要证明：2ln(1)2

x

x x +>

+， 设2

2

2F()ln(1),F ()2(1)(2)x x x x x x x x '=+-=

+++， 0F ()0x x '>>时，，F()(0,)x ∴+∞在上是增函数，F()0(0,)x ∴>+∞在上恒成立，

所以不等式2(1)ln(1)x e x x -+>成立.