《简单的线性规划问题》教案正式版

《简单的线性规划问题》教案

第三课时

（1）教学目标

(a) 知识和技能：了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、 最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值 (b)过程与方法：本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性

(c)情感与价值：渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣 （2）教学重点、教学难点 —

教学重点：线性规划的图解法

教学难点：寻求线性规划问题的最优解 （3）学法与教学用具

通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系 直角板、投影仪，计算机辅助教材 （4）教学设想 1、 设置情境

师：在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如教材第98页所例（投影） /

（板书）设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可的二元一次不等式组：

※ 28,416,412,00

x y x y x y +≤??≤??

≤??≥?≥??将上述不等式组表示成平面上的区域，如图中阴影部分的整点。

2、 新课讲授

（1）尝试

若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大 设生产甲产品x 乙产品y 件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当x 、y 满足不等式※并且为非负整数时，z 的最大值是多少 ① 变

形

—

—

把

22333

z

z x y y x =+=-+转变为，这是斜率为

23-z

，在y 轴上的截距为的直线3

；当z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；233

z

y x =-+当直线与不等式组确定的平面区域内有公共点时，

在区域内找一个点P ，

使直线经点P 时截距

3

z

最大 ② 】 ③ 平移——通过平移找到满足上述条件的直线

④ 表述——找到给M （4，2）后，求出对应的截距及z 的值 （2）概念引入 （学生阅读并填空）

28,416,412,00

x y x y x y +≤??≤??

≤??≥?≥??若23z x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，则不等式组叫做变量x 、y 的约束条件 ，23z x y =+叫做目标函数；又因为这里的23z x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；其中使目标函数取得最大值的可行解（4，2）叫做最优解， （3）变式

若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润

（4）例1、设2z x y =+，式中变量x 、y 满足下列条件43

35251x y x y x -≤-??

+≤??≥?

，求z 的最大值和最

小值

① %

② 指出线性约束条件和线性目标函数 ③ 画出可行域的图形

④ 平移直线2y x z =-+，在可行域内找到最优解

（5）提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗 3、 课堂练习

课本第103页练习第1题 4、归纳总结

了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解 &

（5）评价设计

1、课本第105页习题第1、2题

2、思考题：若将例1中的z 的目标函数改为2

2

y x z +=,求z 的最大值和最小值

）

简单的线性规划问题

第四课时

（1）教学目标

(a)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题

(b)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解

)

(c)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力

（2）教学重点、教学难点

教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答

教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解

（3）学法与教学用具

学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞

直角板、投影仪

（4）教学设想

4、;

5、设置情境

前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法，现在让我们一起来复习一下

6、新课讲授

例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg的食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg

/

分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与A、B食物的含量之间的关系，进一步确立变量和目标函数

②分析约束条件，请学生回答总成本与A、B食物的含量变化而变化，这两者的含量是否任意变化，受什么因素制约列出约束条件

③图解法求解

④老师引导，学生分组讨论后，交流心得，总结出解线性规划应用题的一般步骤

例2、在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取1600元，高中每人每年可收取学费2700元。那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多 解：设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元。

此时，目标函数为0.16450.2740,z x y =?+?画出可行域。把7.210.8z x y =+变形

为25354y x z =-

+，得到斜率为23-，在y 轴上的截距为5

54

z ，随z 变化的一组平行直线。由此观察出，当直线7.210.8z x y =+经过可行域上的点M 时，截距为5

54

z 最大，

即z 最大。 ）

解方程组 30,

240x y x y +=??

+=?

得M 的坐标为

max 20,10,

7.210.8252

x y z x y ===+=所以，

由此可知，开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。

例3、在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润 解：设生产甲种肥料x 车皮、乙种肥料y 车皮，能够产生利润z 万元。目标函数为0.5,z x y =+画出可行域。

把0.5z x y =+变形为22y x z =-+，得到斜率为2-，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一组平行直线。由此观察出，当直线22y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距2z 为最大，即z 最大。

解方程组181566,

410

x y x y +=??

+=? 得M 的坐标为

max 2,2,

0.53

x y z x y ===+=所以，

%

由此可知，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元。

小结：这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象，于是在复习原有知识的基础上再列出目标函数，利用直线平移法求出最大（最小）截距，进而求解 7、 课堂练习

课本第103页第2题 4、归纳总结

解线性规划应用题的一般步骤：设出所求的未知数；列出约束条件；建立目标函数；作出可行域；运用平移法求出最优解。

（5）评价设计

1、课本第105页第3、4题

2、某家具厂有方木材902m ,五合板6002

m ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木材2m 、五合板22m ，生产每个书橱需要方木料2m 、五合板12

m ,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少如果只安排生产书橱,可获利润多少怎样安排生产可使得利润最大 答:24000元,54000元,56000元